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数学八年级下暑假培优专题训练
专题一、二次根式定义及性质
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目录
【考点一 二次根式的判断】.................................................1
【考点二 二次根式有意义的条件】...........................................1
【考点三 二次根式的性质】.................................................2
【考点四 二次根式性质的综合应用】.........................................5
【针对训练】..............................................................6
【典例剖析】
【考点一、 二次根式的判断】
二次根式的定义：形如（）的式子叫做二次根式，叫做二次根号，叫做被开方数.
【典例1】下列各式中，一定是二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【变式1-1】下列各式一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】下列式子是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】下列各式是二次根式的是（ ）
B． C． D．
【考点二、 二次根式有意义的条件】
（1）二次根式中的被开方数是非负数；（2）二次根式具有非负性：.
（3）判断方法：①如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数；②如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．
【典例2】若，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】若时，无意义，当时，是二次根式，则a的值可能是（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
【变式2-2】已知关于x的方程有实数解，那么m的取值范围是__________．
【变式2-3】．已知x，y都是实数，且，则_________
【考点三 、二次根式的性质】
性质1： .（二次根式的非负性）
性质2：=（），即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身；
性质3：==，即一个任意实数平方的算术平方根等于它本身的绝对值.
【典例3-1】已知为实数，且，下列说法：①；②当时，的值是4或；③；④．其中正确的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【典例3-2】．我们已经学习了二次根式的性质：，根据等式的对称性，可以得到即可以把一个非负数写成完全平方的形式.据此解答下列问题：
(1)把13写成非负数的完全平方，结果是 ___________；
(2)在实数范围内因式分解：.
【变式3-1】阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题
化简∶
解∶隐含条件，解得：
∴
∴原式
【启发应用】
（1）按照上面的解法，试化简
【类比迁移】
（2）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：．
（3）已知a，b，c为ABC的三边长．化简：
【变式3-2】．同学们在数学活动中研究了的性质：①；②；③．请你运用的性质解决下列问题：
(1)式子有意义，则x的取值范围______；
(2)计算：的值；
(3)已知：，求xy的值．
【变式3-3】阅读材料，解答问题：
材料：已知：，求的值，张山同学是这样解答的：
因为
所以
问题：
(1)已知：，
①求的值；
②求x的值．
(2)直接写出代数式的最大值和最小值．
【变式3-4】问题：先化简，再求值：，其中．
小亮和小颖在解答该问题时产生了不同意见，具体如下．
小亮的解答过程如下：解：………………（第一步）……………………（第二步）…………………………（第三步）当时，原式．…………（第四步） 小颖为验证小亮的做法是否正确，她将直接代入原式中：．
由此，小颖认为小亮的解答有错误，你认为小亮的解答有错误吗？如果有，错在哪步？并给出正确的完整的解答过程．
【变式3-5】．在学了二次根式后，老师布置了这样一道题：化简并求值其中，小红的解法如下：
解：原式 第一步
第二步
第三步
第四步
显然，小红的解法不正确．
（1）小红的解法是从第______步开始出现错误的？
（2）请你帮她写出正确的解答过程的．
【变式3-6】．阅读材料，解答问题。
例：若代数式 的值是常数2，求a的取值范围．
分析：原式=，而 表示数a在数轴上的对应点到原点的距离，表示数a在数轴上的对应点到数2的对应点的距离，所以我们可以借助数轴进行分析．
解：原式=在数轴上，分别讨论数a表示的点在数2表示的点左边，在数2表示的点和数4表示的点之间，在数4表示的点右边，可得a的范围应是2≤a≤4．
（1）此例题的解答过程用了哪些数学思想？请举例．
（2）化简
【考点四 二次根式性质的综合应用】
【典例4-1】已知实数x、y为实数，是否存在实数m满足关系式？如果存在，求出m的值；如果不存在，说明理由．
【典例4-2】对式子作恒等变形，使根号外不含字母，正确的结果是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】在学习了算术平方根和二次根式等内容后，我们知道以下的结论：
结论①：若实数时，；结论②：对于任意实数，．
请根据上面的结论，对下列问题进行探索：
(1)若，化简：．
(2)若，，且，求的值．
(3)若有意义，化简．
【变式4-2】的双重非负性是指被开方数a≥0，其化简的结果．请利用的双重非负性解决以下问题：
（1）已知，求b2﹣2b＋2a的值；
（2）若a，b为实数，且，求a＋b的值；
（3）已知实数a，b满足，求a＋b的值．
【变式4-3】阅读材料，解答问题。
例：若代数式 的值是常数2，求a的取值范围．
分析：原式=，而 表示数a在数轴上的对应点到原点的距离，表示数a在数轴上的对应点到数2的对应点的距离，所以我们可以借助数轴进行分析．
解：原式=在数轴上，分别讨论数a表示的点在数2表示的点左边，在数2表示的点和数4表示的点之间，在数4表示的点右边，可得a的范围应是2≤a≤4．
（1）此例题的解答过程用了哪些数学思想？请举例．
（2）化简．
【针对训练】
1．式子有意义，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
2．若成立，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知实数满足条件，那么的值为 （ ）
A． B． C． D．
4．下面的推导中开始出错的步骤是（ ）
因为，①
，②
所以.③
所以.④
A．① B．② C．③ D．④
5．是整数，则正数的最小值是_____________
6．若x，y满足，则＝________．
7．方程的解为__________．
8．已知，，化简____．
9．已知a为整数，且满足，则a的值为__________．
10．实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简_____．

11．已知为实数，且满足，求的值．
12．计算：
(1)已知实数，，在数轴上的对应点如图所示，化简；
(2)已知、满足，求的值．
13．像，……这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，
如：；
再如：．请用上述方法探索并解决下列问题：
(1)请你尝试化简：
①______；
②______．
(2)若，且，，为正整数，求的值．
14．在学习完二次根式后，数学兴趣小组开始自主研究根式方程的解法，针对关于x的根式方程，小组成员展开讨论（如材料一），并梳理了解法（如材料二）．
材料一：
小健同学：回忆分式方程解法，首先要去分母，将分式方程转化为整式方程，二元方程也是，首先要消元，将二元方程转化为一元方程；小康同学：对，就是要往解的形式转化，现在关键就是要把根号化去；小聪同学：我有办法，方程左右两边同时平方就可以化去根号；小明同学：对，平方可以化去根号，但可能不属于同解变形，得注意验根……
材料二：
解：两边平方得：．解得：．检验：将代入原方程，成立．∴原方程的解为．
通过以上材料，完成下列问题：
(1)解关于x的方程；
(2)解关于x的方程
数学八年级下暑假培优专题复习
专题一、二次根式定义及性质（解析版）
【考点一 二次根式的判断】
【例题1】下列各式中，一定是二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用二次根式的定义进行筛选即可．
【详解】选项A中，是6的算术平方根，，所以是二次根式，选项A正确，符合题意；
选项B中，，，无意义，故不是二次根式，选项B错误，不符合题意；
选项C中，不是二次根式，；选项C错误，不符合题意；
选项D中，，没有明确的范围，存在的情况，不能保证有意义，故不是二次根式，选项D错误，不符合题意；
故选A．
【点睛】本题考查二次根式的定义，当时，为二次根式，且，正确的理解二次根式的定义是解题的关键．
【变式1-1】下列各式一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据二次根式的定义，逐个分析即可．
【详解】A、，被开方数是负数，不是二次根式；
B、，根指数是3，不是二次根式；
C、，根指数是2，且被开方数，是二次根式；
D、，被开方数可能是负数，不是二次根式．
故选：C
【点睛】本题主要考查二次根式的定义，正确理解二次根式的定义是解题的关键．
【变式1-2】下列式子是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据二次根式的定义，形式，性质即可求解．
【详解】解：选项，是平方数，不符合题意；
选项，是二次根式，符合题意；
选项，是三次根式，不符合题意；
选项，中被开方数不能是负数，不符合题意；
故选：．
【点睛】本题主要考查二次根式，掌握二次根式的概念，表示形式，性质是解题的关键．
【变式1-3】下列各式是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】．A
【分析】根据二次根式的定义逐个判断即可．
【详解】解：A、，则是二次根式，故此选项符合题意；
B、无意义，故此选项不符合题意；
C、当时，无意义，故此选项不符合题意；
D、属于三次根式，故此选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式的定义，能熟记二次根式的定义的内容是解此题的关键，注意：式子叫做二次根式．
【考点二 二次根式有意义的条件】
【典例2】若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据二次根式的意义求出n，再求出m，最后根据负整数指数幂的运算法则得到最终解答．
【详解】解：由题意可得：
2n-5=5-2n=0，
∴m=0+0+2=2，
∴n=
故选A．
【点睛】本题考查二次根式和负整数指数幂的综合应用，熟练掌握二次根式有意义的条件及负整数指数幂的计算方法是解题关键．　
【变式2-1】若时，无意义，当时，是二次根式，则a的值可能是（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
【答案】B
【分析】二次根式有意义的条件是被开方数是非负数，根据这个条件列不等式即可．
【详解】∵当时，无意义，
∴，解得，
∵当时，是二次根式，
∴，解得，
∴，
∴a的值可能是8，
故选：B．
【点睛】此题考查了二次根式的意义和性质．概念：式子叫二次根式．关键是掌握二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义.
【变式2-2】已知关于x的方程有实数解，那么m的取值范围是__________．
【答案】/
【分析】根据二次根式的非负性，即可求解．
【详解】∵
∴
∴
∴
故答案为：
【点睛】本题考查二次根式的非负性，解题的关键是掌握二次根式值的特点．
【变式2-3】．已知x，y都是实数，且，则_________
【答案】4
【分析】利用二次根式被开方数的非负性求出x值，再代入求出y值，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，
将代入，
得：，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了二次根式被开方数的非负性，熟练掌握并灵活运用二次根式被开方数的非负性是解题的关键．
【考点三 、二次根式的性质】
【典例3-1】已知为实数，且，下列说法：①；②当时，的值是4或；③；④．其中正确的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】．B
【分析】根据二次根式成立的条件，二次根式的性质，即可一一判定．
【详解】解：成立，
，，
，，
故①③正确，④不正确；
②当时，，
故②不正确；
故正确的有：2个，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式成立的条件，二次根式的性质，熟练掌握和运用二次根式的相关知识是解决本题的关键．
【典例3-2】．我们已经学习了二次根式的性质：，根据等式的对称性，可以得到即可以把一个非负数写成完全平方的形式.据此解答下列问题：
(1)把13写成非负数的完全平方，结果是 ___________；
(2)在实数范围内因式分解：.
【答案】．(1)
(2)
【分析】（1）利用二次根式的性质即可求解；
（2）根据平方差公式解答即可．
（1）
解：把13写成非负数的完全平方，结果是，
故答案为：；
（2）
【点睛】本题考查二次根式，因式分解，解题的关键是熟练运用二次根式的性质以及平方差公式．
【变式3-1】阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题
化简∶
解∶隐含条件，解得：
∴
∴原式
【启发应用】
（1）按照上面的解法，试化简
【类比迁移】
（2）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：．
已知a，b，c为ABC的三边长．化简：
【答案】．（1）1；（2）；（3）．
【分析】（1）根据二次根式有意义的条件判断出的范围，再根据二次根式的性质化简可得；
（2）由a，b在数轴上的位置判断出、，再利用二次根式的性质化简即可得；
（3）由三角形的三边关系得出，，，再利用二次根式的性质化简可得．
【详解】解：（1）隐含条件 ，解得：
∴
∴原式；
（2）观察数轴得隐含条件：，，
∴，
∴原式；
（3）由三角形的三边关系可得隐含条件：
，，，
∴，，
∴原式
．
【点睛】本题主要考查二次根式的性质与化简，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质 及三角形的三边关系等知识点
【变式3-2】．同学们在数学活动中研究了的性质：①；②；③．请你运用的性质解决下列问题：
(1)式子有意义，则x的取值范围______；
(2)计算：的值；
(3)已知：，求xy的值．
【答案】(1)
(2)
(3)-6
【分析】（1）直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案；
（2）直接利用二次根式的性质以及负整数指数幂的性质化简得出答案；
（3）直接利用二次根式有意义的条件得出x的值，进而得出y的值，即可得出答案．
【详解】（1）解：式子有意义，则x-3≥0，
解得：x≥3；
故答案为：x≥3；
（2）解：原式==2-=
（3）解：若有意义，
则x-2≥0且2-x≥0，
解得：x=2，
∴y=-3，
则xy=2×（-3）=-6．
【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算以及二次根式的性质、二次根式有意义的条件等知识，正确掌握二次根式的性质是解题关键．
【变式3-3】阅读材料，解答问题：
材料：已知：，求的值，张山同学是这样解答的：
因为
所以
问题：
(1)已知：，
①求的值；
②求x的值．
(2)直接写出代数式的最大值和最小值．
【答案】(1)①3；②5
(2)最大值：；最小值：
【分析】（1）①根据平方差公式同理题目中的过程即可得出结果；②根据和差关系解方程求解即可；
（2）利用二次根式的性质求得的取值范围，利用材料中的方法计算的值，再利用配方法和非负数的意义求解即可．
【详解】（1）解：①
，
；
②，，
，
，
，
解得：；
经检验，是原方程的根，
．
（2）解：代数式的最大值和最小值，理由：
由题意得：．
．
，
又，当时有最小值0，当时有最大值147，
，当时有最小值，当时有最大值．
代数式，
当时，代数式有最小值，
当时，代数式有最大值，
代数式的最大值为和最小值为．
【点睛】本题考查了二次根式的性质，无理函数的最值，解题的关键是阅读题目，理解题干中的方法并熟练应用．
【变式3-4】问题：先化简，再求值：，其中．
小亮和小颖在解答该问题时产生了不同意见，具体如下．
小亮的解答过程如下：解：………………（第一步）……………………（第二步）…………………………（第三步）当时，原式．…………（第四步） 小颖为验证小亮的做法是否正确，她将直接代入原式中：．
由此，小颖认为小亮的解答有错误，你认为小亮的解答有错误吗？如果有，错在哪步？并给出正确的完整的解答过程．
【答案】有错，错在第二步，答案见解析．
【分析】小亮的解答第二步中应该等于，而不是直接等于a-4，因此第二步有错，再根据二次根式的性质进行计算即可．
【详解】小亮的解答有错，错在第二步，
正确的完整的解答过程为：
，
∵，∴
∴原式
．
【点睛】本题主要考查了二次根式的性质及二次根式的非负性，，熟练掌握这一性质是解题的关键
【变式3-5】．在学了二次根式后，老师布置了这样一道题：化简并求值其中，小红的解法如下：
解：原式 第一步
第二步
第三步
第四步
显然，小红的解法不正确．
（1）小红的解法是从第______步开始出现错误的？
（2）请你帮她写出正确的解答过程的．
【答案】（1）三；（2）见解析
【分析】（1）根据题意得小红的解法是从第三步开始出现错误的；
（2）先根据，可得 ， ，从而去掉绝对值，即可求解．
【详解】解：（1）小红的解法是从第三步开始出现错误的；
（2）原式
∵ ，
∴ ， ，
∴， ，
∴原式
，
把代入得：
原式 ．
【点睛】本题主要考查了二次根式的性质，二次根式的运算，绝对值的意义，根据题意得到 ， ，是解本题的关键．
【变式3-6】．阅读材料，解答问题。
例：若代数式 的值是常数2，求a的取值范围．
分析：原式=，而 表示数a在数轴上的对应点到原点的距离，表示数a在数轴上的对应点到数2的对应点的距离，所以我们可以借助数轴进行分析．
解：原式=在数轴上，分别讨论数a表示的点在数2表示的点左边，在数2表示的点和数4表示的点之间，在数4表示的点右边，可得a的范围应是2≤a≤4．
（1）此例题的解答过程用了哪些数学思想？请举例．
（2）化简
【答案】（1）数形结合思想，分类讨论思想；（2）17 2a或3或2a 17
【分析】（1）根据题中的解题过程即可得出结论；
（2）分a＜7，7≤a≤10及a＞10三种情况进行讨论即可．
【详解】解：（1）数形结合思想，分类讨论思想．
（2）原式＝|7 a|＋|a 10|
①当a＜7时，原式＝7 a＋10 a＝17 2a；
②当7≤a≤10时，原式＝3；
③当a＞10时，原式＝a 7＋a 10＝2a 17．
【点睛】本题考查的是二次根式的性质与化简，在解答此题时要注意进行分类讨论．
【考点四 二次根式性质的综合应用】
【典例4-1】已知实数x、y为实数，是否存在实数m满足关系式？如果存在，求出m的值；如果不存在，说明理由．
【答案】存在，m的值为102
【分析】根据二次根式有意义的条件可得x+y＝100，等式右边等于0，可得方程组，解方程组即可．
【解答】解：由题意得：，
解得：x+y＝100，
∴0，
∴，
解得：m＝102，
∴存在，m的值为102．
【点评】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件得到方程组是解题的关键．
【典例4-2】对式子作恒等变形，使根号外不含字母，正确的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
直接利用二次根式的性质化简求出答案．
【详解】
解：由题意可得：，∴
∴
故选：C
【点睛】
此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键．
【变式4-1】在学习了算术平方根和二次根式等内容后，我们知道以下的结论：
结论①：若实数时，；结论②：对于任意实数，．
请根据上面的结论，对下列问题进行探索：
(1)若，化简：．
(2)若，，且，求的值．
(3)若有意义，化简．
【答案】(1)5-2m (2)±12 (3)2m-3
【分析】（1）先根据二次根式性质化简，再根据绝对值意义化简即可；
（2）先根据二次根式性质和绝对值意义求得a=±4，b=±8，再根据ab>0，求得a=4，b=8或a=-4，b=-8，即可代入求解；
（3）先根据二次根式有意义条件求得m≥2，再化简二次根式与绝对值即可求解．
【详解】（1）解：∵m<2，
∴m-2<0，m-3<0，
∴
=|m-2|+|m-3|
=2-m+3-m
=5-2m；
（2）解：∵，
∴|a|=4,
∴a=±4，
∵|b|=8，
∴b=±8，
∵，
∴a=4，b=8或a=-4，b=-8，
当a=4，b=8时，则a+b=4+8=12，
当a=-4，b=-8时，则a+b=-4-8=-12，
∴a+b=±12；
（3）解：∵有意义
∴m-2≥0,
∴m≥2，
∴1-m<0，
∴A=m-2+m-1
=2m-3．
【点睛】本题考查算术平方根，二次根式性质，二次根式的意义的条件，绝对值化简，熟练掌握相关性质是解题的关键．
【变式4-2】的双重非负性是指被开方数a≥0，其化简的结果．请利用的双重非负性解决以下问题：
（1）已知，求b2﹣2b＋2a的值；
（2）若a，b为实数，且，求a＋b的值；
（3）已知实数a，b满足，求a＋b的值．
【答案】（1）﹣9；（2）﹣1或3；（3）1
【分析】（1）根据非负数的性质分别求出a、b2-2b，计算即可；
（2）根据非负数的性质求出b，进而求出a2，计算即可；
（3）根据二次根式有意义的条件求出a的范围，再根据非负数的性质计算，得到答案．
【详解】解：（1）由题意得，a+6=0，b2-2b-3=0，
解得，a=-6，b2-2b=3，
∴b2-2b+2a=3+（-12）=-9；
（2）由题意得，b-1≥0，1-b≥0，
解得，b=1，
∴a2=4，
解得，a=±2，
∴a＋b=﹣1或3；
（3）∵|2a-4|+|b+2|++4=2a，
∴（a-3）b2≥0，
解得，a≥3，
原式变形为：2a-4+|b+2|＋=2a-4，
∴|b+2|+=0，
则b+2=0，a-3=0，
解得，b=-2，a=3，
则a+b=1．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件、绝对值的性质，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
【变式4-3】阅读材料，解答问题。
例：若代数式 的值是常数2，求a的取值范围．
分析：原式=，而 表示数a在数轴上的对应点到原点的距离，表示数a在数轴上的对应点到数2的对应点的距离，所以我们可以借助数轴进行分析．
解：原式=在数轴上，分别讨论数a表示的点在数2表示的点左边，在数2表示的点和数4表示的点之间，在数4表示的点右边，可得a的范围应是2≤a≤4．
（1）此例题的解答过程用了哪些数学思想？请举例．
（2）化简
【答案】（1）数形结合思想，分类讨论思想；（2）17 2a或3或2a 17
【分析】（1）根据题中的解题过程即可得出结论；
（2）分a＜7，7≤a≤10及a＞10三种情况进行讨论即可．
【详解】解：（1）数形结合思想，分类讨论思想．
（2）原式＝|7 a|＋|a 10|
①当a＜7时，原式＝7 a＋10 a＝17 2a；
②当7≤a≤10时，原式＝3；
③当a＞10时，原式＝a 7＋a 10＝2a 17．
【点睛】本题考查的是二次根式的性质与化简，在解答此题时要注意进行分类讨论
【针对训练】
1．式子有意义，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
【答案】C
【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件进行求解即可．
【详解】解：∵式子有意义，
∴，
∴且，
故选C．
【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不为0，二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0是解题的关键．
2．若成立，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据分式和二次根式有意义的条件进行解答即可．
【详解】解：要使成立，则，
解得：，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次根式和分式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握二次根式的被开方数大于等于0，分式的分母不等于0．
3．已知实数满足条件，那么的值为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据二次根式有意义的条件可得，再化简绝对值、算术平方根的性质即可得．
【详解】解：由题意得：，即，
，
即，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件、化简绝对值、算术平方根的性质，熟练掌握二次根式的被开方数的非负性是解题关键．
4．下面的推导中开始出错的步骤是（ ）
因为，①
，②
所以.③
所以.④
A．① B．② C．③ D．④
【答案】B
【分析】根据算术平方根的非负性即可判断．
【详解】解：第②步中是负数，而是一个正数，二者并不相等，
∴第②步推导错误．
故选B．
【点睛】本题主要考查算术平方根的性质，熟练掌握平方根和算术平方根的正负性是解决本题的关键．
是整数，则正数的最小值是_____________
【答案】/0.05
【分析】根据是整数，n为正数，得出的最小值为1，得出的最小值为，即可求出答案．
【详解】解：∵是整数，n为正数，
∴的最小值为1，
∴的最小值为，
∴正数的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次根式的定义，解题的关键是根据乘除法法则和二次根式有意义的条件．二次根式有意义的条件是被开方数是非负数进行解答．
6．若x，y满足，则＝________．
【答案】-6
【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出x，y的值进而得出答案．
【详解】解：∵，都有意义，
∴，
解得：，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件和代数式求值，正确得出x的值是解题关键．
7．方程的解为__________．
【答案】
【分析】根据二次根式的性质即可求解．
【详解】解：∵中，且，
∴，解得，，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查根据二次根式的性质解方程，掌握二次根式的性质，解方程的方法是解题的关键．
8．已知，，化简____．
【答案】
【分析】利用二次根式的乘法法则和性质化简即可．
【详解】解：∵，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握性质是解题的关键，难度适中．
9．已知a为整数，且满足，则a的值为__________．
【答案】
【分析】利用二次根式的性质把5写成二次根式的形式，再解不等式组求出a的范围得解．
【详解】解：，
，
，
又∵为整数，
．
故答案为：25．
【点睛】本题主要考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质和不等式组的解法是解决本题的关键．
10．实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简_____．
【答案】
【分析】先根据数轴可得，则，再化简绝对值和二次根式，然后计算整式的加减即可得．
【详解】解：由数轴可知，，
则，
所以
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了数轴、绝对值和二次根式的化简、整式的加减，熟练掌握二次根式的化简是解题关键．
11．已知为实数，且满足，求的值．
【答案】0
【分析】根据二次根式的性质得出，可得，，进而求得的值，代入代数式即可求解．
【详解】解：∵，
又，，
，，
，，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的性质以及二次根式有意义的条件，掌握二次根式的性质是解题的关键．
12．计算：
(1)已知实数，，在数轴上的对应点如图所示，化简；
(2)已知、满足，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用二次根式的性质和绝对值的性质进行计算即可；
（2）利用二次根式和分式有意义的条件可得和的值，进而可得答案．
【详解】（1）解：由实数，，在数轴上的位置，可知：，，
，，
；
（2）解：由题意得：，
解得：，
，
，
，
则，
．
【点睛】本题考查了根据点在数轴上的位置，判定式子的正负，化简绝对值，二次根式及分式成立的条件，代数式求值问题，熟练掌握和运用各运算法则和二次根式及分式成立的条件是解决本题的关键．
13．像，……这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，
如：；
再如：．请用上述方法探索并解决下列问题：
(1)请你尝试化简：
①______；
②______．
(2)若，且，，为正整数，求的值．
【答案】(1)①；②
(2)46或14
【分析】（1）将被开方数写成完全平方式，再化简．
（2）变形已知等式，建立，，的方程组求解．
【详解】（1）解：①；
；
②
；
故答案为：①；②；
（2）解：
，
，
，，均为正整数．
或，
或．
或14．
【点睛】本题考查二次根式的化简，将二次根式的被开方数变为完全平方式是求解本题的关键．
14．在学习完二次根式后，数学兴趣小组开始自主研究根式方程的解法，针对关于x的根式方程，小组成员展开讨论（如材料一），并梳理了解法（如材料二）．
材料一：
小健同学：回忆分式方程解法，首先要去分母，将分式方程转化为整式方程，二元方程也是，首先要消元，将二元方程转化为一元方程；小康同学：对，就是要往解的形式转化，现在关键就是要把根号化去；小聪同学：我有办法，方程左右两边同时平方就可以化去根号；小明同学：对，平方可以化去根号，但可能不属于同解变形，得注意验根……
材料二：
解：两边平方得：．解得：．检验：将代入原方程，成立．∴原方程的解为．
通过以上材料，完成下列问题：
(1)解关于x的方程；
(2)解关于x的方程
【答案】(1)；
(2)无解
【分析】仿照例题，两边平方，得到整式方程，解整式方程，再检验即可求解．
【详解】（1）解：两边平方得：．
解得：．
检验：将代入原方程，成立．
∴原方程的解为；
（2）解：两边平方得：．
解得：．
检验：当时，，即是增根．
∴原方程无解．
【点睛】本题考查了解无理方程，掌握解无理方程的步骤是解题的关键．注意一定要验根
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