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二次函数与一元二次方程、不等式 学案
考情分析：
教学重点：1.理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系；
2.掌握图象法解一元二次不等式。
教学难点：通过解不等式，体会数形结合、分类讨论的思想方法。
考试要求：考试题型：选择和填空题
难度：简单题
知识精讲：
核心知识点一：一元二次不等式
一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0.
核心知识点二：三个“二次”之间的关系
判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
二次函数y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根 有两相异实数根x1＝，x2＝(x1＜x2) 有两相等实数根 x1＝x2＝－ 没有实数根
ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集 (－∞，x1)∪(x2，＋∞) R
ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集 (x1，x2)
特别的：
(1)对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下，其解集的常用口诀是：大于取两边，小于取中间．
(2)对于二次项系数是负数(即a<0)的不等式，可以先把二次项系数化为正数，再对照上述情况求解．
典例精析：
类型一： 一元二次不等式的解法
例题1．解不等式：
(1)2x2－3x－2>0；
(2)－3x2＋6x－2>0；
(3)4x2－4x＋1≤0；
(4)x2－2x＋2>0.
【思路分析】先求出对应一元二次方程的解，再结合对应的二次函数的图象写出不等式的解集。
【解析】(1)方程2x2－3x－2＝0的解是x1＝－，x2＝2.
因为函数是开口向上的抛物线，
所以不等式的解集是
.
(2)不等式可化为3x2－6x＋2<0.
因为3x2－6x＋2＝0的判别式Δ＝36－4×3×2＝12>0，所以方程3x2－6x＋2＝0的解是x1＝1－，x2＝1＋.
因为函数y＝3x2－6x＋2是开口向上的抛物线，所以不等式的解集是.
(3)方程4x2－4x＋1＝0的解是x1＝x2＝，函数y＝4x2－4x＋1是开口向上的抛物线，所以原不等式的解集是.
(4)因为x2－2x＋2＝0的判别式Δ<0，所以方程x2－2x＋2＝0无解．又因为函数y＝x2－2x＋2是开口向上的抛物线，所以原不等式的解集为R.
【总结提升】
解一元二次不等式的一般步骤
(1)通过对不等式变形，使二次项系数大于零；
(2)计算对应方程的判别式；
(3)求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根；
(4)根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集．
类型二：三个“二次”关系的应用
例题2 已知关于x的不等式x2＋ax＋b<0的解集为{x|10的解集．
【思路分析】　由x2＋ax＋b<0的解集为{x|1【准备知识】学生再初中已经学习了根与系数的关系即韦达定理：ax2＋bx＋c＝0的两根为，则。
【解析】∵x2＋ax＋b<0的解集为{x|1∴1,2是x2＋ax＋b＝0的两根．
由韦达定理有得
代入所求不等式bx2＋ax＋1>0，得2x2－3x＋1>0.
由2x2－3x＋1>0 (2x－1)(x－1)>0 x<或x>1.
∴bx2＋ax＋1>0的解集为.
【总结提升】
(1)一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集的端点值是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，也是函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标。
(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象在x轴上方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c>0的x的值构成的；图象在x轴下方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c<0的x的值构成的，三者之间相互依存、相互转化。
类型三：含参数的一元二次不等式的解法
例题3 解关于x的不等式x2－ax－2a2<0(a∈R)．
【思路分析】先求出方程x2－ax－2a2＝0的两根x1＝2a，x2＝－a，再通过比较2a与－a的大小写出不等式的解集。
【准备知识】当两根不知道大小关系时需要讨论，再得出结果。
【解析】
原不等式转化为(x－2a)(x＋a)<0，对应的一元二次方程的根为x1＝2a，x2＝－a.
①当2a>－a，即a>0时，不等式的解集为{x|－a②当2a＝－a，即a＝0时，原不等式化为x2<0，无解；
③当2a<－a，即a<0时，不等式的解集为{x|2a综上所述，当a>0时，原不等式的解集为{x|－a【总结提升】
解含参数的一元二次不等式时
(1)若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论；
(2)若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论；
(3)若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论．
归纳总结：
1．解一元二次不等式的一般步骤是：
(1)化为标准形式；
(2)确定判别式Δ＝b2－4ac的符号；
(3)若Δ≥0，则求出该不等式对应的二次方程的根；若Δ<0，则对应的二次方程无根；
(4)联系二次函数的图象得出不等式的解集，特别地，若一元二次不等式的左边的二次三项式能分解因式，则可立即写出不等式的解集(在两根之内或两根之外).
2.解含字母参数的一元二次不等式，与解一般的一元二次不等式的基本思路是一致的，但要注意分类讨论思想的运用．
3．解一元二次不等式，应首先尝试因式分解法，若能够进行因式分解，那么在解含参数的不等式时，就可以避免对Δ≤0的讨论.
运用拓展：
（答题时间：40分钟）
一、选择题
1．不等式－x2－5x＋6≤0的解集为(　　)
A．{x|x≥6或x≤－1} B．{x|－1≤x≤6}
C．{x|－6≤x≤1} D．{x|x≤－6或x≥1}
2.若不等式的解集是{x|－7A．1 B．2
C．3 D．4
3.已知集合M＝{x|－4A．{x|－4C．{x|－2**4.不等式x2－px－q<0的解集是{x|20的解是(　　)
A. B.
C. D.
二、填空题
5．不等式x2－4x＋5≥0的解集为________。
6.设集合A＝{x|(x－1)2<3x＋7，x∈R}，则集合A∩Z中有________个元素。
**7.当a>－1时，关于x的不等式x2＋(a－1)x－a>0的解集是________。
三、解答题
**8.不等式(x－a)(x－2a)＜0的解集是什么？
参考答案：
1.【答案】D
【解析】由－x2－5x＋6≤0得x2＋5x－6≥0，即(x＋6)(x－1)≥0，∴x≥1或x≤－6.故选C。
2.【答案】C
【解析】由题可知－7和－1为ax2＋8ax＋21＝0的两个根，∴－7×(－1)＝，a＝3，故选C。
3.【答案】C
【解析】由题意得N＝{x|x2－x－6<0}＝{x|－24.【答案】B
【解析】易知方程x2－px－q＝0的两个根是2,3.由根与系数的关系得解得不等式qx2－px－1>0为－6x2－5x－1>0，解得－5.【答案】 R
【解析】∵Δ＝(－4)2－4×5＝－4<0，∴不等式x2－4x＋5≥0的解集为R.故答案为R。
6.【答案】6
【解析】由(x－1)2<3x＋7，解得－1故A∩Z共有6个元素，故答案为6。
7.【答案】{x|x<－a或x>1}
【解析】　原不等式可化为(x＋a)(x－1)>0，方程(x＋a)(x－1)＝0的两根为－a,1，
∵a>－1，∴－a<1，故不等式的解集为{x|x<－a或x>1}。
8.【解析】(x－a)(x－2a)=0的两个根为a和2a。
当a＞0时，解集是(a，2a)；
当a＝0时，解集是 ；
当a＜0时，解集是(2a，a)

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