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数学八年级下暑假培优专题训练
专题二、二次根式的运算及化简
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【考点一 二次根式的乘除】................................................1
【考点二 最简二次根式】..................................................2
【考点三 二次根式的加减】................................................3
【考点四 二次根式的混合运算】............................................4
【考点五 二次根式的化简求值】............................................5
【考点六 二次根式的分母有理化】..........................................7
【典例剖析】
【考点一 二次根式的乘除】
（1）①二次根式的乘法法则：；
②积的算术平方根：；
③二次根式的除法法则：；
④商的算术平方根：.
（2）进行二次根式的乘法运算时，一定不能忽略其被开方数a，b均为非负数这一条件。
进行二次根式的除法运算时a必须是非负数，b必须是正数，式子才成立。若a，b都是负数，虽然＞0， EQ \r(,) 有意义，但，在实数范围内无意义；若b=0，则无意义。
在二次根式的计算中，最后结果应不含能开得尽方的因数或因式，同时分母中不含二次根式。
【典例1】计算的结果是　　
A．16 B． C．4 D．
【典例2】计算的结果是　　
A． B．3 C． D．
【变式1-1】蔬菜是人们日常饮食中必不可少的食物之一，可以提供人体所必需的多种维生素、矿物质等营养物质，王明的奶奶家有一块长为米，宽为米的长方形田地用来种植蔬菜，则该长方形田地的面积为（ ）平方米．
A． B． C． D．
【变式1-2】若，则化简（ ）
A．m B．-m C．n D．-n
【变式1-3】计算：，则□中的数是（ ）
A．6 B． C．2 D．
【变式1-4】如图所示的幻方中，各行、各列及各条对角线上的三个实数之积均相等，则图中、、三个实数的积为______．
1 b
3 a 2
6 c
【变式1-5】计算：
【考点二 最简二次根式】
我们把满足①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
这两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
【典例2-1】如果是最简二次根式，则x的值可能是（ ）
A．11 B．13 C．21 D．27
【典例2-2】下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】化简：________．
【变式2-2】将化为最简二次根式，其结果是 __．
【变式2-3】．已知，，，其中A，B为最简二次根式，且，则的值为______．
【变式2-4】化简后与最简二次根式的被开方数相等，则_________.
【变式2-5】如果与都是最简二次根式，又是同类二次根式，且＋＝0，求x、y的值．
【考点三 二次根式的加减】
二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方
法为系数相加减，根式不变
【典例3-1】一块长为、宽为的木板，采用如图的方式，要在这块木板上截出两个面积分别是和的正方形木板，甲同学说：想要截出来的两个小正方形的边长均小于木板的长和宽，所以可以截出；乙同学说：想要截出来的两个小正方形的边长之和大于木板的长，所以不能截出．下面对于甲、乙两名同学说法判断正确的是（ ）
A．甲同学说的对 B．乙同学说的对 C．甲、乙两名同学说的都对 D．无法判断
【典例3-2】计算的值是_____．
【变式 3-1】（1）计算：；
（2）下面是小文同学进行二次根式混合运算的过程，请认真阅读，完成相应的任务：
解：……第1步 ………第2步…………………………第3步．………………………………第4步
任务：
①上述解答过程中，第1步依据的乘法公式为______（用字母表示）；
②上述解答过程，从第______步开始出错，具体的错误是______；
③计算的正确结果为______．
【变式 3-2】（1）计算：；
（2）下面是小明同学计算的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解：
…………………………………………………………………………第一步
……………………………………………………………………第二步
………………………………………………………………………………第三步
……………………………………………………………………………第四步
．………………………………………………………………………………………第五步
任务一：小明同学的解答过程从第______步开始出现错误，这一步错误的原因是____________．
任务二：请你写出正确的计算过程．
【考点四 二次根式的混合运算】
二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方、再乘除、最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号）。
在二次根式的运算中，有理数的运算律、多项式乘法法则及乘法公式仍然适用。
注：在进行二次根式的运算时，能用乘法公式的尽量使用乘法公式，有时还需要灵活运用公式和逆用公式，这样可以使计算过程大大化简。
【典例4-1】估计的值在数轴上最可能表示的点是（　　）
A． B． C． D．
【典例4-2】在算式“”中，“”表示被开方数，“”表示“”“”“”“”中的某一个运算符号．
(1)当“”表示“”时，运算结果为，求“”表示的数．
(2)如果“”表示的是（1）中所求的数，请通过计算说明当“”表示哪一种运算符号时，算式的结果最大．
【变式4-1】嘉琪同学计算：，部分解题步骤如下．
解：．
(1)在以上解题步骤中用到了______________（从下面选项中选出两个）．
A．等式的基本性质 B．二次根式的化简
C．二次根式的乘法法则 D．通分
(2)算到这里，他发现算式好像变得更复杂了，请用一种简便的方法解答此题．
【变式4-2】小明在做作业的过程中发现一个计算题目“”处印刷不清楚，“计算：”
(1)他把“”处的数字猜成10，请你帮他计算出结果；
(2)他妈妈说：“你可能猜错了，我看到该题目的标准答案是5．”请通过计算说明“”处的数字到底是多少？
【变式4-3】．已知a，b都是实数，现定义新运算：，例：．
(1)求的值；
(2)若，，求的值．
【考点五 二次根式的化简求值】
把二次根式化简为最简二次根式的过程叫做二次根式的化简
1.二次根式化简的结果一定是被开方数不含分母，被开方数中的每一个因式或因数都开不尽
2.如果被开方数是分式或分数（包括小数），先利用商的算术平方根的性质把它写成分式或分数的形式，然后利用分母有理化化简.
3.如果被开方数是整式或整数，先将它分解因式或分解因数，然后把开方开得尽的因式或因数开方，从而将式子化简
二次根式乘除运算的方法★★★
二次根式乘除混合运算的方法与整式乘除混合运算的方法相同，整式乘除法的一些法则、公式在二次根式乘除法中仍然适用.在运算时要明确运算符号和运算顺序.若被开方数是带分数，则要先将其化为假分数。
二次根式加减运算的方法★★★
将各个二次根式化成最简二次根式，找出化简后被开方数相同的二次根式，将其合并.若有括号，则先去掉括号再运算.另外，有理数的加法交换律结合律都适合于二次根式的运算。
【典例5-1】若，则的值是（ ）
A． B．4 C．1 D．8
【典例5-2】请阅读下列材料：
问题：已知，求代数式的值．小敏的做法是：根据得，∴，得：．把作为整体代入：得．即：把已知条件适当变形，再整体代入解决问题．请你用上述方法解决下面问题：
(1)已知，求代数式的值；
(2)已知，求代数式的值．
【变式5-1】已知，．
(1)求的值；
(2)求的值
【变式5-2】在数学小组探究学习中，张兵与他的小组成员遇到这样一道题：
已知，求的值．他们是这样解答的：
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴．
请你根据张兵小组的解题方法和过程，解决以下问题：
(1)，则　 　．
(2)若，求的值．
【变式5-3】先化简，再求值：，其中．
【变式5-4】在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题：
已知，求的值，他是这样解答的：
∵，
∴，
∴，，
∴．
∴．
请你根据小明的解题过程，解决如下问题：
(1)___________；
(2)化简：；
(3)若，求的值．
【变式5-5】在进行化简二次根式时，通常有如下两种方法：
方法一：
方法二：
(1)请用以上两种方法化简：；
(2)计算：；
(3)若，求的值．
【考点六 二次根式的分母有理化】
①分母有理化是指把分母中的根号化去：分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式；
②两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式．一个二次根式的有理化因式不止一个．
【典例6-1】先阅读，后解答：
，；
像上述解题过程中，与、与相乘，积不含有二次根式，我们可将这两个式子称为互为有理化因式，上述解题过程也称为分母有理化．
(1)的有理化因式是______；的有理化因式是______．
(2)将下列式子进行分母有理化：
①______；②______；③______；④______．
类比（2）中④的计算结果，计算：
【变式6-1】）阅读下面的材料，解决问题：
像、、、……，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如，和、与、与等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．我们把通过适当的变形化去分母中根号的运算叫做分母有理化．
例如：；；
(1)计算：______；____；
(2)计算：；
(3)比较和的大小，并说明理由．
【变式6-2】阅读材料：在进行二次根式的运算时，如遇到这样的式子，还需做进一步的化简：
方法一：；
方法二：
这种将分母中的根号化去的过程叫做分母有理化．
解决问题：
(1)选择你喜欢的一种方法化简；
(2)下面是甲、乙两个同学对分母有理化的过程：
甲：
乙：
请你判断，甲、乙两个同学的化简过程（ ）
A．甲、乙都对 B．甲对乙错 C．甲错乙对 D．甲、乙都错
(3)化简：
数学八年级下暑假培优专题训练
专题二、二次根式的运算及化简（解析版）
【典例剖析】
【考点一 二次根式的乘除】
【典例1】计算的结果是　　
A．16 B． C．4 D．
【解答】解：原式．故选：．
【典例2】计算的结果是　　
A． B．3 C． D．
【解答】解：．故选：．
【变式1-1】蔬菜是人们日常饮食中必不可少的食物之一，可以提供人体所必需的多种维生素、矿物质等营养物质，王明的奶奶家有一块长为米，宽为米的长方形田地用来种植蔬菜，则该长方形田地的面积为（ ）平方米．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据长方形面积公式结合二次根式的乘法计算法则求解即可．
【详解】解：∵长方形田地的长为米，宽为米，
∴该长方形田地的面积为平方米，
故选C．
【点睛】本题主要考查了二次根式乘法，熟知二次根式乘法计算法则是解题的关键．
【变式1-2】若，则化简（ ）
A．m B．-m C．n D．-n
【答案】B
【分析】先由已知条件得到m、n的符号，再根据二次根式的乘除法则化简计算即可．
【详解】解：由已知条件可得：
m<0，n<0，
∴原式=
=
=
=|m|
=-m，
故选：B．
【点睛】本题考查二次根式的应用，熟练掌握二次根式的乘除法是解题关键．
【变式1-3】计算：，则□中的数是（ ）
A．6 B． C．2 D．
【答案】D
【分析】由可得，化简即可．
【详解】解：∵
∴
＝
＝
故答案为：D
【点睛】本题考查二次根式的运算，根据相关知识点解题是重点.
【变式1-4】如图所示的幻方中，各行、各列及各条对角线上的三个实数之积均相等，则图中、、三个实数的积为______．
1 b
3 a 2
6 c
【答案】18
【分析】根据每一行、每一列以及每一条对角线上的三个数字或字母的积均相等和图中的数据，可以得到方，然后求解即可．
【详解】解：∵每一行、每一列以及每一条对角线上的三个数字或字母的积均相等，
∴，
解得，，
故答案为：18．
【点睛】本题考查二次根式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的等式
【变式1-5】计算：
【答案】．
【分析】先将除号变为乘号，然后将不带根号的式子提出来，带有根号的式子放在同一个根号里面相乘，最后化简运算即可．
【详解】解：
【点睛】本题主要考查二次根式的化简运算，有一定计算量，熟练掌握运算法则是解题关键．
【考点二 最简二次根式】
【典例2-1】如果是最简二次根式，则x的值可能是（ ）
A．11 B．13 C．21 D．27
【答案】B
【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方式非负，列出不等式得到解集后，再由最简二次根式定义代值逐项验证即可得到答案．
【详解】解：是二次根式，
，解得，
A、当时，，确定不是最简二次根式，该选项不符合题意；
B、当时，，确定是最简二次根式，该选项符合题意；
C、当时，，确定不是最简二次根式，该选项不符合题意；
D、当时，，确定不是最简二次根式，该选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查二次根式有意义的条件及最简二次根式定义，熟练掌握最简二次根式的定义是解决问题的关键．
【典例2-2】下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
B． C． D．
【答案】C
【分析】根据最简二次根式的概念逐项判断即可．
【详解】解：A. ，故A不符合题意；
B. ，故B不符合题意；
C. 是最简二次根式，故C符合题意；
D. ，故D不符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的特点①被开方数不含分母，②被开方数不含能开得尽方的因数或因式是解答本题的关键．
【变式2-1】化简：________．
【答案】
【分析】根据二次根式性质：被开方式非负得到，解得，根据化简即可得到答案．
【详解】解：
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查利用二次根式性质化简，涉及二次根式被开方式非负、及去绝对值运算等知识，熟练掌握二次根式是解决问题的关键．
【变式2-2】将化为最简二次根式，其结果是 __．
【答案】
【分析】将分母有理化后进行化简即可．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查二次根式的化简，熟练掌握二次根式的化简方法解决本题的关键．
【变式2-3】．已知，，，其中A，B为最简二次根式，且，则的值为______．
【答案】68
【分析】根据题意得出，求出，进而得出，求出，再代入求值即可．
【详解】∵A，B为最简二次根式，且，
∴，
解得，
∴，，，
∴，
解得，
∴．
故答案为：68．
【点睛】本题考查最简二次根式，根据最简二次根式的定义得出是解题的关键．
【变式2-4】化简后与最简二次根式的被开方数相等，则_________.
【答案】5
【分析】本题先将化简为最简二次根式，继而利用题干信息“被开方数相同”列方程求解．
【详解】，其中被开方数为6；的被开方数为 ，
故有：，则．
故答案为：5．
【点睛】本题考查最简二次根式的化简以及对二次根式概念的理解，需注意化简原则为被开方数不含分母,也不含能开的尽方的因数或因式．
【变式2-5】如果与都是最简二次根式，又是同类二次根式，且＋＝0，求x、y的值．
【答案】x＝8，y＝6.
【分析】根据同类二次根式的概念列式求出a，根据算术平方根的非负性计算即可．
【详解】解：由题意，得
3a﹣11＝19﹣2a，
解得　　　a＝6. 　　
所以　　　＋＝0.
因为　　≥0，≥0，
所以　　24－3x＝0，y－6＝0.
解得　 x＝8，y＝6.
【点睛】本题考查最简二次根式，熟练掌握运算法则是解题关键
【考点三 二次根式的加减】
【典例3-1】一块长为、宽为的木板，采用如图的方式，要在这块木板上截出两个面积分别是和的正方形木板，甲同学说：想要截出来的两个小正方形的边长均小于木板的长和宽，所以可以截出；乙同学说：想要截出来的两个小正方形的边长之和大于木板的长，所以不能截出．下面对于甲、乙两名同学说法判断正确的是（ ）
A．甲同学说的对 B．乙同学说的对 C．甲、乙两名同学说的都对 D．无法判断
【答案】B
【分析】先利用算术平方根求出每个正方形的边长，求出两个小正方形的边长之和，与长方形的长比较即可．
【详解】解: ∵两个面积分别是和的正方形木板，
边长分别为，，
∵两个正方形边长之和为＞7dm，
∴乙同学说法想要截出来的两个小正方形的边长之和大于木板的长，所以不能截出正确．
故选择B．
【点睛】本题考查正方形面积求边长，二次根式的和，比较无理数的大小，掌握以上知识是解题关键．
【典例3-2】计算的值是_____．
【答案】
【分析】直接化简二次根式，进而合并得出答案．
【详解】解：原式
．
【点睛】此题主要考查了二次根式的加减，正确化简二次根式是解题关键．
【变式 3-1】（1）计算：；
（2）下面是小文同学进行二次根式混合运算的过程，请认真阅读，完成相应的任务：
解：……第1步 ………第2步…………………………第3步．………………………………第4步
任务：
①上述解答过程中，第1步依据的乘法公式为______（用字母表示）；
②上述解答过程，从第______步开始出错，具体的错误是______；
③计算的正确结果为______．
【答案】（1）；（2）①；②三，计算错误；③
【分析】（1）根据二次根式的加减运算法则进行计算即可；
（2）根据平方差公式以及完全平方公式进行解答即可．
【详解】解：（1）原式
；
（2）①根据题意第1步依据的乘法公式为完全平方公式，
故答案为：；
②上述解答过程，从第三步开始出错，具体的错误是计算错误，
故答案为：三，计算错误；
③
，
∴计算的正确结果为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算以及乘法公式，熟练掌握相关运算法则以及乘法公式的结构特点是解本题的关键．
【变式 3-2】（1）计算：；
（2）下面是小明同学计算的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解：
…………………………………………………………………………第一步
……………………………………………………………………第二步
………………………………………………………………………………第三步
……………………………………………………………………………第四步
．………………………………………………………………………………………第五步
任务一：小明同学的解答过程从第______步开始出现错误，这一步错误的原因是____________．
任务二：请你写出正确的计算过程．
【答案】（1）；（2）二，去括号时第二项没变号，过程见解析
【分析】（1）先逐项化简，再合并同类二次根式即可；
（2）根据二次根式的运算步骤逐步分析即可．
【详解】解：（1）
=
=；
（2）
．
【点睛】本题考查了二次根式的加减运算，应先把各个二次根式化成最简二次根式，然后再合并同类二次根式即可． 同类二次根式的合并方法是把系数相加减，被开方式和根号不变．
【考点四 二次根式的混合运算】
【典例4-1】估计的值在数轴上最可能表示的点是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先化简二次根式，计算乘法，再估算结果得到答案．
【详解】解：
∵，
∴，
∴式子的值在数轴上最可能表示的点是D，
故选：D．
【点睛】此题考查了二次根式的混合运算，估算无理数，正确掌握二次根式混合运算法则是解题的关键．
【典例4-2】在算式“”中，“”表示被开方数，“”表示“”“”“”“”中的某一个运算符号．
(1)当“”表示“”时，运算结果为，求“”表示的数．
(2)如果“”表示的是（1）中所求的数，请通过计算说明当“”表示哪一种运算符号时，算式的结果最大．
【答案】(1)
(2)当“”表示“”时，算式的结果最大，计算见解析
【分析】（1）设“”表示的数为，根据二次根式的加减运算进行计算即可求解；
（2）根据题意，分别计算当“”表示“”“”“”“”中的某一个运算符号时的算式，即可求解．
【详解】（1）解：设“”表示的数为，则，
∴，
∴“”表示的数为；
（2）依题意，原式为，
当“”表示“”时，，，
当“”表示“”时，，
当“”表示“”时，，
当“”表示“”时，，
∵，
∴
∴当“”表示“”时，算式的结果最大．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，无理数的大小比较，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
【变式4-1】嘉琪同学计算：，部分解题步骤如下．
解：．
(1)在以上解题步骤中用到了______________（从下面选项中选出两个）．
A．等式的基本性质 B．二次根式的化简
C．二次根式的乘法法则 D．通分
(2)算到这里，他发现算式好像变得更复杂了，请用一种简便的方法解答此题．
【答案】(1)BD
(2)
【分析】（1）根据计算过程进行求解即可；
（2）直接利用乘法分配律把变形为，据此求解即可．
【详解】（1）解：观察可知把变为用到了二次根式的化简，然后把变为用到了通分，
故答案为：BD；
（2）解：
．
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合计算，二次根式的化简，熟知二次根式的混合计算法则是解题的关键．
【变式4-2】小明在做作业的过程中发现一个计算题目“”处印刷不清楚，“计算：”
(1)他把“”处的数字猜成10，请你帮他计算出结果；
(2)他妈妈说：“你可能猜错了，我看到该题目的标准答案是5．”请通过计算说明“”处的数字到底是多少？
【答案】(1)4
(2)，见解析
【分析】（1）把10代入列式，再计算即可；
（2）设“”处的数字是，再建立方程求解即可．
【详解】（1）解：由题意得：
他计算出的结果为4；
（2）设“”处的数字是，则
，
∴，
解得：，
∴“”处的数字是．
【点睛】本题考查的是二次根式的混合运算，方程思想的应用，熟记二次根式的混合运算的运算顺序是解本题的关键．
【变式4-3】．已知a，b都是实数，现定义新运算：，例：．
(1)求的值；
(2)若，，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据定义新运算：a*b＝3a﹣b2，进行计算即可解答；
（2）根据定义新运算：a*b＝3a﹣b2，得到，代入数值进行计算即可解答．
(1)
解：∵，
∴
(2)
解：∵，，
∴
＝
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，理解定义新运算a*b＝3a﹣b2是解题的关键．
【考点五 二次根式的化简求值】
【典例5-1】若，则的值是（ ）
A． B．4 C．1 D．8
【答案】A
【分析】先将原式变形为，再根据非负性的性质求出a、b、c的值，然后代值计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了非负数的性质，二次根式的化简求值，正确根据非负数的性质求出a、b、c的值是解题的关键．
【典例5-2】请阅读下列材料：
问题：已知，求代数式的值．小敏的做法是：根据得，∴，得：．把作为整体代入：得．即：把已知条件适当变形，再整体代入解决问题．请你用上述方法解决下面问题：
(1)已知，求代数式的值；
(2)已知，求代数式的值．
【答案】(1)-9
(2)
【分析】（1）由可得，再把原式化为，再整体代入求值即可；
（2）由可得，再把原式化为，再代入求值即可．
（1）
解：∵，
∴，
则原式
；
（2）
∵，
∴，
∴，
∴，
∴ ，
则原式．
【点睛】本题考查的是代数式的求值，二次根式的混合运算，掌握“整体代入的方法求解代数式的值”是解本题的关键．
【变式5-1】已知，．
(1)求的值；
(2)求的值
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求出，，再根据进行求解即可；
（2）先求出，再根据进行求解即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∴
；
（2）解：∵，，
∴，
∴
．
【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
【变式5-2】在数学小组探究学习中，张兵与他的小组成员遇到这样一道题：
已知，求的值．他们是这样解答的：
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴．
请你根据张兵小组的解题方法和过程，解决以下问题：
(1)，则　 　．
(2)若，求的值．
【答案】(1)
(2)4
【分析】（1）仿照例题，可以求得所求式子的值；
（2）仿照例题，将的值分母有理化，然后变形，即可求得所求式子的值．
【详解】（1）解：，
，
，
，
，
，
故答案为：；
（2）解：，
，
，
，
，
，
即的值为4．
【点睛】本题考查二次根式的化简求值、分母有理化，解答本题的关键是明确题意，利用类比的方法解答．
【变式5-3】先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】根据二次根式的性质化简，然后代入即可求出答案．
【详解】解：原式
，
当时，原式．
【点睛】本题考查二次根式的化简求值，解题的关键是熟练运用二次根式的性质和运算法则，本题属于基础题型．
【变式5-4】在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题：
已知，求的值，他是这样解答的：
∵，
∴，
∴，，
∴．
∴．
请你根据小明的解题过程，解决如下问题：
(1)___________；
(2)化简：；
(3)若，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用分母有理化计算；
（2）先将每一项分母有理化，然后合并即可；
（3）先根据分母有理化得出，两边平方得到，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】（1）
故答案为：
（2）解：原式=
；
（3），
，
，即．
．
．
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值：解答时一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．
【变式5-5】在进行化简二次根式时，通常有如下两种方法：
方法一：
方法二：
(1)请用以上两种方法化简：；
(2)计算：；
(3)若，求的值．
【答案】(1)，方法见详解；
(2)
(3)
【分析】（1）根据例题的两种方法直接计算即可得到答案；
（2）根据化简式子代入式子相互抵消即可得到答案；
（3）根据式子化简将变形，将多项式变形即可得到答案；
【详解】（1）解：方法一：；
方法二：；
（2）解：由题意可得，
，
；
（3）解：∵，
∴，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查根式有理化，根式有理化规律题及根式化简求值，解题的关键是读懂题干中根式有理化化简方法.
【考点六 二次根式的分母有理化】
【典例6-1】先阅读，后解答：
，；
像上述解题过程中，与、与相乘，积不含有二次根式，我们可将这两个式子称为互为有理化因式，上述解题过程也称为分母有理化．
(1)的有理化因式是______；的有理化因式是______．
(2)将下列式子进行分母有理化：
①______；②______；③______；④______．
(3)类比（2）中④的计算结果，计算：．
【答案】(1)；
(2)；；③；④
(3)
【分析】（1）根据有理化因式的定义以及仿照阅读中例即可解答；
（2）分子和分母都乘以各自分母的有理化因式，化去分母中的根号即可解答；
（3）先分母有理化，然后合并同类二次根式即可解答．
【详解】（1）解： 的有理化因式是，的有理化因式是．
故答案为：，．
（2）解∶①；
②；
③；
②．
故答案为：、、、．
（3）解：
．
【点睛】本题主要考查了分母有理化，掌握分母有理化的概念及准确找出二次根式的有理化因式是解答问题的关键．
【变式6-1】阅读下面的材料，解决问题：
像、、、……，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如，和、与、与等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．我们把通过适当的变形化去分母中根号的运算叫做分母有理化．
例如：；；
(1)计算：______；____；
(2)计算：；
(3)比较和的大小，并说明理由．
【答案】(1)；
(2)
(3)，理由见解析
【分析】（1）根据分母有理化的定义及方法，即可求解；
（2）根据分母有理化的定义及方法，即可求解；
（3）利用倒数法比较大小及分母有理化的方法，即可求解．
【详解】（1）解：，
，
故答案为：；；
（2）解：
（3）解：，，
．
【点睛】本题考查了分母有理化的定义及方法，利用倒数法比较大小，熟练掌握和运用分母有理化的方法是解决本题的关键．
【变式6-2】阅读材料：在进行二次根式的运算时，如遇到这样的式子，还需做进一步的化简：
方法一：；
方法二：
这种将分母中的根号化去的过程叫做分母有理化．
解决问题：
(1)选择你喜欢的一种方法化简；
(2)下面是甲、乙两个同学对分母有理化的过程：
甲：
乙：
请你判断，甲、乙两个同学的化简过程（ ）
A．甲、乙都对 B．甲对乙错 C．甲错乙对 D．甲、乙都错
(3)化简：
【答案】(1)
(2)A
(3)
【分析】（1）根据乘以有理化因式或根据平方差公式因式分解化简计算即可；
（2）根据（1）中方法进行判断即可；
（3）根据方法一，进行分母有理化计算即可
【详解】（1）方法一：
方法二：；
（2）解：根据（1）中的方法进行判断可知，甲、乙都对
故选A；
（3）解：
．
【点睛】本题主要考查了分母有理化，解题的关键是找准有理化因式。
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页

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