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单元四 曲线运动（训练）
1.一艘小船在静水中的速度是，一条河宽，河水流速为，下列正确的是( )
A.小船在这条河中运动的最大速度是
B.小船在这条河中运动的最小速度是
C.小船渡过这条河的最短时间是
D.小船渡过这条河的最小位移是
2.甲乙两船在同一河流中同时开始渡河，河水流速为，船在静水中的速率均为v，甲乙两船头均与河岸成θ角，如图所示，已知甲船恰能垂直到达河对岸的A点，乙船到达河对岸的B点，A、B之间的距离为L，则下列判断正确的是( )
A.甲船先到达对岸
B.若仅增大河水流速，则两船渡河时间都不变
C.无论水速怎样改变，只要适当改变θ角，甲船总能到达正对岸的A点
D.若仅增加水速，则两船到达对岸时，两船之间的距离将增加
3.做平抛运动的物体，落地时速度大小为10m/s，速度方向与水平地面夹角60°，则水平分速度大小是( )
A.5m/s B. C.10m/s D.
4.如图，x轴在水平地面内，y轴沿竖直方向。图中画出了从y轴上沿x轴正向抛出的三个小球a、b和c的运动轨迹，其中b和c是从同一点抛出的，不计空气阻力，则( )
A.a的飞行时间比b的长 B.b和c的飞行时间不相同
C.b的初速度比c的大 D.a的初速度比b的小
5.如图所示，大、小齿轮相互咬合，A、B分别是大小齿轮边缘上的点，C点是大齿轮上的一点，已知A、B、C三点到各自齿轮中心的距离，则A、B、C的向心加速度之比为( )
A.1:2:1 B.2:2:1 C.1:2:2 D.4:2:1
6.如图所示，一名跳台滑雪运动员经过一段时间的加速滑行后从O点水平飞出，初速度为20m/s，已知O点是斜坡的起点，斜坡与水平面的夹角，不计空气阻力(g取)。下列说法正确的是( )
A.运动员离斜坡的最大距离为 B.运动员离斜坡的最大距离为
C.运动员空中飞行了 D.A点与O点的距离
7.如图所示，某同学对着墙壁练习打乒乓球（视为质点），某次乒乓球与墙壁上的P点碰撞后水平弹离，恰好垂直落在球拍上的Q点。取重力加速度大小，不计空气阻力.若球拍与水平方向的夹角为45°，乒乓球落到球拍前瞬间的速度大小为6m/s，则P、Q两点的高度差为( )
A. B. C. D.
8.如图所示的坐标系中，x轴上固定一个点电荷Q，y轴上固定一根光滑绝缘细杆（细杆的下端刚好在坐标原点O处），将一个套在杆上重力不计的带电圆环（视为质点）从杆上P处由静止释放，圆环从O处离开细杆后恰好能绕点电荷Q做圆周运动，下列说法正确的是( )
A.圆环沿细杆从P运动到O的过程中，加速度一直增大
B.圆环沿细杆从P运动到O的过程中，速度先增大后减小
C.仅将圆环的释放点提高，圆环离开细杆后仍然能绕点电荷Q做圆周运动
D.仅增大圆环所带的电荷量，圆环离开细杆后仍然能绕点电荷Q做圆周运动
9.如图所示，内壁光滑的竖直圆桶，绕中心轴做匀速圆周运动，一物块用细绳系着，绳的另一端系于圆桶上表面圆心，且物块贴着圆桶内表面随圆桶一起转动，则( )
A.随着转动的角速度增大，绳的张力保持不变
B.桶对物块的弹力不可能为零
C.随着转动的角速度增大，绳的张力一定增大
D.绳的拉力可能为零
10.一个内壁光滑的圆锥形筒的轴线垂直水平面，圆锥筒固定。有质量相等的两个小球A、B，分别沿着筒的内壁在水平面内做匀速圆周运动。如图所示。A的运动半径较大，则( )
A.A球的角速度必大于B球的角速度
B.A球的线速度必大于B球的线速度
C.A球的运动周期必小于B球的运动周期
D.A球对筒壁的压力必小于B球对筒壁的压力
答案以及解析
1.答案：D
解析：AB.当小船在静水中的速度与水流速度同向，小船速度最大，为7m/s，当小船在静水中的速度与水流速度反向，小船速度最小，为1m/s，故A、B错误；
C.当小船在静水中的速度与河岸垂直时，渡河时间最短，故C错误；
D.因为小船在静水中的速度小于水流速，可知合速度的方向不可能垂直于河岸，则小船不能垂直到对岸，当小船在静水中的速度方向垂直于合速度方向时，位移最小，故D正确。
2.答案：B
解析：AB.将小船的运动分解为平行于河岸和垂直于河岸两个方向，因为分运动和合运动具有等时性，可知甲乙两船到达对岸的时间相等。即渡河的时间为
与河水流速无关。若仅增大河水流速，两船的渡河时间都不变，故A错误，B正确；
C.只有甲船速度大于水流速度时，只要适当改变θ角，甲船才能到达河的正对岸A点；当水流速度大于甲船速度时，无论怎样改变θ角，甲船都不能到达正对岸的A点，故C错误；
D.若仅是河水流速增大，则两船到达对岸时间不变，根据速度的分解，船在水平方向的分速度仍不变，则两船之间的距离
两船之间的距离和河水流速无关，若仅增加水速，则两船到达对岸时，两船之间的距离不变，故D错误。
故选B。
3.答案：A
解析：根据速度的分解可知水平分速度大小为
故选A。
4.答案：C
解析：AB、根据得平抛运动的时间，由于的高度相同，大于a的高度，可知a的飞行时间小于的时间，的运动时间相同，故AB错误；C、的运动时间相同，b的水平位移大于c的水平位移，根据知，b的初速度大于c的初速度，故C正确；D、相比较，因为的飞行时间短，但是水平位移大，根据知，a的水平初速度大于b的水平初速度，故D错误；故选：C。
5.答案：D
解析：由传动装置的特点知，A、B两点线速度相同，B、C两点角速度相同，由
可得
ABC错误，D正确。
故选D。
6.答案：A
解析：当运动员速度方向沿斜面时，离斜面最远，此时速度方向与水平方向成角， ，则平拋运动的时间，将运动员的平抛运动分解为平行于斜面方向与垂直于斜面方向，运动员在垂直于斜面方向做初速度大小为，加速度大小为的匀减速运动，则得到运动员离斜坡的最大距离， 选项A正确，选项B错误；水平位移，竖直位移，解得，选项CD错误。
7.答案：D
解析：由于恰好垂直落在球拍上的Q点，根据几何关系得
解得
根据乒乓球在竖直方向上的运动规律，由
解得
故选D。
8.答案：D
解析：A、圆环从P运动到O的过程中，受库仑力，杆的弹力，库仑力沿杆子方向上的分力等于圆环的合力，设PQ连线与杆夹角为θ，则，滑到O点时，所受的合力为零，故加速度可能先增大后减小，故A错误；
B、圆环从P运动到O的过程中，只有库仑引力做正功，根据动能定理知，动能一直增大，则速度一直增大，故B错误；
C、若增大高度，知电势差U增大，库仑引力与所需向心力不等，不能做圆周运动，故C错误；
D、根据动能定理得，，根据牛顿第二定律得，，联立解得，可知圆环仍然可以做圆周运动，故D正确。
故选：D。
9.答案：A
解析：ACD.设绳子和竖直方向的夹角为θ，则在竖直方向上
因为夹角和重力都不变，因此绳子的拉力不变，且不可能为0，A正确，CD错误；
B.当角速度为某一值时，此时绳子的拉力T在水平方向上的分力完全提供向心力，桶对物块的弹力为0，B错误。
故选A。
10.答案：B
解析：AC.由于A和B的质量相同，小球A和B在两处的合力相同，即它们做圆周运动时的向心力是相同的，由公式
由于球A运动的半径大于B球的半径，A球的角速度小于B球的角速度，由周期公式
所以球A运动的周期大于球B的运动周期，AC错误；
BD.由于A和B的质量相同，球A对筒壁的压力等于球B对筒壁的压力，小球A和B在两处的合力相同，即它们做圆周运动时的向心力是相同的，由向心力的计算公式
由于球A运动的半径大于B球的半径，F和m相同时，半径大的线速度大，B正确，D错误。
故选B。(共34张PPT)
单元四 曲线运动
大单元 串思路
明概念 夯基础
一、曲线运动、合运动与分运动
1.曲线运动
（1）速度方向：质点在某一点的速度方向为曲线上这一点的切线方向。
（2）运动的性质：曲线运动一定是变速运动。若所受合外力恒定，为匀变速曲线运动；若所受合外力变化，为变加速曲线运动。
（3）曲线运动的条件
2.合运动与分运动
（1）运动的合成与分解
①运动的合成与分解是指位移、速度、加速度的合成与分解。其合成、分解遵循平行四边形定则。
②对速度v进行分解时，不能随意分解，应按物体的实际运动效果进行分解。
（2）合运动与分运动的关系
二、抛体运动
1.平抛运动
（1）平抛运动的基本概念
①定义：将物体以一定的初速度沿水平方向抛出，物体只在重力作用下（不考虑空气阻力）的运动。
②性质：平抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线。
③研究方法：用运动的合成与分解方法研究平抛运动。
水平方向：匀速直线运动。
竖直方向：自由落体运动。
某人向放在水平地面上正前方的小桶中水平抛球，球水平方向做匀速运动，球竖直方向做自由落体运动。
2.斜抛运动
（1）定义：将物体以初速度 斜向上方或斜向下方抛出，物体只在重力作用下的运动。
（2）运动性质：斜抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线。
（3）研究方法：用运动的合成与分解方法研究斜抛运动。
①水平方向：匀速直线运动。
②竖直方向：匀变速直线运动。
如图所示，物体做斜抛运动，则物体
①水平方向： 。
②竖直方向： 。
3.类平抛运动
类平抛运动与平抛运动的区别
平抛运动的初速度水平，只受重力，加速度 ；类平抛运动的初速度不一定水平，但合外力与初速度方向垂直且恒力，其加速度 恒定。
凡是平抛运动的规律及推论都适用于类平抛运动。
1.匀速圆周运动：
(1)定义：线速度大小不变的圆周运动。
(2)特点：加速度大小不变，方向总是指向圆心的变加速曲线运动。
2.描述匀速圆周运动的物理量：
3.匀速圆周运动的向心力
（1）大小： 。
（2）方向：
始终沿半径方向指向圆心，时刻在改变，即向心力是一个变力。
（3）作用效果：
向心力产生向心加速度，只改变速度的方向，不改变速度的大小。
（4）来源：向心力可以由一个力提供，也可以由几个力的合力提供，还可以由一个力的分力提供。
4.离心现象
（1）定义：做圆周运动的物体， 在所受合外力突然消失或不足以提供圆周运动所需向心力的情况下，就做逐渐远离圆心的运动。
（2）本质：
做圆周运动的物体，由于本身的惯性，总有沿着圆周切线方向飞出去的趋势。
如图所示，物体受力F作用。
1)当 时，物体做匀速圆周运动。
2)当F=0时，物体沿切线方向飞出。
3)当 时，物体逐渐远离圆心，F为实际提供的向心力。
5.圆周运动各物理量间的关系：
6.常见的三类传动方式及特点：
（1）皮带传动：如图甲、乙所示，皮带与两轮之间无相对滑动时，两轮边缘线速度大小相等，即
（2）摩擦传动和齿轮传动：如图丙、丁所示，两轮边缘接触，接触点无打滑现象时，两轮边缘线速度大小相等，即
（3）同轴传动：如图戊、己所示，绕同一转轴转动的物体，角速度相同， ，由 知v与r成正比。
7.常见水平面内圆周运动模型的特点及规律
8.竖直平面内圆周运动的两种模型过最高点时的特点及求解方法
9.圆周运动综合问题求解思路
1、找到各过程之间联系的物理量，用各过程、状态所遵循的规律列式求解。
2、多个运动过程相结合，将题分解为多个简单的过程，分别列方程求解。
3、涉及圆周运动部分，过程一般列动能定理或能量守恒方程，状态方程一般是指向圆心的合力提供向心力。
细探究 提能力
一、运动的合成与分解
一、关联速度问题
物体的实际运动即合运动，对于用绳、杆相连的物体，在运动过程中，两物体的速度通常不同，但两物体沿绳或杆方向的速度分量大小相等（原因是绳和杆的长度不发生变化）。“关联速度”常见情景示例如下。
二、小船渡河问题
1.小船渡河问题分析思路 2.小船渡河的最短时间
3.小船渡河的最小位移
二、平抛运动的特定情境
1.同一竖直面约束的平抛运动
2.统一斜面约束的平抛运动
3.曲面约束的平抛运动的三种常见情景
（1）如图1所示，小球从半圆弧左边沿开始做平抛运动，落到半圆内的不同位置。竖直方向有 ，水平位 ，联立两个方程可求t。
（2）如图2所示，小球恰好从圆柱体Q点沿切线飞过，此时半径OQ垂直于速度方向，圆心角 与速度的偏向角 相等。
（3）如图3所示，小球恰好沿B点的切线方向进入圆轨道，此时半径OB垂直于速度方向，圆心角与速度的偏向角 相等。
剖情景 创素养
一、圆周运动的临界模型
情景二：平抛运动的临界模型单元四 曲线运动（学案）
一、曲线运动、合运动与分运动
1.曲线运动
（1）速度方向：质点在某一点的速度方向为曲线上这一点的切线方向。
（2）运动的性质：曲线运动一定是变速运动。若所受合外力恒定，为匀变速曲线运动；若所受合外力变化，为变加速曲线运动。
（3）曲线运动的条件
2.合运动与分运动
（1）运动的合成与分解
①运动的合成与分解是指位移、速度、加速度的合成与分解。其合成、分解遵循平行四边形定则。
②对速度v进行分解时，不能随意分解，应按物体的实际运动效果进行分解。
（2）合运动与分运动的关系
二、抛体运动
1.平抛运动
（1）平抛运动的基本概念
①定义：将物体以一定的初速度沿水平方向抛出，物体只在重力作用下（不考虑空气阻力）的运动。
②性质：平抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线。
③研究方法：用运动的合成与分解方法研究平抛运动。
水平方向：匀速直线运动。
竖直方向：自由落体运动。
某人向放在水平地面上正前方的小桶中水平抛球，球水平方向做匀速运动，球竖直方向做自由落体运动。
（2）基本规律
1）速度关系：
2）位移关系：
3）轨迹方程：。
2.斜抛运动
（1）定义：将物体以初速度斜向上方或斜向下方抛出，物体只在重力作用下的运动。
（2）运动性质：斜抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线。
（3）研究方法：用运动的合成与分解方法研究斜抛运动。
①水平方向：匀速直线运动。
②竖直方向：匀变速直线运动。
如图所示，物体做斜抛运动，则物体
①水平方向：。
②竖直方向：。
3.类平抛运动
类平抛运动与平抛运动的区别
平抛运动的初速度水平，只受重力，加速度；类平抛运动的初速度不一定水平，但合外力与初速度方向垂直且恒力，其加速度恒定。
凡是平抛运动的规律及推论都适用于类平抛运动。
三、圆周运动
1.匀速圆周运动：
(1)定义：线速度大小不变的圆周运动。
(2)特点：加速度大小不变，方向总是指向圆心的变加速曲线运动。
2.描述匀速圆周运动的物理量：
定义、意义 公式、单位
线速度 描述做圆周运动的物体运动快慢的物理量(v) (1) (2)单位：m/s
角速度 描述物体绕圆心转动快慢的物理量(ω) (1) (2)单位： rad/s
周期 物体沿圆周运动一圈的时间(T) (1) ，单位：s (2) ，单位：Hz
向心加速度 (1)描述速度方向变化快慢的物理量(an) (2)方向指向圆心 (1) (2)单位：m/s2
3.匀速圆周运动的向心力
（1）大小：。
（2）方向：
始终沿半径方向指向圆心，时刻在改变，即向心力是一个变力。
（3）作用效果：
向心力产生向心加速度，只改变速度的方向，不改变速度的大小。
（4）来源：向心力可以由一个力提供，也可以由几个力的合力提供，还可以由一个力的分力提供。
4.离心现象
（1）定义：做圆周运动的物体， 在所受合外力突然消失或不足以提供圆周运动所需向心力的情况下，就做逐渐远离圆心的运动。
（2）本质：
做圆周运动的物体，由于本身的惯性，总有沿着圆周切线方向飞出去的趋势。
如图所示，物体受力F作用。
1)当时，物体做匀速圆周运动。
2)当F=0时，物体沿切线方向飞出。
3)当时，物体逐渐远离圆心，F为实际提供的向心力。
5.圆周运动各物理量间的关系：
6.常见的三类传动方式及特点：
（1）皮带传动：如图甲、乙所示，皮带与两轮之间无相对滑动时，两轮边缘线速度大小相等，即
（2）摩擦传动和齿轮传动：如图丙、丁所示，两轮边缘接触，接触点无打滑现象时，两轮边缘线速度大小相等，即
（3）同轴传动：如图戊、己所示，绕同一转轴转动的物体，角速度相同，，由知v与r成正比。
7.常见水平面内圆周运动模型的特点及规律
水平转盘模型 概述 向心力由静摩擦力提供，即 当物体刚要滑动时，所以临界角速度
规律 物体离中心越远，就越容易被“甩出去”，如生活中汽车在水平面上拐弯
圆锥筒 概述 筒内壁光泽，向心力由重力mg和支持力FN的合力提供，即，解得，
规律 稳定状态下小球所处的位置越高，半径r越大，角速度ω就越小，线速度v就越大。而小球受到的支持力和向心力并不随位置的变化而变化
圆锥摆模型 概述 向心力，且，解得，
规律 稳定状态下，角越大，对应的角速度ω和线速度v就越大，小球受到的拉力和向心力也越大
火车转弯问题 概述 火车转弯轨道，外高内低。火车转弯时，设转弯半径为r，若，车轮与内、外侧轨道无作用力，则
规律 当火车转弯时，则火车车轮时外侧轨道有作用力，当，火车车轮对内侧轨道有作用力
8.竖直平面内圆周运动的两种模型过最高点时的特点及求解方法：
“轻绳”模型 “轻杆”模型
图示 均是没有支撑的小球 均是有支撑的小球
受力分析 物体受到的弹力方向为 向下或等于零 物体受到的弹力方向为向下、 等于零或向上
受力示意图
力学方程
临界特征 即 即
过最高点条件 在最高点的速度 在最高点的速度0
9.圆周运动综合问题求解思路
1、找到各过程之间联系的物理量，用各过程、状态所遵循的规律列式求解。
2、多个运动过程相结合，将题分解为多个简单的过程，分别列方程求解。
3、涉及圆周运动部分，过程一般列动能定理或能量守恒方程，状态方程一般是指向圆心的合力提供向心力。
探究一、运动的合成与分解
一、关联速度问题
物体的实际运动即合运动，对于用绳、杆相连的物体，在运动过程中，两物体的速度通常不同，但两物体沿绳或杆方向的速度分量大小相等（原因是绳和杆的长度不发生变化）。“关联速度”常见情景示例如下。
二、小船渡河问题
1.小船渡河问题分析思路
2.小船渡河的最短时间
3.小船渡河的最小位移
探究二 平抛运动的特定情境
1.同一竖直面约束的平抛运动
2.统一斜面约束的平抛运动
3.曲面约束的平抛运动的三种常见情景
（1）如图1所示，小球从半圆弧左边沿开始做平抛运动，落到半圆内的不同位置。竖直方向有，水平位，联立两个方程可求t。
（2）如图2所示，小球恰好从圆柱体Q点沿切线飞过，此时半径OQ垂直于速度方向，圆心角与速度的偏向角相等。
（3）如图3所示，小球恰好沿B点的切线方向进入圆轨道，此时半径OB垂直于速度方向，圆心角与速度的偏向角相等。
一、圆周运动的临界模型
1.常见的圆周运动的分析
2.两类模型对比
解题秘籍
二、平抛运动的临界模型
1．模型解读
平抛运动与日常生活紧密关联，如乒乓球、足球、排球、飞镖等的运动，射击，飞机投弹等情景。将这些运动情景建立物理模型，找出物体运动过程中受到边界条件的制约，如网球是否触网、压界或越界、飞镖是否能中靶心、飞机投弹是否能命中目标等。
2．求解平抛运动临界问题的一般思路
分析求解平抛运动中的极值问题的方法，主要是利用平抛运动规律和相关知识，列出方程，得出相关函数关系式，利用数学的二次函数求极值或利用均值不等式求极值得出最大值或最小值。

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