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专题1.5-2 线段的垂直平分线和角平分线的定理（性质）与判定
模块1：学习目标
1. 会叙述角平分线的性质及判定；
2. 能利用三角形全等，证明角平分线的性质定理，理解和掌握角平分线性质定理和判定定理，能应用这两个性质解决一些简单的实际问题；
3. 会证明和运用“三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等”；
4. 理解线段垂直平分线的概念；掌握线段垂直平分线的性质定理及判定定理；
5. 能运用线段的垂直平分线的性质定理及判定定理解决有关知识的证明或计算；
6. 能够利用尺规作出三角形的角平分线和垂直平分线。
模块2：知识梳理
1、角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.
用符号语言表示角的平分线的性质定理：若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF.
图1 图2
2、角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
用符号语言表示角的平分线的判定：若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB
3、线段的垂直平分线定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线．
4、线段的垂直平分线定理：线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等．
线段的垂直平分线定理是证明两线段相等的常用方法之一．同时也给出了引辅助线的方法，那就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件．
5、线段的垂直平分线判定定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点距离相等，这点是三角形外接圆的圆心（外心）．
6、角的平分线的尺规作图
（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E.
（2）分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C.
（3）画射线OC. 即射线OC即为所求.
7、线段垂直平分线的尺规作图：
作法：（1）分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点；
（2）作直线CD，CD 即为所求直线．
注意：作弧时的半径必须大于AB的长，否则就不能得到交点了．
模块3：核心考点与典例
考点1、角平分线的作法及应用
例1．（2022·江苏南通市·八年级期末）如图①，已知，用尺规作它的角平分线（如图②）．
尺规作图具体步骤如下，
第1步：以为圆心，以为半径画弧，分别交射线于点；
第2步：分别以为圆心，以为半径画弧，两弧在内部交于点；
第3步：画射线．射线即为所求．下列说法正确的是（ ）
A．有最小限制，无限制 B．的长
C．的长 D．连接，则垂直平分
【答案】B
【分析】直接根据尺规作图作角平分线的方法即可得出结论的长．
【详解】解：以B为圆心画弧时，半径必须大于0，分别以D，E为圆心，以为半径画弧时，必须大于DE的长，否则两弧没有交点．故选：B．
【点睛】本题考查了角平分线的作图方法，熟练掌握作角平分线的步骤及方法是解题的关键．
变式1. （2022·辽宁抚顺·八年级期末）如图，在中，，点在的延长线上．
（1）尺规作图，作的角平分线；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）补全图形，取的中点，连接并延长交的平分线于点；
（3）判断线段与的位置关系是 ，数量关系是 ．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）位置关系是平行，数量关系是相等
【分析】（1）按照角的平分线的尺规作图步骤进行即可；
（2）先确定BC的中点，后用直尺依次完成操作即可；
（3）根据内错角相等，两直线平行，判定位置关系，利用三角形全等，判定数量关系．
【详解】（1）如图所示：
（2）如图所示：
（3）∵AB=BC，∴∠BAC=∠C，∴∠CBD=∠BAC+∠C=2∠C，
∵BF平分∠CBD，∴∠CBD=∠CBF+∠DBF=2∠CBF，∴∠CBF=∠C，∴BF∥AC；
∵CE=BE，∠AEC=∠FEB，∴△ACE≌△FEB，∴AC=FB，故答案为：平行；相等．
【点睛】本题考查了尺规作图，平行线的判定，三角形外角的性质，三角形全等，熟练掌握平行线的判定，三角形全等的判定和性质是解题的关键．
考点2、角平分线的性质的运用
例2．（2022 毕节市期末）如图，已知△ABC中，∠C＝90o，AC＝BC，AD平分∠CAB，交BC于点D，DE⊥AB于点E，且AB＝10，则△DEB的周长为（　　）
A．9 B．5 C．10 D．不能确定
【解题思路】先利用角平分线的性质得到DE＝DC，再证明Rt△ACD≌Rt△AED得到AC＝AE，然后利用等线段代换得到△DEB的周长＝AB．
【解答过程】解：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DE＝DC，
在Rt△ACD和Rt△AED中，，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AC＝AE，
∵AC＝BC，∴BC＝AE，∴△DEB的周长＝BD+DE+BE＝BD+CD+BE＝BC+BE＝AE+BE＝AB＝10．
选：C．
变式2．（2022·河南安阳市·八年级期末）如图，在中，，以点C为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC，BC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点O，作射线CO交AB于点G．若，，则的面积为（ ）
A． B． C．30 D．15
【答案】C
【分析】角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，由题意知平分，过点作，结合可知，最后由角平分线的性质及三角形面积公式解题．
【详解】解：由题意可知，上述作法是角平分线画法的步骤，过点作，
平分
故选：C．
【点睛】本题考查角平分线，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
考点3、角平分线的性质与等积法
例3．（2022 广东八年级期末）如图，△ABC的三边AB，BC，CA长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（　　）
A．1：1：1 B．1：2：3 C．2：3：4 D．3：4：5
【答案】C
【分析】过点作于点，作于点，作于点，先根据角平分线的性质可得，再根据三角形的面积公式即可得．
【详解】解：如图，过点作于点，作于点，作于点，
是的三条角平分线，，
∴S△ABO：S△BCO：S△CAO=AB:BC:CA=2:3:4, 故选：C．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题关键．
变式3．（2022·江西南昌市·八年级期中）如图，在中，已知：是它的角平分线，且．（1）求的面积；（2）在解完（1）问后，小智经过反思后发现，小慧发现，请判断小智和小慧的发现是否正确 若正确，请写出证明过程，若错误，请说明理由．
【答案】（1）36，（2）都正确，证明见详解
【分析】（1）过点D作DF⊥AB于F，AD是它的角平分线，利用角平分线性质 有DF=DE，分别求S△ABD和S△ACD，则S△ABC= S△ABD+ S△ACD计算即可
（2）都正确 AD是它的角平分线，，DF⊥AB，则DE=DF，由（1）知S△ABD=，S△ACD=，求两个三角形面积之比，
过A作AG⊥BC于G，AG是△ABD的高，也是△ACD的高，分别求出利用高表示的三角形的面积，，再求求两个三角形面积之比即可．
【详解】（1）过点D作DF⊥AB于F，AD是它的角平分线，，DF=DE=4，
S△ABD=，S△ACD=，S△ABC= S△ABD+ S△ACD=20+16=36，
（2）都正确，AD是它的角平分线，，DF⊥AB，则DE=DF，
S△ABD=，S△ACD=，，
过A作AG⊥BC于G，，，
，由，，
小智和小慧的发现都正确．
【点睛】本题考查三角形的面积与角平分线定理，掌握三角形的面积与角平分线定理，会求三角形的面积，会用面积证明角分线分得的两线段的比是解题关键．
考点4、角平分线的性质与实际应用
例4．（2022·山西吕梁市·八年级期中）如图是体育场的一块三角形休息区，要在休息区内设一个供水台供大家休息饮水，要使供水台到，，的距离相等，供水台应该选在（ ）
A．三条角平分线的交点处 B．三条中线的交点处
C．三条高线所在的直线的交点处 D．三条边的垂直平分线的交点处
【答案】A
【分析】由于供水台到，，的距离相等，所以根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可知是三条角平分线的交点，由此即可确定供水台位置.
【详解】∵供水台到，，的距离相等，
∴供水台应该选在三条角平分线的交点处, 故选A.
【点睛】本题考查的是角平分线的性质的实际应用，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键.
变式4. （2022·山东滨州市·八年级月考）如图，是三条两两相交的公路，现需建一个仓库，要求仓库到三条公路距离相等，则仓库的可能地址有（ ）处．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】到三条相互交叉的公路距离相等的地点应是三条角平分线的交点，把三条公路的中心部位看作三角形，那么这个三角形两个内角平分线的交点以及三个外角两两平分线的交点都满足要求．
【详解】（1）三角形两个内角平分线的交点，共一处;（2）三个外角两两平分线的交点，共三处，
共四处，故选：D．
．
【点睛】此题考查角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，熟记性质是正确解题关键．
考点5、角平分线的判定（实际应用）
例5.（2022 夏津县期末）小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．
如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是（　　）
A．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
D．以上均不正确
【解题思路】过两把直尺的交点P作PE⊥AO，PF⊥BO，根据题意可得PE＝PF，再根据角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上可得OP平分∠AOB；
【解答过程】解：如图所示：过两把直尺的交点P作PE⊥AO，PF⊥BO，
∵两把完全相同的长方形直尺，∴PE＝PF，
∴OP平分∠AOB（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上），故选：A．
变式5．（2022·广东清新·八年级期中）如图，点是内一点，PD⊥BC，PE⊥AC，PF⊥AB，且，则点是（ ）
A．三边垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三条高所在直线的交点 D．三条中线的交点
【答案】B
【分析】连接PA、PB、PC，根据角平分线的性质可知：角平分线上的点到角两边的距离相等，进而即可得到答案．
【详解】解：连接PA、PB、PC．∵PD＝PF，∴PB是∠ABC的角平分线，
同理PA、PC分别是∠BAC，∠ACB的角平分线，故P是△ABC角平分线交点，故选：B．
【点睛】本题考查了角平分线的判定定理，能熟记角平分线判定定理是解此题的关键，注意：在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上；角平分线上的点到角两边的距离相等．
考点6、角平分线的判定的运用
例6．（2022·安徽安庆市·八年级期末）如图O是内的一点，且O到三边AB、BC、CA的距离．若，则（ ）．
A．125° B．135° C．105° D．100°
【答案】A
【分析】根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上判断出点O是三角形三条角平分线的交点，再根据三角形的内角和定理求出∠ABC+∠ACB，然后求出∠OBC+∠OCB，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．
【详解】解：∵O到三边AB、BC、CA的距离OF=OD=OE，∴点O是三角形三条角平分线的交点，
∵∠BAC=70°，∴∠ABC+∠ACB=180°-70°=110°，∴∠OBC+∠OCB= （∠ABC+∠ACB）= ×110°=55°，
在△OBC中，∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-55°=125°．故选：A．
【点睛】本题考查了角平分线判定定理，三角形的内角和定理，要注意整体思想的利用．
变式6.（2022·广东·八年级期末）如图，在△ABC中，∠A＝90°，DE⊥BC，垂足为E．若AD＝DE且∠C＝50°，则∠ABD＝_____°．
【答案】
【分析】利用三角形的内角和定理先求解，再利用角平分线的性质定理的逆定理证明：平分 从而可得答案．
【详解】解：
平分 故答案为：
【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理，角平分线的定义及性质定理的逆定理，掌握角平分线的性质定理的逆定理是解题的关键．
考点7、角平分线的判定（证明）
例7．（2022·广东八年级期中）如图，AD是ABC的中线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且BE＝CF，求证：AD是ABC的平分线．
【答案】见解析
【分析】要证AD平分∠BAC，只需证明△EBD≌△FCD，得到DE＝DF，利用角平分线的性质的逆定理即可解答．
【详解】解：∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD．
在Rt△EBD和Rt△FCD中，∴Rt△EBD≌Rt△FCD（HL）．∴DE＝DF，
∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴AD是∠BAC的平分线．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，以及角平分线的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法以及角平分线的有关性质．
变式7. （2022·广东·东莞市八年级期中）如图所示，AP、CP分别是△ABC外角∠MAC和∠NCA的平分线，它们交于点P．求证：BP为∠MBN的平分线．
【答案】见详解
【分析】过点P作PD⊥MB于点D，PE⊥AC于点E，PF⊥BN于点F，然后易得PE=PD=PF，进而根据角平分线的判定定理可求证．
【详解】证明：过点P作PD⊥MB于点D，PE⊥AC于点E，PF⊥BN于点F，如图所示：
∵AP平分∠MAC，∴PE=PD，同理可证：PE=PF，∴PD=PE=PF，∴BP平分∠MBN．
【点睛】本题考查角平分线的性质与判定定理，熟练掌握角平分线的性质与判定定理是解题的关键．
考点8、角平分线的性质与判定综合
例8．（2022 常熟市期中）如图，△ABC中，点D在BC边上，∠BAD＝100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF＝50°，连接DE．（1）求∠CAD的度数；（2）求证：DE平分∠ADC；（3）若AB＝7，AD＝4，CD＝8，且S△ACD＝15，求△ABE的面积．
【解题思路】（1）根据直角三角形的性质求出∠FAE，根据补角的定义计算，得到答案；
（2）过点E作EG⊥AD于G，EH⊥BC于H，根据角平分线的性质得到EF＝EG，EF＝EH，等量代换得到EG＝EH，根据角平分线的判定定理证明结论；
（3）根据三角形的面积公式求出EG，再根据三角形的面积公式计算，得到答案．
【解答过程】（1）解：∵EF⊥AB，∠AEF＝50°，∴∠FAE＝90°﹣50°＝40°，
∵∠BAD＝100°，∴∠CAD＝180°﹣100°﹣40°＝40°；
（2）证明：过点E作EG⊥AD于G，EH⊥BC于H，
∵∠FAE＝∠DAE＝40°，EF⊥BF，EG⊥AD，∴EF＝EG，
∵BE平分∠ABC，EF⊥BF，EH⊥BC，∴EF＝EH，∴EG＝EH，
∵EG⊥AD，EH⊥BC，∴DE平分∠ADC；
（3）解：∵S△ACD＝15，∴AD×EGCD×EH＝15，即4×EG8×EG＝15，
解得，EG＝EH，∴EF＝EH，∴△ABE的面积AB×EF7．
变式8．（2022 鹿邑县月考）如图，在中，的平分线与的外角的平分线交于点，于点，，交的延长线于点．（1）若点到直线的距离为，求点到直线的距离；（2）求证：点在的平分线上．
【分析】（1）过点作于，根据角平分线的性质解答即可；
（2）根据角平分线的性质得到，进而得到，根据角平分线的判定定理证明结论．
【解析】（1）解：过点作于，点在的平分线，，，
，即点到直线的距离为；
（2）证明：点在的平分线，，，，
，，，，点在的平分线上．
考点9、线段垂直平分线的性质的运用（求长度、角度）
例9．（2022春·江苏淮安·八年级统考期中）如图，在中，的垂直平分线交于点D，交于点E，连接．若的周长是，，则的周长是 ___________ ．
【答案】12
【分析】先据垂直平分线的定义得出，再根据的周长是，即可求解．
【详解】解：∵是的垂直平分线，∴，∵，∴，
∵的周长是，∴，
∴的周长=．故答案为：12．
【点睛】本题考查了垂直平分线的定义，解题的关键是熟练掌握垂直平分线上的点到两端的距离相等．
变式9．（2022春·山西临汾·八年级期末）如图，在中，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先利用三角形的内角和定理求出，再利用线段垂直平分线的性质可得，，从而可得，，然后利用等量代换可得，最后利用角的和差关系进行计算即可解答．
【详解】解：，，
的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，
，，，，
，，故选：C．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
考点10、线段垂直平分线在实际中的应用
例10．（2022春·黑龙江佳木斯·八年级期末）如图，是三条直线表示三条相互交叉的公路，现要建一个中转站，要求它到三条公路交叉点的距离都相等，则可供选择的地址有（ ）．
A．一处 B．两处 C．三处 D．四处
【答案】A
【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得答案．
【详解】解：如图所示，分别作，，的垂直平分线，则三条垂直平分线的交点P即为可供选择的地址，有1处．故选：A．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．
变式10．（2022春·厦门·八年级校考期中）如图，、、表示三个居民小区，为了居民生活的方便，现准备建一个生活超市，使它到这三个居民小区的距离相等，那么生活超市应建在（　　）
A．，两边中线的交点处 B．，两边高线的交点处
C．与这两个角的角平分线的交点处 D．，两边的垂直平分线的交点处
【答案】D
【分析】根据到线段两端点相等的点在线段的中垂线上，进行判断即可．
【详解】生活超市到这三个居民小区的距离相等，
生活超市应建在的三边的垂直平分线的交点处．故选．
【点睛】本题考查线段的垂直平分线．熟练掌握中垂线上的点到线段两端点的距离相等，是解题关键．
考点11、线段垂直平分线的判定
例11．（2022春·广西南宁·八年级校考期中）小军做了一个如图所示的风筝，其中，，则 是的______线．
【答案】垂直平分线
【分析】根据垂直平分线的判定即可得到答案．
【详解】解：∵，，∴ 是的垂直平分线，故答案为：垂直平分线．
【点睛】本题考查垂直平分线的判定，到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上．
11．（2022春·江苏苏州·八年级校考阶段练习）如图，已知，，与交于O，．求证：(1)；(2)点O在线段的垂直平分线上．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【分析】（1）根据可证明，由全等三角形的性质即可得出结论；
（2）由全等三角形的性质可得，由等角对等边可得，进而可得结论．
【详解】（1）证明：∵，，∴，
∴在和中，，
∴，∴；
（2）证明：∵，∴，∴，
∴点O在线段的垂直平分线上．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等角对等边以及线段垂直平分线的判定，解答时证明是关键．
考点12、线段垂直平分线的作法
例12．（2022春·八年级课时练习）已知：如图，直线和直线分别是线段和线段的垂直平分线，为交点．求证：点到点，，的距离相等．
【答案】证明见解析
【分析】根据直线和直线分别是线段和线段的垂直平分线，可知，，，，根据边角边的关系证明三角形全等，由三角形全等的性质即可求证．
【详解】证明：如图所示，连接，，，
∵直线和直线分别是线段和线段的垂直平分线，
∴在，中，是公共边，，，
∴，∴，同理，在，中，
是公共边，，，
∴，∴，
∴，即点到点，，的距离相等．
【点睛】本题主要考查三角形全等的判断和线段的垂直平分线，掌握垂直平分线垂直平分所交线段和全等三角形的判断是解题的关键．
考点13、线段垂直平分线的判定与性质的综合
例13．（2022春·陕西汉中·八年级统考期末）如图，在中，与相交于点F，连结并延长交于点G，的平分线交的延长线于点H，连接．则下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】A
【分析】①根据，，即可得解； ②先证明是的垂直平分线，根据垂直平分线的性质即可得结论； ③根据“边角边”即可证明； ④根据可得，进而可以判断．
【详解】解：①∵，， ∴， ∴，故①正确；
②如图，记，的交点为，
∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴，
∵， ∴， ∴，
∴，∴， ∴是的垂直平分线， ∴；故②正确；
③∵，， ∴， ∴，
∵，， ∴， ∴，
在与中，， ∴，故③正确；
④∵， ∴，∵，∴；故④正确；故选A．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定，以及等腰直角三角形的判定与性质，等角对等边，等边对等角的性质，线段的垂直平分线的判定与性质，综合性较强，难度较大，做题时要分清角的关系与边的关系．
变式13．（2022春·重庆九龙坡·八年级校考阶段练习）如图，是等腰的角平分线，，，过点A作的垂线，过点C作的平行线，两线交于点G．与交于E，与交于F，连接，点N是线段上的动点，点M是线段上的动点，连接，，下列四个结论：①；②；③；④；⑤其中正确的是________（填写番号）
【答案】①④⑤
【分析】由是角平分线及，可以证明，则可得，，，由得是的垂直平分线，则，又可得，可计算出，则可判定②错误； 由，易得，进而可得，即可判定①正确；由可得，即⑤正确；由知，③错误；连接、，过作于点，则，，当与的中点重合时，最小，且最小值为，从而可判定④正确；最后可确定答案．
【详解】解：∵，，∴，
∵是的角平分线∴，
∵，∴，∵，∴，
∴，，，由，则是的垂直平分线，
∴，∴，
∴，故②错误；
∵，∴，∴，故①正确；
∵，∴，∵ ，，
∴，∴，故⑤正确；
∵，，∴，∵∴，∴，
∴，即， 故③错误；
连接、，过作于点，则点是的中点，且；
∵是的垂直平分线，∴，∴，
当与的中点重合时，最小，最小值为，故④正确；故答案为：①④⑤．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，垂线段最短等知识，注意灵活运用这些知识．
模块4：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022·河南八年级月考）元旦联欢会上，同学们玩抢凳子游戏，在与A、B、C三名同学距离相等的位置放一个凳子，谁先抢到凳子谁获胜．如果将A、B、C三名同学所在位置看作△ABC的三个顶点，那么凳子应该放在△ABC的（ ）
A．三边中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边上高的交点 D．三边垂直平分线的交点
【答案】D
【分析】为使游戏公平，要使凳子到三个人的距离相等，于是利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可知，要放在三边垂直平分线的交点上．
【详解】∵三角形的三条垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，
∴凳子应放在△ABC的三条垂直平分线的交点最合适，故选：D．
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质的应用，理解基本性质是解题关键．
2．（2022·浙江丽水·八年级期末）如图是用尺规作一个角的平分线，其依据正确的是（ ）
A．SAS B．SSS C．AAS D．ASA
【答案】B
【分析】利用基本作图和三角形全等的判定方法求解．
【详解】解：如图，
由作法得到，，而为公共边，
所以根据“”可判断，所以，
即平分．故选：B．
【点睛】本题考查了作图基本作图，解题的关键是熟练掌握5种基本作图，也考查了全等三角形的判定．
3．（2022·呼和浩特市八年级月考）三条相互交叉的公路，现要建一个货物转运站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】根据题意画出图形，然后根据角平分线的性质即可得出结论．
【详解】解：如下图所示，P1、P2、P3分别是三条公路围成的三角形外角角平分线的交点，根据角平分线的性质可得，P1到三条公路的距离相等；P2到三条公路的距离相等；P3到三条公路的距离相等；P4是三条公路围成的三角形内角角平分线的交点，根据角平分线的性质可得，P4到三条公路的距离相等．∴可供选择的地址有4个故选D．
【点睛】此题考查的是角平分线性质的应用，掌握角平分线的性质是解题关键．
4．（2022·河北保定市·八年级期末）如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，，若的周长为，，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据线段垂直平分线的性质可得，，即可得到、的周长为，即可求解．
【详解】解：∵DE为BC的垂直平分线，∴，，
∵的周长为，，∴，
∴的周长为，故选：B．
【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线的定义与性质是解题的关键．
5．（2023 岐山县九年级二模）如图，在中，，的平分线交于点，，为上一动点，则的最小值为　　
A．2 B． C． D．
【分析】作于，如图，根据角平分线的性质得到，然后根据垂线段最短求解．
【解析】作于，如图，平分，，，，
为上一动点，的最小值为的长，即的最小值为2．故选：．
6．（2021·内蒙古中考真题）如图，在中，，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先通过作图过程可得AD平分∠BAC,DE⊥AB,然后证明△ACD≌△AED说明C、D正确，再根据直角三角形的性质说明选项A正确，最后发现只有AE=EB时才符合题意．
【详解】解：由题意可得：AD平分∠BAC,DE⊥AB,
在△ACD和△AED中∠AED=∠C，∠EAD=∠CAD,AD=AD
∴△ACD≌△AED（AAS）∴DE=DC,AE=AC,即C、D正确；
在Rt△BED中，∠BDE=90°-∠B 在Rt△BED中，∠BAC=90°-∠B
∴∠BDE=∠BAC，即选项A正确；选项B，只有AE=EB时，才符合题意．故选B．
【点睛】本题主要考查了尺规作图、全等三角形的性质与判定、直角三角形的性质，正确理解尺规作图成为解答本题的关键．
7．（2022·江苏南通市·八年级期末）如图①，已知，用尺规作它的角平分线（如图②）．
尺规作图具体步骤如下，
第1步：以为圆心，以为半径画弧，分别交射线于点；
第2步：分别以为圆心，以为半径画弧，两弧在内部交于点；
第3步：画射线．射线即为所求．下列说法正确的是（ ）
A．有最小限制，无限制 B．的长
C．的长 D．连接，则垂直平分
【答案】B
【分析】直接根据尺规作图作角平分线的方法即可得出结论的长．
【详解】解：以B为圆心画弧时，半径必须大于0，分别以D，E为圆心，以为半径画弧时，必须大于DE的长，否则两弧没有交点．故选：B．
【点睛】本题考查了角平分线的作图方法，熟练掌握作角平分线的步骤及方法是解题的关键．
8．（2022春·北京朝阳·八年级校考期中）如图，是的角平分线，、分别是和的高，则下列说法正确的是（ ）
A．垂直 B．平分 C．垂直平分 D．垂直平分
【答案】D
【分析】根据角平分线的性质定理得到，由垂直平分线的性质定理解答即可
【详解】垂直平分，理由如下：
∵平分，，，∴，，且
∴，∴，且是的角平分线，∴垂直平分故选：D
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握角平分线的性质定理和垂直平分线的性质定理是解题的关键
9．（2022·北京怀柔·八年级期末）小举在探究全等三角形判定方法，已知如图，ABC，他通过尺规作图、裁剪、重合的操作，证实一种判定方法．以下是小举的操作过程：
第一步：尺规作图．
作法：（1）作射线M；
（2）以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交BA，BC于点E，D；
（3）以点为圆心，BD长为半径画弧，交M于点P；
（4）以点P为圆心，DE长为半径画弧，在M的上方交（3）中所画弧于点Q；
（5）过点Q作射线BˊN；
（6）以点为圆心，BC长为半径画弧，交M于点；
（7）以点为圆心，BA长为半径画弧，交N于点；
（8）连接．
第二步：把作出的剪下来，放到上．
第三步：观察发现和重合．
∴．
根据小举的操作过程可知，小举是在探究（ ）
A．基本事实SSS B．基本事实ASA C．基本事实SAS D．定理AAS
【答案】C
【分析】根据作图步骤可得出小举在探究全等三角形判定方法为SAS．
【详解】解：小举的操作过程第一步是作一个角等于已知角，夹这个角的两条边分别对应相等，
故可得出小举是在探究基本事实SAS故选：C
【点睛】此题主要考查基本作图以及全等三角形的判定，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键．
10．（2022·河南焦作市·九年级二模）已知锐角，如图，（1）在射线上取点，，分别以点为圆心，，长为半径作弧，交射线于点，；（2）连接，交于点．根据以上作图过程及所作图形，下列结论错误的是（ ）
A． B．
C．若，则 D．点在的平分线上
【答案】C
【分析】根据题意可知，即可推断结论A；先证明，再证明即可证明结论B；连接OP，可证明可证明结论D；由此可知答案．
【详解】解：由题意可知，
，，故选项A正确，不符合题意；
在和中，，，
在和中，，，
，故选项B正确，不符合题意；连接OP，
，，
在和中，，，，
点在的平分线上，故选项D正确，不符合题意；
若，，则，
而根据题意不能证明，故不能证明，
故选项C错误，符合题意；故选：C．
【点睛】本题考查角平分线的判定，全等三角形的判定与性质，明确以某一半径画弧时，准确找到相等的线段是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022 雁塔区校级期末）如图，在△ABC中，∠BAC＞∠C，∠C＝40°，点D在AC中垂线上，则∠ADB的度数为　 　．
【分析】利用线段垂直平分线的性质得到DA＝DC，再根据等腰三角形的性质得到∠DAC＝∠C＝40°，然后根据三角形外角性质计算∠ADB的度数．
【解析】∵点D在AC中垂线上，∴DA＝DC，∴∠DAC＝∠C＝40°，
∴∠ADB＝∠DAC+∠C＝40°+40°＝80°．故答案为80°．
12．（2022 余姚市期末）在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，点P，Q，M，N是四个格点，则这四个格点中到∠AOB两边距离相等的点是　 　点．
【分析】根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等解答．
【解析】由图形可知，点M在∠AOB的角平分线上，∴点M到∠AOB两边距离相等，故答案为：M．
13．（2022·浙江八年级专题练习）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝11，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点F、G，则△AEG的周长为__．
【答案】11．
【分析】根据线段垂直平分线的性质可得EA＝EB，GA＝GC，所以可求出△AEG的周长．
【详解】解∵DE是线段AB的垂直平分线，∴EA＝EB，同理，GA＝GC，
∴△AEG的周长＝AE+EG+GA＝EB+EG+GC＝BC＝11，故答案为：11．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质．线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．
14．（2022 泰兴市八年级期末）如图，是的角平分线，，垂足为，的面积为60，，，则的长等于　　．
【分析】作于，根据角平分线的性质得到，根据三角形面积公式计算即可．
【解析】作于，是的角平分线，，，，
，
．故答案为：4．
15．（2022·辽宁九年级二模）如图，在中，垂直平分AB，垂足为Q，交BC于点P．按以下步骤作图：以点A为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交边AC，AB于点D，E；分别以点D，E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点F；作射线AF，射线AF与直线PQ相交于点G，则的度数为__________度．
【答案】56
【分析】根据直角三角形两锐角互余得∠BAC＝68°，由角平分线的定义得∠BAG＝34°，由线段垂直平分线可得△AQG是直角三角形，根据直角三角形两锐角互余即可求出∠AGQ．
【详解】解：∵△ABC是直角三角形，∠C＝90°，∴∠B＋∠BAC＝90°，
∵∠B＝22°，∴∠BAC＝90° ∠B＝90° 22°＝68°，
由作法可知，AG是∠BAC的平分线，∴∠BAG＝∠BAC＝34°，
∵PQ是AB的垂直平分线，∴△AGQ是直角三角形，
∴∠AGQ＋∠BAG＝90°，∴∠AGQ＝90° ∠BAG＝90° 34°＝56°，故答案为：56．
【点睛】此题考查了直角三角形两锐角互余，角平分线的定义，线段垂直平分线的性质等知识，熟知角平分线和中垂线的尺规作法是解题的关键．
16．（2022·北京房山区·八年级期末）已知等边三角形．如图，
（1）分别以点A，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点；
（2）作直线交于点D；
（3）分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于H，L两点；
（4）作直线交于点E；（5）直线与直线相交于点O；
（6）连接，，．根据以上作图过程及所作图形，下列结论：
①；②；③；④，正确的是____________．
【答案】①③④
【分析】根据题意可得点O是三边中垂线的交点，从而结合等边三角形的性质以及中垂线的性质进行逐项分析即可．
【详解】由题可得点O为等边三角形ABC三边中垂线的交点，即：MN⊥AB，HL⊥AC，
∴根据等边三角形的性质可得：∠DAO=∠EAO=30°，AD=AE，∴△ADO≌△AEO，∴OD=OE，
又根据中垂线的性质得∠EAO=∠ECO=30°，∴在Rt△COE中，OC=2OE，∴OC=2OD，故①正确；
在Rt△ABE中，显然AB=2AE，而OA＞AE，∴AB≠2OA，故②错误；
根据中垂线性质可得OA=OB，OA=OC，∴OA=OB=OC，故③正确；
在四边形ADOE中，∠ADO=∠AEO=90°，∠DAE=60°，
∴∠DOE=360°-90°×2-60°=120°，故④正确；故答案为：①③④．
【点睛】本题考查等边三角形的性质以及垂直平分线的画法和性质，以及全等三角形判定与性质，理解题意中所作图形的本质是解题关键．
17．（2022·四川成都八年级期中）已知：△ABC是三边都不相等的三角形，点P是三个内角平分线的交点，点O是三边垂直平分线的交点，当P、O同时在不等边△ABC的内部时，那么∠BOC和∠BPC的数量关系是___．
【答案】
【分析】根据三角形角平分线的性质以及三角形内角和定理，即可得到；再根据三角形垂直平分线的性质以及三角形内角和定理，即可得到，进而得出和的数量关系．
【详解】解：平分，平分，，，
，即；
如图，连接．点是这个三角形三边垂直平分线的交点，
，，，，
，，
，
，故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形的垂直平分线与角平分线，熟练掌握三角形的垂直平分线与角平分线的性质是解题的关键．
18．（2022 余杭区八年级月考）如图，中，、的角平分线、交于点，延长、，，，则下列结论中正确的是 　 　．（填序号）
①平分；②；③；④．
【分析】过点作于，根据角平分线的判定定理和性质定理判断①；证明，根据全等三角形的性质得出，判断②；根据三角形的外角性质判断③；根据全等三角形的性质判断④．
【解析】①过点作于，
平分，平分，，，，
，，，点在的角平分线上，故①正确；
②，，，，
在和中，，，，
同理：，，，
，②正确；③平分，平分，
，，，③正确；
④由②可知，
，，，故④正确，故答案为：①②③④．
三、解答题（本大题共7小题，共46分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022·广西八年级月考）如图，为了丰富群众的娱乐活动，某镇准备新建一个文化娱乐站，要求娱乐站到三个村、、的距离相等，请你用尺规作图的方法确定娱乐站的位置（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】见解析
【分析】根据垂直平分线的性质得出，连接AB，作AB的垂直平分线，连接BC，作BC的垂直平分线，两线交于P，则P点即是所求答案．
【详解】解：如图所示，点为娱乐站所在的位置
．
【点睛】本题考查了基本作图，关键是掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．
20．（2022·甘肃·金昌市八年级期末）如图所示，校园里有两条路，在交叉口附近有两块宣传牌，学校准备在这里（内部）安装一盏路灯，要求灯柱离两块宣传牌一样远，并且到两条路的距离也一样远，请你帮助画出灯柱的位置．（不写过程，保留作图痕迹）
【答案】见详解
【分析】分别作线段CD的垂直平分线和∠AOB的角平分线，它们的交点即为点P．
【详解】解：连结CD，作CD的垂直平分线，和∠AOB的平分线，两线交于P，如图，点P为所作．
【点睛】本题考查作图 应用与设计作图，熟知角平分线的性质与线段垂直平分线的性质是解答此题的关键．
21．（2022春·陕西商洛·八年级校考期中）如图，在中，，的垂直平分线，相交于点O，求证：点O在的垂直平分线上．
【答案】见解析
【分析】由垂直平分线的性质知，，通过等量代换可得，即可证明．
【详解】证明：连接OB,OC,
∵，的垂直平分线，相交于点O，
∴点O在，的垂直平分线上，
∴，，∴，
∴点O在的垂直平分线上．
【点睛】本题考查垂直平分线的性质及判定，牢记垂直平分线的性质及判定方法是解题的关键：垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离相等，到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上．
22．（2022·江西南昌市·八年级期中）如图，在中，已知：是它的角平分线，且．（1）求的面积；（2）在解完（1）问后，小智经过反思后发现，小慧发现，请判断小智和小慧的发现是否正确 若正确，请写出证明过程，若错误，请说明理由．
【答案】（1）36，（2）都正确，证明见详解
【分析】（1）过点D作DF⊥AB于F，AD是它的角平分线，利用角平分线性质 有DF=DE，分别求S△ABD和S△ACD，则S△ABC= S△ABD+ S△ACD计算即可
（2）都正确 AD是它的角平分线，，DF⊥AB，则DE=DF，由（1）知S△ABD=，S△ACD=，求两个三角形面积之比，
过A作AG⊥BC于G，AG是△ABD的高，也是△ACD的高，分别求出利用高表示的三角形的面积，，再求求两个三角形面积之比即可．
【详解】（1）过点D作DF⊥AB于F，AD是它的角平分线，，DF=DE=4，
S△ABD=，S△ACD=，S△ABC= S△ABD+ S△ACD=20+16=36，
（2）都正确，
AD是它的角平分线，，DF⊥AB，则DE=DF，
S△ABD=，S△ACD=，，
过A作AG⊥BC于G，，，
，由，，
小智和小慧的发现都正确．
【点睛】本题考查三角形的面积与角平分线定理，掌握三角形的面积与角平分线定理，会求三角形的面积，会用面积证明角分线分得的两线段的比是解题关键．
23．（2022·辽宁抚顺·八年级期末）如图，在中，，点在的延长线上．
（1）尺规作图，作的角平分线；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）补全图形，取的中点，连接并延长交的平分线于点；
（3）判断线段与的位置关系是 ，数量关系是 ．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）位置关系是平行，数量关系是相等
【分析】（1）按照角的平分线的尺规作图步骤进行即可；
（2）先确定BC的中点，后用直尺依次完成操作即可；
（3）根据内错角相等，两直线平行，判定位置关系，利用三角形全等，判定数量关系．
【详解】（1）如图所示：
（2）如图所示：
（3）∵AB=BC，∴∠BAC=∠C，∴∠CBD=∠BAC+∠C=2∠C，
∵BF平分∠CBD，∴∠CBD=∠CBF+∠DBF=2∠CBF，∴∠CBF=∠C，∴BF∥AC；
∵CE=BE，∠AEC=∠FEB，∴△ACE≌△FEB，∴AC=FB，故答案为：平行；相等．
【点睛】本题考查了尺规作图，平行线的判定，三角形外角的性质，三角形全等，熟练掌握平行线的判定，三角形全等的判定和性质是解题的关键．
24．（2021秋 鹿邑县月考）如图，在中，的平分线与的外角的平分线交于点，于点，，交的延长线于点．（1）若点到直线的距离为，求点到直线的距离；（2）求证：点在的平分线上．
【分析】（1）过点作于，根据角平分线的性质解答即可；
（2）根据角平分线的性质得到，进而得到，根据角平分线的判定定理证明结论．
【解析】（1）解：过点作于，点在的平分线，，，
，即点到直线的距离为；
（2）证明：点在的平分线，，，，
，，，，点在的平分线上．
25．（2022春·吉林长春·八年级期末）如图，在中，边的垂直平分线交于点D，边的垂直平分线交于点E，与相交于点O．
(1)如图1，当时，直接写出的度数_________；
(2)如图1，当，且．
①若，则________°；②当_________°时，；
(3)如图2，连接，，．若的周长为，的周长为．则线段________；线段__________．(4)如图3，若，则__________°．
【答案】(1)(2)①60；②135(3)9；6(4)36
【分析】（1）根据垂直平分线的性质得出，，根据等边对等角得出，，根据三角形内角和定理得出；
（2）①根据，得出，根据垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，得出，即可得出答案；
②根据，得出，求出，即可求出；
（3）根据，，的周长为，即可得出，根据垂直平分线的性质，得出，根据的周长为，即可得出答案．
（4）根据，得出，根据垂直平分线的性质和等腰三角形的性质得出，根据，即可得出答案．
【详解】（1）解：∵垂直平分，垂直平分，∴，，
∴，，
∴；故答案为：．
（2）解：①∵，∴，
∵垂直平分，垂直平分，∴，，
∴，，∴，
∴；故答案为：60；
②∵，∴，根据解析①可知，，
∵，∴，
∴，即当时，；故答案为：135．
（3）解：根据解析（2）可知，，，
∵的周长为，∴，∴，即，
∵垂直平分，垂直平分，∴，，∴，
∵的周长为，∴，∴，
解得：．故答案为：9；6．
（4）解：∵，∴，
∵垂直平分，垂直平分，∴，，
∴，，∴，
∴，
∵，∴．故答案为：36．
【点睛】本题主要考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，解题的关键是熟练掌握垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
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专题1.5-2 线段的垂直平分线和角平分线的定理（性质）与判定
模块1：学习目标
1. 会叙述角平分线的性质及判定；
2. 能利用三角形全等，证明角平分线的性质定理，理解和掌握角平分线性质定理和判定定理，能应用这两个性质解决一些简单的实际问题；
3. 会证明和运用“三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等”；
4. 理解线段垂直平分线的概念；掌握线段垂直平分线的性质定理及判定定理；
5. 能运用线段的垂直平分线的性质定理及判定定理解决有关知识的证明或计算；
6. 能够利用尺规作出三角形的角平分线和垂直平分线。
模块2：知识梳理
1、角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.
用符号语言表示角的平分线的性质定理：若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF.
图1 图2
2、角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
用符号语言表示角的平分线的判定：若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB
3、线段的垂直平分线定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线．
4、线段的垂直平分线定理：线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等．
线段的垂直平分线定理是证明两线段相等的常用方法之一．同时也给出了引辅助线的方法，那就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件．
5、线段的垂直平分线判定定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点距离相等，这点是三角形外接圆的圆心（外心）．
6、角的平分线的尺规作图
（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E.
（2）分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C.
（3）画射线OC. 即射线OC即为所求.
7、线段垂直平分线的尺规作图：
作法：（1）分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点；
（2）作直线CD，CD 即为所求直线．
注意：作弧时的半径必须大于AB的长，否则就不能得到交点了．
模块3：核心考点与典例
考点1、角平分线的作法及应用
例1．（2022·江苏南通市·八年级期末）如图①，已知，用尺规作它的角平分线（如图②）．
尺规作图具体步骤如下，
第1步：以为圆心，以为半径画弧，分别交射线于点；
第2步：分别以为圆心，以为半径画弧，两弧在内部交于点；
第3步：画射线．射线即为所求．下列说法正确的是（ ）
A．有最小限制，无限制 B．的长
C．的长 D．连接，则垂直平分
变式1. （2022·辽宁抚顺·八年级期末）如图，在中，，点在的延长线上．
（1）尺规作图，作的角平分线；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）补全图形，取的中点，连接并延长交的平分线于点；
（3）判断线段与的位置关系是 ，数量关系是 ．
考点2、角平分线的性质的运用
例2．（2022 毕节市期末）如图，已知△ABC中，∠C＝90o，AC＝BC，AD平分∠CAB，交BC于点D，DE⊥AB于点E，且AB＝10，则△DEB的周长为（　　）
A．9 B．5 C．10 D．不能确定
式2．（2022·河南安阳市·八年级期末）如图，在中，，以点C为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC，BC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点O，作射线CO交AB于点G．若，，则的面积为（ ）
A． B． C．30 D．15
考点3、角平分线的性质与等积法
例3．（2022 广东八年级期末）如图，△ABC的三边AB，BC，CA长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（　　）
A．1：1：1 B．1：2：3 C．2：3：4 D．3：4：5
变式3．（2022·江西南昌市·八年级期中）如图，在中，已知：是它的角平分线，且．（1）求的面积；（2）在解完（1）问后，小智经过反思后发现，小慧发现，请判断小智和小慧的发现是否正确 若正确，请写出证明过程，若错误，请说明理由．
考点4、角平分线的性质与实际应用
例4．（2022·山西吕梁市·八年级期中）如图是体育场的一块三角形休息区，要在休息区内设一个供水台供大家休息饮水，要使供水台到，，的距离相等，供水台应该选在（ ）
A．三条角平分线的交点处 B．三条中线的交点处
C．三条高线所在的直线的交点处 D．三条边的垂直平分线的交点处
变式4. （2022·山东滨州市·八年级月考）如图，是三条两两相交的公路，现需建一个仓库，要求仓库到三条公路距离相等，则仓库的可能地址有（ ）处．
A． B． C． D．
考点5、角平分线的判定（实际应用）
例5.（2022 夏津县期末）小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是（　　）
A．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
D．以上均不正确
变式5．（2022·广东清新·八年级期中）如图，点是内一点，PD⊥BC，PE⊥AC，PF⊥AB，且，则点是（ ）
A．三边垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三条高所在直线的交点 D．三条中线的交点
考点6、角平分线的判定的运用
例6．（2022·安徽安庆市·八年级期末）如图O是内的一点，且O到三边AB、BC、CA的距离．若，则（ ）．
A．125° B．135° C．105° D．100°
变式6.（2022·广东·八年级期末）如图，在△ABC中，∠A＝90°，DE⊥BC，垂足为E．若AD＝DE且∠C＝50°，则∠ABD＝_____°．
考点7、角平分线的判定（证明）
例7．（2022·广东八年级期中）如图，AD是ABC的中线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且BE＝CF，求证：AD是ABC的平分线．
变式7. （2022·广东·东莞市八年级期中）如图所示，AP、CP分别是△ABC外角∠MAC和∠NCA的平分线，它们交于点P．求证：BP为∠MBN的平分线．
考点8、角平分线的性质与判定综合
例8．（2022 常熟市期中）如图，△ABC中，点D在BC边上，∠BAD＝100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF＝50°，连接DE．（1）求∠CAD的度数；（2）求证：DE平分∠ADC；（3）若AB＝7，AD＝4，CD＝8，且S△ACD＝15，求△ABE的面积．
变式8. （2022· 鹿邑县月考）如图，在中，的平分线与的外角的平分线交于点，于点，，交的延长线于点．（1）若点到直线的距离为，求点到直线的距离；（2）求证：点在的平分线上．
考点9、线段垂直平分线的性质的运用（求长度、角度）
例9．（2022春·江苏淮安·八年级统考期中）如图，在中，的垂直平分线交于点D，交于点E，连接．若的周长是，，则的周长是 ___________ ．
变式9．（2022春·山西临汾·八年级期末）如图，在中，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
考点10、线段垂直平分线在实际中的应用
例10．（2022春·黑龙江佳木斯·八年级期末）如图，是三条直线表示三条相互交叉的公路，现要建一个中转站，要求它到三条公路交叉点的距离都相等，则可供选择的地址有（ ）．
A．一处 B．两处 C．三处 D．四处
变式10．（2022春·厦门·八年级校考期中）如图，、、表示三个居民小区，为了居民生活的方便，现准备建一个生活超市，使它到这三个居民小区的距离相等，那么生活超市应建在（　　）
A．，两边中线的交点处 B．，两边高线的交点处
C．与这两个角的角平分线的交点处 D．，两边的垂直平分线的交点处
考点11、线段垂直平分线的判定
例11．（2022春·广西南宁·八年级校考期中）小军做了一个如图所示的风筝，其中，，则 是的______线．
变式11．（2022春·江苏苏州·八年级校考阶段练习）如图，已知，，与交于O，．求证：(1)；(2)点O在线段的垂直平分线上．
考点12、线段垂直平分线的作法
例12．（2022春·八年级课时练习）已知：如图，直线和直线分别是线段和线段的垂直平分线，为交点．求证：点到点，，的距离相等．
考点13、线段垂直平分线的判定与性质的综合
例13．（2022春·陕西汉中·八年级统考期末）如图，在中，与相交于点F，连结并延长交于点G，的平分线交的延长线于点H，连接．则下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
变式13．（2022春·重庆九龙坡·八年级校考阶段练习）如图，是等腰的角平分线，，，过点A作的垂线，过点C作的平行线，两线交于点G．与交于E，与交于F，连接，点N是线段上的动点，点M是线段上的动点，连接，，下列四个结论：①；②；③；④；⑤其中正确的是________（填写番号）
模块4：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022·河南八年级月考）元旦联欢会上，同学们玩抢凳子游戏，在与A、B、C三名同学距离相等的位置放一个凳子，谁先抢到凳子谁获胜．如果将A、B、C三名同学所在位置看作△ABC的三个顶点，那么凳子应该放在△ABC的（ ）
A．三边中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边上高的交点 D．三边垂直平分线的交点
2．（2022·浙江丽水·八年级期末）如图是用尺规作一个角的平分线，其依据正确的是（ ）
A．SAS B．SSS C．AAS D．ASA
3．（2022·呼和浩特市八年级月考）三条相互交叉的公路，现要建一个货物转运站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2022·河北保定市·八年级期末）如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，，若的周长为，，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023 岐山县九年级二模）如图，在中，，的平分线交于点，，为上一动点，则的最小值为　　
A．2 B． C． D．
6．（2021·内蒙古中考真题）如图，在中，，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·江苏南通市·八年级期末）如图①，已知，用尺规作它的角平分线（如图②）．
尺规作图具体步骤如下，
第1步：以为圆心，以为半径画弧，分别交射线于点；
第2步：分别以为圆心，以为半径画弧，两弧在内部交于点；
第3步：画射线．射线即为所求．下列说法正确的是（ ）
A．有最小限制，无限制 B．的长
C．的长 D．连接，则垂直平分
8．（2022春·北京朝阳·八年级校考期中）如图，是的角平分线，、分别是和的高，则下列说法正确的是（ ）
A．垂直 B．平分 C．垂直平分 D．垂直平分
9．（2022·北京怀柔·八年级期末）小举在探究全等三角形判定方法，已知如图，ABC，他通过尺规作图、裁剪、重合的操作，证实一种判定方法．以下是小举的操作过程：
第一步：尺规作图．
作法：（1）作射线M；（2）以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交BA，BC于点E，D；
（3）以点为圆心，BD长为半径画弧，交M于点P；
（4）以点P为圆心，DE长为半径画弧，在M的上方交（3）中所画弧于点Q；
（5）过点Q作射线BˊN；（6）以点为圆心，BC长为半径画弧，交M于点；
（7）以点为圆心，BA长为半径画弧，交N于点；
（8）连接．
第二步：把作出的剪下来，放到上．
第三步：观察发现和重合．∴．
根据小举的操作过程可知，小举是在探究（ ）
A．基本事实SSS B．基本事实ASA C．基本事实SAS D．定理AAS
10．（2022·河南焦作市·九年级二模）已知锐角，如图，（1）在射线上取点，，分别以点为圆心，，长为半径作弧，交射线于点，；（2）连接，交于点．根据以上作图过程及所作图形，下列结论错误的是（ ）
A． B．
C．若，则 D．点在的平分线上
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022 雁塔区校级期末）如图，在△ABC中，∠BAC＞∠C，∠C＝40°，点D在AC中垂线上，则∠ADB的度数为　 　．
12．（2022 余姚市期末）在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，点P，Q，M，N是四个格点，则这四个格点中到∠AOB两边距离相等的点是　 　点．
13．（2022·浙江八年级专题练习）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝11，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点F、G，则△AEG的周长为__．
14．（2022 泰兴市八年级期末）如图，是的角平分线，，垂足为，的面积为60，，，则的长等于　　．
15．（2022·辽宁九年级二模）如图，在中，垂直平分AB，垂足为Q，交BC于点P．按以下步骤作图：以点A为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交边AC，AB于点D，E；分别以点D，E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点F；作射线AF，射线AF与直线PQ相交于点G，则的度数为__________度．
16．（2022·北京房山区·八年级期末）已知等边三角形．如图，
（1）分别以点A，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点；
（2）作直线交于点D；
（3）分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于H，L两点；
（4）作直线交于点E；（5）直线与直线相交于点O；
（6）连接，，．根据以上作图过程及所作图形，下列结论：
①；②；③；④，正确的是____________．
17．（2022·四川成都八年级期中）已知：△ABC是三边都不相等的三角形，点P是三个内角平分线的交点，点O是三边垂直平分线的交点，当P、O同时在不等边△ABC的内部时，那么∠BOC和∠BPC的数量关系是___．
18．（2022 余杭区八年级月考）如图，中，、的角平分线、交于点，延长、，，，则下列结论中正确的是 　 　．（填序号）
①平分；②；③；④．
三、解答题（本大题共7小题，共46分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022·广西八年级月考）如图，为了丰富群众的娱乐活动，某镇准备新建一个文化娱乐站，要求娱乐站到三个村A、B、C的距离相等，请你用尺规作图的方法确定娱乐站的位置（不写作法，保留作图痕迹）
20．（2022·甘肃·金昌市八年级期末）如图所示，校园里有两条路，在交叉口附近有两块宣传牌，学校准备在这里（内部）安装一盏路灯，要求灯柱离两块宣传牌一样远，并且到两条路的距离也一样远，请你帮助画出灯柱的位置．（不写过程，保留作图痕迹）
21．（2022春·陕西商洛·八年级校考期中）如图，在中，，的垂直平分线，相交于点O，求证：点O在的垂直平分线上．
22．（2022·江西南昌市·八年级期中）如图，在中，已知：是它的角平分线，且．（1）求的面积；（2）在解完（1）问后，小智经过反思后发现，小慧发现，请判断小智和小慧的发现是否正确 若正确，请写出证明过程，若错误，请说明理由．
23．（2022·辽宁抚顺·八年级期末）如图，在中，，点在的延长线上．
（1）尺规作图，作的角平分线；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）补全图形，取的中点，连接并延长交的平分线于点；
（3）判断线段与的位置关系是 ，数量关系是 ．
24．（2021秋 鹿邑县月考）如图，在中，的平分线与的外角的平分线交于点，于点，，交的延长线于点．（1）若点到直线的距离为，求点到直线的距离；（2）求证：点在的平分线上．
25．（2022春·吉林长春·八年级期末）如图，在中，边的垂直平分线交于点D，边的垂直平分线交于点E，与相交于点O．
(1)如图1，当时，直接写出的度数_________；
(2)如图1，当，且．
①若，则________°；②当_________°时，；
(3)如图2，连接，，．若的周长为，的周长为．则线段________；线段__________．(4)如图3，若，则__________°．
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