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数学八年级下暑假培优专题训练
专题四、勾股定理与图形折叠
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目录
【考点一 勾股定理与三角形的折叠】............................................1
【考点二 勾股定理与矩形的折叠】..............................................2
【考点三 勾股定理与正方形的折叠】............................................5
【典例剖析】
【考点一 勾股定理与三角形的折叠】
勾股定理在有关图形折叠（翻折）计算的问题中的方法是：在图形中找到一个直角三角形，然后设图形中某一未知数为x，将此三角形中的三边长用具体数或含x的代数式表示，再利用勾股定理列出方程，从而得出要求的线段的长度。
模型1 模型2 模型3 模型4
【典例1-1】小宇手里有一张直角三角形纸片ABC，他无意中将直角边AC折叠了一下，恰好使AC落在斜边AE上，且C点与E点重合,（如图）小宇经过测量得知两直角边AC=6cm,BC=8cm,他想用所学知识求出CD的长，你能帮他吗？
【典例1-2】如图，在中，，D为上的一点，将沿折叠，点C恰好落在边上的点E处，若，，求的长．

针对训练
【变式1-1】在中，，，M是边的中点，过点M作交于点P，交于点Q，试求三者之间的数量关系，并证明你的结论．
【变式1-2】如图，中，，将折叠，使点恰好落在斜边上，与点重合，为折痕，求的长．
【变式1-3】如图，在中，，，，是边上的中线，点在边上运动，沿折叠得到，点落在上，求线段的长.
【考点二 勾股定理与矩形的折叠】
矩形转化为直角三角形问题。在图形中找到一个直角三角形，然后设图形中某一未知数为x，将此三角形中的三边长用具体数或含x的代数式表示，再利用勾股定理列出方程，从而得出要求的线段的长度。
【典例2-1】如图，长方形在平面直角坐标系中，，，折叠长方形使得点与点重合，折痕交于点、交于点，点的对应点为．
(1)求点的坐标；
(2)求折痕的长度．
【典例2-2】如图，在平面直角坐标系中，点，轴于点，轴于点，点是轴正半轴上动点，连接，将折叠得到，点与点对应，折痕为．
(1)填空：______，______，______．
(2)如图，的边与分别与交于点，，．
①求证：；
②求的长．
(3)连接，当是以为直角顶点的直角三角形时，直接写出点坐标．
(3)连接，当是以为直角顶点的直角三角形时，直接写出点坐标．
【典例2-3】如图，长方形，点E是上的一点，将沿折叠后得到，且点O在长方形内部．已知，．
(1)如图1，若，求四边形的面积．
(2)如图2，延长交于F，连结，将沿折叠，当点D的对称点恰好为点O时，求四边形的面积．
(3)如图3，在（2）的条件下，延长交于点G，连结，将沿折叠，当点C的对称点恰好为点O时，求四边形的面积．
针对训练2
【变式2-1】如图，把长方形沿折叠，落在处，交于点E．已知．（长方形的对边相等，四个角都为直角）
（1）求证：；
（2）求的长；
（3）请直接写出中上的高为_______．
【变式2-2】我们知道长方形的四个角都是直角，两组对边分别相等．
小亮在参加数学兴趣小组活动时，对一张长方形纸片进行了探究．如图是长方形纸片，点E是边的中点．先将沿着翻折，得到；再将翻折至与重合，折痕是．请你帮助小亮解决下列问题：
(1)判断的形状，并说明理由；
(2)已知，，求的长．
【变式2-3】．如图，在长方形中，，，将长方形沿直线折叠（点是折痕和边的交点），使点落在上的处．
(1)请你利用尺规作图确定点和点．（保留作图痕迹，不写做法）
(2)将图形补充完整，______．
【考点三 勾股定理与正方形的折叠】
正方形转化为直角三角形问题。在图形中找到一个直角三角形，然后设图形中某一未知数为x，将此三角形中的三边长用具体数或含x的代数式表示，再利用勾股定理列出方程，从而得出要求的线段的长度。
【典例3-1】如图，在边长为6的正方形中，E是边的中点，将沿对折至，延长交于点G，连接．
求证：
(2)求的长．
【典例3-2】如图，正方形 的边长是 ，点 在边 上，，点 是边 上不与点 ， 重合的一个动点，把 沿 折叠，点 落在 处．若 ，则 的长为____．
【典例3-3】如图，在一次综合实践活动中，小明将一张边长为10cm的正方形纸片ABCD，沿着BC边上一点E与点A的连线折叠，点B'是点B的对应点，延长EB'交DC于点G，B'G＝cm，则△ECG的面积为_____cm2．
针对训练3
【变式3-1】如图，小明将一张正方形纸片对折，使得AB与CD重合，折痕为EF，展开后再沿BH折叠，使得点C刚好落在折痕EF上的C′处，若CH=1cm，则BC= _____cm．
【变式3-2】如图，在一次综合实践活动中，小明将一张边长为的正方形纸片，沿着边上一点与点的连线折叠，点是点的对应点，延长交于点，经测量，，则的面积为______．
【变式3-3】如图（1），在等腰直角三角形纸片ABC中，∠B＝90°，AB＝4，点D，E分别为AB，BC上的动点．将纸片沿DE翻折，点B的对应点恰好落在边AC上，如图（2），再将纸片沿翻折，点C的对应点为，如图（3）．当的重合部分为直角三角形时，CE的长为_____．
数学八年级下暑假培优专题训练
专题四、勾股定理与图形折叠（解析版）
【典例剖析】
【考点一 勾股定理与三角形的折叠】
【典例1-1】小宇手里有一张直角三角形纸片ABC，他无意中将直角边AC折叠了一下，恰好使AC落在斜边AE上，且C点与E点重合,（如图）小宇经过测量得知两直角边AC=6cm,BC=8cm,他想用所学知识求出CD的长，你能帮他吗？
【答案】能帮他，求出CD的长为3cm．
【分析】由于是折叠，所以折叠前后图形形状不变，可得△ACD≌△AED，再利用勾股定理列方程即可求出CD的长．
【详解】解：∵△ABC是直角三角形，AC＝6cm，BC＝8cm，
∴AB10cm，
设CD＝xcm，
∵△ADE由△ADC折叠而成，
∴CD＝DE＝xcm，AC＝AE＝6cm，
∴BD＝（8﹣x）cm，BE＝AB﹣AE＝4cm，
在Rt△BDE中，，
即，
解得x＝3（cm），
即CD＝3cm．
∴能帮他，求出CD的长为3cm．
【点睛】此题将勾股定理和折叠的性质相结合，既考查了折叠不变性，又考查了勾股定理的应用，根据勾股定理列方程是解题的关键．
【典例1-2】如图，在中，，D为上的一点，将沿折叠，点C恰好落在边上的点E处，若，，求的长．
【答案】
【分析】根据折叠的性质可得，，，设，则，在中，，列方程求解即可．
【详解】在中，，，，
由折叠性质可知，
，，，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
解得，
∴．
【点睛】本题考查了折叠问题以及勾股定理，运用折叠的性质以及勾股定理列方程求解是本题的关键．
针对训练1
【变式1-1】在中，，，M是边的中点，过点M作交于点P，交于点Q，试求三者之间的数量关系，并证明你的结论．
【答案】．证明见解析.
【分析】将沿着翻折得到，连接，由翻折可知，，，再利用证出，从而得出，，最后利用勾股定理和等量代换即可证出结论．
【详解】解：．证明如下：
如图，将沿着翻折得到，连接．

由翻折可知，，，，
∴P，M，三点共线．
∵M为边中点，
∴．
在和中
∴，
∴，．
又∵，
∴，
∴，即．
在中，
∵，
∴．
【点睛】此题考查的是全等三角形的判定及性质、勾股定理和折叠问题，掌握全等三角形的判定及性质、利用勾股定理解直角三角形和折叠的性质是解决此题的关键．
【变式1-2】如图，中，，将折叠，使点恰好落在斜边上，与点重合，为折痕，求的长．
【答案】
【分析】根据勾股定理得到，由折叠的性质得到，设，则，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：在中，，
∴，
∵将折叠，使点B恰好落在斜边上，与点重合，
∴，
∴，
设，则，
∵在中，，
∴，
解得，
∴．
【点睛】本题考查了翻折变换-折叠问题，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
【变式1-3】如图，在中，，，，是边上的中线，点在边上运动，沿折叠得到，点落在上，求线段的长.
【答案】
【分析】根据题意得出，由勾股定理确定，再由翻折的性质得出，设，则，，继续利用勾股定理求解即可．
【详解】解：∵，，，是边上的中线，
∴，
∴，
∵沿折叠得到，点落在上，
∴，
∴，
设，则，，
∴在中，
即，
解得：
∴线段的长为．
【点睛】题目主要考查三角形中线的性质，勾股定理解三角形即翻折的性质，熟练掌握勾股定理解三角形是解题关键．
【考点二 勾股定理与矩形的折叠】
【典例2-1】如图，长方形在平面直角坐标系中，，，折叠长方形使得点与点重合，折痕交于点、交于点，点的对应点为．
(1)求点的坐标；
(2)求折痕的长度．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设，根据折叠得出，然后在中根据勾股定理得出关于x的方程，然后求解即可；
（2）过点作，根据折叠和长方形的性质得出，根据等角对等边得出，进而求出，最后在中根据勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：设，
∵，，四边形是长方形，
∴，，，
∵折叠，
∴，．
∵，
∴，
即，
解得，
∴；
（2）解：过点作，
∵长方形，
∴，
∴．
又∵折叠，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了勾股定理与折叠问题，坐标与图形等知识，添加合适的辅助线，构造直角三角形是解第（2）题的关键．
【典例2-2】如图，在平面直角坐标系中，点，轴于点，轴于点，点是轴正半轴上动点，连接，将折叠得到，点与点对应，折痕为．
(1)填空：______，______，______．
(2)如图，的边与分别与交于点，，．
①求证：；
②求的长．
(3)连接，当是以为直角顶点的直角三角形时，直接写出点坐标．
【答案】(1)，，
(2)①证明见解析；②
(3)点坐标为或
【分析】（1）根据题意，结合点的坐标，求解即可；
（2）①连接，根据等边对等角，得出，再根据折叠的性质，得出，，，再根据角之间的数量关系，得出，再根据，得出，再根据全等三角形的性质，即可得出结论；
②设，则，再根据线段之间的数量关系，得出，再根据全等三角形的性质，得出，再根据线段之间的数量关系，得出，再根据勾股定理，得出，解出即可得出结果；
（3）分两种情况：当点在线段时和当点在线段的延长线上时，根据折叠的性质和勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：∵点，轴于点，轴于点，
∴，，，
∴，
故答案为：，，；
（2）①证明：如图，连接，
∵，
∴，
∵将折叠得到，
∴，，，
∴，
又∵，，
∴，
∴；
②解：设，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴；
（3）解：∵是以为直角顶点的直角三角形，
∴点在直线上，
如图，当点在线段时，
∵将折叠得到，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点，
当点在线段的延长线上时，同理可求，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点，
综上所述：点坐标为或．
【点睛】本题是几何变换综合题，考查了坐标与图形、等边对等角、全等三角形的判定和性质、勾股定理、折叠的性质，利用分类讨论思想和数形结合思想解决问题是解本题的关键．
【典例2-3】如图，长方形，点E是上的一点，将沿折叠后得到，且点O在长方形内部．已知，．
(1)如图1，若，求四边形的面积．
(2)如图2，延长交于F，连结，将沿折叠，当点D的对称点恰好为点O时，求四边形的面积．
(3)如图3，在（2）的条件下，延长交于点G，连结，将沿折叠，当点C的对称点恰好为点O时，求四边形的面积．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据折叠的性质可得△OBE△ABE，在Rt△ABE中根据含30度角的直角三角形的性质，以及勾股定理求得，进而根据三角形面积公式计算即可；
（2）根据折叠的性质可得△OEF≌△DEF，设OF=DF=x,则FC=DC-DF=4-x，BF =BO＋OF =4＋x, 在Rt△BCF中，根据勾股定理建立方程，求得，进而根据三角形面积公式计算，由S四边形ABFE=S△ABE+S△BEF计算得出结果即可；
（3）根据折叠的性质可得△CGF≌△OGF，可得，设，则，在中，，根据勾股定理建立方程，求得，进而根据S四边形BEFG＝S△BEF＋S△BFG计算得出结果即可；
【详解】（1）四边形ABCD是长方形，AB=4，
，
将△ABE沿BE折叠后得到△OBE
△OBE△ABE
在Rt△ABE中，
AE= BE
=
四边形的面积；
（2）由（1）知△OBE≌△ABE，
∴OE = AE, OB = AB = 4，
又∵将△DEF沿EF折叠，点D的对称点恰好点O，
∴△OEF≌△DEF，
∴OE = DE，OF = DF，
∴OE= AE= DE=AD=，
设OF=DF=x,则FC=DC-DF=4-x，BF =BO＋OF =4＋x,
在Rt△BCF中，根据勾股定理得,
∴
解得x＝2.
∴S四边形ABFE=S△ABE+S△BEF
= × AB×AE+ ×OE× BF
=×4×+××(4+2)
=4+6
=10.
∴四边形ABFE的面积是；
（3）由(2)知，△OEF≌△DEF
∴OF = DF
∵将△CGF沿GF折叠，点C的对称点恰好为点O,
∴△CGF≌△OGF
∴OF = FC, ∠FOG = 90°,
∴DF = FC=DC=AB=2,∠BOG =180°-90°= 90°,
设，则
∵OB= 4，CB=4，CF =2，
在中，
解得
即OG＝
∴S四边形BEFG＝S△BEF＋S△BFG
=×OE×BF+×OG×BF
=××(4+2)+ ××(4+2)
=
∴四边形BEFG的面积是
【点睛】本题考查了折叠与勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，掌握折叠的性质是解题的关键．
针对训练2
【变式2-1】如图，把长方形沿折叠，落在处，交于点E．已知．（长方形的对边相等，四个角都为直角）
（1）求证：；
（2）求的长；
（3）请直接写出中上的高为_______．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）
【分析】（1）根据翻折的性质与平行线的性质可得，进而根据等边对等角即可证明；
（2）设，根据（1）的结论，在中，勾股定理即可求得的长，进而可得的长；
（3）先根据勾股定理求得的长，设中上的高为，根据等面积法求解即可
【详解】（1）证明：四边形是长方形，四个角都为直角，
，
翻折，
（2）设，
在中
即
解得
（3）在中，，
设中上的高为，则，
，
故答案为：
【点睛】本题考查了翻折的性质，勾股定理，等角对等边，掌握以上知识是解题的关键．
【变式2-2】我们知道长方形的四个角都是直角，两组对边分别相等．
小亮在参加数学兴趣小组活动时，对一张长方形纸片进行了探究．如图是长方形纸片，点E是边的中点．先将沿着翻折，得到；再将翻折至与重合，折痕是．请你帮助小亮解决下列问题：
(1)判断的形状，并说明理由；
(2)已知，，求的长
【答案】(1)是直角三角形，理由见解答；
(2)．
【分析】（1）由翻折得，，则，所以是直角三角形；
（2）由题意可知，，可得，根据翻折可得，，，，，，，则、、在同一直线上，，再根据勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下：
∵由翻折得，，
∴，
∵，
∴，
∴是直角三角形．
（2）∵，，
∴，
∵点是边的中点，
∴，
由翻折可知，，，，，
，，，
则、、在同一直线上，，
∴在中，，则，
在中，，
∴在中，
【点睛】此题重点考查长方形的性质、轴对称的性质、直角三角形的判定、勾股定理等知识与方法，证明、、在同一直线上，是解题的关键．
【变式2-3】．如图，在长方形中，，，将长方形沿直线折叠（点是折痕和边的交点），使点落在上的处．
(1)请你利用尺规作图确定点和点．（保留作图痕迹，不写做法）
(2)将图形补充完整，______．
【答案】(1)见解析
(2)图见解析，
【分析】（1）以A为圆心，为半径画弧，交于点E，然后作出的平分线于交于点F，即可求解；
（2）首先根据折叠的性质得到，然后根据勾股定理求出，进而得到，然后，则，利用勾股定理列方程求解即可．
【详解】（1）如图，点E、点F即为所求．
（2）如图，
∵长方形沿直线折叠（点是折痕和边的交点），使点落在上的处，
∴，
∵在长方形中，，
∴
∴
∴设，则
∵
∴，即
∴解得
∴．
【点睛】此题考查了尺规作图，折叠的性质，勾股定理等知识，解题的关键是根据题意正确画出图形．
【考点三 勾股定理与正方形的折叠】
【典例3-1】如图，在边长为6的正方形中，E是边的中点，将沿对折至，延长交于点G，连接．
求证：
(2)求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）利用翻折变换对应边关系得出，，利用定理得出即可；
（2）利用勾股定理得出，进而求出即可；
【详解】（1）证明：在正方形中，，，
∵将沿对折至，
∴，，，
∴，，
在和中，，
∴；
（2）解：∵，
∴，
设，则，
∵E为的中点，
∴，
∴，
∴在中，，
∴，
解得，
∴．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的综合应用以及翻折变换的性质，根据翻折变换的性质得出对应线段相等是解题关键．
【典例3-2】如图，正方形 的边长是 ，点 在边 上，，点 是边 上不与点 ， 重合的一个动点，把 沿 折叠，点 落在 处．若 ，则 的长为____．
【答案】
【分析】根据翻折的性质，可得的长，根据勾股定理，可得的长，根据等腰三角形的判定，可得答案．
【详解】当时，过点作，则，
当时，，由，，得．
由翻折的性质，得，
∴，
∴，
∴，
∴
故答案为
【点睛】本题考查了翻折变换、勾股定理、等腰三角形的判定，做辅助线是解决本题的关键
【典例3-3】如图，在一次综合实践活动中，小明将一张边长为10cm的正方形纸片ABCD，沿着BC边上一点E与点A的连线折叠，点B'是点B的对应点，延长EB'交DC于点G，B'G＝cm，则△ECG的面积为_____cm2．
【答案】
【分析】根据翻折的性质可知△ABE和△AB′E全等，则BE＝B′E，连接AG，可证△AB′G≌△ADG，则DG＝ B′G＝ cm，CG＝10－DG＝ cm，在Rt△ECG中，设BE＝x cm，根据勾股定理列出方程，可求出BE的值，从而求出CE，最后由三角形面积公式求出△ECG的面积.
【详解】根据翻折的性质可知△ABE和△AB′E全等，BE＝B′E，
连接AG，如图，
∵A B′＝AD，AG＝AG，
∴Rt△AB′G≌Rt△ADG，
∴DG＝B′G＝ cm，
∴CG＝10－DG＝ cm，
在Rt△ECG中，设BE＝x cm，则CE＝(10－x)cm，EG＝ B′E＋ B′G＝(x＋)cm,
根据勾股定理列出方程，CE2＋CG2＝EG2,
即,
解得：x＝2,
所以BE＝2 cm，CE＝10－2＝8 (cm)，
△ECG的面积＝(cm2)
故答案为：.
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，结合全等的知识找出题中的线段之间的关系是本题的解题关键.
针对训练3
【变式3-1】如图，小明将一张正方形纸片对折，使得AB与CD重合，折痕为EF，展开后再沿BH折叠，使得点C刚好落在折痕EF上的C′处，若CH=1cm，则BC= _____cm．
【答案】
【分析】连接CC′，证明△BCC′是等边三角形，再由折叠的性质得到∠HBC=∠HBC′=30°，利用含30度角的直角三角形的性质求解即可解决问题．
【详解】解：如图，连接CC′，
由折叠的性质知，折痕为EF是BC的垂直平分线，
∴BC′=CC′，
又由折叠的性质知，BC= BC′，∠HBC=∠HBC′，
∴BC′=CC′=BC，
∴△BCC′是等边三角形，
∴∠C′BC=60°，
∴∠HBC=∠HBC′=30°，
在Rt△HBC中，∠HBC=30°，CH=1cm，
∴HB=2cm，
∴BC=（cm），
故答案为：．
【点睛】本题考查了翻折变换的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握翻折的性质．
【变式3-2】如图，在一次综合实践活动中，小明将一张边长为的正方形纸片，沿着边上一点与点的连线折叠，点是点的对应点，延长交于点，经测量，，则的面积为______．
【答案】/
【分析】根据题意，，进而求得，勾股定理求得，即可求得的面积．
【详解】解：折叠，
，，
，
∵四边形是正方形
∴
中
．
．
故答案为：
【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键．
【变式3-3】如图（1），在等腰直角三角形纸片ABC中，∠B＝90°，AB＝4，点D，E分别为AB，BC上的动点．将纸片沿DE翻折，点B的对应点恰好落在边AC上，如图（2），再将纸片沿翻折，点C的对应点为，如图（3）．当的重合部分为直角三角形时，CE的长为_____．
【答案】2或
【分析】根据题意可得要使，的重合部分为直角三角形，则分两种情况画图：①当时，②当，根据翻折的性质和勾股定理即可解决问题．
【详解】解：由翻折可知：要使，的重合部分为直角三角形，则分两种情况画图：
①当时，
由翻折可知：，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
由翻折可知：，
∴；
②当，
由翻折可知：，，
∴点E在∠BAC的平分线上，
设，则，
在中，，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴ ．
综上所述：CE的长为或，
故答案为：或．
【点睛】本题属于三角形的综合题，考查了翻折变换，等腰直角三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，解决本题的关键是分情况讨论并准确画图
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