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导数的应用之不含参数的函数单调性
【知识导图】
【例题精讲】
一、一次型导数
1、标准一次型
例1：求下列函数的单调区间.
（1）；
（2）.
【分析】求出，分别令，，即可解出的单调递增、递减区间.
【详解】（1）,
令，
所以在上单调递增，在单调递减.
（2）的定义域为，
，
所以在区间和，递减；
在区间，递增.
所以的减区间为：和，增区间为.
变式训练：
1．已知函数，求函数的单调区间；
【详解】（1），
时，，的单调增区间为，
时，，的单调减区间为，
所以函数单调增区间为，单调减区间为.
2、指数一次型
例2：已知函数，求函数的单调区间.
【详解】，
令，
所以在上单调递增，在单调递减.
3、对数一次型
例3：求下列函数的单调区间.
（1）.
（2）
【详解】（1）的定义域为，，
所以在区间递减；
在区间递增.
所以的减区间为，增区间为.
（2）由得，
令，即，得，从而，
令，即，得，此时为增函数，又，得增区间为，
令，即，得，此时为减函数，减区间为.
二、二次型导数
1、标准二次型
例1、设函数，求函数的单调区间；
【详解】，
令，则或，
列表如下：
－3 1
＋ 0 － 0 ＋
单调递增 单调递减 单调递增
∴的增区间为；减区间为；
变式训练：
1．设函数，求函数的单调区间.
【分析】求得，根据和的解集，得到函数的单调区间。
【详解】由函数，可得，
令，即，解得或；
令，即，解得，
所以函数的单调递增区间为，递减区间为，
2．已知函数．求的单调区间；
【详解】的定义域为，
，令，解得或，
令，解得，
所以的单调递增区间为和，单调递减区间为；
3.已知，函数，其中e是自然对数的底数.当时，求函数的单调区间；
【详解】当时，，
则
令，得；
令，得；
所以，函数的单调增区间为，单调减区间为．
2、高次函数型
例2.已知函数，求函数的单调区间及最小值.
【分析】根据导函数即可求解单调区间.
【详解】由题意，函数的定义域为.
令，得或，或，
当时，或；当时，或，
所以函数的单调递增区间为,，单调递减区间为，
3、指、对数二次型
例3.已知函数，曲线在点处切线方程为.
(1)求实数的值；
(2)求的单调区间.
【详解】（1），
曲线在点处的切线方程为，
，解得.
（2）由（1）可知：，
.
由解得，或，此时函数在单调递增；
由解得，此时函数在单调递减.
例4.已知函数．求函数的单调区间；
【详解】定义域，
，
令，即，解得
当，时，，
当，时，，
所以的单调增区间，，单调减区间，．
例5.已知函数．当时，讨论的单调性；
【详解】由题意可得，
当时，
令，则即
由，得，由，得或，
则在上单调递减，在，上单调递增．
在上单调递减，在，上单调递增．
变式训练：
1．已知函数，当时，求函数的单调递增区间
【详解】当时，，
则，
令，在R上单调递增，
当时，，当时，，
即在上递减，在上递增，
故，
所以恒成立，仅当时取等号，
即的单调递增区间为
三、综合型
1、三角函数导数型
例1.（1）设函数．求的单调区间；
（2）已知函数.求函数的单调区间和极值.
【详解】（1）因为定义域为，
所以，
因为，所以，
所以当时，当时，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）因为，，
所以，
令，则 或，
所以当或时，；
当时，.
所以在上递增，在上递减, 在上递增，
2.二次求导型
例2．（1）已知函数.求的单调区间；
（2）已知函数.求函数的单调区间；
（3）已知函数，求的单调区间；
【详解】（1）由，得，
令，
则恒成立，
所以在上单调递增，且，
所以当时，，即
当时，，即，
综上所述，的单调递减区间为，单调递增区间为
（2），函数定义域为R，
则且，
令，，在上单调递增，
所以，所以的单调递增区间为，
，，所以的单调递减区间为.
（3）对函数求导可得：， 令 则.
当单调递减，单调递增.
所以，，所以，在上单调递增.
故的单调递增区间是，无递减区间.
变式训练：
1.（2023·陕西西安·统考一模）已知.若时，求的单调区间；
定义域为，当时，
，
令，则，
由得，由得，
所以在上单调递减，在上单调递增.
所以恒成立.
由得，由得，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为.
2.已知函数.当时，求的单调递增区间；
【详解】当时，，，
设
又，∴在上单调递增，
又，∴当时，当时，
∴的单调递增区间为.
3.已知函数．讨论在上的单调性；
【详解】，
，则；
，则，
所以在单调递增，在单调递减．
【巩固练习】
1．求函数的单调区间．
【详解】由题得函数的定义域为，
则
令，得，即（），此时单调递增；
令，得，即（），此时单调递减，
故所求函数的单调递增区间为（），单调递减区间（）．
2．已知函数.当时，求的单调区间
【详解】当，定义域为，
，
在上单调递减，又
所以当时，单调递增，
当时，，单调递减，
所以的递增区间是，递减区间是.
3．（2023春·安徽安庆·高二安徽省宿松中学校考期中）已知函数.若，求函数的单调区间；
【详解】当，则，
令，解得，令，解得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增；
所以函数的单调减区间为，单调增区间为；
4．（2023·全国·校联考模拟预测）已知函数．当时，求的单调区间；
【详解】当时，，所以，
设，则，
当时，单调递减，当时，单调递增，
所以，
所以的单调递增区间是没有单调递减区间．
5．已知函数，其图象在处的切线过点．
(1)求a的值；
(2)讨论的单调性；
【详解】（1）因为函数，
所以，，
则，
所以函在处的切线方程为，
又因为切线过点，
所以，
即，解得；
（2）由（1）知；，则，
令，则，
当时，，当时，，
所以，
即当时，，当时，，
所以在上递增，在上递增；
6．已知函数.求的单调区间.
【详解】，
令，易得或，令，易得，
所以函数在和上递增，在上递减，
即的单调递增区间是和；单调递减区间是.
7．已知函数．求的单调区间；
【详解】由定义域为
又
令，显然在单调递减，且；
∴当时，；
当时，．
则在单调递增，在单调递减
8．已知函数．求函数的单调区间；
【详解】函数的定义域为R，
求导得：，
当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减．
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为和．
9．已如函数.当时，求函数的单调区间；
【详解】，，则，
设，则恒成立，故单调递增.
即单调递增，且，
故当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增；
综上所述：单调递减区间为，单调递增区间为.
10．已知函数．求的单调区间：
【详解】由题意，函数定义为 ，
则，在上单调递增，且，
故当时，，当时，，
故的单调减区间为，单调增区间为.导数的应用之不含参数的函数单调性
【知识导图】
【例题精讲】
一、一次型导数
1、标准一次型
例1：求下列函数的单调区间.
（1）；
（2）.
变式训练：
1．已知函数，求函数的单调区间；
2、指数一次型
例2：已知函数，求函数的单调区间.
3、对数一次型
例3：求下列函数的单调区间.
（1）.
（2）
二、二次型导数
1、标准二次型
例1、设函数，求函数的单调区间；
变式训练：
1．设函数，求函数的单调区间.
2．已知函数．求的单调区间；
3.已知，函数，其中e是自然对数的底数.当时，求函数的单调区间；
2、高次函数型
例2.已知函数，求函数的单调区间及最小值.
3、指、对数二次型
例3.已知函数，曲线在点处切线方程为.
(1)求实数的值；
(2)求的单调区间.
例4.已知函数．求函数的单调区间；
例5.已知函数．当时，讨论的单调性；
变式训练：
1．已知函数，当时，求函数的单调递增区间
三、综合型
1、三角函数导数型
例1.（1）设函数．求的单调区间；
（2）已知函数.求函数的单调区间和极值.
2.二次求导型
例2．（1）已知函数.求的单调区间；
（2）已知函数.求函数的单调区间；
（3）已知函数，求的单调区间；
变式训练：
1.（2023·陕西西安·统考一模）已知.若时，求的单调区间；
2.已知函数.当时，求的单调递增区间；
3.已知函数．讨论在上的单调性；
【巩固练习】
1．求函数的单调区间．
2．已知函数.当时，求的单调区间
3．（2023春·安徽安庆·高二安徽省宿松中学校考期中）已知函数.若，求函数的单调区间；
4．（2023·全国·校联考模拟预测）已知函数．当时，求的单调区间；
5．已知函数，其图象在处的切线过点．
(1)求a的值；
(2)讨论的单调性；
6．已知函数.求的单调区间.
7．已知函数．求的单调区间；
8．已知函数．求函数的单调区间；
9．已如函数.当时，求函数的单调区间；
10．已知函数．求的单调区间：导数的应用之含参数的函数单调性1：导数基本型
【知识导图】
【例题精讲】
一、基本型--一次函数型
类型1、标准一次函数型讨论
例1．（2023春·山东聊城·高二山东聊城一中校联考阶段练习改编）已知函数，求函数的单调区间。
【详解】由，得，
①时，，在单调递减。
②时，令，；
令，； 令，
当变化时，，的变化情况如下表所示.
+ 0
单调递增 单调递减
综上所述：当时，在单调递减，
当时，在上单调递增，在上单调递减.
例2．（2023·广东佛山·校联考模拟预测）已知函数．讨论的单调性；
【详解】的定义域为，，
由得：因式决定导数值的正负；
当时，，在上为增函数；
当时，由，得，由，得，
所以在上为减函数，在上为增函数.
综上所述：当时，在上为增函数；
当时，在上为减函数，在上为增函数.
类型2、指数一次型讨论
例3．（2023·湖北荆门·荆门市龙泉中学校考模拟预测）设函数，且．求函数的单调性；
【详解】，，
当时，恒成立，则在上单调递增；
当时，时，，则在上单调递减；
时，，则在上单调递增．
综上：当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
例4．（2023·全国·统考高考真题）已知函数．讨论的单调性；
【详解】因为，定义域为，所以，
当时，由于，则，故恒成立，所以在上单调递减；
当时，令，解得，
当时，，则在上单调递减；
当时，，则在上单调递增；
综上：当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
例5．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知且，函数.讨论的单调区间；
【详解】，则
当时，当时，；当时，.
函数在上单调递增；在上单调递减.
当时，，所以，所以恒成立. 所以函数在上单调递增.
综上：当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减。
类型3、对数一次型
例6．（2023·全国·高二专题练习）已知函数，.讨论的单调性；
【详解】，
当时，，在上单调递减；
当时，，，
则在上单调递减，在上单调递增；
当时，，，
则在上单调递增，在上单调递减.
综上，当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
二、基本型--二次函数型
类型1、标准二次函数讨论
例1.（2023春·广东肇庆·高二德庆县香山中学校考期中改编）已知函数，求的单调减区间．
【详解】因为，
所以，
因为，令，则或，
当，即时，令，得；令，得当或；
所以在上单调递减，在，上单调递增，
当，即时，令，得；令，得当或；
所以在上单调递减，在，上单调递增，
综上：当时，在上单调递减，在，上单调递增；
当时，在上单调递减，在，上单调递增。
例2.（2023·重庆·统考模拟预测）已知函数．讨论函数的单调性；
【详解】函数的定义域为，求导得，
①当，即时，恒成立，此时在上单调递减；
②当，即时，由解得，，
由解得，，由解得或，
此时在上单调递增，在和上单调递减；
③当，即时，由解得或(舍)，
由解得，由解得，
此时在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，函数在上单调递减；
当时，函数在上单调递增，在和上单调递减；
当时，函数在上单调递增，在上单调递减.
变式训练：（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）已知函数．求函数的单调区间；
【详解】函数的定义域是．
由已知得，．
①当时，当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
②当时，当时，，单调递增；
当时，，单调递减；当时，，单调递增；
③当时，当时，，单调递增；
④当时，当时，，单调递增；
当时，，单调递减；当时，，单调递增．
综上，①当时，函数在上单调递减，上单调递增；
②当时，函数在单调递增上单调递减，上单调递增；
③当时，函数在单调递增；
④当时，函数在单调递增，上单调递减，上单调递增．
类型2、指数二次型
例3．（2023春·广东广州·高二广州市白云中学校考期中）已知函数．讨论的单调性；
【详解】由题意可得，
当时，由，得，由，得，
则在上单调递减，在上单调递增；
当时，，则，
由，得，由，得或，
则在上单调递减，在，上单调递增；
当时，在上恒成立，则在上单调递增；
当时，，则，
由，得，由，得或，
则在上单调递减，在，上单调递增．
综上可得：当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在，上单调递增；
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在，上单调递增．
类型3、对数二次型
例4．（2023·上海徐汇·上海市南洋模范中学校考模拟预测）已知函数，其中．讨论函数的单调性．
【详解】（1）因为，显然，
则，
①当时，，
当时，，则，单调递减，
当时，，则单调递增，
即当时，在上单调递减，上单调递增；
②当时，
当时，由（1）知在单调递增；
当时，当时，；
当时，；
当时，；
故当和时，；当时，；
因此在上单调递增，在上单调递减；
当时，当时，；
当时，；
当时，；
故当和时，；当时，；
因此在上单调递增，在上单调递减；
综上：当时，在上单调递减，上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
【巩固练习】
1．（2023春·贵州黔东南·高三校考阶段练习）已知函数，.讨论的单调性；
【详解】的定义域为,，
当时，,函数在上单调递增；
当时，令,得；令，得.
所以在上单调递减，在上单调递增.
综上所述，当时，函数在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
2．（2023春·北京·高二中关村中学校考期中）已知函数，其中且.求函数的单调区间；
【详解】因为的定义域为，，
①当时，令，解得，
因为，所以
当x变化时，、变化情况如下表：
x
+ 0 -
↗ 极大值 ↘
所以时，的单调增区间为，单调减区间为
②当时，的定义域为，
因为，，所以，
所以在定义域上单调递减，
所以时，没有单调增区间，单调减区间为，
③当时，的定义域为，令，解得，
因为，所以，
当x变化时，、变化情况如下表：
x
+ 0 -
↗ 极大值 ↘
所以时，的单调增区间为，单调减区间为，
综上所述，时，的单调增区间为，单调减区间为，
时，没有单调增区间，单调减区间为，
时，的单调增区间为，单调减区间为；
3．（2023·全国·高二专题练习）已知函数，讨论的单调性.
【详解】因为，
所以的定义域是，，
当时，当时，，当时，，
则在上单调递减，在上单调递增；
当时，由得或，
当时，，当或时，，当时，，
则在和上单调递增，在上单调递减；
当时，，恒成立，在上单调递增；
当时，，当或时，，当时，，
则在和上单调递增，在上单调递减；
综上所述，当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增；
当时，在区间和上单调递增，在区间上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在和上单调递增，在上单调递减.
4．（2023·全国·高二专题练习）已知函数．若，讨论的单调性；
【分析】求出函数的导数后因式分解，对分情况讨论得的符号，从而可得的单调性.
【详解】由题意知，，
的定义域为，．
若，则，所以在上单调递减；
若，令，解得．
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增．
5．（2023·全国·高二专题练习）已知（）．讨论的单调性；
【分析】求得函数的导数，分类讨论a的取值范围，判断导数的正负，即可判断函数的单调性.
【详解】由已知，（）的定义域为，
，
①当时，在区间上恒成立，在区间上单调递增；
②当时，令，则，，
解得（舍去），，
∴当时，，∴，
∴在区间上单调递减，
当时，，∴，
∴在区间上单调递增，
综上所述，当时，在区间上单调递增；
当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增.
6．（2023·全国·高二专题练习）已知函数，.当时，讨论的单调性.
【详解】，，
令，则即
若时，则，当时，，当时，，
即有恒成立，当且仅当时等号成立，在上为减函数，无增区间；
当时，若，则；若，则，，则，
于是在，上为减函数，在上为增函数，
当时，若，则，，则，
所以在上为增函数，在上为减函数.
综上所述：
当时，的递减区间为；
当时，的递减区间为，，递增区间为；
当时，的递增区间为，递减区间为.
7．（2023·山东聊城·统考三模）已知函数．讨论的单调性；
【分析】根据题意，求导得，然后分，，分别讨论，即可得到结果；
【详解】，，
①当，即时，，在区间单调递增．
②当，即时，
令，得，令，得，
所以在区间单调递增；在区间单调递减．
③当，即时，
若，则，在区间单调递增．
若，令，得，令，得，
所以在区间单调递减；在区间单调递增．
综上，时，在区间单调递增；在区间单调递减；
时，在区间单调递增
时，在区间单调递减、在区间单调递增．导数的应用之含参数的函数单调性1：导数基本型
【知识导图】
【例题精讲】
一、基本型--一次函数型
类型1、标准一次函数型讨论
例1．（2023春·山东聊城·高二山东聊城一中校联考阶段练习改编）已知函数，求函数的单调区间。
例2．（2023·广东佛山·校联考模拟预测）已知函数．讨论的单调性；
类型2、指数一次型讨论
例3．（2023·湖北荆门·荆门市龙泉中学校考模拟预测）设函数，且．求函数的单调性；
例4．（2023·全国·统考高考真题）已知函数．讨论的单调性；
例5．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知且，函数.讨论的单调区间；
类型3、对数一次型
例6．（2023·全国·高二专题练习）已知函数，.讨论的单调性；
二、基本型--二次函数型
类型1、标准二次函数讨论
例1.（2023春·广东肇庆·高二德庆县香山中学校考期中改编）已知函数，求的单调减区间．
例2.（2023·重庆·统考模拟预测）已知函数．讨论函数的单调性；
变式训练：（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）已知函数．求函数的单调区间；
类型2、指数二次型
例3．（2023春·广东广州·高二广州市白云中学校考期中）已知函数．讨论的单调性；
类型3、对数二次型
例4．（2023·上海徐汇·上海市南洋模范中学校考模拟预测）已知函数，其中．讨论函数的单调性．
【巩固练习】
1．（2023春·贵州黔东南·高三校考阶段练习）已知函数，.讨论的单调性；
2．（2023春·北京·高二中关村中学校考期中）已知函数，其中且.求函数的单调区间；
3．（2023·全国·高二专题练习）已知函数，讨论的单调性.
4．（2023·全国·高二专题练习）已知函数．若，讨论的单调性；
5．（2023·全国·高二专题练习）已知（）．讨论的单调性；
6．（2023·全国·高二专题练习）已知函数，.当时，讨论的单调性.
7．（2023·山东聊城·统考三模）已知函数．讨论的单调性；导数的应用之含参数的函数单调性2：分类讨论的标准确定
【知识导图】
【例题精讲】
一、求导后参数混合型
导函数符号主要由其表达式中所含的一次函数或二次函数确定.
类型1、无限制条件下的直接因式分解型
例1．（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）已知函数．求函数的单调区间；
【分析】求出函数的定义域，求导，令即
分类讨论的标准：零点是否在定义域内及零点的大小关系, 即临界值为.
【详解】函数的定义域是．
由已知得，．
①当时，当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
②当时，当时，，单调递增；
当时，，单调递减；当时，，单调递增；
③当时，当时，，单调递增；
④当时，当时，，单调递增；
当时，，单调递减；当时，，单调递增．
综上，①当时，函数在上单调递减，上单调递增；
②当时，函数在单调递增上单调递减，上单调递增；
③当时，函数在单调递增；
④当时，函数在单调递增，上单调递减，上单调递增．
类型2、有限制条件下的间接因式分解型
例2．已知函数．讨论当时，单调性．
【分析】求出的定义域和导数，
因为因式的正负决定导数的正负，
由的对称轴在定义域内，考虑即得为临界值，
所以分和两种情况讨论在相应区间上的符号从而可求出的单调性.
【详解】由题意可知
对于二次函数．
当时，恒成立，在上单调递减；
当时，二次函数有2个大于零的零点，分别是，
，
当时，在单调递增；
当时，在和单调递减
综上：当时在单调递减
当时在单调递增；
在和上单调递减．
二、求导后参数独立型
题型: , 求导后 , 求出 的值域. 分类讨论的标准就是 与 的值域的关系, 即与 值域中端点值的大小关系.
类型1、求导后参数直接独立型
讨论 在上的单调性.
【详解】由已知, 得 .
因为 , 所以 ,则
(1) 当 时, , 所以 在 上单调递增;
(2) 当 时, , 所以 在 上单调递减;
(3) 当 时, , 则 ,
其中 , 且由 , 知 .
所以 在 单调递减, 在 单调递增.
类型2、求导后参数间接独立型
讨论函数 的单调性;
【分析】 , 所以 . 由于 与 的符号是一致的,所以可以先讨论 的符号.
在确定 , 及 以后, 要想确定 有零点时 的单调性, 则需对 的表达式作进一步变形,
即 , 其中
【详解】由已知得 , 所以 .
由于 , 则
(1) 当 时, , 即 , 所以 在 上单调递减;
(2) 当 时, ,即 ,所以 在 上单调递增;
(3) 当 时, ,
其中 ,
由于 , 则 .
所以在上单调递增,在上单调递减.
变式训练：
1.讨论函数 的单调性;
【详解】: 由已知, 得 . 由于 , 则
(1)当时, , 所以在单调递增;
(2)当时, , 所以在单调递减;
(3)当时, 则 ,
所以 在 单调递减, 在 单调递增.
2.讨论函数 的单调性.
分析: , 所以 , 由于 与 的符号是一致的,所以可以 先讨论 的符号, 在确定 , 及 以后, 要想确定 有零点时 的单调性,则需对 的表达式 作进一步变形。
讨论函数 的单调性.
分析: , 所以 .
由于 与 的符号是一致的, 所以可以先讨论 的符号, 在确定 , 及以后, 要想确定 有零点时的单调性, 则需对 的表达式作进一步变形.
三、二次求导型
类型1、对数型二次求导
例1．（2023·福建泉州·泉州五中校考模拟预测）已知函数．讨论的单调性；
【分析】求得，发现无法直接因式分解，也无法直接判断导数的正负，故需要构造新函数来判断值域的范围来确定导数的正负；
【详解】由函数，可得，
设，可得，
①当时，，所以在单调递增；
②当时，令，解得.
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
综上，当时，在单调递增；
当时，在单调递减，在单调递增.
类型2、指数型二次求导
例2．（2023·全国·模拟预测）设，函数，讨论在的单调性；
【分析】求导，发现无法直接因式分解，也无法直接判断导数的正负，故需要构造新函数来判断值域的范围来确定导数的正负。
【详解】因为，所以在有定义，
，
设，则
.
当时，，所以 在单调递增，而，所以当时时 ，
因此在单调递减，在单调递增；
【巩固练习】
1．（2023春·山东青岛·高二青岛市即墨区第一中学统考期中）已知函数．求函数的单调区间；
【分析】先求，然后对进行分类讨论，根据单调性、极值点等知识求得的取值范围.
【详解】依题意，的定义域为R，
求导得，令，得或，
若，，，递增；，，递减；，，递增，
若，则，在R上单调递增，
若，，，递增；，，递减；，，递增，
所以当时，函数的递增区间是，递减区间是；
当时，函数在R上单调递增；
当时，函数的递增区间是，递减区间是.
2．（2023·安徽合肥·合肥市第八中学校考模拟预测）已知函数.讨论函数的单调性；
【分析】（1）分类讨论含参函数的单调性即可；
【详解】
解法一：的定义域为，则
由得即
①当时，，此时函数在上单调递增；
②当时，由
令，则
此时函数在上单调递减，在上单调递增；
综上所述：当时，函数在上单调递增；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增.
解法二：
的定义域为，
①当时，，此时函数在上单调递增；
②当时，由得，由得
此时函数在上单调递减，在上单调递增；
综上所述：当时，函数在上单调递增；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增.
3．（2023·河南郑州·统考模拟预测）已知.讨论的单调性；
【分析】求出函数的定义域与导函数，，考虑是否在定义域内，所以分、、、四种情况讨论，分别求出函数的单调区间；
【详解】因为定义域为，
所以,
若时，则，所以在上单调递增，
若时，则，所以在上单调递增，
若时，，则，当时，在上单调递减，
当或时，在，上单调递增，
若时，，则，当时，在上单调递减，
当或时，在，上单调递增，
综上所述：
当或时在上单调递增；
当时在上单调递减，在，上单调递增；
当时在上单调递减，在，上单调递增.
4．（2023·全国·高三对口高考）求下列函数的单调区间
【分析】求出函数的定义域，并求出其导函数，再分类讨论确定大于0、小于0的不等式的解集作答.
【详解】
解法一：函数的定义域为，
求导得，则
由得
当时，即恒成立，函数在(0,上单调递減；
当时，即恒成立，在上单调递增；
当时，其中，
由，得
由，得或，
由，得，
因此函数在，上单调递增，在上单调递减，
综上所述：
当时，的递减区间是，无递增区间；
当时，函数的递增区间为，，递减区间为；
当时,的递增区间是，无递诫区间.
解法二：函数的定义域为，求导得，
当时，恒成立，函数在(0,上单调递減；
当时，令，有，，
当，即有时，，恒成立，即在上恒成立，在上单调递增；
当，即有时，令，解得，
由，即，得或，
由，即，得，
因此函数在，上单调递增，在上单调递减，
综上所述：
当时，的递减区间是，无递增区间；
当时，函数的递增区间为，，递减区间为；
当时,的递增区间是，无递诫区间.
5．（2023·新疆阿勒泰·统考三模）已知函数，其中为非零常数．讨论的极值点个数，并说明理由；
【详解】由已知，的定义域为，
则
由得，由得，
知在上单调递增，故
①当时，，从而，所以在内单调递减，无极值点；
②当时，令，
∵，∴在上单调递减，
，
所以存在唯一的，使得，
∴当时，，即，此时单调递增；
当时，，即，此时单调递减，
所以当时，在上有且仅有一个极值点，
综上所述，当时，函数无极值点；当时，函数只有一个极值点
6．（2023·广西玉林·统考模拟预测）已知函数，.讨论的单调区间；
【分析】先求出函数的定义域，从而根据函数的解析式，求出函数的导函数，分析导函数符号在不同区间上的取值，根据导函数符号与原函数的单调性之间的关系即可求出所求区间．
【详解】的定义域为，
若，当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
若，则恒成立，在上单调递增.
综上，当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为；
当时，的单调递增区间为，无单调递减区间
7．（2023·广东·统考模拟预测）已知函数，.讨论的单调性；
【详解】（1）依题意.
若，则，故当时，，当时，.
若，令，，令，解得或.
①若，则.
②若，则.
③若且，令，得，.
若，则，当时，，
当时，，当时，；
若，则，当时，，
当时，，当时，.
综上所述：若，则在R上单调递增；
若，则在和上单调递增，在上单调递减；
若，则在上单调递减，在上单调递增；
若，则在和上单调递减，在上单调递增；
若，则在R上单调递减；
8．（2023春·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.
【分析】（1）求出函数的导函数，再分、两种情况讨论，分别求出函数的单调区间；
（2）由题意得对任意恒成立，令，分、两种情况讨论，分别利用导数说明函数的单调性，即可得解；
【详解】（1）因为定义域为，则，
当时，令，解得，令，解得，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增；
当时，令，解得，令，解得；
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，
综上，在区间上单调递减，在区间上单调递增.
（2）由题意得对任意恒成立，
令，
则，
若，当时，，，
令，则，
所以在区间上单调递增，且，
即，令，
则，所以在区间上单调递增，且，
即，所以当时，，
则，
所以在区间上单调递增，且，
即恒成立，
当时，，存在实数，使得，均有，
则在区间上单调递减，且，不符合题意.
综上，实数的取值范围是.导数的应用之含参数的函数单调性2：分类讨论的标准确定
【知识导图】
【例题精讲】
一、求导后参数混合型
导函数符号主要由其表达式中所含的一次函数或二次函数确定.
类型1、无限制条件下的直接因式分解型
例1．（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）已知函数．求函数的单调区间；
类型2、有限制条件下的间接因式分解型
例2．已知函数．讨论当时，单调性．
二、求导后参数独立型
题型: , 求导后 , 求出 的值域. 分类讨论的标准就是 与 的值域的关系, 即与 值域中端点值的大小关系.
类型1、求导后参数直接独立型
讨论 在上的单调性.
类型2、求导后参数间接独立型
讨论函数 的单调性;
变式训练：
1.讨论函数 的单调性;
2.讨论函数 的单调性.
3.讨论函数 的单调性.
三、二次求导型
类型1、对数型二次求导
例1．（2023·福建泉州·泉州五中校考模拟预测）已知函数．讨论的单调性；
类型2、指数型二次求导
例2．（2023·全国·模拟预测）设，函数，讨论在的单调性；
【巩固练习】
1．（2023春·山东青岛·高二青岛市即墨区第一中学统考期中）已知函数．求函数的单调区间；
2．（2023·安徽合肥·合肥市第八中学校考模拟预测）已知函数.讨论函数的单调性；
3．（2023·河南郑州·统考模拟预测）已知.讨论的单调性；
4．（2023·全国·高三对口高考）求下列函数的单调区间
5．（2023·新疆阿勒泰·统考三模）已知函数，其中为非零常数．讨论的极值点个数，并说明理由；
6．（2023·广西玉林·统考模拟预测）已知函数，.讨论的单调区间；
7．（2023·广东·统考模拟预测）已知函数，.讨论的单调性；
8．（2023春·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.导数的应用之含参数的函数单调性2：分类讨论的标准确定技巧2
【知识导图】
【例题精讲】
一、定义域人为限制型
如果是在内讨论导函数值的正负,则只需考虑由根与区间端点值相等解得的标准 (即由端点值是导函数的零点解得的值).
例1．（2023·北京·高三专题练习）已知函数，讨论函数在区间内的单调性；
【分析】对进行求导，然后根据是否在定义域内来分类讨论的单调性
【详解】，
令，则
（Ⅰ）当，即时，
，在单调递减
（Ⅱ）当，即时，
，在单调递增
（Ⅲ）当，即时，当时， ，单调递增；
当时，，单调递减
综上所述，（Ⅰ）当时，在单调递减
（Ⅱ）当时，在单调递增
（Ⅲ）当时，在单调递增，在单调递减。
二、参数乘函数的倍数型
类型: , 讨论标准就是 0 , 即分 两类.
例2、讨论函数 的单调性.
【详解】 ，
令, 则
由得，
所以时，，单调递减，
时，，单调递增，
所以在上单调递减，在上单调递增，
则。
当时，，在上单调递增。
当时，，在上单调递减。
例3、（2023年康德二诊）已知为自然对数的底数, 为常数, 函数.
(1)求函数的极值;
(2)若在轴的右侧函数的图象总在函数的图象上方, 求实数的取值范围.
【详解】 (1) ,
当时, 无极值;
当时, 由 得 ,
在 单调递减, 在 为单调递增,
当 时, 极小值为
(2) 即, 关于的不等式恒成立,
设, 则 ,
(i) 当 时, 单调递增,
时,
存在, 使得 在上单调递减
当时, 矛盾
(ii)当时, 令 , 解得
在上单调递减, 在上单调递增
(1) 若即 时, 在 上单调递增
在上单调递增,
, 满足条件
(2)若 时, 在 上单调递减,
此时 在 上单调递减, , 矛盾
综上, 实数 的取值范围
二、导数零点及定义域的端点型
例4、已知 , 若 时, 恒成立,求实数 的取值范围.
【详解】
则，
所以 在 上单调递增,则. 【讨论标准由此产生即】
当 时, , 则 在 上单调递增, 所以 恒成立;
当 时,由于 , 所以 在 上有唯一零点 ,
则 时, 单调递减, 此时 , 不符合题意.
综上所述, 实数 的取值范围是 .
八、指对数函数定点型：
导函数的结构中含有指数与对数时，可以用指数、对数函数的定点取参数的临界值。
例5、（2022·全国乙卷理科第21题）已知函数，若在区间各恰有一个零点，求a的取值范围．
【详解】，
设
【分类标准：为的系数，考虑，
指数定点，，故临界值】
（1）若,当,即
所以在上单调递增,
故在上没有零点,不合题意。
（2）若,当,则
所以在上单调递增所以,即
所以在上单调递增,
故在上没有零点,不合题意
（3）若
①当,则,所以在上单调递增
所以存在,使得,即
当单调递减，当单调递增
所以当,
令则
所以在上单调递增，在上单调递减，所以，
又，，
所以在上有唯一零点.
又没有零点,即在上有唯一零点
②当
设，
所以在单调递增，
所以存在,使得
当单调递减
当单调递增,
又，所以存在,使得,即
当单调递增,当单调递减，
当，，
又，
而,所以当
所以在上有唯一零点,上无零点即在上有唯一零点，所以,符合题意
所以若在区间各恰有一个零点,求的取值范围为。
【巩固练习】
1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若函数在上的最小值是，求a的值.
【答案】（1）的单调递增区间为，无单调递减区间；（2）
【分析】（1）确定函数的定义域，根据可得在定义域上的单调性;
（2）求导函数，分类讨论,确定函数在上的单调性利用在上的最小值为即可求的值.
【详解】解：（1）函数的定义域为,且,
当时，，即函数在定义域上为增函数，
的单调递增区间为，无单调递减区间.
（2）由（1）知,,
①若，则，即在上恒成立,此时在上为增函数,
在上的最小值为,, （舍去）
②若,则，即在上恒成立,此时在上为减函数,
，（舍去）.
③若，令，得.
当时,,在上为减函数；
当时，，在上为增函数，
，
综上可知：
2．（2023·江苏淮安·江苏省盱眙中学校考模拟预测）已知函数，.讨论的单调性；
【分析】先求导，然后对参数进行分类讨论.
【详解】因为，
所以
令则
①若，则，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增
②若，则，所以当时，，单调递减，当或时，，单调递增；
③若，则，在上单调递增；
④若，则，所以当时，，单调递减，当或时，，单调递增.
⑤若，则，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增.
综上，当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在，上单调递增；
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在，上单调递增.
当时，在上单调递减，在上单调递增.
3．（2021春·陕西西安·高二西安市铁一中学校考期中）已知函数，.当时，恒成立，求的取值范围．
【详解】由函数，
则，其中.
则在上单调递增。即
当时，因为，所以.
所以函数在上单调递增，故.
当时，令，得.
若，则，所以函数在时，
，不符合题意.
综上，的取值范围是.
4.（2022新高考Ⅱ卷第22题）已知函数．当时，，求a的取值范围；
【分析】设，求出，先讨论时题设中的不等式不成立，再就结合放缩法讨论符号，最后就结合放缩法讨论的范围后可得参数的取值范围.
【详解】设，则，
又，设，
则，
【对于而言：中的正负影响单调性，所以为一个临界值；
对来说端点，则即为一个临界值，故分类讨论临界值为】
若，则，因为为连续不间断函数，
故存在，使得，总有，
故在为增函数，故，
故在为增函数，故，与题设矛盾.
若，则，
下证：对任意，总有成立，
证明：设，故，
故在上为减函数，故即成立.
由上述不等式有，
故总成立，即在上为减函数，所以.
当时，有，
所以在上为减函数，所以.
综上，.
5．（2020·海南·高考真题）已知函数．若不等式恒成立，求a的取值范围．
【详解】通性通法
,，且.
设,则
∴g(x)在上单调递增，即在上单调递增，
【由得（单调）中过定点，则，即分类讨论临界值为】
当时，,∴,∴成立.
当时， ，，,
∴存在唯一，使得，且当时，当时，，，
因此
>1,
∴∴恒成立；
当时， ∴不是恒成立.
综上所述，实数a的取值范围是[1,+∞).导数的应用之含参数的函数单调性2：分类讨论的标准确定技巧2
【知识导图】
【例题精讲】
一、定义域人为限制型
如果是在内讨论导函数值的正负,则只需考虑由根与区间端点值相等解得的标准 (即由端点值是导函数的零点解得的值).
例1．（2023·北京·高三专题练习）已知函数，讨论函数在区间内的单调性；
二、参数乘函数的倍数型
类型: , 讨论标准就是 0 , 即分 两类.
例2、讨论函数 的单调性.
例3、（2023年康德二诊）已知为自然对数的底数, 为常数, 函数.
(1)求函数的极值;
(2)若在轴的右侧函数的图象总在函数的图象上方, 求实数的取值范围.
二、导数零点及定义域的端点型
例4、已知 , 若 时, 恒成立,求实数 的取值范围.
八、指对数函数定点型：
导函数的结构中含有指数与对数时，可以用指数、对数函数的定点取参数的临界值。
例5、（2022·全国乙卷理科第21题）已知函数，若在区间各恰有一个零点，求a的取值范围．
【巩固练习】
1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若函数在上的最小值是，求a的值.
2．（2023·江苏淮安·江苏省盱眙中学校考模拟预测）已知函数，.讨论的单调性；
3．（2021春·陕西西安·高二西安市铁一中学校考期中）已知函数，.当时，恒成立，求的取值范围．
4.（2022新高考Ⅱ卷第22题）已知函数．当时，，求a的取值范围；
5．（2020·海南·高考真题）已知函数．若不等式恒成立，求a的取值范围．导数的应用之与三角函数有关的函数单调性
【知识导图】
【例题精讲】
一、可因式分解求函数单调性
例1．（2023·宁夏银川·校联考二模）已知函数．讨论在上的单调性；
【详解】，
，则；
，则，
所以在单调递增，在单调递减．
例2．（2023·全国·高二专题练习）已知函数，.当时，讨论的单调性.
【详解】，，
若时，则，当时，，当时，，
即有恒成立，当且仅当时等号成立，在上为减函数，无增区间；
当时，若，则；若，则，，则，
于是在，上为减函数，在上为增函数，
当时，若，则，，则，
所以在上为增函数，在上为减函数.
所以当时，的递减区间为；
当时，的递减区间为，，递增区间为；
当时，的递增区间为，递减区间为.
例3．（2023·全国·高二专题练习）已知函数.讨论函数的单调性；
【分析】直接求导得，再分和讨论即可得到其单调性.
【详解】由题意得，函数的定义域为，
则，
，，
当时，，所以在上单调递减；
当时，，所以在上单调递增；
综上所述：函数在上单调递减，在上单调递增.
例4．（2021秋·福建福州·高三校考期中）已知函数.讨论f(x)在区间(0，π)的单调性；
【分析】(1)首先求得导函数的解析式，然后由导函数的零点确定其在各个区间上的符号，最后确定原函数的单调性即可；
【详解】由函数的解析式可得：，则：
，
在上的根为：，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
当时，单调递增.
二、可因式分解求函数单调性
类型1、二次求导求函数单调性
例1．（2023·安徽六安·六安一中校考模拟预测）已知函数为函数的导函数．讨论函数的单调性；
【详解】的定义域为，，
令，则，
所以函数在单调递增，又因为，
所以，，
即：，，
所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.
例2．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知函数，函数.求函数的单调区间；
【详解】，函数定义域为R，
则且，
令，，在上单调递增，
所以，所以的单调递增区间为，
，，所以的单调递减区间为.
例3．（2023·全国·高二专题练习）已知函数，为的导函数．讨论函数在区间上的单调性；
【详解】由，可得，
则，其中，
令，其中，
可得，
所以在上单调递增，即在上单调递增，
因为，，
所以存在，使得，
当时，，单调递减；当时，，单调递增.
类型2、放缩(指对函数值域)求函数单调性
例1．（2023春·安徽滁州·高二安徽省定远中学校考阶段练习）已知函数．当时，讨论在区间上的单调性；
【分析】代入，再根据结合指数函数、三角函数的范围判断导函数的正负即可；
【详解】当时，
所以．
由得；
所以．
所以在区间上的单调递增．
例2．（2022秋·江西赣州·高三校联考阶段练习）已知函数，．讨论函数在区间上的单调性；
【详解】函数的定义域为．，
当时，，而，所以，
当时，，而，
所以．
所以当时，，即．
综上，在上单调递增．
例3．（2023·江苏苏州·模拟预测）已知函数.若在上单调递增，求实数的取值范围；
【分析】根据题意转化为在上恒成立，然后转化为最值问题，求导即可得到结果；
【详解】因为在上单调递增，所以在上恒成立，
即.令.
因为且，
所以在上恒成立.
所以在上单调递增，所以，所以.
三、三角函数有关的函数应用
类型1、零点的判定与证明问题
例1．（2019·浙江·高三专题练习）已知函数，f′（x）为f（x）的导数．证明：在区间（0，π）存在唯一零点；
【详解】
令，则
当时，令，解得：
当时，；当时，
在上单调递增；在上单调递减
又，，
即当时，，此时无零点，即无零点
，使得
又在上单调递减 为，即在上的唯一零点
综上所述：在区间存在唯一零点
例2.已知函数 .
证明：（1） 在区间 存在唯一极大值点;
（2）有且仅有1个零点.
【分析】(1) 先确定函数定义域, 根据函数 的正负先判断出 的单调性, 然后确定 的零点分布, 由此得到 的单调性即可完成证明;
（2）对区间进行分段: , 分别考虑每一段区间上的零点情况, 由此证明 的零点仅有 1 个.
【详解】函数 的定义域为 ,
（1） ,
当 时, 所以 在区间 上单调递减,
所以 在区间 内有唯一零点,
当 时, , 当 时 ,
所以在区间 存在唯一极大值点.
（2）当 时, 在区间 上单调递增
因为, 所以存在零点 ,
当 时, ,
当 时, ,
所以 有且仅有 1 个零点.
类型2、恒成立与能成立问题
例1．（2023·全国·统考高考真题）证明：当时，；
【分析】分别构建，，求导，利用导数判断原函数的单调性，进而可得结果；
【详解】构建，则对恒成立，
则在上单调递增，可得，
所以；
构建，
则，
构建，则对恒成立，
则在上单调递增，可得，
即对恒成立，
则在上单调递增，可得，
所以；
综上所述：.
例2．（2023·全国·统考高考真题）已知函数
(1)当时，讨论的单调性；
(2)若恒成立，求a的取值范围．
【分析】（1）求导,然后令,讨论导数的符号即可;
（2）构造,计算的最大值,然后与0比较大小,得出的分界点,再对讨论即可.
【详解】（1）
令,则
则
当
当,即.
当,即.
所以在上单调递增,在上单调递减
（2）设
设
所以.
若,
即在上单调递减,所以.
所以当,符合题意.
若
当,所以.
.
所以,使得,即,使得.
当,即当单调递增.
所以当,不合题意.
综上,的取值范围为.
【点睛】关键点点睛:本题采取了换元,注意复合函数的单调性在定义域内是减函数,若,当,对应当.
类型3、极值、最值与取值范围问题
例1．（2023春·广东佛山·高三佛山市第四中学校考开学考试）已知函数，为的导数．证明：在区间存在唯一极大值点；
【分析】求得导函数后，可判断出导函数在上单调递减，根据零点存在定理可判断出，使得，进而得到导函数在上的单调性，从而可证得结论；
【详解】由题意知：定义域为：且
令，
，
在上单调递减，在上单调递减
在上单调递减
又，
，使得
当时，；时，
即在上单调递增；在上单调递减，则为唯一的极大值点
即：在区间上存在唯一的极大值点.
例2．（2023·全国·高二专题练习）已知函数.若函数在上有极值，求在上所有极值的和；
【详解】函数，，求导得，
而，
当时，，在上单调递增，无极值，
当时，，在上单调递减，无极值，
当时，在上有2个实根，设其为，且，
当时，，当时，，
即函数在，上单调递增，在上单调递减，
因此为的极大值，为的极小值，
由正弦函数图象的对称性知，，所以在上的所有极值的和为
.
例3．（2023·贵州遵义·统考三模）已知函数，是的导函数.
(1)证明：在区间存在唯一极大值点；
(2)若对，都有成立，求实数的取值范围.
【分析】（1）首先设函数，首先判断导函数的单调性，再结合零点存在性定理，以及极大值点的定义，即可证明；
（2）由不等式参变分离为，转化为求函数的最大值，即可求实数的取值范围.
【详解】（1）证明：因为，所以，
设，则，
在区间，函数和都是单调递减函数，所以单调递减，
且，，
所以在区间上存在唯一，使得，
当时，，在区间单调递增，
当时，，在区间单调递减，
所以在区间上存在唯一极大值点；
（2）因为任意，都有成立，
所以恒成立，即，
记，
，
记，所以，，
所以在区间单调递增，所以，
所以，即在区间上单调递增，且，
所以.
【巩固练习】
1．（2023春·上海长宁·高二上海市延安中学校考期中）求函数，的单调区间和极值；
【分析】求导，根据导函数的符号求出函数的单调区间，再根据极值的定义求极值即可.
【详解】由，得，
由，得，
令，得，即，
令，得，即，
所以函数单调递减区间为，单调递增区间为，
所以函数得极小值为，无极大值.
2．（2023春·吉林长春·高二长春市第二实验中学校考期中）设函数．
(1)求的单调区间；
(2)当时，求的取值范围．
【分析】（1）求出函数的导函数，再解关于导函数的不等式，即可求出函数的单调区间；
（2）由（1）可得函数在上的单调性，即可求出函数的最小值，再求出区间端点的函数值，即可求出函数的值域.
【详解】（1）因为定义域为，
所以，
因为，所以，
所以当时，当时，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）由（1）可得在上单调递减，在上单调递增，
所以在处取得极小值即最小值，所以，
又，，
又，所以，
所以.
3．（2023·全国·高二专题练习）已知函数，.
(1)求函数在处的切线方程；
(2)求函数的极值.
【分析】(1)根据导数的几何意义即可求解;(2)根据导数与极值的关系即可求解.
【详解】（1）因为，
所以，
所以，
所以，
而，
所以函数f（x）在处的切线方程为：，
即，
（2）因为，
所以，
所以，
令，
解得或，
又因为，
所以或，
↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
函数的极大值为;
函数的极小值为.
4．（2023·广东佛山·校考模拟预测）已知函数.
(1)求函数在区间上的最小值；
(2)判断函数的零点个数，并证明.
【分析】（1）对求导，令，，得出在的单调性，结合零点存在性定理可得在上单调递增，在上单调递减，再比较的大小，即可得出答案.
（2）利用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理，讨论，和时，的正负，即可得出证明.
【详解】（1）的定义域为，故，
令，，
当时，，
所以在上单调递减，且，
，
所以由零点存在定理可知，在区间存在唯一的，使
又当时，；当时，；
所以在上单调递增，在上单调递减，
又因为，，
所以函数在区间上的最小值为.
（2）有个零点，证明如下：
因为，，
若，，
所以在区间上单调递增，又，，
结合零点存在定理可知，在区间有且仅有一个零点，
若，则，则，
若，因为，所以，
综上，函数在有且仅有一个零点.
5．（2023·江苏镇江·江苏省镇江第一中学校考模拟预测）已知函数.若在上单调递增，求实数的取值范围；
【分析】函数单调递增即导函数大于等于零，转化成不等式恒成立求参数范围；
【详解】由题意可得：，构建，
若在上单调递增，则在上恒成立，
因为，
且当时，，则，
可得在上单调递增，则，
所以，即，
故实数的取值范围.
6．（2023·山东威海·统考二模）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)证明：方程在上有且只有一个解；
【分析】（1）求出函数的导函数，结合正弦函数的性质即可得解；
（2）将化简得，令，则问题转化为方程在上有且只有一个解，利用导数说明函数的单调性，即可证明；
【详解】（1）因为定义域为，
且，
所以当时，
当时，
所以在上单调递增，在上单调递减.
（2）证明：由化简得，
令，
要证方程在上有且只有一个解，
即证方程在上有且只有一个解，
又，所以当时，当时，
当时，
所以在，上单调递减，在上单调递增，
所以当时，
所以在上不存在满足，
又，，所以有且只有一个，满足，
所以在上有且只有一个解.
7．（2023·全国·高二专题练习）已知函数.讨论的单调性；
【分析】直接求导得，分和讨论即可.
【详解】，
当时，，，，在上单调递增；
当时，令，解得：，
则当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增；
综上所述：当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
8．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）已知函数．
(1)求的零点个数；
(2)当时，恒成立，求的取值范围．
【分析】（1）容易判断为偶函数，求导，利用导数研究函数在的上零点个数，再由对称性求解即可.
（2）原式化简，得，构造新函数求导，利用导数求函数最值，分类讨论值得出答案.
【详解】（1）∵，∴，定义域R,为偶函数.
则只需讨论在上的零点即可，，
令，则恒成立，
在上单调递增，，
在上单调递增，又，
必然存在使得，
综上所述的零点个数为2．
（2），
令
则，∴在上单调递增．
①当时，在上单调递增，则，∴．
②时，恒成立，
③时，在上单调递减，即，
综上所述，的取值范围为．
【点睛】关键点睛：对于第（2）问，难点在于函数的分割，这个可以构造的函数形式比较多，找到构造是关键.
9．（2023春·甘肃张掖·高二高台县第一中学校考阶段练习）已知函数为的导数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)，若对任意，均存在，使得，求实数的取值范围.
【分析】（1）先求出导函数，由得到切线斜率，再根据点坐标即可得到切线方程；
（2）转化问题为，结合二次函数性质可求得的最小值，构造，由的导函数判断的单调性，利用端点值和极值判断的正负，进而判断的单调性，求得，即可求解.
【详解】（1）由题意，所以0，
即切线的斜率，且，
所以曲线在点处的切线方程为.
（2）由题意知，
且的对称轴为直线，
所以当时，.
由（1），设，则，
所以，
当时，；
当时，，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减.
又，所以在区间上只有一个零点，
设为，且当时，；当时，，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，
又，
所以当时，，
所以，即，
因此，实数的取值范围是.
10．（北京市大兴区2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题）已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)设，求证：当时，；
(3)对任意的，判断与的大小关系，并证明结论．
【分析】（1）利用导数的几何意求解即可；
（2）对求导，可判断出当时，，则在区间上单调递减，从而可证得结论；
（3）不妨假设中的定值，令，，对函数求导后可判断在上单调递减，则，从而可比较出大小.
【详解】（1）由，
得．
因为，．
所以曲线在点处的切线方程为．
（2）依题意，．
所以．
当时，，
所以．
所以函数在区间上单调递减．
因为，
所以当时，．
（3）不妨假设中的定值，令，，
则，，．
由（2）知，在区间上单调递减，
因为，所以．
从而在上单调递减．
因为，
所以当时，，即．
综上，对任意的，有
【点睛】关键点睛：此题第（3）问解题的关键是假设中的定值，令，，然后利用导数求出其单调区间，从而得结果.
11．（2023·全国·校联考模拟预测）已知.
(1)证明：当时，在上单调递增；
(2)当时，关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
【分析】（1）求导，得到导函数大于0恒成立，证明出结论；
（2）变形得到在上恒成立，令，二次求导，求出导函数单调递增，结合，分与两种情况，讨论得到的取值范围.
【详解】（1）证明：因为，
所以，
因为，所以，又，所以，
所以在上单调递增.
（2）当时，，
即
所以，即在上恒成立.
令，则，
令，
则.
因为，所以，所以，
所以在上单调递增，所以.
①当，即时，在上，，即，所以在上单调递增，
所以对，即在上恒成立，符合题意；
②当，即时，，
又，若，则在上，，即，所以在上单调递减，所以，不合题意；
若，则存在，使得，
所以在上，，即，
所以在上，单调递减，所以对不合题意.
综上所述，关于的不等式在上恒成立，实数的取值范围为.
12．（2023·上海普陀·曹杨二中校考模拟预测）已知函数.
(1)求证：；
(2)若，试比较与的大小；
(3)若，问是否恒成立？若恒成立，求的取值范围； 若不恒成立，请说明理由.
【分析】（1）直接作差令，求导判定差函数单调性及最小值即可得出结论；
（2）作差令，分区间讨论其导函数符号得出单调性及最小值即可；
（3）令，利用端点效应即得出时恒成立，再证明充分性即可.
【详解】（1）即证，令，，
当所以此时单调递减；
当所以此时单调递增；
即当时，取得极小值也是最小值，所以，得证；
（2）设，则，
①当时，，所以，
而此时，故，在减函数，，
即；
②当时，由（1）知
，
令，即在单调递增，
所以，即，当且仅当时取得等号，
又恒成立，当且仅当时取得等号，
所以，即，即
综上，若，.
（3）恒成立，
设，
即证在上恒成立，
易得，
当时，若，
下面证明：当时，，在上恒成立，
因为，设，
则，
所以在上是单调递增函数，
所以，所以在上是严格增函数，
若时，，即在右侧附近单调递减，此时必存在，不满足恒成立，
故当时，不等式恒成立.
13．（2023·全国·统考高考真题）已知函数，若是的极大值点，求a的取值范围．
【答案】（1）证明见详解（2）
【分析】（1）分别构建，，求导，利用导数判断原函数的单调性，进而可得结果；
（2）根据题意结合偶函数的性质可知只需要研究在上的单调性，求导，分类讨论和，结合（1）中的结论放缩，根据极大值的定义分析求解.
【详解】（1）构建，则对恒成立，
则在上单调递增，可得，
所以；
构建，
则，
构建，则对恒成立，
则在上单调递增，可得，
即对恒成立，
则在上单调递增，可得，
所以；
综上所述：.
（2）令，解得，即函数的定义域为，
若，则，
因为在定义域内单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
则在上单调递减，在上单调递增，
故是的极小值点，不合题意，所以.
当时，令
因为，
且，
所以函数在定义域内为偶函数，
由题意可得：，
（i）当时，取，，则，
由（1）可得，
且，
所以，
即当时，，则在上单调递增，
结合偶函数的对称性可知：在上单调递减，
所以是的极小值点，不合题意；
（ⅱ）当时，取，则，
由（1）可得，
构建，
则，
且，则对恒成立，
可知在上单调递增，且，
所以在内存在唯一的零点，
当时，则，且，
则，
即当时，，则在上单调递减，
结合偶函数的对称性可知：在上单调递增，
所以是的极大值点，符合题意；
综上所述：，即，解得或，
故a的取值范围为.
【点睛】关键点睛：
1.当时，利用，换元放缩；
2.当时，利用，换元放缩.导数的应用之与三角函数有关的函数单调性
【知识导图】
【例题精讲】
一、可因式分解求函数单调性
例1．（2023·宁夏银川·校联考二模）已知函数．讨论在上的单调性；
例2．（2023·全国·高二专题练习）已知函数，.当时，讨论的单调性.
例3．（2023·全国·高二专题练习）已知函数.讨论函数的单调性；
例4．（2021秋·福建福州·高三校考期中）已知函数.讨论f(x)在区间(0，π)的单调性；
二、可因式分解求函数单调性
类型1、二次求导求函数单调性
例1．（2023·安徽六安·六安一中校考模拟预测）已知函数为函数的导函数．讨论函数的单调性；
例2．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知函数，函数.求函数的单调区间；
例3．（2023·全国·高二专题练习）已知函数，为的导函数．讨论函数在区间上的单调性；
类型2、放缩(指对函数值域)求函数单调性
例1．（2023春·安徽滁州·高二安徽省定远中学校考阶段练习）已知函数．当时，讨论在区间上的单调性；
例2．（2022秋·江西赣州·高三校联考阶段练习）已知函数，．讨论函数在区间上的单调性；
例3．（2023·江苏苏州·模拟预测）已知函数.若在上单调递增，求实数的取值范围；
三、三角函数有关的函数应用
类型1、零点的判定与证明问题
例1．（2019·浙江·高三专题练习）已知函数，f′（x）为f（x）的导数．证明：在区间（0，π）存在唯一零点；
例2.已知函数 .
证明：（1） 在区间 存在唯一极大值点;
（2）有且仅有1个零点.
类型2、恒成立与能成立问题
例1．（2023·全国·统考高考真题）证明：当时，；
例2．（2023·全国·统考高考真题）已知函数
(1)当时，讨论的单调性；
(2)若恒成立，求a的取值范围．
类型3、极值、最值与取值范围问题
例1．（2023春·广东佛山·高三佛山市第四中学校考开学考试）已知函数，为的导数．证明：在区间存在唯一极大值点；
例2．（2023·全国·高二专题练习）已知函数.若函数在上有极值，求在上所有极值的和；
例3．（2023·贵州遵义·统考三模）已知函数，是的导函数.
(1)证明：在区间存在唯一极大值点；
(2)若对，都有成立，求实数的取值范围.
【巩固练习】
1．（2023春·上海长宁·高二上海市延安中学校考期中）求函数，的单调区间和极值；
2．（2023春·吉林长春·高二长春市第二实验中学校考期中）设函数．
(1)求的单调区间；
(2)当时，求的取值范围．
3．（2023·全国·高二专题练习）已知函数，.
(1)求函数在处的切线方程；
(2)求函数的极值.
4．（2023·广东佛山·校考模拟预测）已知函数.
(1)求函数在区间上的最小值；
(2)判断函数的零点个数，并证明.
5．（2023·江苏镇江·江苏省镇江第一中学校考模拟预测）已知函数.若在上单调递增，求实数的取值范围；
6．（2023·山东威海·统考二模）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)证明：方程在上有且只有一个解；
7．（2023·全国·高二专题练习）已知函数.讨论的单调性；
8．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）已知函数．
(1)求的零点个数；
(2)当时，恒成立，求的取值范围．
9．（2023春·甘肃张掖·高二高台县第一中学校考阶段练习）已知函数为的导数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)，若对任意，均存在，使得，求实数的取值范围.
10．（北京市大兴区2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题）已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)设，求证：当时，；
(3)对任意的，判断与的大小关系，并证明结论．
11．（2023·全国·校联考模拟预测）已知.
(1)证明：当时，在上单调递增；
(2)当时，关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
12．（2023·上海普陀·曹杨二中校考模拟预测）已知函数.
(1)求证：；
(2)若，试比较与的大小；
(3)若，问是否恒成立？若恒成立，求的取值范围； 若不恒成立，请说明理由.
13．（2023·全国·统考高考真题）已知函数，若是的极大值点，求a的取值范围．

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