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数学八年级下暑假培优专题训练
专题三、勾股定理证明及应用
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目录
【考点一 勾股定理的证明】..................................................1
【考点二 判断三边是否能构成直角三角形】....................................3
【考点三 勾股定理的实际应用】..............................................5
【考点四 勾股树（数）】.....................................................7
【考点五 勾股定理与网格问题】.............................................8
【考点六 勾股定理与两点间的距离】.........................................9
【典例剖析】
【考点一 勾股定理的证明】
知识点①　勾股定理
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，那么.
【典例1-1】在学习勾股定理时，我们学会运用图（Ⅰ）验证它的正确性；图中大正方形的面积可表示为：，也可表示为：，
即由此推出勾股定理，这种根据图形可以极简单地直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称“无字证明”．

(1)请你用图（II）（2002年国际数字家大会会标）的面积表达式验证勾股定理（其中四个直角三角形全等）；
(2)请你用（III）提供的图形进行组合，用组合图形的面积表达式验证；
(3)请你自己设计图形的组合，用其面积表达式验证：．
【典例1-2】如图，两个直角三角形的直角边a，b在同一直线上，斜边为c，请利用三角形和梯形面积公式验证勾股定理．

【变式1-1】下面是用面积关系证明勾股定理的两种拼接图形的方法，选择其中一种，完成证明．
勾股定理：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．已知：如图，直角三角形的直角边长分别为，，斜边长为．求证：．
方法一如图，大正方形的边长为，小正方形的边长为．证明 方法二如图，大正方形的边长为，小正方形的边长为．证明
【变式1-2】．在苏教版七下第九章的学习中，对同一个图形的面积可以从不同的角度思考，用不同的式子表示．
(1)用不同的方法计算图1的面积得到等式： ．
(2)图2是由两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成，从整体看它又是一个直角梯形，用不同的方法计算这个图形的面积，能得到等式： ．（结果为最简）
(3)根据上面两个结论，解决下面问题：
①在中，，三边长分别为a、b、c，已知，求的值．
②如图3，四边形中，对角线互相垂直，垂足为O，，在中，，若的周长为1，则的面积＝　 　．
【变式1-3】综合与实践．
勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对它的证明颇感兴趣，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．
(1)我国汉代数学家赵爽创制了一幅如图1所示的用4个全等的直角三角形拼成的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．在中，，若，，，请你利用这个图形说明．
(2)业余数学爱好者向常春在年构造发现了一个新的证法：把两个全等的和按如图2所示的方式放置，，，，．请你利用这个图形说明．(提示：连接，)
【考点二 判断三边是否能构成直角三角形】
知识点②如果三角形的三边长a，b，c满足+=，那么这个三角形就是直角三角形．
【典例2-1】．小雨是小学一年级的小朋友，在认识直角三角形的学习活动中，需要完成一个剪直角三角形的剪纸活动，上初二的姐姐知知刚学完勾股定理的相关知识，她对妺妺说，我不用直角三角尺或量角器也可以判断你剪的卡片是否为直角三角形．知知量出两个三角形的三边长分别为：图形①，，；图形②，，．请你用所学知识判断：图形__________是直角三角形．
【典例2-1】．在四边形中，，．
(1)如图1，若，，．
①连接，试判断的形状，并说明理由；
②连接，过作，交的延长线于点，求的面积；
(2)如图2，若，，四边形的面积为，求的长．
【变式2-1】如图，线段和射线．
(1)在的内部求作一点B，使得是等边三角形；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）条件下，若点C在射线上，，四边形的周长为16，，求证：是直角三角形．
【变式2-2】如图，以一边为直角边构造，且，，，．
(1)求证：为直角三角形．
(2)若点P为上一动点，连接，，求最小值．
【变式2-3】如图，某人从A地到B地共有三条路可选，第一条路是从A到B，AB为10米，第二条路是从A经过C到达B地，AC为8米，BC为6米，第三条路是从A经过D地到B地共行走26米，若C、B、D刚好在一条直线上．
(1)求证：；
(2)求AD和BD的长．
【考点三 勾股定理的实际应用】
知识点③构造直角三角形利用勾股定理解决实际问题
【典例3-1】如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在右墙上，测得梯子顶端距离地面2米，即米，梯子底端距右墙底端米，即米，梯子底端位置不动，将梯子斜靠在左墙时，顶端距离地面米，即米，则小巷的宽度为多少米？
【典例3-2】如图，一根垂直于地面的旗杆高，因刮大风旗杆从点处折断，顶部着地且离旗杆底部的距离．
(1)求旗杆折断处点距离地面的高度；
(2)工人在修复的过程中，发现在折断点的下方的点处，有一明显裂痕，若下次大风将修复好的旗杆从点处吹断，旗杆的顶点落在水平地面上的处，形成一个直角，请求出的长．
【变式3-1】在O处的某海防哨所发现在它的北偏东方向相距的A处有一艘快艇正在向正南方向航行，经过若干小时后快艇到达哨所东南方向的B处，求：
(1)此时快艇航行了多少千米（即的长）？
(2)距离哨所多少千米（即的长）？
【变式3-2】如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船，河岸上一男孩拽着绳子另一端向右走，绳端从点移动到点，同时小船从点移动到点，且绳长始终保持不变，回答下列问题：
(1)根据题意，可知________（填“”“”“”）；
(2)若米，米，米，求男孩需向右移动的距离（结果保留根号）．
【变式3-3】如图，在甲村至乙村的公路旁有一块山地需要开发，现有一C处需要爆破，已知点C与公路上的停靠点A的距离为300米，与公路上另一停靠点B的距离为400米，且，为了安全起见，爆破点C周围半径250米范围内受会有危险．请通过计算判断在公路上行驶时是否会遇到危险？若无，请说明理由，若有危险请求出危险路段的长度．
【考点四 勾股树（数）】
知识点④勾股数：①三个数均为正整数；②其中两个较小的数的平方和等于最大的数的平方．
【典例4-1】我们把满足的三个正整数a，b，c称为“勾股数”．若是一组勾股数，n为正整数：
(1)当，时，请用含的代数式表示，并直接写出n取何值时，a为满足题意的最小整数；
(2)当，时，用含n的代数式表示，再完成下列勾股数表．
9 40
60 61
【变式4-1】同学们都知道，凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数， 称之为“勾股数”． 比如 3 ，4 ，5 或 11 ，60 ，61 等．
(1)请你写出另外两组勾股数：6，______，______；7 ，______，______；
(2)清朝的扬州籍数学家罗士琳提出了四个构造勾股数的法则，其中有两个法则如下：
（I）如果k是大于1的奇数，那么k，，是一组勾股数
（Ⅱ）如果k是大于2的偶数，那么k，，是一组勾股数
①如果在一组勾股数中，其中有一个数为 12，根据法则（I）求出另外两个数；
②请你任选其中一个法则证明它的正确性．
【变式4-2】已知：整式，，，整式．
(1)当时，写出整式的值______（用科学记数法表示结果）；
(2)求整式；
(3)嘉淇发现：当取正整数时，整式、、满足一组勾股数，你认为嘉淇的发现正确吗？请说明理由．
【考点五 勾股定理与网格问题】
知识点⑤利用勾股定理构造直角三角形
【典例5-1】如图，网格小正方形的边长都为1，在中，试利用格点分别画出：边上的中线、边上的高，并判断的形状．

【典例5-2】如图，是的正方形网格，的三个顶点都在格点上，，点在边上，请仅用无刻度的直尺，分别在图1，图2中，画符合下列条件的点．
(1)；
(2)最短．
【变式5-1】如图，在的网格中，每个小正方形的边长都是．
(1)在图①中画出三边长分别为，，的三角形，及最长边上的高，并求出它的高；
(2)①在图②中画出一个以为顶点且面积为的等腰；
②一共可以画出 ___________个不同位置的等腰．
【变式5-2】问题背景：如图，方格纸中每个小方格的边长为1，我们把小方格顶点处的点称为格点．
问题提出：
(1)若格点是锐角三角形且面积为3，请在图中任意画出一个符合要求的格点．
问题探究：
(2)若格点满足，，，请在图中画出一个符合要求的格点，并计算的面积；
问题解决：
我们将（2）中求解面积的过程称为构图法，现在有一个三角形的三条边长分别为，，且满足，．请利用构图法求这个三角形的面积．
【考点六 勾股定理与两点间的距离】
知识点⑥利用勾股定理构造直角三角形，根据勾股定理求线段的长度
【典例6-1】阅读：
在平面直角坐标系中，已知两点的坐标，可构造直角三角形，运用勾股定理，求这两点间的距离；在平面直角坐标系中有两点，，求A，B两点间的距离．
过点A作x轴的垂线，过点B作y轴的垂线，相交于点C，连接．
∴，，
在中，由勾股定理得：，
若，，从而得到两点间的距离公式．
解决下列问题：
(1)若，，则两点间的距离 ________
(2)如图2：点，点，则____，若，则________
【典例6-2】请解答下列各题：
(1)根据两点的坐标，构造直角三角形，求出两直角边的长，然后再求斜边的长；
两点坐标 构造直角三角形 一直角边长 另一直角边长 斜边长
或 或
(2)观察表格中的关系，探究任意两点坐标与点之间的距离有什么关系？并证明你的结论
(3)求的最小值．
【变式6-1】探究一：在平面直角坐标系中探究的几何意义
例如：已知，，如果要求、两点之间的距离，可以构造如图所示的直角三角形，则、之间的距离为______．
结论：在平面直角坐标系中，已知平面内、两点坐标，则、两点之间的距离等于因此，的几何意义可以理解为点与点之间的距离．
应用一：的几何意义可以理解为点与点______，______的距离和点与点______，______的距离之和．
探究二：求代数式的最小值．
解：
如图，建立平面直角坐标系，点是轴上一点，则可以看成与点______，______的距离．可以看成点与点______，______的距离．
所以原代数式的值可以看成线段与的长度之和，的最小值就是原代数式的最小值，设点关于轴的对称点为，则，因此求的最小值，只需求的最小值．而点、之间的所有连线中线段最短，所以的最小值为线段的长度．为此，构造直角三角形，所以______．
即的最小值为______．
拓展：代数式的最小值为______．
【变式6-2】已知：在平面直角坐标系中，两点的横向（或级向）距离可以用两点横坐标（或纵坐标）的差的绝对值来表示．
(1)如图，平面内点A坐标为，点B坐标为，则两点的横向距离______，纵向距离______，最后，可得______．
(2)平面内有点，点，请参考（1）中方法求线段的长．（用含m的式子表示）
数学八年级下暑假培优专题训练
专题三、勾股定理证明及应用（解析版）
【典例剖析】
【考点一 勾股定理的证明】
【典例1-1】在学习勾股定理时，我们学会运用图（Ⅰ）验证它的正确性；图中大正方形的面积可表示为：，也可表示为：，
即由此推出勾股定理，这种根据图形可以极简单地直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称“无字证明”．

(1)请你用图（II）（2002年国际数字家大会会标）的面积表达式验证勾股定理（其中四个直角三角形全等）；
(2)请你用（III）提供的图形进行组合，用组合图形的面积表达式验证；
(3)请你自己设计图形的组合，用其面积表达式验证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据大正方形的面积=小正方形的面积+4个直角三角形的面积，即可证明；
（2）可以拼成一个边长是的正方形，它由两个边长分别是的正方形和两个长、宽分别是的长方形组成；
（3）结合（2）的图形设计过程即可得出相应图形．
【详解】（1）解：由图可得：大正方形的面积为：，
中间小正方形面积为：，
四个直角三角形面积和为：，
由图形关系可知：大正方形面积=小正方形面积+四直角三角形面积，
则有：，
即：；
（2）如图示：

大正方形边长为
所以面积为：，
因为它的面积也等于两个边长分别为和两个长为宽为的矩形面积之和，即，
所以有：成立．
（3）如图所示：

满足面积表达式：．
【点睛】本题考查了勾股定理的证明及多项式的乘法与面积表示，掌握完全平方公式是解题的关键．
【典例1-2】如图，两个直角三角形的直角边a，b在同一直线上，斜边为c，请利用三角形和梯形面积公式验证勾股定理．
【答案】证明见解析
【分析】由图知，梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和，用字母表示出来，化简后，即证明勾股定理．
【详解】解：由图可得， ，
整理得， ，
∴．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的证明，利用数形结合的思想方法是解本题的关键．
【变式1-1】下面是用面积关系证明勾股定理的两种拼接图形的方法，选择其中一种，完成证明．
勾股定理：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．已知：如图，直角三角形的直角边长分别为，，斜边长为．求证：．
方法一如图，大正方形的边长为，小正方形的边长为．证明 方法二如图，大正方形的边长为，小正方形的边长为．证明
【答案】见解析
【分析】利用面积法，根据大正方形面等于4个直角三角形面积加上小正方形面积求解即可．
【详解】证明：方法一：由图可得：
∴；
方法二：由图可得：，
∴．
【点睛】本题考查勾股定理的证明，利用数形结合，得出大正方形面等于4个直角三角形面积加上小正方形面积是解题的关键．
【变式1-2】．在苏教版七下第九章的学习中，对同一个图形的面积可以从不同的角度思考，用不同的式子表示．
(1)用不同的方法计算图1的面积得到等式： ．
(2)图2是由两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成，从整体看它又是一个直角梯形，用不同的方法计算这个图形的面积，能得到等式： ．（结果为最简）
(3)根据上面两个结论，解决下面问题：
①在中，，三边长分别为a、b、c，已知，求的值．
②如图3，四边形中，对角线互相垂直，垂足为O，，在中，，若的周长为1，则的面积＝　 　．
【答案】(1)
(2)
(3)①7；②
【分析】（1）根据大正方形的面积等于各图形面积的和，列式即可．
（2）根据梯形的面积等于各图形面积的和，列式即可．
（3）①利用完全平方公式，（2）的结论计算即可．
②根据题意，，结合得到，再运用整理求解即可．
【详解】（1）∵
∴大正方形的面积为，分割的四个图形的面积分别为
∴，
故答案为：．
（2）∵
∴梯形的面积为，分割的三个图形的面积分别为
∴，
∴，
故答案为：．
（3）①∵，，，，
∴，
∴（舍去），
故的值是7．
②∵，，的周长为1，，
∴，，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理的图形证明，完全平方公式的几何证明，变形公式解题，熟练掌握公式的意义，并灵活运用是解题的关键．
【变式1-3】综合与实践．
勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对它的证明颇感兴趣，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．
(1)我国汉代数学家赵爽创制了一幅如图1所示的用4个全等的直角三角形拼成的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．在中，，若，，，请你利用这个图形说明．
(2)业余数学爱好者向常春在年构造发现了一个新的证法：把两个全等的和按如图2所示的方式放置，，，，．请你利用这个图形说明．(提示：连接，)
【答案】(1)说明见解析
(2)说明见解析
【分析】（1）根据大正方形的面积等于4个直角三角形的面积加上小正方形的面积即可得出结论；
（2）连接，，根据四边形的面积，又四边形的面积，根据的面积四边形的面积四边形的面积，得出等量关系，进而得证．
【详解】（1）∵大正方形面积为，直角三角形面积为，小正方形面积为，
∴，
即；
（2）连接，，
，
，，
，
，
，
∵四边形的面积，
四边形的面积，
的面积四边形的面积四边形的面积，
∴．
【点睛】本题考查了勾股定理的证明，掌握等面积法证明勾股定理是解题的关键。
【考点二 判断三边是否能构成直角三角形】
【典例2-1】．小雨是小学一年级的小朋友，在认识直角三角形的学习活动中，需要完成一个剪直角三角形的剪纸活动，上初二的姐姐知知刚学完勾股定理的相关知识，她对妺妺说，我不用直角三角尺或量角器也可以判断你剪的卡片是否为直角三角形．知知量出两个三角形的三边长分别为：图形①，，；图形②，，．请你用所学知识判断：图形__________是直角三角形．
【答案】．①
【分析】根据勾股定理逆定理进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴图形①是直角三角形；
∵，
∴图形②不是直角三角形；
故答案为：①
【点睛】本题考查勾股定理逆定理．熟练掌握两短边的平方和等于最长边的平方和，三边构成的三角形是直角三角形，是解题的关键．
【典例2-2】．在四边形中，，．
(1)如图1，若，，．
①连接，试判断的形状，并说明理由；
②连接，过作，交的延长线于点，求的面积；
(2)如图2，若，，四边形的面积为，求的长．
【答案】．(1)①直角三角形，理由见解析 ②
(2)
【分析】（1）①利用勾股定理的逆定理即可判断的形状；②证明，利用全等三角形的性质可得，易得，即可获得答案；
（2）过作交的延长线于点，连接，过作，交的延长线于点，首先证明是等腰直角三角形，可得；结合（1）中，可得，，再由，可解得，进而可求得，然后由即可获得答案．
【详解】（1）解： ①是直角三角形，理由如下：
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴是直角三角形；
②∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
即
；
（2）过作交的延长线于点，连接，过作，交的延长线于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
同（1）②，可证，
∴，，
由（1）②，可知，
即，
∴，
解得，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识，理解并掌握相关知识是解题关键．
【变式2-1】如图，线段和射线．
(1)在的内部求作一点B，使得是等边三角形；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）条件下，若点C在射线上，，四边形的周长为16，，求证：是直角三角形．
【答案】．(1)见详解
(2)见详解
【分析】（1）分别以A、O为圆心，以为半径画弧，两弧在的内部交于点B，连接、，即可作答；
（2）根据是等边三角形，，可得，再根据四边形的周长为16，可得，即可求出，，采用勾股定理的逆定理即可证明．
【详解】（1）分别以A、O为圆心，以为半径画弧，两弧在的内部交于点B，连接、，如图，
等边即为所求；
证明：由作图可知：，即是等边三角形；
（2）如图，
∵是等边三角形，，
∴，
∵四边形的周长为16，
∴，
∴，
∵，
∴，，
在中，，，，
∴，
∴是直角三角形．
【点睛】本题考查了基本作图，勾股定理的逆定理等知识，掌握勾股定理的逆定理是解答本题的关键．
【变式2-2】如图，以一边为直角边构造，且，，，．
(1)求证：为直角三角形．
(2)若点P为上一动点，连接，，求最小值．
【答案】．(1)见解析
(2)最小值为
【分析】（1）根据题意得，，，根据三角形内角和定理得，即可得，则，根据勾股定理的逆定理即可得，即可得；
（2）延长至M，使得，连接，，过点B作于点N，
则，，根据矩形的性质和勾股定理得，根据，得当B、P、M三点共线时，取最小值为，即可得．
【详解】（1）证明：根据题意得，，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
，
∴，
∴△ABC为直角三角形；
（2）解：如图所示，延长至M，使得，连接，，过点B作于点N，
则，，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∵，
当B、P、M三点共线时，取最小值为，
∴最小值为．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，两点之间线段最短性质，解题的关键是掌握这些知识点，确定的最小是．
【变式2-3】如图，某人从A地到B地共有三条路可选，第一条路是从A到B，AB为10米，第二条路是从A经过C到达B地，AC为8米，BC为6米，第三条路是从A经过D地到B地共行走26米，若C、B、D刚好在一条直线上．
(1)求证：；
(2)求AD和BD的长．
【答案】(1)见详解
(2)米，米
【分析】（1）利用勾股定理的逆定理即可作答；
（2）根据，可得，又有，则在中，有：，即，解方程问题得解．
【详解】（1）根据题目条件有：米，米，米，
即：，
∴是直角三角形，且为斜边，
∴；
（2）根据题意有：，
∴，
∵米，
∴，
∵米，，
∴在中，有：，
∴，
解得：米，
∴米，
即：米，米．
【点睛】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用，掌握勾股定理的逆定理是解答本题的关键
【考点三 勾股定理的实际应用】
【典例3-1】如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在右墙上，测得梯子顶端距离地面2米，即米，梯子底端距右墙底端米，即米，梯子底端位置不动，将梯子斜靠在左墙时，顶端距离地面米，即米，则小巷的宽度为多少米？
【答案】米
【分析】分别在，中求出，，即可．
【详解】解：在中，，米，米，
米，
在中，，米，米，
米，
米，
答：小巷的宽度为米．
【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
【典例3-2】如图，一根垂直于地面的旗杆高，因刮大风旗杆从点处折断，顶部着地且离旗杆底部的距离．
(1)求旗杆折断处点距离地面的高度；
(2)工人在修复的过程中，发现在折断点的下方的点处，有一明显裂痕，若下次大风将修复好的旗杆从点处吹断，旗杆的顶点落在水平地面上的处，形成一个直角，请求出的长．
【答案】(1)米
(2)米
【分析】（1）由题意可知米，根据勾股定理可得：，又因为米，所以可求得的长，
（3）先求出D点距地米，米，再根据勾股定理可以求得米．
【详解】（1）解：由题意可知：米，
∵，
∴，
又∵米，
∴，
∴米；
（2）解：∵D点距地面米，
∴米，
∴米．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图.
【变式3-1】在O处的某海防哨所发现在它的北偏东方向相距的A处有一艘快艇正在向正南方向航行，经过若干小时后快艇到达哨所东南方向的B处，求：
(1)此时快艇航行了多少千米（即的长）？
(2)距离哨所多少千米（即的长）？
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先根据题意得，，利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求解即可；
（2）利用（1）中结论，根据勾股定理求解．
【详解】（1）解：由题意可知，，，，，
在中，，
，
在中，，
，
∴．
答：此时快艇航行了．
（2）解：由（1）知，，
．
答：此时快艇距离哨所．
【点睛】本题考查方位角、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理，解题的关键是将实际问题转化为解直角三角形问题．
【变式3-2】如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船，河岸上一男孩拽着绳子另一端向右走，绳端从点移动到点，同时小船从点移动到点，且绳长始终保持不变，回答下列问题：
(1)根据题意，可知________（填“”“”“”）；
(2)若米，米，米，求男孩需向右移动的距离（结果保留根号）
【答案】(1)
(2)男孩需向右移动的距离为米
【分析】（1）由绳长始终保持不变即可求解；
（2）由勾股定理求出、的长，然后根据即可求解．
【详解】（1）解：的长度是男孩未拽之前的绳子长，的长度是男孩拽之后的绳子长，绳长始终保持不变，
，
（2）解：连接，则点、、三点共线，
在中，（米，
（米，
在中，（米，
，
（米，
男孩需向右移动的距离为米．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理求出、的长是解题的关键．
【变式3-3】如图，在甲村至乙村的公路旁有一块山地需要开发，现有一C处需要爆破，已知点C与公路上的停靠点A的距离为300米，与公路上另一停靠点B的距离为400米，且，为了安全起见，爆破点C周围半径250米范围内受会有危险．请通过计算判断在公路上行驶时是否会遇到危险？若无，请说明理由，若有危险请求出危险路段的长度．
【答案】在公路上行驶时会遇到危险，需要封锁的公路长为140米
【分析】过C作于D．根据米，米，，利用根据勾股定理有米．利用得到米．再根据240米＜250米可以判断有危险，最后根据勾股定理求出封锁路段的长度即可．
【详解】解：在公路上行驶时会遇到危险．
理由如下：如图，过C作于D．
∵米，米，，
根据勾股定理得（米）．
∴，
∴（米）．
由于240米米，故有危险，
故在公路上行驶时会遇到危险；
如图，设为需要封锁的公路，
∵爆破点C周围半径250米范围内不得进入，
∴米，
∵米，
∴（米），
∴米，
故需要封锁的公路长为140米．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是构造直角三角形，以便利用勾股定理。
【考点四 勾股树（数）】
【典例4-1】我们把满足的三个正整数a，b，c称为“勾股数”．若是一组勾股数，n为正整数：
(1)当，时，请用含的代数式表示，并直接写出n取何值时，a为满足题意的最小整数；
(2)当，时，用含n的代数式表示，再完成下列勾股数表．
9 40
60 61
【答案】(1)当时，为满足题意的最小整数5
(2)见解析
【分析】（1）根据变形式得到结果，根据的算术平方根是最小整数得到结果；
（2）根据变形式得到结果，根据变形式得到的值，根据变形式得到的值；
【详解】（1），
把，代入中，
得，
∵为正整数，
∴当时，满足题意的最小整数；
（2），
，
，
，，
，
，，
，
补全勾股数表如下：
9 40 41
11 60 61
【点睛】本题主要考查了勾股定理逆定理的应用，准确理解题意是解题的关键.
【变式4-1】同学们都知道，凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数， 称之为“勾股数”． 比如 3 ，4 ，5 或 11 ，60 ，61 等．
(1)请你写出另外两组勾股数：6，______，______；7 ，______，______；
(2)清朝的扬州籍数学家罗士琳提出了四个构造勾股数的法则，其中有两个法则如下：
（I）如果k是大于1的奇数，那么k，，是一组勾股数
（Ⅱ）如果k是大于2的偶数，那么k，，是一组勾股数
①如果在一组勾股数中，其中有一个数为 12，根据法则（I）求出另外两个数；
②请你任选其中一个法则证明它的正确性．
【答案】(1)8，10；24，25
(2)①5，13，②证明见解析．
【分析】（1）根据勾股定理解答即可；
（2）①假设，求出，即可求出另外两个数；②根据勾股定理证明即可．
【详解】（1）解：由勾股定理可知：
，，
另外两组勾股数为：6，8，10；7，24，25；
故答案为：8，10；24，25；
（2）解：①∵k为奇数，且其中有一个数为 12，故假设，
解得：，（舍去），
∴，即5，12，13构成一组勾股数，
∴另外两个数为5，13；
②∵，且，
∴．
【点睛】本题考查勾股定理中的勾股数问题，解题的关键是理解勾股定理．
【变式4-2】已知：整式，，，整式．
(1)当时，写出整式的值______（用科学记数法表示结果）；
(2)求整式；
(3)嘉淇发现：当取正整数时，整式、、满足一组勾股数，你认为嘉淇的发现正确吗？请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)正确，理由见解析
【分析】根据题意可得，，把代入计算应用科学记数法表示方法进行计算即可得出答案；
把，，代入中，可得，应用完全平方公式及因式分解的方法进行计算即可得出答案；
先计算，计算可得，应用勾股定理的逆定理即可得出答案．
【详解】（1）解：，
当时，
原式
；
故答案为：；
（2）
；
（3）嘉淇的发现正确，理由如下：
，
，
当取正整数时，整式、、满足一组勾股数．
【点睛】本题主要考查了勾股定理及逆定理，科学记数法，熟练掌握勾股定理及逆定理，科学记数法的计算方法进行求解是解决本题的关键．
【考点五 勾股定理与网格问题】
【典例5-1】如图，网格小正方形的边长都为1，在中，试利用格点分别画出：边上的中线、边上的高，并判断的形状．

【答案】图见解析，是等腰三角形．
【分析】根据三角形的中线，高的定义作出图形即可，利用勾股定理求出，可得．
【详解】解：如图，的中线，高即为所求作．

∵，，
∴，
∴是等腰三角形．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，三角形的中线，高，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
【典例5-2】如图，是的正方形网格，的三个顶点都在格点上，，点在边上，请仅用无刻度的直尺，分别在图1，图2中，画符合下列条件的点．
(1)；
(2)最短．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）为使，需在正方形网格中确定两个点，分别到点A和点B的距离相等，连接两点的直线与相交，交点即为所求．
（2）作以为斜边的等腰直角三角形，其直角边的长度即为，点P在上，为使最短，过点A向等腰直角三角形直角边作垂线，与相交，交点即为所求．
【详解】（1）如图1，在正方形网格中确定到点A、点B距离相等的两点M和N，用无刻度的直尺连接，与相交于点P，点P即为所求．
（2）如图2，连接，则，过点P向作垂线构造等腰直角三角形，其中垂线段的长度即为，为使最短，即过点A向所作射线作垂线，与相交于点P，点P即为所求．
【点睛】本题考查无刻度直尺作图，运用了线段的垂直平分线和两点确定一条直线的相关概念，以及等腰直角三角形中直角边是斜边的的特殊性和点到直线的的最短距离是垂线段等知识点；解题的关键是确定特殊点的位置，易错点是需仅用无刻度直尺而非尺规作图，难点是无法确定的位置．
【变式5-1】如图，在的网格中，每个小正方形的边长都是．
(1)在图①中画出三边长分别为，，的三角形，及最长边上的高，并求出它的高；
(2)①在图②中画出一个以为顶点且面积为的等腰；
②一共可以画出 ___________个不同位置的等腰．
【答案】(1)作图见详解，
(2)①作图见详解，②
【分析】（1）每个小正方形的边长都是，根据勾股定理可知对角线的长度为，当正方形的边长为，对角线为，由此即可求解；
（2）根据要求以及等腰直角三角形的判定画出图形可得结论．
【详解】（1）解：如图①中，
∴即为所求图形，
∵，，
∴，，，
∴，即是直角三角形，过点作于，
∴高即为所求边的高，
∵，
∴．
（2）（2）①以为顶点且面积为的等腰，如图所示，
，，，
∴，且，
∴是等腰直角三角形，，满足条件，
∴以为顶点且面积为的等腰的边长分别为，
∴满足条件的三角形如图所示；
②如图满足条件的三角形有个．
故答案为：．
【点睛】本题考查作图—应用与设计作图，勾股定理，等腰直角三角形的判定等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题
【变式5-2】问题背景：如图，方格纸中每个小方格的边长为1，我们把小方格顶点处的点称为格点．
问题提出：
(1)若格点是锐角三角形且面积为3，请在图中任意画出一个符合要求的格点．
问题探究：
(2)若格点满足，，，请在图中画出一个符合要求的格点，并计算的面积；
问题解决：
我们将（2）中求解面积的过程称为构图法，现在有一个三角形的三条边长分别为，，且满足，．请利用构图法求这个三角形的面积
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）利用三角形面积公式解决问题即可；
（2）利用勾股定理画出图形，再利用割补法求出的面积；
（3）构建长为a，宽为b的长方形网格，利用勾股定理画出图形，即可求解．
【详解】（1）解：如图，即为所求，
（答案不唯一）；
（2）解：如图，即为所求，
；
（3）解：如图，即为所求，
．
【点睛】本题考查了勾股定理，三角形的面积，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
【考点六 勾股定理与两点间的距离】
【典例6-1】阅读：
在平面直角坐标系中，已知两点的坐标，可构造直角三角形，运用勾股定理，求这两点间的距离；在平面直角坐标系中有两点，，求A，B两点间的距离．
过点A作x轴的垂线，过点B作y轴的垂线，相交于点C，连接．
∴，，
在中，由勾股定理得：，
若，，从而得到两点间的距离公式．
解决下列问题：
(1)若，，则两点间的距离 ________
(2)如图2：点，点，则____，若，则________
【答案】(1)13
(2)；
【分析】（1）根据两点间距离公式求出的值即可；
（2）根据两点间距离公式求出的值即可；先求出的面积，根据等积法求出的值即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴；
故答案为：13．
（2）解：∵点，点，
∴；
过点D作轴于点A，过点E作轴于点C，过点E作于点B，如图所示：
∵点，点，
∴，，，，，，
∴
，
∵，
∴．
故答案为：；．
【点睛】本题主要考查了两点间距离公式，三角形面积的计算，坐标系中坐标特点，解题的关键是熟练掌握平面直角坐标系中两点间距离公式．
【典例6-2】请解答下列各题：
(1)根据两点的坐标，构造直角三角形，求出两直角边的长，然后再求斜边的长；
两点坐标 构造直角三角形 一直角边长 另一直角边长 斜边长
或 或
(2)观察表格中的关系，探究任意两点坐标与点之间的距离有什么关系？并证明你的结论
(3)求的最小值．
【答案】(1)见解析
(2)；理由见解析
(3)的最小值为5
【分析】（1）利用点的坐标得出线段长度即可；
（2）利用已知得出，，进而利用勾股定理得出公式即可；
（3）设x轴上有点P，利用两点之间距离公式进而得出答案．
【详解】（1）解：一直角边长或，
另一直角边或，
斜边；
两点坐标 构造直角三角形 一直角边长 另一直角边长 斜边长
或 或
或 或
（2）解：；理由如下：
构造直角三角形，，
则，，
根据勾股定理得：．
（3）解：∵
，
∴可以看作点到点的距离与点到的距离之和，
∵，
又∵，
∴的最小值为5．
【点睛】本题主要考查了坐标图形的性质以及两点之间的距离公式，利用数形结合得出是解题关键．
【变式6-1】探究一：在平面直角坐标系中探究的几何意义
例如：已知，，如果要求、两点之间的距离，可以构造如图所示的直角三角形，则、之间的距离为______．
结论：在平面直角坐标系中，已知平面内、两点坐标，则、两点之间的距离等于因此，的几何意义可以理解为点与点之间的距离．
应用一：的几何意义可以理解为点与点______，______的距离和点与点______，______的距离之和．
探究二：求代数式的最小值．
解：
如图，建立平面直角坐标系，点是轴上一点，则可以看成与点______，______的距离．可以看成点与点______，______的距离．
所以原代数式的值可以看成线段与的长度之和，的最小值就是原代数式的最小值，设点关于轴的对称点为，则，因此求的最小值，只需求的最小值．而点、之间的所有连线中线段最短，所以的最小值为线段的长度．为此，构造直角三角形，所以______．
即的最小值为______．
拓展：代数式的最小值为______．
【答案】 ； ， ， ， ； ， ， ，
【分析】探究一：利用勾股定理求解即可；
应用一：利用勾股定理，数形结合的思想解决问题即可；
探究二：利用数形结合的思想，再根据轴对称的性质解决最短问题；
拓展：模仿例题解决问题即可．
【详解】解：探究一：．
故答案为：；
应用一：的几何意义可以理解为点与点的距离和点与点的距离之和．
故答案为：，，，；
探究二：建立平面直角坐标系，点是轴上一点，则可以看成与点的距离．可以看成点与点的距离．
所以原代数式的值可以看成线段与的长度之和，的最小值就是原代数式的最小值，设点关于轴的对称点为，则，因此求的最小值，只需求的最小值．而点、之间的所有连线中线段最短，所以的最小值为线段的长度．为此，构造直角三角形，所以．
即的最小值为；
故答案为：，，，，，；
拓展：，
欲求的最小值，相当于在轴上取一点，使得点到，的距离和最小．
作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，此时的值最小，最小值的长．
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型
【变式6-2】已知：在平面直角坐标系中，两点的横向（或级向）距离可以用两点横坐标（或纵坐标）的差的绝对值来表示．
(1)如图，平面内点A坐标为，点B坐标为，则两点的横向距离______，纵向距离______，最后，可得______．
平面内有点，点，请参考（1）中方法求线段的长．（用含m的式子表示）
【答案】(1)3，4，5
(2)
【分析】（1）先求出点C坐标，在根据题意即可求得、长，根据勾股定理即可求得长．
（2）根据题意，先求出M、N两点之间的横向距离及纵向距离，再根据勾股定理即可解答．
【详解】（1）∵点A坐标为，点B坐标为
∴点C坐标为
，
（2）横向距离为，纵向距离为
【点睛】本题考查了平面直角坐标系中，两点的距离表示方式及勾股定理等知识点，充分理解题意，并掌握上述知识点是解答本题的关键．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页

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