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2022-2023学年常州市七年级下学期数学期末押题卷
数学试题
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的）
1．C
【分析】根据积的乘方进行计算即可求解．
【详解】解： ，
故选：C．
【点睛】本题考查了积的乘方，熟练掌握积的乘方的运算法则是解题的关键．
2．B
【分析】根据题意将代入方程中转化成关于的方程，解其方程即可求出答案.
【详解】解：把代入方程中，
，
.
故选：B.
【点睛】本题考查了二元一次方程的解，二元一次方程的解就是能使二元一次方程左右两边相等的未知数的值.解题的关键就是列出关于的方程.
3．D
【分析】根据不等式的性质即可求解．
【详解】解：∵，x，
不等号的方向发生改变，
∴
故选：D．
【点睛】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．不等式的性质：不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
4．C
【分析】先根据多边形内角和计算公式求出这个多边形是八边形，再根据多边形对角线计算公式求解即可．
【详解】解：设这个多边形为n边形，
由题意得，，
∴，
∴这个多边形为八边形，
∴这个多边形可连对角线的条数是，
故选C．
【点睛】本题主要考查了多边形内角和定理，多边形对角线计算公式，熟知n边形的对角线条数是是解题的关键．
5．D
【分析】利用垂直的定义、垂线段的性质、平行线的判定等知识分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确，是真命题，不符合题意；
B、垂线段最短，正确，是真命题，不符合题意；
C、经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，正确，是真命题，不符合题意；
D、内错角相等，两直线平行，故原命题错误，是假命题，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及性质，难度较小．
6．A
【分析】用代数式表示井深即可得方程．此题中的等量关系有：①将绳三折测之，绳多五尺；②将绳四折测之，绳多一尺．
【详解】解：设绳长x尺，井深y尺，
根据题意，可得：．
故选：A．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．
7．A
【分析】设正方形纸片的边长为a，长方形纸片的长为b，宽为c；根据题意得出，则四边形是正方形，再将阴影部分面积表示出来，最后分别将各个选项面积表示出来，即可判断．
【详解】解：设正方形纸片的边长为a，长方形纸片的长为b，宽为c；
由图可知：，，
∵矩形纸片和正方形纸片的周长相等，
∴，整理得：，
∴，
∴，则四边形是正方形，
，
A、正方形纸片的面积，根据题意可以求出，故A符合题意；
B、矩形纸片的面积，根据题意不能求出，故B不符合题意；
C、四边形的面积，根据题意不能求出，故C不符合题意；
D、四边形的面积，根据题意不能求出，故D不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要主要考查了整与图形的结合，解题的关键是熟练掌握各个图形的面积公式，能正确用字母表示出来．
8．B
【分析】分析所给的命题是否正确，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
【详解】∵不含90°内角的菱形四边都相等，但其不是正四边形，
∴①不正确；
∵三角形相邻两边组成的角叫三角形的内角，
∴②正确；
∵三角形的角平分线是线段，
∴③不正确；
∵三角形的高所在的直线交于一点，这一点可以是三角形的直角顶点，
∴④不正确．
∵任何一个三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线，
∴⑤正确；
∵平面内，在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上，
∴⑥不正确；
综上，可得正确的命题有2个：②和⑤．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
9．D
【分析】根据完全平方公式逐一判断即可．
【详解】解：A、不符合完全平方公式的特点， 故不符合题意；
B、不符合完全平方公式的特点， 故不符合题意；
C、，用平方差公式分解，故不符合题意；
D、，用完全平方公式分解，故符合题意；
故答案为：D．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解答此题的关键
10．C
【分析】先根据在数轴上表示不等式解集的方法求出不等式的解集，再列出关于a的方程，求出a的取值范围即可．
【详解】解：解不等式，得
由数轴上表示不等式解集的方法可知，此不等式的解集为，
所以，
解得：
故选C．
【点睛】本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，熟知实心圆点与空心圆点的区别是解答此题的关键．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
11．
【分析】提取公因式x，进而分解因式即可．
【详解】解：原式，
故答案为：．
【点睛】本题考查分解因式，掌握提公因式法、公式法是解题关键．
12．/
【分析】利用单项式乘多项式的法则，进行计算即可．
【详解】解：原式；
故答案为：．
【点睛】本题考查单项式乘多项式．掌握单项式乘多项式的法则，是解题的关键．
13．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：．
故答案为：．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
14．如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等
【分析】把原命题的题设和结论交换即可得到其逆命题．
【详解】解：因为“如果两个实数相等，那么它们的平方相等”它的逆命题是“如果两个实数平方相等，那么这两个实数相等”．
故答案为：如果两个实数平方相等，那么这两个实数相等；
【点睛】要根据逆命题的定义，和平方的有关知识来填空，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题．
15．/57度
【分析】如图设置，根据可求出，再根据两直线平行，同位角相等即可作答．
【详解】解：如图，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同位角相等．
16．
【分析】求出不等式的解集，则最小的正整数解是1，它的正整数解是几个连续的正整数，根据所有正整数解的和是10，即可确定最大的正整数解为4，即可得到一个关于m的不等式组，求出不等式的解集即可．
【详解】解：，
∴，
∵的所有正整数解之和为10，
∴，即最小正整数解为1，最大正整数解为4，
∴，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查对解一元一次不等式，不等式的性质，一元一次不等式的整数解等知识点的理解和掌握，能根据不等式的解集和已知得出是解此题的关键．
17．
【分析】根据不等式组无解，利用“大大小小找不到”可得，解之可得答案．
【详解】解：
解不等式①得，；
解除不等式②得，；
∵不等式组无解，
∴
解得，，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
18．
【分析】根据幂的乘方以及同底数幂的除法法则计算即可．
【详解】解：∵，，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的除法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
19．/
【分析】根据等式的性质，移项即可．
【详解】解：，
移项得，，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程，解题关键是熟练运用等式的性质把方程变形．
20．
【分析】先过作，根据，得出，再根据平行线的性质，得出，进而得到 ；先根据和的平分线交点为，运用（1）中的结论，得出 ；同理可得；根据和的平分线，交点为，得出；据此得到规律，最后求得的度数．
【详解】解：如图①，过作，
，
，
，，
，
；
如图②，和的平分线交点为，
．
和的平分线交点为，
；
如图②，和的平分线，交点为，
；
以此类推，，
当时，等于．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义以及平行线性质：两直线平行，内错角相等的运用．解决问题的关键是作平行线构造内错角，解题时注意：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．
三、解答题（本大题共10小题，共60分，请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
21．2
【分析】根据负整数指数幂，零指数幂运算法则和绝对值的意义进行计算即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题主要考查了混合运算，解题的关键是熟练掌握负整数指数幂，零指数幂运算法则和绝对值的意义，准确计算．
22．
【分析】根据完全平方公式与平方差公式进行计算即可求解．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查了完全平方公式与平方差公式，熟练掌握完全平方公式与平方差公式是解题的关键．
23．(1)
(2)
【分析】（1）先提取公因式，再根据平方差公式分解因式即可；
（2）先提取公因式，再根据完全平方公式分解因式即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【点睛】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键．
24．(1)
(2)
【分析】（1）利用加减消元法解二元一次方程组即可；
（2）先变形原方程组，再利用加减消元法解方程即可．
【详解】（1）解：，
①+②得，解得，
将代入②中，得，
∴原方程组的解为；
（2）解：原方程组变形为，
①+②得，解得，
将代入②中，得，
∴原方程组的解为．
【点睛】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法是解答的关键．
25．
【分析】根据一元一次不等式组的解法，结合求不等式组解集法则“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了”即可得到答案．
【详解】解：，
由①得；
由②得；
不等式组的解集为：．
【点睛】本题考查解一元一次不等式组，熟记求不等式组解集法则“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了”是解决问题的关键．
26．(1)19
(2)
【分析】（1）将原式展开后整体代入已知条件即可求解；
（2）提取公因式后再利用完全平方公式因式分解后整体代入即可求解．
【详解】（1）解：原式
；
（2）原式
．
【点睛】本题考查了因式分解的应用及整式的混合运算，解题的关键是对原式进行正确的变形，也体现了整体思想．
27．见解析
【分析】先由垂直于同一条直线的两条直线平行，得出，再用代换，最后用内错角相等得出结论．
【详解】解：如图，

∵于点D，于点F，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】此题是平行线的判定，主要考查了平行线的性质和判定，用判断垂直于同一条直线的两直线平行，解本题的关键是判断出．
28．(1)元，元
(2)台
【分析】（1）设A型小家电每台售价元，型小家电每台售价为元，根据销售台型和台型共销售元；销售台型和台型小家电共销售元即可列出关于、的方程组，解方程组即得结果；
（2）设型小家电销售了台，根据销售，两种小家电的总金额超过了元即可列出关于的不等式，解不等式即可求出的范围，进一步即可求出的最小值．
【详解】（1）解：设型小家电每台售价元，型小家电每台售价为元．
根据题意，得，
解得；
答：型小家电每台售价元，型小家电每台售价元．
（2）设型小家电销售了台，由题意得：
，
解得：，
所以最少是．
答：该商场最少销售了型小家电台．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用和一元一次不等式的应用，理解题意、找准相等与不等关系是解题的关键．
29．(1)
(2)，
【分析】（1）根据三边相加等于周长列出方程即可；
（2）将看作已知数求出，确定出整数解即可．
【详解】（1）解：根据题意得：；
故答案为：；
（2）解：方程变形得：，且，，为正整数，
当时，，不能构成三角形，舍去；
当时，，不能构成三角形，舍去；
当时，，不能构成三角形，舍去；
当时，，符合题意；
当时，，符合题意；
当时，，不合题意，
则该方程的整数解为，．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是弄清题意列出相应的方程．
30．（1）；（2）
【分析】（1）先利用加减消元法求出方程组的解，然后利用方程组的解均为非负数建立一个关于a的不等式组，解不等式组即可求出a的取值范围；
（2）利用（1）中a的取值范围，可判断的正负，然后利用绝对值的性质去掉绝对值符号 ，然后合并同类项即可．
【详解】（1）
①+②得，，解得 ③，
将③代回②中得， ，解得
∴方程组的解为 ．
∵关于x、y的方程组的解均为非负数，
∴，
解得 ；
（2）∵，
，
∴．
【点睛】本题主要考查解二元一次方程组和一元一次不等式组，绝对值的性质，掌握加减消元法和一元一次不等式的解法，绝对值的性质是解题的关键．
31．(1)
(2)
(3)
(4)或或
【分析】（1）根据开心三角形的定义结合三角形的内角和定理即可得到答案；
（2）根据开心三角形的概念分两种情况求解即可；
（3）由是开心中最小的内角，则与互为开心角的内角只能为，列出不等式求解即可；
（4）分 与互为开心角和与互为开心角两种情况讨论求解即可．
【详解】（1）解：设最小角为，
∵为开心三角形，，
∴，
∴，
∴这个三角形中最小的内角为．
故答案为：；
（2）∵，
当与互为“开心角”时，则最小角为；
当与互为“开心角”时，设最小角为，
∴，
∴，
综上：为开心三角形，，则这个三角形中最小的内角为；
故答案为：40；
（3）∵是开心中最小的内角，并且是其中的一个开心角，
∴另一个开心角是，
∴第三个内角是，
∵是最小内角，
∴，
∴；
（4）∵平分的内角，平分的外角，
∴，，
∵，
∴，
即，
又∵，则，
∵，，
∴，即，
∴，
∴
①当与互为开心角时，
或，
∴或，
解得或；
②当与互为开心角，
或，
∴或，
解得；
综上所述：或或．
【应用拓展】本题为新定义题型，主要考查了角平分线，三角形内角和定理，三角形外角的性质以及开心角和开心三角形的概念，一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，涉及到了分类讨论的思想方法，其中熟练掌握相关概念和性质是解答本题的关键．2022-2023 学年常州市七年级下学期数学期末押题卷
数学试题
参考答案
一、选择题（本大题共 10小题，每小题 2分，共 20分．在每小题所给出的四
个选项中，只有一项是正确的）
1．C
【分析】根据积的乘方进行计算即可求解．
【详解】解：( 2 ) = 16 ，
故选：C．
【点睛】本题考查了积的乘方，熟练掌握积的乘方的运算法则是解题的关键．
2．B
【分析】根据题意将 = 1, = 3代入方程 = 1中转化成关于 的方程，解其方程即
可求出答案.
【详解】解：把 = 1, = 3代入方程 = 1中，
∴ ( 3) = 1，
∴ = 2.
故选：B.
【点睛】本题考查了二元一次方程的解，二元一次方程的解就是能使二元一次方程左右两
边相等的未知数的值.解题的关键就是列出关于 的方程.
3．D
【分析】根据不等式的性质即可求解．
【详解】解：∵3 < 5，3 > 5x，
不等号的方向发生改变，
∴ < 0
故选：D．
【点睛】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．不等
式的性质：不等式的基本性质 1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不
等号的方向不变；不等式的基本性质 2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不
等号的方向不变；不等式的基本性质 3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不
等号的方向改变．
4．C
【分析】先根据多边形内角和计算公式求出这个多边形是八边形，再根据多边形对角线计
算公式求解即可．
【详解】解：设这个多边形为 n边形，
×( )
由题意得， = 1080，
∴ = 8，
∴这个多边形为八边形，
∴ ×( )这个多边形可连对角线的条数是 = 20，
故选 C．
【点睛】本题主要考查了多边形内角和定理，多边形对角线计算公式，熟知 n 边形的对角
( )
线条数是 是解题的关键．
5．D
【分析】利用垂直的定义、垂线段的性质、平行线的判定等知识分别判断后即可确定正确
的选项．
【详解】解： 、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确，是真
命题，不符合题意；
B、垂线段最短，正确，是真命题，不符合题意；
C、经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，正确，是真命题，不符合题意；
D、内错角相等，两直线平行，故原命题错误，是假命题，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及性质，难度较
小．
6．A
【分析】用代数式表示井深即可得方程．此题中的等量关系有：①将绳三折测之，绳多五
尺；②将绳四折测之，绳多一尺．
【详解】解：设绳长 x 尺，井深 y 尺，
= 5
根据题意，可得： ．
= 1
故选：A．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出
相应的方程组．
7．A
【分析】设正方形纸片的边长为 a，长方形纸片的长为 b，宽为 c；根据题意得出 = 2
，则四边形 是正方形，再将阴影部分面积表示出来，最后分别将各个选项面积表示
出来，即可判断．
【详解】解：设正方形纸片的边长为 a，长方形纸片的长为 b，宽为 c；
由图可知： = = ， = = ，
∵矩形纸片和正方形纸片的周长相等，
∴2( + ) = 4 ，整理得： = 2 ，
∴ = = = 2 = ，
∴ = = = = ，则四边形 是正方形，
阴影 = △ + + △
1 1
= + ( ) +
2 2
= ，
A、正方形纸片的面积= ，根据题意可以求出，故 A 符合题意；
B、矩形纸片的面积= = (2 ) = 2 ，根据题意不能求出，故 B 不符合题
意；
C、四边形 的面积= ( ) = 2 + ，根据题意不能求出，故 C 不符合题
意；
D、四边形 的面积= ( ) = ，根据题意不能求出，故 D 不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要主要考查了整与图形的结合，解题的关键是熟练掌握各个图形的面积公
式，能正确用字母表示出来．
8．B
【分析】分析所给的命题是否正确，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除
法得出答案．
【详解】∵不含 90°内角的菱形四边都相等，但其不是正四边形，
∴①不正确；
∵三角形相邻两边组成的角叫三角形的内角，
∴②正确；
∵三角形的角平分线是线段，
∴③不正确；
∵三角形的高所在的直线交于一点，这一点可以是三角形的直角顶点，
∴④不正确．
∵任何一个三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线，
∴⑤正确；
∵平面内，在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上，
∴⑥不正确；
综上，可得正确的命题有 2 个：②和⑤．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命
题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
9．D
【分析】根据完全平方公式逐一判断即可．
【详解】解：A、4 6 + 9 不符合完全平方公式的特点， 故不符合题意；
B、4 4 1不符合完全平方公式的特点， 故不符合题意；
C、 1 = ( + 1)( 1)，用平方差公式分解，故不符合题意；
D、4 4 + ＝(2 ) ，用完全平方公式分解，故符合题意；
故答案为：D．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式 ± 2 + = ( ± )
是解答此题的关键
10．C
【分析】先根据在数轴上表示不等式解集的方法求出不等式的解集，再列出关于 a的方
程，求出 a的取值范围即可．
【详解】解：解不等式2 ≤ 1，得 ≤
由数轴上表示不等式解集的方法可知，此不等式的解集为 ≤ 1，
所以 = 1，
解得： = 1
故选 C．
【点睛】本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，熟知实心圆点与空心圆点的区别是解
答此题的关键．
二、填空题（本大题共 10小题，每小题 2分，共 20分．不需写出解答过程，
请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
11． ( + 3)
【分析】提取公因式 x，进而分解因式即可．
【详解】解：原式= ( +3)，
故答案为： ( +3)．
【点睛】本题考查分解因式，掌握提公因式法、公式法是解题关键．
12． 3 / 3 +
【分析】利用单项式乘多项式的法则，进行计算即可．
【详解】解：原式= 3 + ；
故答案为： 3 + ．
【点睛】本题考查单项式乘多项式．掌握单项式乘多项式的法则，是解题的关键．
13．6.5 × 10
【分析】绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 × 10 ，与较大
数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的
数字前面的 0 的个数所决定．
【详解】解：0.0000065 = 6.5 × 10 ．
故答案为：6.5 × 10 ．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为 × 10 ，其中1 ≤ | | < 10，
n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定．
14．如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等
【分析】把原命题的题设和结论交换即可得到其逆命题．
【详解】解：因为“如果两个实数相等，那么它们的平方相等”它的逆命题是“如果两个实数
平方相等，那么这两个实数相等”．
故答案为：如果两个实数平方相等，那么这两个实数相等；
【点睛】要根据逆命题的定义，和平方的有关知识来填空，对于两个命题，如果一个命题
的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一
个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题．
15．57°/57 度
【分析】如图设置∠3，根据∠3 + ∠ + ∠1 = 180°可求出∠3 = 180° 90° ∠1 = 57°，
再根据两直线平行，同位角相等即可作答．
【详解】解：如图，
∵ ⊥ ，
∴∠ = 90°，
∵∠1 = 33°，∠3 + ∠ + ∠1 = 180°，
∴∠3 = 180° 90° ∠1 = 57°，
∵ ∥ ，
∴∠2 = ∠3 = 57°．
故答案为：57°．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同位角相等．
16．8 ≤ < 10
【分析】求出不等式的解集 ≤ ，则最小的正整数解是 1，它的正整数解是几个连续的正
整数，根据所有正整数解的和是 10，即可确定最大的正整数解为 4，即可得到一个关于 m
的不等式组，求出不等式的解集即可．
【详解】解：2 ≤ 0，
∴ ≤ ，
∵2 ≤ 0的所有正整数解之和为 10，
∴1 + 2 + 3 + 4 = 10，即最小正整数解为 1，最大正整数解为 4，
∴4 ≤ < 5，
解得：8 ≤ < 10，
故答案为：8 ≤ < 10．
【点睛】本题主要考查对解一元一次不等式，不等式的性质，一元一次不等式的整数解等
知识点的理解和掌握，能根据不等式的解集和已知得出4 ≤ < 5是解此题的关键．
17． ≤ 1
【分析】根据不等式组无解，利用“大大小小找不到”可得 + 3 ≤ 2,，解之可得答案．
3 2 > 2 ①
【详解】解：
3 < ②
解不等式①得， > 2；
解除不等式②得， < + 3；
∵ 3 2 > 2 不等式组 无解，
3 <
∴ + 3 ≤ 2,
解得， ≤ 1，
故答案为： ≤ 1．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间
找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
18．
【分析】根据幂的乘方以及同底数幂的除法法则计算即可．
【详解】解：∵ = 2， = 9，
∴ = ( ) ÷ = = ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的除法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是
解答本题的关键．
19．1 2 / 2 + 1
【分析】根据等式的性质，移项即可．
【详解】解：2 + = 1，
移项得， = 1 2 ，
故答案为：1 2 ．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程，解题关键是熟练运用等式的性质把方程变形．
20．2 °
【分析】先过 作 ∥ ，根据 // ，得出 ∥ ∥ ，再根据平行线的性质，得出
∠ = ∠1, ∠ = ∠2，进而得到∠ = ∠ + ∠ ；先根据∠ 和∠ 的平分线交
点为 ，运用（1）中的结论，得出∠ = ∠ + ∠ = ∠ + ∠ =
∠ ；同理可得∠ = ∠ + ∠ = ∠ + ∠ = ∠ =
∠ ；根据∠ 和∠ 的平分线，交点为 ，得出∠ = ∠ ；…据此得到规
律∠ = ∠ ，最后求得∠ 的度数．
【详解】解：如图①，过 作 ∥ ，
∵ ∥ ，
∴ ∥ ∥ ，
∴ ∠ = ∠1，∠ = ∠2，
∵ ∠ = ∠1 + ∠2，
∴ ∠ = ∠ + ∠ ；
如图②，∵ ∠ 和∠ 的平分线交点为 ，
∴ ∠ = ∠ + ∠ = ∠ + ∠ = ∠ ．
∵ ∠ 和∠ 的平分线交点为 ，
∴ ∠ = ∠ + ∠ = ∠ + ∠ = ∠ = ∠ ；
如图②，∵ ∠ 和∠ 的平分线，交点为 ，
∴ ∠ = ∠ + ∠ = ∠ + ∠ = ∠ = ∠ ；
…
以此类推，∠ = ∠ ，
∴当∠ = °时，∠ 等于2 °．
故答案为：2 °
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义以及平行线性质：两直线平行，内错角相等的运
用．解决问题的关键是作平行线构造内错角，解题时注意：从一个角的顶点出发，把这个
角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．
三、解答题（本大题共 10小题，共 60分，请在答题卡指定区域内作答，如无
特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
21．2
【分析】根据负整数指数幂，零指数幂运算法则和绝对值的意义进行计算即可．
【详解】解： + ( 2023) | 3|
1
= + 1 3
1

2
= 4 + 1 3
= 2．
【点睛】本题主要考查了混合运算，解题的关键是熟练掌握负整数指数幂，零指数幂运算
法则和绝对值的意义，准确计算．
22．4 + 5
【分析】根据完全平方公式与平方差公式进行计算即可求解．
【详解】解：( + 2) ( + 1)( 1)
= + 4 + 4 ( 1)
= + 4 + 4 + 1
= 4 + 5．
【点睛】本题考查了完全平方公式与平方差公式，熟练掌握完全平方公式与平方差公式是
解题的关键．
23．(1)( 2)( + 1)( 1)
(2)2 ( )
【分析】（1）先提取公因式( 2)，再根据平方差公式分解因式即可；
（2）先提取公因式2 ，再根据完全平方公式分解因式即可．
【详解】（1）解： ( 2) + (2 )
= ( 2)( 1)
= ( 2)( + 1)( 1)；
（2）解：2 4 + 2
= 2 ( 2 + )
= 2 ( ) ．
【点睛】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键．
= 3
24．(1)
= 3
= 3
(2) =
【分析】（1）利用加减消元法解二元一次方程组即可；
（2）先变形原方程组，再利用加减消元法解方程即可．
2 = 3①
【详解】（1）解： ，
+ = 6②
①+②得3 = 9，解得 = 3，
将 = 3代入②中，得 = 3，
∴ = 3原方程组的解为 ；
= 3
3 2 = 8①
（2）解：原方程组变形为 ，
3 + 2 = 10②
①+②得6 = 18，解得 = 3，
将 = 3代入②中，得 = ，
= 3
∴原方程组的解为 = ．
【点睛】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法是解答的关键．
25． 2 < < 6
【分析】根据一元一次不等式组的解法，结合求不等式组解集法则“同大取大、同小取小、
大小小大中间找、大大小小无解了”即可得到答案．
5 + 1 > 3( 1)①
【详解】解： ，
< 3②
由①得 > 2；
由②得 < 6；
∴不等式组的解集为： 2 < < 6．
【点睛】本题考查解一元一次不等式组，熟记求不等式组解集法则“同大取大、同小取小、
大小小大中间找、大大小小无解了”是解决问题的关键．
26．(1)19
(2)
【分析】（1）将原式展开后整体代入已知条件即可求解；
（2）提取公因式2 后再利用完全平方公式因式分解后整体代入即可求解．
【详解】（1）解：原式= 5( + ) + 25
3
= 3 5 × + 25
5
= 19；
（2）原式= 2 ( + )
9
= 2 × ( 3) ×
25
= ．
【点睛】本题考查了因式分解的应用及整式的混合运算，解题的关键是对原式进行正确的
变形，也体现了整体思想．
27．见解析
【分析】先由垂直于同一条直线的两条直线平行，得出∠1 = ∠3，再用∠1 = ∠2代换，最后
用内错角相等得出结论．
【详解】解：如图，
∵ ⊥ 于点 D， ⊥ 于点 F，
∴ ∥ ，
∴∠1 = ∠3，
∵∠1 = ∠2，
∴∠2 = ∠3，
∴ ∥ ．
【点睛】此题是平行线的判定，主要考查了平行线的性质和判定，用判断垂直于同一条直
线的两直线平行，解本题的关键是判断出 ∥ ．
28．(1)550元，500元
(2)44台
【分析】（1）设 A 型小家电每台售价 元， 型小家电每台售价为 元，根据“销售1台 型和
2台 型共销售1550元；销售2台 型和1台 型小家电共销售1600元”即可列出关于 、 的
方程组，解方程组即得结果；
（2）设 型小家电销售了 台，根据销售 ， 两种小家电的总金额超过了55000元即可列
出关于 的不等式，解不等式即可求出 的范围，进一步即可求出 的最小值．
【详解】（1）解：设 型小家电每台售价 元， 型小家电每台售价为 元．
+ 2 = 1550
根据题意，得 ，
2 + = 1600
= 550
解得 ；
= 500
答： 型小家电每台售价550元， 型小家电每台售价500元．
（2）设 型小家电销售了 台，由题意得：
60 × 550 + 500 ≥ 55000，
解得： ≥ 44，
所以 最少是44．
答：该商场最少销售了 型小家电44台．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用和一元一次不等式的应用，理解题意、找准相
等与不等关系是解题的关键．
29．(1)2 + = 12
= 4
(2)
= 5
，
= 4 = 2
【分析】（1）根据三边相加等于周长列出方程即可；
（2）将 看作已知数求出 ，确定出整数解即可．
【详解】（1）解：根据题意得：2 + = 12；
故答案为：2 + = 12；
（2）解：方程变形得： = 2 + 12，且2 > > 0， ， 为正整数，
当 = 1时， = 10，不能构成三角形，舍去；
当 = 2时， = 8，不能构成三角形，舍去；
当 = 3时， = 6，不能构成三角形，舍去；
当 = 4时， = 4，符合题意；
当 = 5时， = 2，符合题意；
当 = 6时， = 0，不合题意，
= 4 = 5则该方程的整数解为 ， ．
= 4 = 2
【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是弄清题意列出相应的方程．
30．（1） 2 ≤ ≤ 1；（2）3 + 3
【分析】（1）先利用加减消元法求出方程组的解，然后利用方程组的解均为非负数建立一
个关于 a 的不等式组，解不等式组即可求出 a 的取值范围；
（2）利用（1）中 a 的取值范围，可判断2 + 4, 1的正负，然后利用绝对值的性质去
掉绝对值符号 ，然后合并同类项即可．
3 + = 3 + 9①
【详解】（1）
= 5 + 7②
①+②得，4 = 8 + 16，解得 = 2 + 4 ③，
将③代回②中得，2 + 4 = 5 + 7 ，解得 = 3 3
∴ = 2 + 4方程组的解为 ．
= 3 3
3 + = 3 + 9
∵关于 x、y 的方程组 的解均为非负数，
= 5 + 7
∴ = 2 + 4 ≥ 0 ，
= 3 3 ≥ 0
解得 2 ≤ ≤ 1 ；
（2）∵ 2 ≤ ≤ 1，
∴ 2 + 4 ≥ 0, 1 < 0，
∴|2 + 4| | 1| = 2 + 4 (1 ) = 2 + 4 1 + = 3 + 3．
【点睛】本题主要考查解二元一次方程组和一元一次不等式组，绝对值的性质，掌握加减
消元法和一元一次不等式的解法，绝对值的性质是解题的关键．
31．(1)12
(2)40
(3)0 < ∠ ≤ 45°
(4) °或48°或40°
【分析】（1）根据开心三角形的定义结合三角形的内角和定理即可得到答案；
（2）根据开心三角形的概念分两种情况求解即可；
（3）由∠ 是开心△ 中最小的内角，则与∠ 互为开心角的内角只能为2∠ ，列出不等
式求解即可；
（4）分∠ 与∠ 互为开心角和∠ 与∠ 互为开心角两种情况讨论求解即可．
【详解】（1）解：设最小角为 ，
∵△ 为开心三角形，∠ = 144°，
∴ + 2 = 180° 144° = 36°，
∴ = 12°，
∴这个三角形中最小的内角为12°．
故答案为：12；
（2）∵∠ = 60°，
当∠ 与∠ 互为“开心角”时，则最小角为 × 60° = 30°；
当∠ 与∠ 互为“开心角”时，设最小角为 ，
∴ + 2 = 180° 60° = 120°，
∴ = 40°，
综上：△ 为开心三角形，∠ = 60°，则这个三角形中最小的内角为30°；
故答案为：40；
（3）∵∠ 是开心△ 中最小的内角，并且是其中的一个开心角，
∴另一个开心角是2∠ ，
∴第三个内角是180° 3∠ ，
∵∠ 是最小内角，
∴∠ ≤ 180° 3∠ ，
∴0 < ∠ ≤ 45°；
（4）∵ 平分△ 的内角∠ ， 平分△ 的外角∠ ，
∴∠ = ∠ ，∠ = ∠ ，
∵∠ = ∠ + ∠ ，
∴ ∠ = ∠ + ∠ ，
即∠ = ∠ + ∠ ，
又∵∠ = ∠ + ∠ ，则∠ = ∠ ，
∵∠ = ∠ + ∠ ，∠ = 30°，
∴∠ = ∠ + 30°，即∠ = ∠ 30°，
∴∠ = 2∠ = 2∠ 60°，
∴∠ = 180 ∠ 2(∠ 30) = 240° 3∠
①当∠ 与∠ 互为开心角时，
∠ = 2∠ 或∠ = 2∠ ，
∴∠ = 2(240° 3∠ )或240° 3∠ = 2∠ ，
解得∠ = °或∠ = 48°；
②当∠ 与∠ 互为开心角，
∠ = 2∠ 或∠ = 2∠ ，
∴2∠ 60° = 2∠ 或∠ = 2(2∠ 60°)，
解得∠ = 40°；
综上所述： °或48°或40°．
【应用拓展】本题为新定义题型，主要考查了角平分线，三角形内角和定理，三角形外角
的性质以及开心角和开心三角形的概念，一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，
涉及到了分类讨论的思想方法，其中熟练掌握相关概念和性质是解答本题的关键．2022-2023学年常州市七年级下学期数学期末押题卷
数学试题
注意事项：
1．本试卷共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考生应将答案全部填写在答题卡相应位置上，写在本试卷上无效．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．考试时不允许使用计算器．
2．答题前，考生务必将自己的姓名、考试证号填写在试卷上，并填写好答题卡上的考生信息．
3．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．
一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的）
1．(本题2分)计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
2．(本题2分)已知是方程的解，那么的值为（ ）
A． B． C．3 D．4
3．(本题2分)由，得，则的值可能是（ ）
A．1 B．0.5 C．0 D． 1
4．(本题2分)已知一个多边形内角和为，则这个多边形可连对角线的条数是（ ）
A．10 B．16 C．20 D．40
5．(本题2分)下面的四个命题中，假命题是（ ）
A．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
B．垂线段最短
C．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
D．对顶角相等，两直线平行
6．(本题2分)以绳测井，若将绳三折测之，绳多五尺（绳子测量水井的深度，如果将绳子折成三等份，一份绳长比井深多5尺）；若将绳四折测之，绳多一尺．现设绳长x尺，井深y尺，则可得方程组为（　　）
A． B． C． D．
7．(本题2分)将两张全等的矩形纸片和另两张全等的正方形纸片按如图方式不重叠地放置在矩形内，其中矩形纸片和正方形纸片的周长相等．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（　　）
A．正方形纸片的面积 B．矩形纸片的面积
C．四边形的面积 D．四边形的面积
第7题 第10题
8．(本题2分)下列命题：①各边都相等的多边形是正多边形；②三角形相邻两边组成的角叫三角形的内角；③三角形的角平分线是射线；④三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外；⑤任何一个三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线；⑥到角两边距离相等的点在这个角的平分线上．正确的命题有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．(本题2分)下列各式中能用完全平方公式因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
10．(本题2分)关于x的不等式的解集在数轴上表示如图所示，则a的取值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
11．(本题2分)分解因式_____________________．
12．(本题2分)计算：____________________．
13．(本题2分)一种花瓣的花粉颗粒直径约为，这个数据用科学记数法表示为_______________________________________．
14．(本题2分)命题“如果两个实数相等，那么它们的平方相等”的逆命题是__________________________________________．
15．(本题2分)如图，，点B在直线b上，且，，那么的度数为_______________．
16．(本题2分)关于的不等式的所有正整数解之和为10，则的取值范围为____________________．
17．(本题2分)若关于的不等式组无解，则的取值范围为_____________．
18．(本题2分)已知，，则_______________．
19．(本题2分)已知，用含x的代数式表示__________________．
20．(本题2分)如图①，已知，，的交点为，现作如下操作：第一次操作，分别作和的平分线，交点为；第二次操作，分别作和的平分线，交点为；第三次操作，分别作和的平分线，交点为第次操作，分别作和的平分线，交点为．如图②，若，则的度数是_____________．
三、解答题（本大题共10小题，共60分，请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
21．(本题4分)计算：；
22．(本题4分)化简：
23．(本题8分)分解因式
(1) (2)
24．(本题8分)解方程组
(1) (2)
25．(本题4分)解不等式组：
26．(本题4分)已知，，求下列代数式的值：
(1)； (2)．
27．(本题4分)已知：如图，中，于点D，点E在上，于点F，，求证：．

28．(本题6分)某商场销售甲，乙两种小家电，其中销售台甲型和台乙型小家电共销售元；销售台甲型和台乙型小家电共销售元．
(1)求甲，乙两种小家电每台各销售多少元？
(2)该商场某天销售甲，乙两种小家电的总金额不少于元，其中甲型小家电销售了台，那么乙型小家电最少销售了多少台？
29．(本题6分)等腰三角形中，，，周长为．
(1)列出关于、的二元一次方程：________；
(2)求该方程的所有整数解．
30．(本题6分)已知关于x、y的方程组的解均为非负数，
（1）求a的取值范围； （2）化简：
31．(本题6分)定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的2倍，我们称这两个角互为“开心角”，这个三角形叫做“开心三角形”．例如：在中，，，则与互为“开心角”，为“开心三角形”．
【概念理解】
(1)若为开心三角形，，则这个三角形中最小的内角为________°；
(2)若为开心三角形，，则这个三角形中最小的内角为________°；
(3)已知是开心中最小的内角，并且是其中的一个开心角，试确定的取值范围，并说明理由；
【应用拓展】
(4)如图，平分的内角，交于点E，平分的外角，延长和交于点P，已知，若是开心中的一个开心角，设，求的度数．2022-2023 学年常州市七年级下学期数学期末押题卷
数学试题
注意事项：
1．本试卷共 6页．全卷满分 120分．考试时间为 120分钟．考生应将答案全部
填写在答题卡相应位置上，写在本试卷上无效．考试结束后，请将本试卷和答
题卡一并交回．考试时不允许使用计算器．
2．答题前，考生务必将自己的姓名、考试证号填写在试卷上，并填写好答题
卡上的考生信息．
3．作图必须用 2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．
一、选择题（本大题共 10小题，每小题 2分，共 20分．在每小题所给出的四
个选项中，只有一项是正确的）
1．(本题 2 分)计算( 2 ) 的结果是（ ）
A．8 B．8 C．16 D．16
2．(本题 2 分)已知 = 1, = 3是方程 = 1的解，那么 的值为（ ）
A． 3 B． 2 C．3 D．4
3．(本题 2 分)由3 < 5，得3 > 5 ，则 的值可能是（ ）
A．1 B．0.5 C．0 D． 1
4．(本题 2 分)已知一个多边形内角和为1080°，则这个多边形可连对角线的条数是（ ）
A．10 B．16 C．20 D．40
5．(本题 2 分)下面的四个命题中，假命题是（ ）
A．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
B．垂线段最短
C．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
D．对顶角相等，两直线平行
6．(本题 2 分)以绳测井，若将绳三折测之，绳多五尺（绳子测量水井的深度，如果将绳子
折成三等份，一份绳长比井深多 5 尺）；若将绳四折测之，绳多一尺．现设绳长 x 尺，井深
y 尺，则可得方程组为（ ）
= 5 3 + 5 = + = 5 3 5 = A． B． C． D．
= 1 4 1 = + = 1 4 1 =
7．(本题 2 分)将两张全等的矩形纸片和另两张全等的正方形纸片按如图方式不重叠地放置
在矩形 内，其中矩形纸片和正方形纸片的周长相等．若知道图中阴影部分的面积，
则一定能求出（ ）
A．正方形纸片的面积 B．矩形纸片的面积
C．四边形 的面积 D．四边形 的面积
第 7 题 第 10 题
8．(本题 2 分)下列命题：①各边都相等的多边形是正多边形；②三角形相邻两边组成的角
叫三角形的内角；③三角形的角平分线是射线；④三角形的高所在的直线交于一点，这一
点不在三角形内就在三角形外；⑤任何一个三角形都有三条高、三条中线、三条角平分
线；⑥到角两边距离相等的点在这个角的平分线上．正确的命题有（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
9．(本题 2 分)下列各式中能用完全平方公式因式分解的是（ ）
A．4 6 + 9 B．4 4 1 C． 1 D．4 4 +
10．(本题 2 分)关于 x 的不等式2 ≤ 1的解集在数轴上表示如图所示，则 a的取值是
（ ）
A． ≤ 1 B． ≤ 2 C． = 1 D． = 2
二、填空题（本大题共 10小题，每小题 2分，共 20分．不需写出解答过程，
请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
11．(本题 2 分)分解因式 +3 =_____________________．
12．(本题 2 分)计算： (3 ) =____________________．
13．(本题 2 分)一种花瓣的花粉颗粒直径约为0.0000065m，这个数据用科学记数法表示为
_______________________________________．
14．(本题 2 分)命题“如果两个实数相等，那么它们的平方相等”的逆命题是
__________________________________________．
15．(本题 2 分)如图， ∥ ，点 B 在直线 b上，且 ⊥ ，∠1 = 33°，那么∠2的度数为
_______________°．
16．(本题 2 分)关于 的不等式2 ≤ 0的所有正整数解之和为 10，则 的取值范围为
____________________．
17 3 2 > 2 ．(本题 2 分)若关于 的不等式组 无解，则 的取值范围为_____________．
3 <
18．(本题 2 分)已知 = 2， = 9，则 =_______________．
19．(本题 2 分)已知2 + = 1，用含 x 的代数式表示 =__________________．
20．(本题 2 分)如图①，已知 ∥ ， ， 的交点为 ，现作如下操作：第一次操作，
分别作∠ 和∠ 的平分线，交点为 ；第二次操作，分别作∠ 和∠ 的平分
线，交点为 ；第三次操作，分别作∠ 和∠ 的平分线，交点为 …第 次操作，
分别作∠ 和∠ 的平分线，交点为 ．如图②，若∠ = °，则∠ 的度数
是_____________．
三、解答题（本大题共 10小题，共 60分，请在答题卡指定区域内作答，如无
特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
21．(本题 4 分)计算： + ( 2023) | 3|；
22．(本题 4 分)化简：( + 2) ( + 1)( 1)
23．(本题 8 分)分解因式
(1) ( 2) + (2 ) (2)2 4 + 2
24．(本题 8 分)解方程组
2 = 3 = 1(1) (2)
+ = 6 3 + 2 = 10
5 + 1 > 3( 1)①
25．(本题 4 分)解不等式组：
< 3②
26．(本题 4 分)已知 + = ， = 3，求下列代数式的值：
(1)( 5)( 5)； (2)2 + 4 + 2 ．
27．(本题 4 分)已知：如图，△ 中， ⊥ 于点 D，点 E在 上， ⊥ 于点
F，∠1 = ∠2，求证： ∥ ．
28．(本题 6 分)某商场销售甲，乙两种小家电，其中销售1台甲型和2台乙型小家电共销售
1550元；销售2台甲型和1台乙型小家电共销售1600元．
(1)求甲，乙两种小家电每台各销售多少元？
(2)该商场某天销售甲，乙两种小家电的总金额不少于55000元，其中甲型小家电销售了60
台，那么乙型小家电最少销售了多少台？
29．(本题 6 分)等腰三角形 中， = = ， = ，周长为12．
(1)列出关于 、 的二元一次方程：________；
(2)求该方程的所有整数解．
3 + = 3 + 9
30．(本题 6 分)已知关于 x、y 的方程组 的解均为非负数，
= 5 + 7
（1）求 a 的取值范围； （2）化简：|2 + 4| | 1|
31．(本题 6 分)定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的 2 倍，我们称这两个
角互为“开心角”，这个三角形叫做“开心三角形”．例如：在△ 中，∠ = 70°，∠ =
35°，则∠ 与∠ 互为“开心角”，△ 为“开心三角形”．
【概念理解】
(1)若△ 为开心三角形，∠ = 144°，则这个三角形中最小的内角为________°；
(2)若△ 为开心三角形，∠ = 60°，则这个三角形中最小的内角为________°；
(3)已知∠ 是开心△ 中最小的内角，并且是其中的一个开心角，试确定∠ 的取值范
围，并说明理由；
【应用拓展】
(4)如图， 平分△ 的内角∠ ，交 于点 E， 平分△ 的外角∠ ，延长
和 交于点 P，已知∠ = 30°，若∠ 是开心△ 中的一个开心角，设∠ = ∠ ，
求∠ 的度数．

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