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2023年山东省临沂市罗庄区中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. ( )
A. B. C. D.
2. 下列计算正确的是( )
A. B.
C. D.
3. 如图，将折叠，使边落在边上，展开后得到折痕，则是的( )
A. 中线
B. 中位线
C. 高线
D. 角平分线
4. 如图，将三角形纸片剪掉一角得四边形，设与四边形的外角和的度数分别为，，则正确的是( )
A. B.
C. D. 无法比较与的大小
5. 依据所标数据，下列一定为平行四边形的是( )
A. B.
C. D.
6. 若和互为倒数，则的值是( )
A. B. C. D.
7. 如图，一只松鼠先经过第一道门或，再经过第二道门或出去，则松鼠走出笼子的路线是“先经过门，再经过门”的概率是( )
A.
B.
C.
D.
8. 要得知作业纸上两相交直线，所夹锐角的大小，发现其交点不在作业纸内，无法直接测量．两同学提供了如下间接测量方案如图和图：
图 图
对于方案Ⅰ、Ⅱ，说法正确的是( )
A. Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B. Ⅰ不可行、Ⅱ可行
C. Ⅰ、Ⅱ都可行 D. Ⅰ、Ⅱ都不可行
9. 如图，有一个半径为的圆形时钟，其中每个刻度间的弧长均相等，过点和点的位置作一条线段，则钟面中阴影部分的面积为( )
A.
B.
C.
D.
10. 如图，在四边形中，点，，，分别是，，，边上的中点，则下列结论一定正确的是( )
A. 四边形是矩形
B. 四边形的内角和小于四边形的内角和
C. 四边形的周长等于四边形的对角线长度之和
D. 四边形的面积等于四边形的面积的
11. 一次函数的图象与反比例函数的图象交于点、，其中点、的坐标为、，则的面积是( )
A. B. C. D.
12. 如图，在中，，，点为的中点，点在上，且，将绕点在平面内旋转，点的对应点为点，连接，当时，的长为( )
A.
B.
C. 或
D. 或
二、填空题（本大题共4小题，共16.0分）
13. 因式分解： ______ ．
14. 沐沐用七巧板拼了一个对角线长为的正方形，再用这副七巧板拼成一个长方形如图所示，则长方形的对角线长为______．
15. 分式方程的解为______．
16. 已知，，抛物线顶点在线段上运动，形状保持不变，与轴交于，两点在的右侧，下列结论：
；
当时，一定有随的增大而增大；
若点横坐标的最小值为，则点横坐标的最大值为；
当四边形为平行四边形时，．
其中正确的是______ 填序号
三、解答题（本大题共7小题，共56.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
计算：
计算：；
解方程：．
18. 本小题分
为振兴乡村经济，在农产品网络销售中实行目标管理，根据目标完成的情况对销售员给予适当的奖励，某村委会统计了名销售员在某月的销售额单位：万元，数据如下：
补全月销售额数据的条形统计图．
月销售额在哪个值的人数最多众数？中间的月销售额中位数是多少？平均月销售额平均数是多少？
根据中的结果，确定一个较高的销售目标给予奖励，你认为月销额定为多少合适？
19. 本小题分
临沂河口隧道是链接中心城区和北城新区的重要通道工程西起滨河路北路南侧，以河底隧道方式穿越祊河，在电视塔附近与滨河北路连接是我省境内建设的首条内河河底隧道小明对隧道进行实地测量如图所示，他在地面上点处测得隧道一端点在他的北偏东方向上，他沿西北方向前进米后到达点，此时测得点在他的东北方向上，端点在他的北偏西方向上点、、、在同一平面内
求点与点的距离；
求隧道的长度结果保留根号
20. 本小题分
电子体重秤读数直观又便于携带为人们带来了方便某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤：制作一个装有踏板踏板质量忽略不计的可变电阻，与踏板上人的质量之间的函数关系式为其中，为常数，，其图象如图所示；图的电路中，电源电压恒为伏，定值电阻的阻值为欧，接通开关，人站上板，电压表显示的读数为，该读数可以换算为人的质量，温馨提示：
导体两端的电压，导体的电阻，通过导体的电流，满足关系式；
串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压．
求与之间的函数关系；
用含的代数式表示；
若电压表量程为伏为保护电压表，请确定该电子体重秤可称质量的取值范围．
21. 本小题分
在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”，如图．
小明受此启发设计了一个“双连杆机构”，设计图如图，两个固定长度的“连杆”，的连接点在上，当点在上转动时，带动点，分别在射线，上滑动，当与相切时，点恰好落在上，如图．
请仅就图的情形解答下列问题．
求证：；
若的半径为，，求的长．
22. 本小题分
【问题情境】：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图，在正方形中，是的中点，，与正方形的外角的平分线交于点试猜想与的数量关系，并加以证明．
【思考尝试】：有同学发现，取的中点，连接可以解决这个问题请在图中补全图形，解答老师提出的问题．
【实践探究】：有同学受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图，在正方形中，为边上一动点点与不重合，当是等腰直角三角形，，连接，可以求出的大小，请你思考并解答这个问题．
23. 本小题分
某农作物的生长率与温度有如下关系：如图，当时可近似用函数刻画；当时可近似用函数刻画．
求的值．
按照经验，该作物提前上市的天数天与生长率满足函数关系：
生长率
提前上市的天数天
请运用已学的知识，求关于的函数表达式；
请用含的代数式表示．
天气寒冷，大棚加温可改变农作物生长速度．在的条件下，原计划大棚恒温时，每天的成本为元，该作物天后上市时，根据市场调查：每提前一天上市售出一次售完，销售额可增加元．因此给大棚继续加温，加温后每天成本元与大棚温度之间的关系如图问提前上市多少天时增加的利润最大？并求这个最大利润农作物上市售出后大棚暂停使用．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
故选：．
利用二次根式的性质化简，即可求解．
本题考查了利用二次根式的性质化简，熟练掌握和运用二次根式的性质是解决本题的关键．
2.【答案】
【解析】解：选项，原式，故该选项不符合题意；
选项，原式，故该选项符合题意；
选项，原式，故该选项不符合题意；
选项，原式，故该选项不符合题意；
故选：．
根据同底数幂的乘法判断选项；根据去括号法则判断选项；根据单项式乘多项式判断选项；根据完全平方公式判断选项．
本题考查了整式的混合运算，掌握是解题的关键．
3.【答案】
【解析】解：由已知可得，
，
则为的角平分线，
故选：．
根据翻折的性质和图形，可以判断直线与的关系．
本题考查翻折变换、角平分线，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
4.【答案】
【解析】解：任意多边形的外角和为，
．
．
故选：．
利用多边形的外角和都等于，即可得出结论．
本题主要考查了多边形的外角，正确利用任意多边形的外角和为解答是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：、，故A选项不符合条件；
B、只有一组对边平行不能确定是平行四边形，故B选项不符合题意；
C、不能判断出任何一组对边是平行的，故C选项不符合题意；
D、有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故D选项符合题意；
故选：．
根据平行四边形的判定定理做出判断即可．
本题主要考查平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：和互为倒数，
，
．
故选：．
根据和互为倒数可得，再将进行化简，将代入即可求值．
本题主要考查分式化简求值，解题关键是熟练掌握分式化简．
7.【答案】
【解析】解：画树状图如下：
共有种等可能的结果，其中松鼠走出笼子的路线是“先经过门，再经过门”的只有种结果，
所以松鼠走出笼子的路线是“先经过门，再经过门”的概率为，
故选：．
画树状图列出所有等可能结果，从中找到松鼠走出笼子的路线是“先经过门，再经过门”的结果数，再根据概率公式求解即可．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
8.【答案】
【解析】解：方案Ⅰ，，
，
根据两直线平行，内错角相等可知，直线，所夹锐角与相等，
故方案Ⅰ可行，
方案Ⅱ，根据三角形内角和定理可知，直线，所夹锐角与相等，
故方案Ⅱ可行，
故选：．
根据平行线的性质、三角形内角和定理解答即可．
本题考查的是平行线的性质、三角形内角和定理，正确理解两直线夹角的概念是解题的关键．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查扇形面积，熟练应用面积公式，其中作出辅助线是解题关键．
连接、，过点作，根据等边三角形的判定得出为等边三角形，再根据扇形面积公式求出，再根据三角形面积公式求出，进而求出阴影部分的面积．
【解答】
解：连接、，过点作，
由题意可知：，
，
为等边三角形，
，
，
，，
，
，
阴影部分的面积为：，
故选：．
10.【答案】
【解析】解：如图，连接，，
在四边形中，
点，，，分别是，，，边上的中点，
，，，，
，，
四边形是平行四边形，故A选项错误；
B.四边形的内角和等于，四边形的内角和等于，故B选项错误；
C.点，，，分别是，，，边上的中点，
，，
，
同理：，
四边形的周长等于四边形的对角线长度之和，故C选项正确；
D.四边形的面积不等于四边形的面积的，故D选项错误．
故选：．
根据三角形中位线定理可得四边形是平行四边形，进而逐一判断即可．
本题考查了中点四边形，矩形的判定，解决本题的关键是掌握三角形中位线定理．
11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查的是一次函数与反比例函数的交点、反比例函数图象上点的坐标特征，求出点、的坐标是解题的关键．
根据反比例函数图象上点的坐标特征求出，进而求出点、的坐标，根据三角形的面积公式计算即可．
【解答】
解：点在反比例函数上，
，解得：，
点的坐标为：，点的坐标为，
，
故选：．
12.【答案】
【解析】解：在中，，，
是等腰直角三角形，，
，
，
又点为的中点，
垂直平分，，
必过顶点，
，
如图：
将绕点在平面内旋转，点的对应点为点，
，
当点在线段上时，，
在中，，
当点在线段的延长线上时，，
在中，，
综上，的长为或，
故选：．
首先可判定是等腰直角三角形，利用勾股定理可求得，可证得垂直平分，，必过顶点，可求得，再由将绕点在平面内旋转，点的对应点为点，可得，再分两种情况，利用勾股定理即可求解．
本题考查了等腰三角形的判定与性质，勾股定理，旋转的性质，直角三角形的性质，采用分类讨论的思想是解决本题的关键．
13.【答案】
【解析】解：
，
故答案为：．
先提取公因式，再用公式法因式分解即可．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：根据图形可知：长方形的长是正方形的对角线为，
长方形的宽是正方形对角线的一半为，
则长方形的对角线长．
故答案为：．
根据图形可得长方形的长是正方形的对角线为，长方形的宽是正方形对角线的一半为，然后利用勾股定理即可解决问题．
本题考查了正方形的性质，七巧板，矩形的性质，解决本题的关键是掌握正方形的性质．
15.【答案】
【解析】解：去分母得：，
解得：，
经检验是分式方程的解．
故答案为：．
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
16.【答案】
【解析】解：点，的坐标分别为和，
线段与轴的交点坐标为，
又抛物线的顶点在线段上运动，抛物线与轴的交点坐标为，
，顶点在轴上时取“”，故正确；
抛物线的顶点在线段上运动，开口向上，
当时，一定有随的增大而增大，故错误；
若点的横坐标最小值为，则此时对称轴为直线，点的横坐标为，则，
抛物线形状不变，当对称轴为直线时，点的横坐标为，
点的横坐标最大值为，故正确；
令，则，
，
根据顶点坐标公式，，
，即，
，
四边形为平行四边形，
，
，
解得，故正确；
综上所述，正确的结论有．
故答案为：．
根据顶点在线段上抛物线与轴的交点坐标为可以判断出的取值范围，得到正确；当顶点运动到轴右侧时，根据二次函数的增减性判断出错误；当顶点在点时，能取到最小值，当顶点在点时，能取得最大值，然后根据二次函数的对称性求出此时点的横坐标，即可判断正确；令，利用根与系数的关系与顶点的纵坐标求出的长度的表达式，然后根据平行四边形的对边平行且相等可得，然后列出方程求出的值，判断出正确．
本题考查了二次函数的综合题型，主要利用了二次函数的顶点坐标，二次函数的对称性，根与系数的关系，平行四边形的对边平行且相等的性质，要注意顶点在轴上的情况．
17.【答案】解：原式
；
，
由得：，
把代入得：，即，
方程组的解为：．
【解析】先计算特殊角的三角函数值、化简绝对值、简化二次根式、零指数幂和负整数指数幂，再进行加减计算即可；
利用加减消元法解方程组即可．
本题考查特殊角的三角函数值的混合计算、零指数幂、负整数指数幂、化简绝对值、二次根式的混合运算、解二元一次方程组，熟记相关运算法则和解二元一次方程组的方法是解题的关键．
18.【答案】解：销售万元和万元的人数分别为和，补全统计图，如图，
；
根据条形统计图可得，
众数为：万元，中位数为：万元，
平均数为：万元
应确定销售目标为万元，要让一半以上的销售人员拿到奖励．
【解析】本题主要考查了条形统计图，中位数，众数，加权平均数，熟练掌握条形统计图，中位数，众数，加权平均数的计算方法进行求解是解决本题的关键．
根据销售成绩统计，即可得出销售万元和万元的人数，即可补充完整图形；
根据众数，中位数，加权平均数的计算方法进行求解即可得出答案；
根据中的结论进行分析即可得出答案．
19.【答案】解：由题意可知：，，
在中，，
米，
答：点与点的距离为米．
如图，过点作于点，
是东西走向，
，，
在中，，，
，
在中，，
，
米，
答：隧道长为米．
【解析】求得，根据三角函数即可解答；
如图，过点作于点，根据三角函数求得，，继而可得的长度，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，熟知方向角的概念和特殊三角函数值是解题的关键．
20.【答案】解：把，代入，
得，
解得，
．
，
，
；
电压表量程为伏，
当时，．
答：该电子体重秤可称质量的取值范围为也对．
【解析】根据待定系数法，即可求解；
，进而即可求解；
把时，代入，进而即可得到答案．
本题主要考查一次函数与反比例函数的实际应用，熟练掌握待定系数法，是解题的关键．
21.【答案】证明：如图，
连接，延长与圆交于点，则，
与相切于点，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
解：如图所示，
连接，延长与圆交于点，连接，过点作于点，
则有：，
由可知，
∽，
，
即，
解得，，
，
在中，，
为圆的直径，
，
，
故B长为．
【解析】连接切点与圆心，根据角之间的互余关系及等量代换代换求解即可．
作出相关辅助线，构造相似三角形与，利用相似三角形的性质求得，，最后根据直角三角形的勾股定理求解即可．
本题考查切线的性质及圆周角定理，解此类型题目的关键是作出适当的辅助线，比如连接切点与圆心、将直径的两端与圆上某一点连接、过圆上某点作垂直于半径的线段等，根据辅助线构造直角三角形及相似三角形，再根据相关性质进行求解．
22.【答案】解：，
理由如下：如图所示，取的中点，连接，
，分别为，的中点，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
．
如图所示：在上取，连接，
由同理可得，
，，
≌，
，
，，
，
，
，
，
．
【解析】，理由如下：如图所示，取的中点，连接，根据已知条件可证明≌，即可得出结论．
如图所示，在上取，连接，根据条件可证≌，得出，由，可得出，即可得出结论．
本题主要考查了三角形全等，等腰直角三角形，熟练掌握三角形全等的判定定理是解此题的关键．
23.【答案】解：把代入得，，
解得：或，
，
；
由表格可知，是的一次函数，
；
当时，，
；
当时，，
；
Ⅰ当时，
由，，得，
增加利润为，
当时，增加的利润的最大值为元；
Ⅱ当时，，
增加的利润为；
当时，增加的利润最大值为元，
综上所述，当时，提前上市天，增加的利润最大值为元．
【解析】把代入，解方程即可得到结论；
由表格可知，是的一次函数，于是得到；
当时，，求得；当时，根据题意即可得到；
Ⅰ当时，Ⅱ当时，，根据二次函数的性质即可得到结论．
本题考查二次函数的实际应用，借助二次函数解决实际问题，此题涉及数据较多，认真审题很关键．二次函数的最值问题要利用性质来解，注意自变量的取值范围．
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