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人教B版高一暑假作业6：三角函数
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列叙述正确的是( )
A. 三角形的内角是第一象限角或第二象限角 B. 钝角是第二象限角
C. 第二象限角比第一象限角大 D. 不相等的角终边一定不同
2. 已知点在第三象限，则角的终边位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 弧度的角是( )
A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角
4. 在上，满足的的取值范围是( )
A. B. C. D.
5. 若为第二象限角，且，则的值是( )
A. B. C. D.
6. 设、，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7. 为了得到函数的图像，可以将函数的图像上( )
A. 每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位
B. 每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位
C. 每个点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位
D. 每个点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位
8. 已知直线与函数，其中的相邻两交点间的距离为，则函数的单调递增区间为( )
A. B.
C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 已知不等式的解集为，则( )
A. B.
C. D.
10. 设函数的图象为曲线，则下列结论中正确的是( )
A. 是曲线的一个对称中心
B. 若，且，则的最小值为
C. 将曲线向右平移个单位长度，与曲线重合
D. 将曲线上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，与曲线重合
11. 若，是函数两个相邻的零点，则下列说法正确的是( )
A. B. 是的一条对称轴
C. 在上的最大值是 D. 在上单调
12. 已知，，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知扇形的面积为，该扇形圆心角的弧度数是，则扇形的周长为 ．
14. 点是第 象限角终边上的点．
15. 将函数的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的，再把所得的函数图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则函数在上的取值范围为 ．
16. 设函数若对任意实数都成立，则的值可以为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
求函数的定义域、周期、单调区间和对称中心．
18. 本小题分
扇形的周长为．
若这个扇形的面积为，求圆心角的大小；
求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长．
19. 本小题分
九章算术是我国古代的数学巨著，其中方田章给出了“弧田”，“弦”和“矢”的定义，“弧田”如图阴影部分所示是由圆弧和弦围成，“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．
当圆心角为，矢为的弧田，求：弧田如图阴影部分所示的面积；
已知如图该扇形圆心角是，半径为，若该扇形周长是一定值，当为多少弧度时，该扇形面积最大？
20. 本小题分
已知角的终边经过点，且为第二象限角．
求的值；
若，求的值．
21. 本小题分
已知函数．
Ⅰ求函数的最小正周期；
Ⅱ若对恒成立，求实数的取值范围．
22. 本小题分
函数其中，，的部分图象如图所示，把函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象．
当时，求函数的单调递减区间
对于，是否总存在唯一的实数，使得成立若存在，求出实数的值或取值范围若不存在，说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查任意角的有关概念，属于基础题．
直接利用任意角的有关概念判断即可．
【解答】
解：直角不属于任何一个象限，故A不正确
钝角属于，是第二象限角，故B正确
由于是第二象限角，是第一象限角，故C不正确；
由于与不相等，但终边相同，故D不正确．
故选B．

2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查象限角，三角函数值的符号特征，属于基础题．
由点所在的象限得，即可判断所在的象限．
【解答】
解：因为点在第三象限，
所以，
由，可得角的终边在第二、四象限，
由 ，可得角的终边在第二、三象限或轴非正半轴上，
所以角的终边位于第二象限．
故选B．

3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查角所在象限的求法，基本知识的考查．直接判断弧度的角的范围，得到所在象限即可．
【解答】
解：因为，所以弧度的角是第二象限角．
故选B．

4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查三角函数特殊值，三角函数线，是基础题．
在上，求出的取值，然后根据三角函数线求出范围即可．
【解答】
解：在上，，解得或，
由三角函数线可知，满足的角的范围为图中阴影部分，
可得，
故选D．

5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查同角三角函数的基本关系，诱导公式的应用，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
利用诱导公式化简，可得的值，再结合诱导公式、同角三角函数的基本关系将所求式子化简为，得解．
【解答】
解：由，知，
原式
．
故选：．

6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查充分、必要条件的判断，诱导公式，属于基础题．
根据充分必要条件的定义，结合诱导公式判断即可．
【解答】
解：若，则，
故充分性成立；
当时，也成立，
故必要性不成立，
故“”是“”的充分而不必要条件．
故选A．

7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查二零余弦型函数的图像变换，属于基础题．
【解答】
解：可以将函数每个点的横坐标缩短到原来的倍，可得，再向右平移个单位可得，故选B．

8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查三角函数的单调区间，周期性，属于基础题．
根据最值点之间的关系求出周期和，结合三角函数的单调性进行求解即可．
【解答】
解：与函数，其中的相邻两交点间的距离为，
函数的周期，即，得，
则，
由，，
得，，
即函数的单调递增区间为，，
故选：．

9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了一元二次不等式与三角恒等变换应用问题，是基础题．
根据一元二次不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系和三角恒等变换，求值后判断正误即可．
【解答】
解：不等式的解集为，所以，，
所以选项A错误，选项B正确；
又，所以选项C正确；
因为，所以选项D正确．
故选BCD．

10.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查函数的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于基础题．
由题意利用函数的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，得出结论．
【解答】
解：函数的图象为曲线，
令，求得，为最小值，故的图象关于直线对称，故A错误；
若，且，则的最小值，故B正确；
将曲线向右平移个单位长度，可得的图象，故C错误；
将曲线上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，可得的图象，与曲线重合，故D正确，
故选：．

11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查函数的图象与性质，属于基础题．
先利用余弦函数的图象的周期性求得函数的解析式，再利用余弦函数的性质，得出结论即可．
【解答】
解：解得，，所以函数，，故A错； ，故B对；
，由余弦函数的单调性可得在上单调递减，，故C对；
由知，是函数的一条对称轴，在上有增有减，故D错．
故选BC．

12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查同角三角函数基本关系式的应用，考查三角函数的化简求值，是中档题．
由已知可得，，确定的范围判断；求解与值判断与；把代入，化简判断．
【解答】
解：由，，得，，则，故A正确；
由，两边平方可得，，则．
，
，，
，
则，
当时，联立，解得，，
则，；
当时，联立，解得，，
则，．
故BC错误，D正确．
故选：．

13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查扇形面积公式，关键在于掌握弧长公式，扇形面积公式及其应用，属于一般题．
设扇形的弧长为，半径为，利用弧长公式，扇形的面积公式可求，即可得解周长的值．
【解答】
解：设扇形的弧长为，半径为，
扇形圆心角的弧度数是，
，
，
，
，．
其周长．
故答案为．

14.【答案】四
【解析】
【分析】
本题考查三角函数值的符号，象限角的概念，属于基础题．
【解答】
解：因为是第二象限角，所以，点是第四象限角终边上的点．

15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查三角函数的图象与性质，三角函数的图象变换，以及三角函数的恒等变换问题，属于基础题．
【解答】
解：．
将函数的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的，
得到函数的图象，再将函数的图象向右平移个单位长度，
得到函数的图象．
当时，，所以．
即函数在上的取值范围为．
故答案为．

16.【答案】答案不唯一，符合，即可
【解析】
【分析】
本题考查由余弦型函数的最值求参，属于中档题．
利用已知条件转化为函数的最大值，然后列出关系式求解即可．
【解答】
解：对任意实数都成立，则时，，
则，解得，
因为，得，，取，则．
故答案为：答案不唯一，符合，即可

17.【答案】解：由，，
得，．
函数的定义域为．
，
函数的周期为．
由，，
解得，．
函数的单调递增区间为，．
由，，
得，．
函数的对称中心是，．

【解析】本题考查了正切函数的定义域，正切函数的单调性，正切函数的奇偶性与对称性，属基础题．
利用正切函数的定义域、周期、单调性和对称中心，求出的定义域、周期、单调区间和对称中心．
18.【答案】解：设扇形的半径为，弧长为，圆心角为，
由题意知，
解得：
或
或；
，
，
当且仅当，即时，面积取得最大值，
，
弦长．
【解析】根据周长和面积列出关于和的方程组，解方程组即可．
根据周长和以及基本不等式求出最大值，进而得出半径，即可求出弦长．
此题考查了扇形面积公式以及基本不等式的运用，属于中档题．
19.【答案】解：由题意，如下图示，令扇形的半径为，，
，即，得，
弧田面积，而，
．
由题意知：的长为，即该扇形周长，而扇形面积，
，当且仅当时等号成立．
当时，该扇形面积最大．

【解析】本题考查弧长及扇形面积，利用基本不等式求最值，属于一般题．
令扇形的半径为，由定义知求，进而由弧田面积，即可求其面积；
由题意得，扇形面积，利用基本不等式求其最大值，确定最大值时的值即可．
20.【答案】解：由三角函数定义可知，解得，
为第二象限角，．
由知，

【解析】本题主要考查了任意角的三角函数的定义，三角函数恒等变换的应用在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
利用任意角的三角函数的定义，求解即可．
由可求，利用三角函数恒等变换的应用化简所求即可计算得解．
21.【答案】解：Ⅰ函数
，
所以函数的最小正周期为．
Ⅱ对恒成立，所以，
由于，所以，
当时，即时，，
即时，故实数的取值范围为．
【解析】本题考查了由正弦型函数的值域或最值求参、三角恒等变换的综合应用、正弦型函数的周期性，属于较难题．
Ⅰ利用三角恒等变换将函数的解析式化成正弦型函数，进而求出函数的最小正周期；
Ⅱ将原问题转化为，根据的取值范围，并结合正弦型函数的最值，即可求得实数的取值范围．
22.【答案】解：由函数图象可知，，
，，，
，当时，，
，由得，，
由，得，
由，解得，
函数的单调递减区间为．
由，得，
由，可得，，
，
又，得，所以，
由的唯一性可得：，即，
由，，得，解得，
综上所述，当时，使成立．
【解析】本题考查三角函数的图象和性质，三角函数的图形变换，三角函数中的存在与恒成立问题，属于较难题．
根据题意求出，再由余弦函数的单调性可得；
由题意，，求出，再由，由，，列不等式组可得．
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