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不等式性质与基本不等式 学案
考情分析：
教学重点：1.掌握不等式性质；2.理解基本不等式。
教学难点：1.能用比差法比较两个数或式的大小；2.能用基本不等式解决简单的求最大值或者最小值的问题。
考试要求：考试题型：选择题和填空题，有的也在解答题中考查最值应用
难度：简单题
知识精讲：
核心知识点一：不等式与不等关系
1.不等式与不等关系
(1)不等式的定义所含的两个要点.
①不等符号>,<,≥,≤或≠.
②所表示的关系是不等关系.
(2)不等式中的文字语言与符号语言之间的转换.
核心知识点二：实数的大小比较
比较实数a,b的大小的依据
特别的：
通常是通过判断两数a,b的差(a-b)的符号来比较它们的大小.当a与b同号且都不为0时,也可通过它们的商与1的大小关系来比较它们的大小。
核心知识点三：不等式的性质
核心知识点四：基本不等式
我们称不等式为基本不等式，其中，当且仅当时，等号成立。
特别的：注意基本不等式的使用条件，即“一正二定三相等”，这三个条件一个都不能少，若少一个则不能使用基本不等式求解最值。
典例精析：
类型一： 不等式基本性质的应用
例题1 若a＞b，则下列各式中正确的是（　　）
A．ac＞bc B．ac2＞bc2
C．a+c2＞b+c2 D．
【思路分析】判断这些结论是否正确,可以根据实数的基本性质、实数运算的符号法则以及不等式的基本性质，经过合理的逻辑推理即可。
【解析】对于A， ac＞bc，时显然不成立；
对于B，ac2＞bc2,时，不成立；
对于C， a+c2＞b+c2，利用不等式的加法可加性则可以证明正确；
对于D， ，符号不能确定，是错误的，故选C。
【总结提升】
解决这类问题时,通常有两种方法:
1.直接利用不等式的性质，进行推理，看根据条件能否推出相应的不等式；
2.采用取特殊值的方法，判断所给的不等式是否成立，尤其是在选择题中经常采用这种办法。
类型二： 实数大小的比较
例题2 比较与的大小.
【思路分析】将代数式与作差，配方后判断差值符号，由此可得出这两个代数式的大小关系；
【准备知识】学生已经在初中讲过合并同类型和配方法，再判断差值符号，得出结论。
【解析】，
因此，；
【总结提升】
用作差法比较实数大小的步骤
作差法是比较两个代数式大小的基本方法,一般步骤是:(1)作差;(2)变形.变形的常用方法有配方、因式分解、分母有理化等;(3)定号,即确定差的符号;(4)下结论,写出两个代数式的大小关系。
类型三：利用不等式性质求取值范围
例题3 如果，试求 的取值范围。
【思路分析】主要根据已知，借助于不等式的同向可加性求解。
【解析】因为3又因为9<3a<21,-20<-2b<-2,所以-11<3a-2b<19。
【总结提升】
利用不等式的性质可以解决取值范围问题，当题目中出现两个变量求取值范围时，要注意两个变量是相互制约的，不能分割开来，应建立待求整体与已知变量之间的关系，然后根据不等式的性质求出取值范围。
类型四：利用基本不等式求最值
例题4（1）已知，求的最小值；
（2）当时，的最小值为______；
（3）已知，，且，则的最小值为（ ）
A．8 B．9 C．12 D．6
【思路分析】（1）直接利用基本不等式求解即可；（2）先转化已知条件，再利用基本不等式求解即可.（3）应用了“1”的变形，
【解析】（1），
，
当且仅当时取等号；
所以的最小值为；
（2），，由基本不等式得.
当且仅当时，等号成立.
因此，的最小值为，
故答案为.
（3）由题意可得，则，
当且仅当，时等号成立，故的最小值为9.
故选B.
【总结提升】
1.应用基本不等式时要注意以下三点
(1)各项或各因式均为正;
(2)和或积为定值;
(3)各项或各因式能取得相等的值.即“一正二定三相等”。
2.注意充分利用“1的代换”，即“乘1变换”求解最值。
归纳总结：
利用基本不等式求最值
(1)利用基本不等式求最值，一定注意“一正二定三相等”的条件缺一不可。
(2)注意多次运用基本不等式时等号能否取到。
(3)解题时要注意技巧,当不能直接利用基本不等式时,可将原不等式进行组合、构造,以满足能使用基本不等式的形式。
(4) 注意充分利用“1的代换”,即把常数“1”替换为已知的式子,然后经过整理后再利用基本不等式求解最值。
运用拓展：
（答题时间：40分钟）
一、选择题
1.若a>b,则下列各式正确的是(　　)
A.a-2>b-2 B.2-a>2-b
C.-2a>-2b D.a2>b2
2.下列结论正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
**3.若，且，则的最小值为(　 　)
A．2 B．3
C．4 D．5
**4.已知，若，则的最小值为（ ）
A．3 B．2
C． D．1
二、填空题
5.(x+5)(x+7)　　 (x+6)2.(填“>”“<”“≥”或“≤”)
6.已知1≤a≤2,3≤b≤6,则3a-2b的取值范围为 .
7. 已知，求的最小值 ；此时的值为 ．
三、解答题
8. 已知，比较与的大小.
参考答案：
1.【答案】A
【解析】因为a>b,所以a-2>b-2,2-a<2-b,-2a<-2b,故A正确,B、C错误;又取a=0,b=-1
时,a>b,但a22.【答案】C
【解析】
对于A，取时，，则A错误；
对于B，取时，，则B错误；
对于C，因为，所以由不等式的性质可知，则C正确；
对于D，取时，，则D错误；
故选C。
3.【答案】C
【解析】因为，所以.
因为，所以，.
所以，当且仅当，即时等号成立.
所以，即的最小值为，故选C。
4.【答案】C
【解析】由于，，所以，当且仅当时等号成立.所以的最小值为，故选C。
5.【答案】<
【解析】(x+5)(x+7)-(x+6)2=x2+12x+35-(x2+12x+36)=-1<0,所以(x+5)(x+7)<(x+6)2.
6.【答案】[-9,0]
【解析:∵1≤a≤2,3≤b≤6,∴3≤3a≤6,-12≤-2b≤-6,由不等式的性质得-9≤3a-2b≤0,即3a-2b的取值范围为[-9,0].
7.【解析】因为，所以，当且仅当，即时取等号；故当时，取得最小值；
8.【解析】
，，
又
，
.

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