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考点01 平面向量的概念及其线性运算6种常见考法归类
考点一 平面向量的有关概念
平面向量的概念辨析
1．（2023·高一课时练习）下列各量中，向量有：______．（填写序号）
①浓度；②年龄；③风力；④面积；⑤位移；⑥人造卫星的速度；⑦电量；⑧向心力；⑨盈利；⑩加速度．
2．（2023·高一课时练习）判断下列命题是否正确，请说明理由：
（1）若向量 与 同向，且，则；
（2）若向，则 与的长度相等且方向相同或相反；
（3）对于任意向量，若 与的方向相同，则 =；
（4）由于 方向不确定，故 不与任意向量平行；
（5）向量 与平行，则向量 与方向相同或相反．
3．（2023·高一课时练习）有关向量和向量，下列四个说法中：
①若，则；
②若，则或；
③若，则；
④若，则.
其中的正确的有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2023·高一课时练习）下列命题：
①两个相等向量，若它们的起点相同，则终点也相同；
②若，则；
③若，则四边形ABCD是平行四边形；
④若，，则；
⑤若，，；
⑥有向线段就是向量，向量就是有向线段；
⑦任何一个非零向量都可以平行移动．
其中，假命题的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
平面向量的几何表示
5．（2023·高一课时练习）如图，某人从点A出发，向西走了200m后到达B点，然后改变方向，沿北偏西一定角度的某方向行走了到达C点，最后又改变方向，向东走了200m到达D点，发现D点在B点的正北方．
(1)作出、、（图中1个单位长度表示100m）；
(2)求的模．
6．（2023·高一课时练习）已知飞机从地按北偏东方向飞行到达地，再从地按南偏东方向飞行到达地，再从地按西南方向飞行到达地．画图表示向量，并指出向量的模和方向．
（三）相等向量与共线向量
7．（2023·高一课时练习）如图所示，在正三角形ABC中，P、Q、R分别是AB、BC、AC的中点，则与向量相等的向量是________．
8．（2023·高一课时练习）如图所示，4×3的矩形(每个小方格都是单位正方形)，在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中，试问：
（1）与相等的向量共有几个；
（2）与方向相同且模为的向量共有几个；
9．（2023·高一课时练习）如图，多边形ABCDEF为正六边形，在以此六边形各顶点和中心为起点、终点的向量中：
(1)写出与相等的向量；
(2)写出的负向量；
(3)写出与平行的向量；
(4)写出与长度相等的向量．
10．（2023·高一课时练习）是正方形对角线的交点，四边形，都是正方形，在如图所示的向量中：
（1）分别找出与，相等的向量；
（2）找出与共线的向量；
（3）找出与模相等的向量；
（4）向量与是否相等？
考点二 平面向量的加、减法及数乘运算
平面向量的加法
11．（2022春·广西桂林·高一校考期中）化简等于________.
12．（2023·高一课时练习）化简下列各式:
(1);
(2).
13．（2022·高一课时练习）在中，M是的中点，则等于（ ）
A． B． C． D．
14．（2022·高一课时练习）在平行四边形ABCD中，_________．
15．（2023·高一课时练习）在四边形中， ，则四边形是（ ）
A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．平行四边形
16．【多选】（2022·高一课时练习）已知点D，E，F分别是的边，，的中点，则下列等式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
平面向量的减法
17．（2023·高一课时练习）化简______.
18．【多选】（2023秋·吉林·高一校考期末）下列结果为零向量的是( )
A． B．
C． D．
19．（2022·高一课时练习）在中，分别是的中点，则___________.
20．（2023秋·北京西城·高一统考期末）如图，在平行四边形中，（ ）
A． B． C． D．
平面向量的数乘运算
21．（2023·高一课时练习）计算：______．
22．（2022·高一课时练习）计算：
(1)；
(2).
23．（2023·高一单元测试）已知，若记，则______．
24．（2023·高一课时练习）若，则下列各式中不正确的是（ ）
A． B． C． D．
向量的模
25．（2023·高一课时练习）已知正方形边长为,则__________．
26．（2023·高一课时练习）若，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
27．（2023·高一课时练习）如图，在矩形ABCD中，，．设，，，则______．
28．（2022春·浙江丽水·高一校考阶段练习）已知非零向量，满足，则_________.
29．（2022·高一课时练习）已知是正三角形，则下列等式中不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
考点三 共线向量定理的应用
证明三点共线
30．（2022秋·广西玉林·高二校考阶段练习）已知向量，不共线，且，，，则一定共线的是（ ）
A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D
31．（2023·高一课时练习）设不共线的两个向量，，若，，.求证：、、三点共线.
32．【多选】（2023秋·吉林·高一校考期末）已知A，B，C，是三个不同的点，，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．A，B，C三点共线
判断点所在的位置
33．（2022·高一课时练习）已知O是所在平面内一点，且，那么（ ）
A．点O在的内部 B．点O在的边上
C．点O在边所在的直线上 D．点O在的外部
34．（2023秋·陕西西安·高一西北工业大学附属中学校考期末）在 中，点 满足 ，则（ ）
A．点 不在直线 上 B．点 在 的延长线上
C．点 在线段 上 D．点 在 的延长线上
35．（2023·高一课时练习）已知平面内一点P及△ABC，若，则P与△ABC的位置关系是（ ）
A．P在△ABC外部 B．P在线段AB上
C．P在线段AC上 D．P在线段BC上
36．（2022·高一课时练习）是所在平面内一点，，则点必在（ ）
A．内部 B．在直线上
C．在直线上 D．在直线上
利用向量共线求参数
37．（2022·高一课时练习）已知.其中与不共线且B，C，D三点共线，求的值.
38．（2022·高一课时练习）已知，是两个不共线的向量，而和共线，则实数k的值为___________
39．（2022秋·江苏盐城·高一滨海县五汛中学校考阶段练习）设是两个不共线的向量，若向量与的方向相同，则________.
40．（2022·高一课时练习）设，是两个不共线向量，若向量与方向相反，则实数______.
41．（2022·高一课时练习）已知，是不共线的向量，，若三点共线，则实数满足（ ）
A． B．
C． D．
42．（2022·高一课时练习）设，是两个不共线的向量，如果，，.
(1)求证：A，B，D三点共线；
(2)试确定的值，使和共线；
(3)若与不共线，试求的取值范围.
考点四 向量的线性表示
用已知向量表示所求向量
43．（2023秋·北京房山·高一统考期末）在中，D为BC的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
44．（2022·高一课时练习）在中，已知为上一点，若，则（ ）
A． B． C． D．
45．（2022·高一课时练习）如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，F为CE的中点，则等于（ ）
A． B． C． D．
46．（2022·高一课时练习）在等腰梯形中，，分别为的中点，为的中点，则等于（ ）
A． B． C． D．
47．【多选】（2022·高一课时练习）在等边三角形中，与交于点F，则下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
三点共线在线性表示中的应用
参数求值
涉及平面向量的参数求值问题，往往通过题目条件中的平面向量的线性关系式进行合理变形与转化，实现满足平面向量共线定理的条件，进而利用平面向量共线定理构建系数之间的关系式，从而得以确定对应的参数求值问题.
48．（2022·高一课时练习）如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为( )
A． B． C．1 D．3
49．（2022·高一课时练习）在中，D为BC上一点.若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
50．（2022·高一课时练习）已知点G为△ABC的重心，过G作直线与AB、AC两边分别交于M、N两点，且＝x，＝y，求的值为________．
51．（2022·高一课时练习）如图所示，是△ABC的一条中线，点满足，过点的直线分别与射线，射线交于，两点.
(1)若，求的值；
(2)设，，，，求的值；
52．（2022·高一课时练习）.如图，在△OAB中，，AD与BC交于点M，设在线段AC上取一点E，在线段BD上取一点F，使EF过M点，设＝p，＝q，求证：＋＝1.
线段比例
涉及平面向量的线段比例问题，破解的关键就是合理挖掘题目条件，利用平面向量共线定理，构建不同平面向量之间的线性关系，结合系数的正负取值情况确定相应线段之间的比例关系.此类问题的表示形式可以是线段比例关系的确定、三角形面积的比值、位置关系的判定等相关的应用问题.
53．（2022·高一课时练习）在中，点满足，则与的面积比为___________．
54．（2022·高一课时练习）点P是所在平面上一点，若，则与的面积之比是（ ）
A． B．3 C． D．
考点五 由平面向量的性质判断图形的形状
55．（2023·高一课时练习）设四边形中，且，则这个四边形是________．
56．（2023·高一课时练习），，，均为非零向量，且，，，则四边形ABCD的形状是______．
57．（2023·高一课时练习）在四边形中，，，，则四边形的形状是（ ）．
A．矩形 B．平行四边形
C．梯形 D．无法判断
58．（2023·高一课时练习）如图，在平行四边形ABCD的对角线BD所在的直线上取两点E，F，使BE=DF．用向量方法证明：四边形AECF是平行四边形．
考点六 利用向量的线性运算解决实际问题
59．（2022·高一课时练习）在静水中船的速度是，水流的速度是.如果船从岸边出发，沿垂直于水流的航线到达对岸，那么船行进方向应指向何处？实际航速为多少？
60．（2022·高一课时练习）某人骑车以速度向正东方向行驶，感到风从正北方向吹来，而当速度为时，感到风从东北方向吹来，试求实际风速的大小和方向.
61．（2022·高一课时练习）如图，一艘船从A点出发，以的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时，河水的流速为2km/h，求船实际航行速度的大小与方向（用与水流方向的夹角表示）．考点01 平面向量的概念及其线性运算6种常见考法归类
考点一 平面向量的有关概念
平面向量的概念辨析
1．（2023·高一课时练习）下列各量中，向量有：______．（填写序号）
①浓度；②年龄；③风力；④面积；⑤位移；⑥人造卫星的速度；⑦电量；⑧向心力；⑨盈利；⑩加速度．
【答案】③⑤⑥⑧⑩
【分析】根据向量的概念判断即可.
【详解】解：向量是有大小有方向的量，故符合的有：风力，位移，人造卫星的速度，向心力，加速度.
故答案为：③⑤⑥⑧⑩.
2．（2023·高一课时练习）判断下列命题是否正确，请说明理由：
（1）若向量 与 同向，且，则；
（2）若向，则 与的长度相等且方向相同或相反；
（3）对于任意向量，若 与的方向相同，则 =；
（4）由于 方向不确定，故 不与任意向量平行；
（5）向量 与平行，则向量 与方向相同或相反．
【答案】（1）不正确，理由见解析 （2）不正确，理由见解析（3）正确，理由见解析 （4）不正确，理由见解析 （5） 不正确，理由见解析
【解析】（1）根据平面向量的定义判断.（2）只能判断两向量长度相等，方向不确定.（3）根据平面向量的定义判断.（4）规定：与任意向量平行（5）考虑零向量的情况.
【详解】（1）不正确．因为向量由两个因素来确定，即大小和方向，所以两个向量不能比较大小．
（2）不正确．由|只能判断两向量长度相等，不能确定它们的方向关系．
（3）正确．因为|，且 与同向，由两向量相等的条件，可得 =
（4）不正确．依据规定：与任意向量平行．
（5）不正确．因为向量 与若有一个是零向量，则其方向不定．
【点睛】本题主要考查平面向量的相关概念，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.
3．（2023·高一课时练习）有关向量和向量，下列四个说法中：
①若，则；
②若，则或；
③若，则；
④若，则.
其中的正确的有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】由零向量的定义、向量的模、共线向量的定义，即可得出结果.
【详解】由零向量的定义，可知①④正确；
由向量的模定义，可知②不正确；
由向量共线可知③不正确.
故选：B
4．（2023·高一课时练习）下列命题：
①两个相等向量，若它们的起点相同，则终点也相同；
②若，则；
③若，则四边形ABCD是平行四边形；
④若，，则；
⑤若，，；
⑥有向线段就是向量，向量就是有向线段；
⑦任何一个非零向量都可以平行移动．
其中，假命题的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】根据向量的定义，相等向量的定义，向量的模，向量共线依次判断各命题即可.
【详解】对于①，两个相等向量时，它们的起点相同，则终点也相同，①正确；
对于②，若，方向不确定，则不一定相同，∴②错误；
对于③，若，、不一定相等，∴四边形不一定是平行四边形，③错误；
对于④，若，，则，④正确；
对于⑤，若，，，当时，不一定成立，∴⑤错误；
对于⑥，向量没有固定的起点，所以向量不是有向线段，但向量可以用有向线段表示，∴⑥错误；
对于⑦，任何一个非零向量都可以平行移动，∴⑦正确；
综上，假命题是②③⑤⑥，共4个，
故选：C.
平面向量的几何表示
5．（2023·高一课时练习）如图，某人从点A出发，向西走了200m后到达B点，然后改变方向，沿北偏西一定角度的某方向行走了到达C点，最后又改变方向，向东走了200m到达D点，发现D点在B点的正北方．
(1)作出、、（图中1个单位长度表示100m）；
(2)求的模．
【答案】(1)作图见解析
(2)
【分析】（1）根据行走方向和单位长度即可确定各点在坐标系中的位置，即可做出所有向量；
（2）由题意可知，四边形是平行四边形，则可求得的模.
【详解】（1）根据题意可知，B点在坐标系中的坐标为，
又因为D点在B点的正北方，所以，
又，所以，即D、 C两点在坐标系中的坐标为，；
即可作出、、如下图所示.
（2）如图，作出向量，
由题意可知，且，
所以四边形是平行四边形，
则，
所以的模为
6．（2023·高一课时练习）已知飞机从地按北偏东方向飞行到达地，再从地按南偏东方向飞行到达地，再从地按西南方向飞行到达地．画图表示向量，并指出向量的模和方向．
【答案】答案见解析.
【分析】根据方向角及飞行距离可作出向量，然后在三角形中求向量的模和方向．
【详解】以为原点，正东方向为轴正方向，正北方向为轴正方向建立直角坐标系．
由题意知点在第一象限，点在x轴正半轴上，点在第四象限，
向量如图所示，
由已知可得，
为正三角形，所以．
又，，
所以为等腰直角三角形，
所以，．
故向量的模为，方向为东南方向．
（三）相等向量与共线向量
7．（2023·高一课时练习）如图所示，在正三角形ABC中，P、Q、R分别是AB、BC、AC的中点，则与向量相等的向量是________．
【答案】,
【分析】根据相等向量的定义确定即可.
【详解】因为P、Q、R分别是AB、BC、AC的中点，所以，,
因为方向相同，大小相等的向量为相等向量，所以与相等的向量为，.
故答案为：，.
8．（2023·高一课时练习）如图所示，4×3的矩形(每个小方格都是单位正方形)，在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中，试问：
（1）与相等的向量共有几个；
（2）与方向相同且模为的向量共有几个；
【答案】（1）5；（2）2.
【分析】根据共线向量和相等向量的定义、以及模的计算和对正方形的对角线即可.
【详解】解：由题可知，每个小方格都是单位正方形，
每个小正方形的对角线的长度为且都与平行，
则，
（1）由于相等向量是指方向和大小都相等的两个向量，
则与相等的向量共有5个，如图1；
（2）与方向相同且模为的向量共有2个，如图2.
【点睛】本题考查共线向量和相等向量的定义，以及向量的模的计算，考查理解能力和数形结合思想.
9．（2023·高一课时练习）如图，多边形ABCDEF为正六边形，在以此六边形各顶点和中心为起点、终点的向量中：
(1)写出与相等的向量；
(2)写出的负向量；
(3)写出与平行的向量；
(4)写出与长度相等的向量．
【答案】(1)，，
(2)，，，
(3)，，，，，，，，
(4)，，，，
【分析】（1）（2）（3）（4）由相等向量，负向量，平行向量，长度相等向量定义可得答案.
【详解】（1）两向量相等是指两向量方向相同，长度相等，由图可得与相等的向量为：，，；
（2）向量的负向量是指与方向相反，长度相等的向量，由图可得的负向量为：，，，；
（3）两向量平行，是指两向量方向相同或相反，由图可得平行的向量为：
，，，，，，，，.
（4）由图，因图形为正六边形，则，故与长度相等的向量为：，，，，.
10．（2023·高一课时练习）是正方形对角线的交点，四边形，都是正方形，在如图所示的向量中：
（1）分别找出与，相等的向量；
（2）找出与共线的向量；
（3）找出与模相等的向量；
（4）向量与是否相等？
【答案】（1），；（2），，；（3），，，，，，；（4）不相等．
【分析】根据题中条件，先得到各边之间关系；
（1）根据相等向量的概念，结合图形，即可得出结果；
（2）根据共线向量的概念，结合图形，即可得出结果；
（3）根据向量模的概念，结合图形，即可得出结果；
（4）根据相等向量的概念，结合题意，即可得出结果.
【详解】因为是正方形对角线的交点，四边形，都是正方形，
所以，；
（1）由题中图形可得：，；
（2）由图形可得，与共线的向量有：，，；
（3）与模相等的向量有：，，，，，，；
（4）向量与不相等，因为它们的方向不相同．
考点二 平面向量的加、减法及数乘运算
平面向量的加法
11．（2022春·广西桂林·高一校考期中）化简等于________.
【答案】
【分析】运用向量运算律计算即可.
【详解】
故答案为：.
12．（2023·高一课时练习）化简下列各式:
(1);
(2).
【答案】(1).(2)
【解析】(1)根据向量的加法法则求解即可.
(2)根据向量的加法法则求解即可.
【详解】解:(1).
(2)
.
【点睛】本题主要考查了向量的加法法则,属于基础题型.
13．（2022·高一课时练习）在中，M是的中点，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据向量的加法法则计算．
【详解】如图，作平行四边形，因为M是的中点，所以M也是的中点，则.
故选：C.
14．（2022·高一课时练习）在平行四边形ABCD中，_________．
【答案】##
【分析】先用平行四边形法则，再用三角形法则．
【详解】平行四边形ABCD中，.
故答案为：.
15．（2023·高一课时练习）在四边形中， ，则四边形是（ ）
A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．平行四边形
【答案】D
【分析】根据向量加法的几何意义即可求解.
【详解】因为四边形中，,
所以四边形为平行四边形，
故选：D
16．【多选】（2022·高一课时练习）已知点D，E，F分别是的边，，的中点，则下列等式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】根据向量加减法的三角形法则及中点，再利用三角形的中位线及平行四边形的性质即可求解.
【详解】对于A,，故A正确；
对于B,，故B正确；
对于C,因为D，E，F分别是的边，，的中点，所以，所以四边形是平行四边形，所以，即，故C正确；
对于D,因为F为的中点，所以，所以，故D错误．
故选:ABC．
平面向量的减法
17．（2023·高一课时练习）化简______.
【答案】
【解析】根据向量加减法法则计算化简．
【详解】．
故答案为：．
18．【多选】（2023秋·吉林·高一校考期末）下列结果为零向量的是( )
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】根据向量加减法的运算方法即可逐项判断.
【详解】A项，；
B项，；
C项，；
D项，.
故选：BCD.
19．（2022·高一课时练习）在中，分别是的中点，则___________.
【答案】
【分析】由向量的加法与减法法则求解即可
【详解】利用三角形中位线定理知，
所以.
故答案为：
20．（2023秋·北京西城·高一统考期末）如图，在平行四边形中，（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据向量运算得.
【详解】由图知，
故选：B.
平面向量的数乘运算
21．（2023·高一课时练习）计算：______．
【答案】
【分析】根据向量的数乘运算法则即可得出结果.
【详解】易知，
故答案为：
22．（2022·高一课时练习）计算：
(1)；
(2).
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用平面向量线性运算的运算律进行计算.
（2）利用平面向量线性运算的运算律进行计算.
【详解】（1）原式=
.
（2）原式=
.
23．（2023·高一单元测试）已知，若记，则______．
【答案】
【分析】由向量的线性运算，求解的值.
【详解】，
∴，
则有，
∴.
故答案为：
24．（2023·高一课时练习）若，则下列各式中不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意在线段中得到与和的位置关系，根据向量共线定理对逐个选项逐一判断即可得到结果.
【详解】∵，故可得与和的位置关系如图所示：
且，
由向量共线定理可得，，，，
可得不正确的为A，
故选:A.
【点睛】本题主要考查了向量共线定理，由题意得到与和的位置关系是解题的关键，属于中档题.
向量的模
25．（2023·高一课时练习）已知正方形边长为,则__________．
【答案】
【分析】由向量的加减法法则化简向量，利用正方形对角线长度为可得．
【详解】∵正方形边长为1，∴．
．
故答案为：．
【点睛】本题考查向量的加减法的三角形法则，属于基础题．
26．（2023·高一课时练习）若，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据向量减法及几何意义，即可求解.
【详解】因为，
由减法的三角形法则知，
当同向时，，
当反向时，，
所以的取值范围是.
故选：B
【点睛】本题主要考查了向量减法的三角形法则及几何意义，属于中档题.
27．（2023·高一课时练习）如图，在矩形ABCD中，，．设，，，则______．
【答案】
【分析】延长直线，使得直线上一点满足，同理延长直线，使得直线上一点满足，画出图形,则，进而求解即可.
【详解】延长直线，使得直线上一点满足，同理延长直线，使得直线上一点满足，
如图所示，
则，，
则.
故答案为：.
28．（2022春·浙江丽水·高一校考阶段练习）已知非零向量，满足，则_________.
【答案】
【分析】由已知，结合向量的减法法则，可以得出一个特殊的等边三角形，再根据向量加法的平行四边形法得出，从而求得结果.
【详解】如图，设，，则，以OA，OB为边作平行四边形OACB，则.
因为，所以△OAB是等边三角形，四边形OACB是一个菱形，，所以，
所以.
故答案为：．
29．（2022·高一课时练习）已知是正三角形，则下列等式中不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据向量加法的三角形法则及是正三角形，逐一判断即可.
【详解】解：对于A，因为，,
所以，故正确；
对于B，因为,(为中点)，故错误；
对于C，因为(为中点),
(为中点),
所以，故正确；
对于D，因为，，
所以，故正确.
故选：B.
考点三 共线向量定理的应用
证明三点共线
30．（2022秋·广西玉林·高二校考阶段练习）已知向量，不共线，且，，，则一定共线的是（ ）
A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D
【答案】A
【分析】根据给定条件，求出，再利用共线向量定理逐项判断作答.
【详解】向量，不共线，且，，，
，则有，而有公共点B，有A，B，D共线，A是；
，不存在实数，使得，因此不共线，A，B，C不共线，B不是；
，不存在实数，使得，因此不共线，B，C，D不共线，C不是；
，不存在实数，使得，因此不共线，A，C，D不共线，D不是.
故选：A
31．（2023·高一课时练习）设不共线的两个向量，，若，，.求证：、、三点共线.
【答案】证明见解析
【分析】由，得到，从而得到，结合公共点，得到、、三点共线.
【详解】因为，，
，
而，
所以得到
所以和共线，又有公共点，
所以、、三点共线.
【点睛】本题考查向量的线性运算，平面向量共线定理证明点共线，属于简单题.
32．【多选】（2023秋·吉林·高一校考期末）已知A，B，C，是三个不同的点，，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．A，B，C三点共线
【答案】ABD
【分析】根据向量运算求出即可依次判断.
【详解】由题可得，，,
，故A正确；，故B正确；，故C错误；
由可得，A为公共点，故A，B，C三点共线，故D正确.
故选：ABD.
判断点所在的位置
33．（2022·高一课时练习）已知O是所在平面内一点，且，那么（ ）
A．点O在的内部 B．点O在的边上
C．点O在边所在的直线上 D．点O在的外部
【答案】D
【分析】根据向量加法的平行四边形法则求得正确答案.
【详解】因为，所以四边形OACB为平行四边形．从而点O在的外部．
故选：D
34．（2023秋·陕西西安·高一西北工业大学附属中学校考期末）在 中，点 满足 ，则（ ）
A．点 不在直线 上 B．点 在 的延长线上
C．点 在线段 上 D．点 在 的延长线上
【答案】B
【分析】由已知条件可得，从而可得与共线，进而可得结论
【详解】因为，得，
所以，
所以三点共线，且点 在 的延长线上，
故选：B
35．（2023·高一课时练习）已知平面内一点P及△ABC，若，则P与△ABC的位置关系是（ ）
A．P在△ABC外部 B．P在线段AB上
C．P在线段AC上 D．P在线段BC上
【答案】B
【分析】运用向量的加减法运算进行化简，再结合共线定理判定出点位置.
【详解】因为，
所以
所以点P在线段AB上
故选：B
36．（2022·高一课时练习）是所在平面内一点，，则点必在（ ）
A．内部 B．在直线上
C．在直线上 D．在直线上
【答案】B
【分析】根据共线定理可知即与共线，从而可确定点一定在边所在直线上．
【详解】
，
，
，即与共线
∴点一定在边所在直线上.
故选：B．
利用向量共线求参数
37．（2022·高一课时练习）已知.其中与不共线且B，C，D三点共线，求的值.
【答案】.
【分析】利用平面向量的线性运算、共线的性质进行求解.
【详解】由B，C，D三点共线，得，
又，
所以，
，
所以，即，
所以，解得.
38．（2022·高一课时练习）已知，是两个不共线的向量，而和共线，则实数k的值为___________
【答案】##
【分析】由平面向量共线定理即可求解.
【详解】解：由向量共线定理知有且只有1个实数，使得，
所以，解得.
故答案为：.
39．（2022秋·江苏盐城·高一滨海县五汛中学校考阶段练习）设是两个不共线的向量，若向量与的方向相同，则________.
【答案】4
【分析】根据向量共线定理可得存在实数使，从而得到关于的方程组，进而可求出.
【详解】由题意可知与共线，
所以存在实数使，
因为不共线，
所以解得或，
因为向量与的方向相同，所以，即，
故答案为：4
40．（2022·高一课时练习）设，是两个不共线向量，若向量与方向相反，则实数______.
【答案】
【分析】根据题意由共线定理可得存在实数，使，从而可得关于的方程组，进而可求出.
【详解】由题意知，与共线，
∴存在实数，使.
∵，不共线，
∴解得或，
∵与反向，
∴，.
故答案为：
41．（2022·高一课时练习）已知，是不共线的向量，，若三点共线，则实数满足（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据向量的线性运算，可表达出，然后根据向量共线即可求解.
【详解】,,
因为三点共线，所以,故 ，所以
故选：D
42．（2022·高一课时练习）设，是两个不共线的向量，如果，，.
(1)求证：A，B，D三点共线；
(2)试确定的值，使和共线；
(3)若与不共线，试求的取值范围.
【答案】(1)证明过程见解析
(2)
(3)
【分析】（1）要证明A，B，D三点共线，只需证明向量与共线；
（2）两向量与（）共线，所以存在唯一实数实数，使.由此列方程组可解；
（3）知两向量不共线，求参数.可先求两向量共线时的参数值，实数集中去除这些值，即为不共线的参数值或范围.
（1）
证明：因为，
所以与共线.
因为与有公共点B，
所以A，B，D三点共线.
（2）
因为与共线，
所以存在实数，使.
因为，不共线，所以
所以.
（3）
假设与共线，则存在实数m，使.
因为，不共线，所以
所以.
因为与不共线，
所以.
考点四 向量的线性表示
用已知向量表示所求向量
43．（2023秋·北京房山·高一统考期末）在中，D为BC的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据向量加减法运算法则运算求解即可.
【详解】解：因为中，D为BC的中点,
所以，，
故选：B
44．（2022·高一课时练习）在中，已知为上一点，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】结合已知条件，利用向量的线性运算即可求解.
【详解】因为，
所以
.
故选：B.
45．（2022·高一课时练习）如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，F为CE的中点，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用向量的加减法法则和平面向量基本定理求解.
【详解】因为在正方形ABCD中，E为AB的中点，F为CE的中点，
所以，
所以
.
故选：B
46．（2022·高一课时练习）在等腰梯形中，，分别为的中点，为的中点，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据平面向量的共线定理、平面向量的加法的几何意义，结合已知和等腰梯形的性质进行求解即可.
【详解】因为在等腰梯形中，，分别为的中点，为的中点，
所以可得：．
故选：B.
47．【多选】（2022·高一课时练习）在等边三角形中，与交于点F，则下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】利用向量的线性运算证明选项AC正确，，故选项B错误；，故选项D错误．
【详解】解：因为，所以，故选项A正确；
因为，所以，故选项B错误；
由于B，E，F三点共线，所以．
又，从而解得故选项C正确；
，故选项D错误．
故选：AC
三点共线在线性表示中的应用
参数求值
涉及平面向量的参数求值问题，往往通过题目条件中的平面向量的线性关系式进行合理变形与转化，实现满足平面向量共线定理的条件，进而利用平面向量共线定理构建系数之间的关系式，从而得以确定对应的参数求值问题.
48．（2022·高一课时练习）如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为( )
A． B． C．1 D．3
【答案】A
【分析】利用向量的线性运算将条件化为，再根据、、三点共线，得出，解得.
【详解】由题意可知，，所以，
又，即.
因为、、三点共线，所以，解得.
故选：A．
49．（2022·高一课时练习）在中，D为BC上一点.若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求得的等量关系式，然后利用基本不等式求得正确答案.
【详解】由于三点共线，所以，
所以
，
当且仅当.
故选：C
50．（2022·高一课时练习）已知点G为△ABC的重心，过G作直线与AB、AC两边分别交于M、N两点，且＝x，＝y，求的值为________．
【答案】3
【分析】以为基底，由G是的重心和M，G，N三点共线，可得，即求.
【详解】根据条件：，
如图设D为BC的中点，则
因为G是的重心，，
，
又M，G，N三点共线，
，即.
故答案为：3.
51．（2022·高一课时练习）如图所示，是△ABC的一条中线，点满足，过点的直线分别与射线，射线交于，两点.
(1)若，求的值；
(2)设，，，，求的值；
【答案】(1)；
(2)3.
【分析】（1）利用向量的线性运算的几何表示，将用表示，进而即得；
（2）由，将用表示，利用三点共线即得.
【详解】（1）因，
所以，
又因为的中点，
所以，
所以，又，
所以；
（2）因，，，，
所以，，又因，
所以，
又因，，三点共线，
所以，即.
52．（2022·高一课时练习）.如图，在△OAB中，，AD与BC交于点M，设在线段AC上取一点E，在线段BD上取一点F，使EF过M点，设＝p，＝q，求证：＋＝1.
【答案】证明见解析
【分析】由三点共线计算可得，由三点共线，计算可得，即可求得，由三点共线，计算可得，消去,即可证得结果.
【详解】因为三点共线，所以存在实数，使得
，
又三点共线，所以存在实数，使得,
由于不共线，所以,解得.
故.
因为三点共线，所以存在实数，使得,
消去,得＋＝1.
线段比例
涉及平面向量的线段比例问题，破解的关键就是合理挖掘题目条件，利用平面向量共线定理，构建不同平面向量之间的线性关系，结合系数的正负取值情况确定相应线段之间的比例关系.此类问题的表示形式可以是线段比例关系的确定、三角形面积的比值、位置关系的判定等相关的应用问题.
53．（2022·高一课时练习）在中，点满足，则与的面积比为___________．
【答案】##
【分析】由平面向量的加法法则可得到点的位置，再用面积公示，即可得到面积的比值.
【详解】取边的中点，连接，如图所示，
因为，即，所以，即点为的中点，所以.
故答案为：
54．（2022·高一课时练习）点P是所在平面上一点，若，则与的面积之比是（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】D
【分析】如图，延长交于点，设，则，根据平面向量共线定理得推理求出，从而可确定的位置，即可得出答案.
【详解】如图，延长交于点，
设，则，
因为共线，
所以，解得，
所以，，
则，
由，
得，即，
所以，
所以，
所以.
故选：D.
考点五 由平面向量的性质判断图形的形状
55．（2023·高一课时练习）设四边形中，且，则这个四边形是________．
【答案】等腰梯形
【分析】根据相等向量定义，结合可得结果.
【详解】，且，∴四边形为梯形.
又，四边形为等腰梯形.
故答案为：等腰梯形.
56．（2023·高一课时练习），，，均为非零向量，且，，，则四边形ABCD的形状是______．
【答案】矩形
【分析】由向量关系得到对角线互相平分且相等，进而可得四边形ABCD的形状.
【详解】由已知，，
则且共线反向，且共线反向，
则四边形ABCD为平行四边形，
又，对角线相等，
所以四边形ABCD为矩形.
故答案为：矩形.
57．（2023·高一课时练习）在四边形中，，，，则四边形的形状是（ ）．
A．矩形 B．平行四边形
C．梯形 D．无法判断
【答案】C
【分析】利用向量加法运算的几何应用求，可知，即可判断四边形的形状.
【详解】由，
∴，即，而，
∴为梯形.
故选：C
58．（2023·高一课时练习）如图，在平行四边形ABCD的对角线BD所在的直线上取两点E，F，使BE=DF．用向量方法证明：四边形AECF是平行四边形．
【答案】见解析
【详解】如图，
因为四边形为平行四边形，
所以.
又在直线上,
所以,
从而,
所以,即与平行且相等，
所以四边形是平行四边形.
考点六 利用向量的线性运算解决实际问题
59．（2022·高一课时练习）在静水中船的速度是，水流的速度是.如果船从岸边出发，沿垂直于水流的航线到达对岸，那么船行进方向应指向何处？实际航速为多少？
【答案】船的航行方向与水流方向成，船的实际航速为
【分析】如图所示，表示水流的速度，表示船实际航行的速度，表示船行驶的速度，在中，可得,从而得，，即可得答案.
【详解】解：设表示水流的速度，表示船实际航行的速度，表示船行驶的速度，
则四边形为平行四边形.
所以，，
因为，于是，
所以，，
故船的航行方向与水流方向成，船的实际航速为.
60．（2022·高一课时练习）某人骑车以速度向正东方向行驶，感到风从正北方向吹来，而当速度为时，感到风从东北方向吹来，试求实际风速的大小和方向.
【答案】实际风速的大小是，为西北风.
【分析】设实际风速为，由题意可知，此人以速度向正东方向行驶时，感到的风速为，当速度为时感到的风速为，作出对应的图形，根据向量的线性运算及向量的模长公式，即可得解.
【详解】设实际风速为，由题意可知，此人以速度向正东方向行驶时，感到的风速为，当速度为时感到的风速为，
如图，设，，.
∵，∴，这就是速度为时感到的由正北方向吹来的风速.
∵，∴，这就是速度为时感到的由东北方向吹来的风速，
由题意知，，，∴为等腰直角三角形，
∴，，即.
∴实际风速的大小是，为西北风.
【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量的应用，解决问题的关键是抓住“人觉得风的速度是合速度”，再根据它们之间的关系进行分析，考查学生的分析判断能力与转化思想，属于中档题.
61．（2022·高一课时练习）如图，一艘船从A点出发，以的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时，河水的流速为2km/h，求船实际航行速度的大小与方向（用与水流方向的夹角表示）．
【答案】船实际航行速度的大小为，方向与水流速间的夹角为．
【分析】作出图形，利用勾股定理，即可得出结论．
【详解】解：如图，设表示船垂直于对岸的速度，表示水流的速度，以，为邻边作平行四边形，则就是船实际航行的速度．
在中，，，
，
，
．
故船实际航行速度的大小为，方向与水流速间的夹角为．

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