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高中数学必修 1 知识点
第一章 集合与函数概念
一、集合有关概念：
1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。
2、集合的中元素的三个特性：
（1）元素的确定性； （2）元素的互异性； （3）元素的无序性
说明：(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的
元素。
(2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。
(3)集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，
不需考查排列顺序是否一样。
(4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。
3、集合的表示：{ … } 如{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}
（1）用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}
（2）集合的表示方法：列举法与描述法。
（Ⅰ）列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。
（Ⅱ）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件表示
某些对象是否属于这个集合的方法。
①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}
②数学式子描述法：例：不等式 x-3>2 的解集是{x∈R| x-3>2}或{x| x-3>2}
（3）图示法（文氏图）：
4、常用数集及其记法：
非负整数集（即自然数集）记作：N
正整数集 N*或 N+ 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R
5、“属于”的概念
集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a 是集合 A 的元素，就说 a 属于集合 A 记作 a∈A ，相反，
a 不属于集合 A 记作 a A
6、集合的分类：
1．有限集 含有有限个元素的集合 2．无限集 含有无限个元素的集合 3．空集 不含任何元素的集合
二、集合间的基本关系
1.“包含”关系———子集
对于两个集合 A 与 B，如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素，我们就说两集合有包含关系，称
集合 A 为集合 B 的子集，记作 A B
注意： 有两种可能（1）A 是 B 的一部分，；（2）A 与 B 是同一集合。
反之: 集合 A 不包含于集合 B,或集合 B 不包含集合 A,记作 A B 或 B A
集合 A 中有 nn 个元素,则集合 A 子集个数为 2 .
2．“相等”关系(5≥5，且 5≤5，则 5=5)
实例：设 2 A={x|x -1=0} B={-1,1} “元素相同”
结论：对于两个集合 A 与 B，如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素，同时,集合 B 的任何一个元
素都是集合 A 的元素，我们就说集合 A 等于集合 B，即：A=B A B且B A
① 任何一个集合是它本身的子集。A A
②真子集:如果 A B,且 A B 那就说集合 A 是集合 B 的真子集，记作 A B(或 B A)
③如果 A B, B C ,那么 A C
④ 如果 A B 同时 B A 那么 A=B
3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ
规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。
三、集合的运算
1．交集的定义：一般地，由所有属于 A 且属于 B 的元素所组成的集合,叫做 A,B 的交集．
记作 A∩B(读作”A 交 B”)，即 A∩B={x|x∈A，且 x∈B}．
2、并集的定义：一般地，由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合，叫做 A,B 的并集。记作：
A∪B(读作”A 并 B”)，即 A∪B={x|x∈A，或 x∈B}．
3、交集与并集的性质：A∩A = A，A∩φ= φ, A∩B = B∩A，A∪A = A，A∪φ= A , A∪B = B∪A.
4、全集与补集
（1）全集：如果集合 S 含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集。通常
用 U 来表示。
（2）补集：设 S 是一个集合，A 是 S 的一个子集（即 A S），由 S 中 S
所有不属于 A 的元素组成的集合，叫做 S 中子集 A 的补集（或余集）。 A
记作： CSA ，即 CSA ={x | x S 且 x A}
（3）性质：⑴CU(C UA)=A ⑵(C UA)∩A=Φ ⑶(C UA)∪A=U CsA
(4)(C UA)∩(C UB)=C U(A∪B) (5)(C UA)∪(C UB)=C U(A∩B)
二、函数的有关概念
1．函数的概念：设 A、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数
x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称 f：A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数．记
作： y=f(x)，x∈A．其中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域；与 x 的值相对应的 y 值叫
做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域．
注意：1、如果只给出解析式 y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义
的实数的集合；2、函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式．
定义域补充：
能使函数式有意义的实数 x 的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)
分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数
式的底必须大于零且不等于 1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义
域是使各部分都有意义的 x 的值组成的集合.（6）指数为零底不可以等于零 (7)实际问题中的函数的定义
域还要保证实际问题有意义.
(注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域。)
2、构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域
注意：（1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，
如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）。
（2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。
相同函数的判断方法：①定义域一致；②表达式相同 (两点必须同时具备)
值域补充
(1)、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域.
(2)、应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域，它是求解复杂函数值域的基
础。
3. 函数图象知识归纳
(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (x∈A)中的 x 为横坐标，函数值 y 为纵坐标的点 P(x，y)
的集合 C，叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象．
C 上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系 y=f(x)，反过来，以满足 y=f(x)的每一组有序实数对 x、y 为
坐标的点(x，y)，均在 C 上 . 即记为 C={ P(x,y) | y= f(x) , x∈A }
图象C一般的是一条光滑的连续曲线(或直线),也可能是由与任意平行于Y轴的直线最多只有一个交点
的若干条曲线或离散点组成。
(2) 画法：
A、描点法：根据函数解析式和定义域，求出 x,y 的一些对应值并列表，以(x,y)为坐标在坐标系内描出相
应的点 P(x, y)，最后用平滑的曲线将这些点连接起来.
B、图象变换法：
常用变换方法有三种，即平移变换、对称变换和伸缩变换
Ⅰ、对称变换:
（1）将 y= f(x)在 x 轴下方的图象向上翻得到 y=∣f(x)∣的图象如：书上 P21 例 5
x
1
（2） y= f(x)和 y= f(-x)的图象关于 y 轴对称。如 y ax与y a x
a
（3） y= f(x)和 y= -f(x)的图象关于 x 轴对称。如 y loga x与y loga x log1 x
a
Ⅱ、平移变换: 由 f(x)得到 f(x a) 左加右减； 由 f(x)得到 f(x) a 上加下减
(3)作用：A、直观的看出函数的性质；B、利用数形结合的方法分析解题的思路；C、提高解题的速度；发
现解题中的错误。
4．区间的概念
（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示．
5．映射
定义：一般地，设 A、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则 f，使对于集合 A 中的任意一
个元素 x，在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应，那么就称对应 f：A B 为从集合 A 到集合 B 的
一个映射。记作“f：A B”
给定一个集合 A 到 B 的映射，如果 a∈A,b∈B.且元素 a 和元素 b 对应，那么，我们把元素 b 叫做元素 a
的象，元素 a 叫做元素 b 的原象
说明:函数是一种特殊的映射，映射是一种特殊的对应，①集合 A、B 及对应法则 f 是确定的；②对应法则
有“方向性”，即强调从集合 A 到集合 B 的对应，它与从 B 到 A 的对应关系一般是不同的；
③对于映射 f：A→B 来说，则应满足：（Ⅰ）集合 A 中的每一个元素，在集合 B 中都有象，并且象是唯一
的；（Ⅱ）集合 A 中不同的元素，在集合 B 中对应的象可以是同一个；（Ⅲ）不要求集合 B 中的每一个元
素在集合 A 中都有原象。
6、函数的表示法：
常用的函数表示法及各自的优点：
1 函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断一个图形是否是函数图
象的依据：作垂直于 x 轴的直线与曲线最多有一个交点。
2 解析法：必须注明函数的定义域；
3 图象法：描点法作图要注意：确定函数的定义域；化简函数的解析式；观察函数的特征；
4 列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征．
注意：解析法：便于算出函数值。列表法：便于查出函数值。图象法：便于量出函数值
补充一：分段函数
在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相
应的表达式。分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写成函数值几种不同的表达式并用一个左
大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．注意：（1）分段函数是一个函数，不要把它误认
为是几个函数；（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．
补充二：复合函数
如果 y=f(u),(u∈M),u=g(x),(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)，(x∈A) 称为 f 是 g 的复合函数。
7．函数单调性
（1）．增函数
设函数 y=f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1，x2，当 x1都有 f(x1)单调增区间； u=g(x) y=f(u) y=f[g(x)]
如果对于区间 D 上的任意两个自变量的值 x1，x2，当 x1＞f(x2)，那么就说 f(x)在这个区间上是减函数.区间 D 称为 y=f(x)的单调减区 增 减 减
间. 减 增 减
注意：1、函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部 减 减 增
性质；
2、必须是对于区间 D 内的任意两个自变量 x1，x2；当 x1（2） 图象的特点
如果函数 y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数 y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单
调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.
(3).函数单调区间与单调性的判定方法
(A) 定义法：
1 任取 x1，x2∈D，且 x1f(x1)－f(x2)的正负）；5 下结论（指出函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性）．
(B)图象法(从图象上看升降)
(C)复合函数的单调性：复合函数 f[g(x)]的单调性与构成它的函数 u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规
律如下：
复合函数单调性：口诀：同增异减
注意：1、函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.
（4）判断函数的单调性常用的结论
①函数 y f (x) 与 y f (x)的单调性相反；
1
y
②当函数 y f (x)恒为正或恒有负时， f (x) 与函数 y f (x) 的单调性相反；
③函数 y f (x)与函数 y f (x) C （C 为常数）的单调性相同；
④当 C > 0（C 为常数）时， y f (x) 与 y C f (x)的单调性相同；
当 （ 为常数）时， y f (x)与 y C f (x)C < 0 C 的单调性相反；
⑤函数 f (x)、 g(x)都是增（减）函数，则 f (x) g(x) 仍是增（减）函数；
⑥若 f (x) 0, g(x) 0且 f (x) 与 g(x)都是增（减）函数，则 f (x) g(x)也是增（减）函数；
若 f (x) 0, g(x) 0且 f (x) 与 g(x)都是增（减）函数，则 f (x) g(x)也是减（增）函数；
⑦设 f (x) 0，若 f (x)
n f (x) n
在定义域上是增函数，则 、 k f (x)(k 0) 、 f (x)(n 1)都是增函数，
1
而 f (x) 是减函数.
8．函数的奇偶性
（1）偶函数
一般地，对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x，都有 f(－x)=f(x)，那么 f(x)就叫做偶函数．
（2）奇函数
一般地，对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x，都有 f(－x)=—f(x)，那么 f(x)就叫做奇函数．
注意：1、 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；
函数可能没有奇偶性,也可能既是奇函数又是偶函数。
2、 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个 x，
则－x 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）．
（3）具有奇偶性的函数的图象的特征
偶函数的图象关于 y 轴对称；奇函数的图象关于原点对称．
总结：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对
称；2 确定 f(－x)与 f(x)的关系；3 作出相应结论：若 f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则 f(x)是偶函数；
若 f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则 f(x)是奇函数．
注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否关于原点对称，
若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，(1)再根据定义判定; (2)有时判定 f(-x)=±f(x)比较困难，可考虑根
据是否有 f(-x)±f(x)=0 或 f(x)/f(-x)=±1 来判定; (3)利用定理，或借助函数的图象判定 .
函数奇偶性的性质
① 奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；
偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反.
②奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 y 轴对称.
③若 f (x)为偶函数，则 f ( x) f (x) f (| x |).
④若奇函数 f (x) 定义域中含有 0，则必有 f (0) 0.
⑤定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数F(x)与一个偶函数G(x)的和（或
f (x) f ( x) f (x) f ( x)
差）”.如设 f (x) 是定义域为 R的任一函数， 则F(x) ，G(x) .
2 2
⑥复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”.
⑦既奇又偶函数有无穷多个（ f (x) 0，定义域是关于原点对称的任意一个数集）.
9、函数的解析表达式
（1）函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对
应法则，二是要求出函数的定义域.
（2）求函数的解析式的主要方法有：待定系数法、换元法、消参法等，A、如果已知函数解析式的构造时，
可用待定系数法；B、已知复合函数 f[g(x)]的表达式时，可用换元法，这时要注意元的取值范围；当已知
表达式较简单时，也可用凑配法；C、若已知抽象函数表达式，则常用解方程组消参的方法求出 f(x)
10．函数最大（小）值（定义见课本 p30 页）
（1） 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；
（2） 利用图象求函数的最大（小）值；
（3） 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：如果函数 y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，
c]上单调递减则函数 y=f(x)在 x=b 处有最大值 f(b)；如果函数 y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，
c]上单调递增则函数 y=f(x)在 x=b 处有最小值 f(b)；
第二章 基本初等函数
一、指数函数
（一）指数与指数幂的运算
1．根式的概念：
负数没有偶次方根；0 的任何次方根都是 n0，记作 0 =0。
n
注意：(1) ( n a) a
a,a 0n n
(2)当 n 是奇数时， a a n n ，当 n 是偶数时， a | a |
a,a 0
2．分数指数幂
m
正数的正分数指数幂的意义，规定：a n n am (a 0,m,n N ,且n 1)
m
_ 1
正数的正分数指数幂的意义：a n (a 0,m,n N ,且n 1)
m
a n
0 的正分数指数幂等于 0，0 的负分数指数幂没有意义
3．实数指数幂的运算性质
aras（1） ar s (a 0,r,s R)
（2） (ar )s ars (a 0,r, s R)
（3） (ab)r arbr (a 0,b 0,r R)
1
注意：在化简过程中，偶数不能轻易约分；如[(1 2)2]2 1 2而应= 2 1
（二）指数函数及其性质
x
1、指数函数的概念：一般地，函数 y a 叫做指数函数，其中 x 是自变量，函数的定义域为 R．
注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和 1．即 a>0 且 a≠1
2、指数函数的图象和性质
01
图
像
定义域 R , 值域（0，+∞）
（1）过定点（0，1）,即 x=0 时，y=1
(2)在 R 上是减函数 (2)在 R 上是增函数
性质
（3）当 x>0 时,00 时,y>1;
当 x<0 时,y>1 当 x<0 时,0图象特征 函数性质
向 x 轴正负方向无限延伸 函数的定义域为 R
函数图象都在 x 轴上方 函数的值域为 +R
共性 图象关于原点和 y 轴不对称 非奇非偶函数
函数图象都过定点（0，1） 过定点（0，1）
自左向右看，图象逐渐下降 减函数
在第一象限内的图象纵坐标都小于 1 当 x>0 时,001
图象上升趋势是越来越缓 函数值开始减小极快，
到了某一值后减小速度较慢；
自左向右看，图象逐渐上升 增函数
在第一象限内的图象纵坐标都大于 1 当 x>0 时,y>1;
a>1 在第二象限内的图象纵坐标都小于 1 当 x<0 时,0图象上升趋势是越来越陡 函数值开始增长较慢，
到了某一值后增长速度极快；
注意： 指数增长模型： x x y=N(1+p) 指数型函数： y=ka
3 考点：（1） ba =N, 当 b>0 时，a,N 在 1 的同侧；当 b<0 时，a,N 在 1 的 异侧。
（2）指数函数的单调性由底数决定的，底数不明确的时候要进行讨论。掌握利用单调性比较幂的大小，
同底找对应的指数函数，底数不同指数也不同插进 01(=a )进行传递或者利用（1）的知识。
（3）求指数型函数的定义域可将底数去掉只看指数的式子，值域求法用单调性。
（4）分辨不同底的指数函数图象利用 1a =a，用 x=1 去截图象得到对应的底数。
(5)指数型函数： x xy=N(1+p) 简写：y=ka
二、对数函数
（一）对数
x
1．对数的概念：一般地，如果a N ，那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作： x loga N
（ a— 底数， N— 真数， loga N — 对数式）
说明：1. 注意底数的限制，a>0 且 a≠1；2. 真数 N>0 3. 注意对数的书写格式．
2、两个重要对数：
（1）常用对数：以 10 为底的对数, log10 N记为lg N ；
（2）自然对数：以无理数 e 为底的对数的对数 , loge N记为ln N ．
3、对数式与指数式的互化
x loga N a
x N
对数式 指数式
对数底数← a → 幂底数
对数← x → 指数
真数← N → 幂
结论：（1）负数和零没有对数
（2）logaa=1, loga1=0 特别地， lg10=1, lg1=0 , lne=1, ln1=0
log N
(3) 对数恒等式：a a N
（二）对数的运算性质
如果 a > 0，a 1，M > 0， N > 0 有：
1、 log（a M N） loga M loga N 两个正数的积的对数等于这两个正数的对数和
M
2 、 log a log a M log a N 两个正数的商的对数等于这两个正数的对数差
N
n
3 、 loga M n loga M（n R） 一个正数的 n 次方的对数等于这个正数的对数 n 倍
说明:
1) 简易语言表达:”积的对数=对数的和”……
2) 有时可逆向运用公式
3) 真数的取值必须是(0,＋∞)
4) 特别注意： log a MN log a M loga N
log a M N log a M log a N
log
注意：换底公式 log c
b lgb
a b a 0,a 1,c 0,c 1,b 0
logc a lg a
利用换底公式推导下面的结论
1 n
① log a b ② loga b logb c logc d loga d ③ log
n
am
b loga b
log b a m
（二）对数函数
1、对数函数的概念：函数 y loga x (a>0，且 a≠1) 叫做对数函数，其中 x 是自变量，函数的定义域是
（0，+∞）．
注意：（1） 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。
如： y loga x 1， y loga x 2 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数．
（2） 对数函数对底数的限制：a>0，且 a≠1
2、对数函数的图像与性质：对数函数 y loga x (a>0，且 a≠1)
0 ＜ a ＜ 1 a ＞ 1
y y
图
像 0 (1,0) x
0 (1,0) x
定义域：（0，＋∞） 值域：R
过点(1 ,0), 即当 x ＝1 时,y＝0
性 在(0,+∞)上是减函数 在(0,+∞)上是增函数
质 当 x>1 时，y<0 当 x>1 时，y>0
当 x=1 时，y=0 当 x=1 时，y=0
当 00 当 0重要结论：在 log b 中，当 a ,b 同在(0,1) 或(1,+∞)内时，有 log b>0;
a a
当 a,b 不同在(0,1) 内，或不同在(1,+∞) 内时,有 log b<0.
a
口诀：底真同大于 0（底真不同小于 0）.
（其中，底指底数，真指真数，大于 0 指 log b 的值）
a
3、如图，底数 a 对函数 y log a x 的影响。
规律: 底大枝头低, 头低尾巴翘。
4 考点：
Ⅰ、logab, 当 a,b 在 1 的同侧时, logab >0；当 a,b 在 1 的异侧时, logab <0
Ⅱ、对数函数的单调性由底数决定的，底数不明确的时候要进行讨论。掌握利用单调性比较对数的大
小，同底找对应的对数函数，底数不同真数也不同利用（1）的知识不能解决的插进 1(=logaa)进行
传递。
Ⅲ、求指数型函数的定义域要求真数>0，值域求法用单调性。
Ⅳ、分辨不同底的对数函数图象利用 1=logaa ，用 y=1 去截图象得到对应的底数。
Ⅴ、 xy=a (a>0 且 a ≠1) 与 y=logax(a>0 且 a ≠1) 互为反函数，图象关于 y=x 对称。
5 比较两个幂的形式的数大小的方法:
(1) 对于底数相同指数不同的两个幂的大小比较,可以利用指数函数的单调性来判断.
(2) 对于底数不同指数相同的两个幂的大小比较,可以利用比商法来判断.
(3) 对于底数不同也指数不同的两个幂的大小比较,则应通过中间值来判断.常用 1 和 0.
6 比较大小的方法
(1) 利用函数单调性(同底数)；(2) 利用中间值（如:0,1.）；(3) 变形后比较；(4) 作差比较
（三）幂函数

1、幂函数定义：一般地，形如 y x 的函数称为幂函数，其中 x 是自变量，α为常数．
2、幂函数性质归纳．
（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；
（2）α>0 时，幂函数的图象通过原点，并且在[0,+ ∞）上是增函数．特
别地，当α>1 时，幂函数的图象下凸；当 0<α<1 时，幂函数的图象
上凸；
（3）α<0 时，幂函数的图象在（0，+∞）上是减函数．在第一象限
内，当 x 从右边趋向原点时，图象在 y 轴右方无限地逼近 y 轴正半轴，
当 x 趋于+∞时，图象在 x 轴上方无限地逼近 x 轴正半轴．
第三章 函数的应用
一、方程的根与函数的零点
1、函数零点的概念：对于函数 y=f(x),使 f(x)=0 的实数 x 叫做函数的零点。（实质上是函数 y=f(x)与 x 轴交
点的横坐标）
2、函数零点的意义：方程 f(x)=0 有实数根 函数 y=f(x)的图象与 x 轴有交点 函数 y=f(x)有零点
3、零点定理：函数 y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的，并且有 f(a)f(b)<0,那么函数 y=f(x)在区间（a,b）
至少有一个零点 c，使得 f( c)=0,此时 c 也是方程 f(x)=0 的根。
4、函数零点的求法：求函数 y=f(x)的零点：
（1） （代数法）求方程 f(x)=0 的实数根；
（2） （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数 y=f(x)的图象联系起来，并利用函数的性
质找出零点．
5、二次函数的零点：二次函数 2f(x)=ax +bx+c(a≠0)．
1）△＞0，方程 f(x)=0 有两不等实根，二次函数的图象与 x 轴有两个交点，二次函数有两个零点．
2）△＝0，方程 f(x)=0 有两相等实根（二重根），二次函数的图象与 x 轴有一个交点，二次函数有一个二
重零点或二阶零点．
3）△＜0，方程 f(x)=0 无实根，二次函数的图象与 x 轴无交点，二次函数无零点．
二、二分法
1、概念：对于在区间[a,b]上连续不断且 f(a)f(b)<0 的函数 y=f(x),通过不断地把函数 f(x)的零点所在的区间
一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法。
2、用二分法求方程近似解的步骤:
⑴确定区间[a,b],验证 f(a)f(b)<0，给定精确度ε；
⑵求区间(a,b)的中点 c;
⑶计算 f(c),
①若 f(c)=0,则 c 就是函数的零点；
②若 f(a)f(c)<0,则令 b=c（此时零点 x0∈(a,c)）
③若 f(c)f(b)<0,则令 a=c（此时零点 x0∈(c,b)）
(4)判断是否达到精确度ε：即若|a-b|<ε,则得到零点近似值为 a(或 b);否则重复⑵~⑷
三、函数的应用：
（1）评价模型： 给定模型利用学过的知识解模型验证是否符合实际情况。
（2）几个增长函数模型：一次函数：y=ax+b(a>0)
指数函数： x xy=a (a>1) 指数型函数： y=ka (k>0,a>1)
幂函数： n y=x （ n N*) 对数函数：y=logax(a>1)
二次函数： 2y=ax +bx+c(a>0)
增长快慢： x nV(a )>V(x )>V(logax)
解不等式 x 2 2 x (1) log2x< 2 < x (2) log2x< x < 2
（3）分段函数的应用：注意端点不能重复取，求函数值先判断自变量所在的区间。
（4）二次函数模型： 2 y=ax +bx+c(a≠0) 先求函数的定义域，在求函数的对称轴，看它在不在定义域内，
在的话代进求出最值，不在的话，将定义域内离对称轴最近的点代进求最值。
（5）数学建模：
(6)一元二次方程 ax2+bx+c=0 （a>0）的 根的分布
两个根都在（m,n )内 两个有且仅有一个在（m,n)内 x1∈(m,n) x2∈(p,q)
y
m n
m
n p q
n x m
0 f (m) 0

b
m n f (n) 0
2a f(m)f(n)<0
f (m) 0 f ( p) 0

f (n) 0 f (q) 0
两个根都小于 K 两个根都大于 K 一个根小于 K，一个根大于 K
y
k
k x k
0 0
f(k)<0
b b
k k
2a 2a
f (k) 0 f (k) 0

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