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2023年山东省菏泽市巨野县中考数学三模试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 在下列四个实数中，最小的数是( )
A. B. C. D.
2. 某种芯片每个探针单元的面积为，用科学记数法可表示为( )
A. B. C. D.
3. 下列运算正确的是( )
A. B. C. D.
4. 如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为( )
A.
B.
C.
D.
5. 已知直线，将含角的直角三角板按如图所示摆放．若，则( )
A.
B.
C.
D.
6. 如图是根据南街米粉店今年月日至日每天的用水量单位：吨绘制成的折线统计图．下列结论正确的是( )
A. 平均数是 B. 众数是 C. 中位数是 D. 方差是
7. 如图，、是双曲线上的两点，过点作轴，垂足为点，交于点，若的面积为，为的中点，则的值为( )
A. B. C. D.
8. 关于的一元二次方程有一个根是，若二次函数的图象的顶点在第一象限，设，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
9. 分解因式： ______ ．
10. 设方程的两个根分别为、，则的值是______ ．
11. 如图，将矩形沿折叠，使顶点恰好落在边的中点上，点落在处，交于点若，，则的长为______
12. 黄金分割是一种最能引起美感的分割比例，具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值如图，在某校初三中考百日倒计时启动仪式的中，舞台的长为米，主持人站在点处自然得体已知点是线段上靠近点的黄金分割点，则此时主持人与点的距离为______ 米
13. 小华在如图所示的正方形网格纸板上玩飞镖游戏每次飞镖均落在纸板上，且落在纸板的任何一个点的机会都相等，则飞镖落在阴影区域的概率是______．
14. 如图，抛物线与轴交于、两点，是以点为圆心，为半径的圆上的动点，是线段的中点，连结则线段的最大值是______．
三、解答题（本大题共10小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 本小题分
计算：
16. 本小题分
解不等式组：，并写出该不等式组的整数解．
17. 本小题分
如图所示，在矩形中，点在上，，，垂足为点求证：；
18. 本小题分
亚洲第一、中国唯一的航空货运枢纽鄂州花湖机场，于年月日完成首次全货运试飞，很多市民共同见证了这一历史时刻．如图，市民甲在处看见飞机的仰角为，同时另一市民乙在斜坡上的处看见飞机的仰角为若斜坡的坡比：，铅垂高度米点、、、在同一水平线上求：
两位市民甲、乙之间的距离；
此时飞机的高度结果保留根号
19. 本小题分
某公司分别在，两城生产同种产品，共件．城生产产品的成本万元与产品数量件之间具有函数关系，城生产产品的每件成本为万元．
当城生产多少件产品时，，两城生产这批产品成本的和最小，最小值是多少？
从城把该产品运往，两地的费用分别为万元件和万元件；从城把该产品运往，两地的费用分别为万元件和万元件．地需要件，地需要件，在的条件下，怎样调运可使，两城运费的和最小？
20. 本小题分
如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，点，一次函数与轴相交于点．
求反比例函数和一次函数的表达式；
连接、，求的面积．
21. 本小题分
年月，中共中央胜利召开了第二十次全国代表大会，我县组织全体学生开展了“学习二十大、争做好队员”的主题阅读活动，受到了各校的广泛关注和同学们的积极响应某校为了解同学们的阅读情况，随机抽查了部分学生的在某一周的主题阅读文章的篇数，并制成了如图所示的统计图．
某校抽查的学生阅读篇数统计表：
文章阅读篇数
人数
请根据统计图表中的信息，解答下列问题：
被抽查的学生人数是 人， ；
本次抽查的学生阅读篇数的中位数是 ，众数是 ；
求本次抽查的学生平均每人阅读的篇数；
若该校共有学生人，请估计该校学生在本周内阅读篇数为篇的人数．
22. 本小题分
如图，在的内接四边形中，，平分．
求证：是等边三角形；
若，求的半径．
23. 本小题分
如图，等腰为底与等腰为底，，则与的数量关系为______ ；
如图，矩形中，，，则 ______ ；
如图，在的条件下，点在线段上运动，将绕点顺时针旋转得到，使，连接当时，求的长度；
如图，矩形中，若，，点在线段上运动，将绕点顺时针旋转得到，旋转角等于，连结，的中点为，的中点为，若，直接写出的长．
24. 本小题分
如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过，两点是抛物线上一点，且在直线的上方．
求抛物线的解析式；
如图，点为中点，作轴交于点，若四边形为平行四边形，求点的横坐标；
如图，连结、，交于点，作交于点记，，的面积分别为，，判断是否存在最大值若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
所给的四个实数中，最小的数是．
故选：．
正实数都大于，负实数都小于，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．
此题主要考查了实数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：正实数负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
2.【答案】
【解析】解：，
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
3.【答案】
【解析】解：，
选项的运算不正确，不符合题意；
，
选项的运算不正确，不符合题意；
，
选项的运算正确，符合题意；
，
选项的运算不正确，不符合题意．
故选：．
利用同底数幂的乘法法则，同底数幂的除法法则，幂的乘方与积的乘方法则对每个选项进行逐一判断即可得出结论．
本题主要考查了同底数幂的乘法法则，同底数幂的除法法则，幂的乘方与积的乘方法则，熟练掌握实数法则与性质是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：
．
故该几何体的体积为．
故选：．
由三个视图可知：该几何体为三棱柱，底面是底高的三角形，三棱柱的高为，由此计算体积即可求解．
此题考查由三视图判断几何体，掌握几何体的特征，掌握计算公式是解决问题的关键．
5.【答案】
【解析】解：过含角的直角三角板的直角顶点作，交于点，
，
．
，
．
，
，
．
，，
，
，
，
．
故选：．
过点作，交于点，利用三角形的外角的性质，平行线的性质定理和对顶角相等的性质解答即可．
本题主要考查了直角三角形的两个锐角互余，平行线的性质定理，三角形的外角的性质，对顶角相等，过点作，交于点是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：由题意知，
平均数为：，
众数为：、、、、；
中位数为：；
方差为：；
故选：．
根据图中数据分别求出平均数、众数、中位数及方差即可得出结论．
本题主要考查平均数、众数、中位数及方差的概念，熟练掌握平均数、众数、中位数及方差的概念是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：如图，过点作轴，垂足为，
、是双曲线上的两点，
，
，
∽，
，
又是的中点，
，
，
，
，
又，
，
，
．
故选B．
根据反比例函数系数的几何意义以及相似三角形的性质可得，进而得出，求出三角形的面积，根据反比例函数系数的几何意义即可求出答案．
本题考查反比例函数系数的几何意义，相似三角形性质，以及反比例函数图象上点的坐标特征．
8.【答案】
【解析】
【分析】
二次函数的图象过点，则，而，则，，二次函数的图象的顶点在第一象限，则，，即可求解．
本题主要考查二次函数图象与系数之间的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与方程的关系，会利用对称轴的范围求与的关系，以及二次函数与方程之间的转换．
【解答】
解：关于的一元二次方程有一个根是，
二次函数的图象过点，
，
，
又，
则，，
二次函数的图象的顶点在第一象限，
，，
将，代入上式得：
，解得：，
，解得：，
故的取值范围是，
故选：．
9.【答案】
【解析】解：
，
故答案为：．
先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
10.【答案】
【解析】解：方程的两个根分别为、，
，，
．
故答案是：．
先根据根与系数的关系可求，，再把，的值整体代入所求代数式计算即可．
本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：若方程的两根为、，则，．
11.【答案】
【解析】解：根据折叠的性质可知，，，
顶点恰好落在边的中点上，
，
设，则，
，
，
解得：，即，
故答案为：．
设，根据勾股定理列方程求出即可．
本题主要考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，掌握以上知识点是解决问题的关键．
12.【答案】
【解析】解：由题意可知，点是线段上靠近点的黄金分割点，米，，
米，
即此时主持人与点的距离为米，
故答案为：．
由黄金分割点的定义得，再代入的长计算即可．
本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割点的定义和黄金比值是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：．
故飞镖落在阴影区域的概率是．
故答案为：．
直接表示出图中阴影部分的面积所占分率，进而得出飞镖落在阴影区域的概率．
此题主要考查了几何概率，正确掌握概率公式是解题关键．
14.【答案】
【解析】解：令，则，
故点，
设圆的半径为，则，
当、、三点共线，且点在之间时，最大，
而点、分别为、的中点，故是的中位线，
则，
故答案为．
当、、三点共线，且点在之间时，最大，而是的中位线，即可求解．
本题考查的是抛物线与轴的交点，本题的关键是根据圆的基本性质，确定的最大值，进而求解．
15.【答案】解：原式
．
【解析】直接利用二次根式的性质以及负指数幂的性质和特殊角的三角函数值分别化简求出答案．
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
16.【答案】解：，
解得：，
，
，
，
解得：，
，
，
，
，
不等式组的解集为：，
该不等式组的整数解为，，，．
【解析】首先解每个不等式，然后确定两个不等式的解集的公共部分即可得到不等式组的解集及整数解．
此题考查了一元一次不等式组的解法和确定其整数解，属常规题，其步骤一般为：去分母，去括号，移项合并同类项，将的系数化为．
17.【答案】证明：在矩形中，，，
，
又，
，
，
在和中，
，
≌，
．
【解析】利用“”证≌，由全等三角形的性质即可得出结论．
本题主要考查矩形的性质、全等三角形的判定与性质，证明全等三角形是解决问题的关键．
18.【答案】解：斜坡的坡比：，米，
，
米，
在中，米，
两位市民甲、乙之间的距离为米；
过点作，垂足为，
则米，，
设米，
在中，，
米，
米，
在中，，
，
，
经检验：是原方程的根，
米，
此时飞机的高度为米．
【解析】根据斜坡的坡比：，可得米，然后在中，利用勾股定理进行计算即可解答；
过点作，垂足为，则米，，设米，在中，利用锐角三角函数定义求出的长，从而求出，的长，然后在中，利用锐角三角函数的定义列出关于的方程，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
19.【答案】解：设，两城生产这批产品的总成本的和为万元，
则
，
当时，取得最小值，最小值为万元，
城生产件，，两城生产这批产品成本的和最小，最小值是万元；
设从城把该产品运往地的产品数量为件，则从城把该产品运往地的产品数量为件；
从城把该产品运往地的产品数量为件，则从城把该产品运往地的产品数量为件，运费的和为，
由题意得：，
解得，
，
根据一次函数的性质可得：
随的增大而减小，
当时，取得最小值，最小值为．
故从城把该产品运往地的产品数量为件，从城把该产品运往地的产品数量为件，从城把该产品运往地的产品数量为件，从城把该产品运往地的产品数量为件时，可使得，两城运费的和最小．
【解析】设，两城生产这批产品的总成本的和为万元，则等于城生产产品的总成本加上城生产产品的总成本，由此可列出关于的二次函数，将其写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案；
设从城把该产品运往地的产品数量为件，分别用含的式子表示出从城把该产品运往地的产品数量、从城把该产品运往地的产品数量及从城把该产品运往地的产品数量，再列不等式组求得的取值范围，然后用含的式子表示出，两城总运费之和，根据一次函数的性质可得答案．
本题考查了二次函数和一次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数和一次函数的性质是解题的关键．
20.【答案】解：将点代入，得：，
反比例函数的表达式为：，
将代入，得：，
点的坐标为，
将，代入，
得：，解得：，
一次函数的表达式为：．
设一次函数与轴交于点，
过点作轴于，过点作轴于，
对于，当时，，当时，，
点，点，
，，
又点，，
，，
，，
又，
．
【解析】将点代入反比例函数表达式可求出，进而可得反比例函数表达式，再将代入已求出的反比例函数表达式求出，进而得点，然后再将点，代入一次函数的表达式可求出，，进而可得一次函数的表达式；
设一次函数与轴交于，过点作轴于，过点作轴于，先求出点，，可得，，，，然后根据即可得出答案．
此题主要考查了反比例函数与一次函数的交点，解答此题的关键是熟练掌握待定系数法求函数的表达式，难点是根据图形面积的和差来求的面积．
21.【答案】
；

【解析】解：人，
，
答：被抽查的学生人数人，的值为，
故答案为：，；
将学生阅读篇数从小到大排列处在第、位都是篇，因此中位数是篇，
学生阅读文章篇数出现次数最多的是篇，出现次，因此众数是篇，
故答案为：，；
篇，
答：本次抽查的学生平均每人阅读的篇数为篇；
抽查学生中阅读篇的有人，占抽查学生的，
所以人，
答：估计该校学生在这一周内文章阅读的篇数为篇的人数有人．
从统计图表可得，“阅读篇数为篇”的有人，占调查人数的，可求出调查人数；进而可求出阅读篇数为篇的人数，即的值；
根据众数、中位数的意义，分别求出即可；
根据平均数的求法计算即可；
先计算阅读篇的学生人数占抽查学生的百分比，利用学生总数该项占的百分比计算即可．
本题考查了扇形统计图、中位数和众数、用样本估计总体等知识点．理解和应用图表是解决本题的关键．
22.【答案】解：，平分，
，
由圆周角定理得，，，
是等边三角形；
连接、，作于，
则，
，
，
，
设，则，
则，
解得，，
的半径为．
【解析】本题考查了圆周角定理的应用，掌握等边三角形的判断方法，勾股定理，运用圆周角定理是解题的关键．
根据角平分线的定义得到，根据圆周角定理证明；
连接、，作于，利用含角的直角三角形和勾股定理列方程求解即可．
23.【答案】
【解析】解：，
，
即，
在和中，
，
≌，
．
故答案为：；
矩形中，，，
，
，
故答案为：；
连结，延长至，使得，连结，
将绕点顺时针旋转得到，
，
又，
，
≌，
，
在中，，，
，，
，
；
．
连接，并延长交的延长线于，连接，
，为的中点，
，，，
≌，
，，
是的中点，，
是的中位线，
，
矩形中，，，
，，
延长至，使，连接，
，，
同可知≌，
，，
，，
，
，
点，，三点共线，
过点作于点，
设，
在中，，，
，，
在中，，，，
，
解得负值舍去，
，
．
证明≌，由全等三角形的性质得出；
由勾股股定理求出，由正弦的定义可得出答案；
连结，延长至，使得，连结，证明≌，由全等三角形的性质得出，由勾股定理求出的长，则可得出答案；
连接，并延长交的延长线于，连接，证明≌，由全等三角形的性质得出，，由三角形中位线定理得出，得出，，延长至，使，连接，过点作于点，设，由勾股定理求出，则可得出答案．
本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，矩形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形中位线定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
24.【答案】解：抛物线经过，两点，
，
解得，
抛物线的解析式为；
在中，令得，
，
为中点，
，
由，得直线解析式为，
设，则，
，
四边形为平行四边形，
，即，
解得或，
的横坐标为或；
存在最大值，理由如下：
作交轴于，过作作轴于，交于，延长交轴于，如图：
由直线解析式为，设直线解析式为，
将代入得，
直线解析式为，
令得，
，
，
，
设，则，
，
，
，，
∽，
，
，，
，
，，，
，，
∽，
，
，
，
当时，取最大值，最大值为．
【解析】用待定系数法可得抛物线的解析式为；
在中，得，由为中点，知，由，得直线解析式为，设，由四边形为平行四边形，得，即可解得的横坐标为或；
作交轴于，过作作轴于，交于，延长交轴于，求出，知，设，有，而∽，可得，故，又∽，即得，根据二次函数性质即可得到答案．
本题考查二次函数综合运用，涉及待定系数法，平行四边形，相似三角形判定与性质，三角形面积等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度．
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