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数学八年级下暑假培优专题训练
专题五、 勾股定理与最值问题
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【考点一 求两条线段和的最小值 】..........................................1
【考点二 立体图形上求最短路径 】..........................................4
【考点三 求一条线段的最大值 】............................................5
【考点四 求一条线段的最小值 】............................................6
【典例剖析】
【考点一 求两条线段和的最小值 】
方法1:将军饮马模型用轴对称法求最值
【典例1-1】如图，A，B两个村庄在河CD的同侧，两村庄的距离为a千米，，它们到河CD的距离分别是1千米和3千米．为了解决这两个村庄的饮水问题，乡政府决定在河CD边上修建一水厂向A，B两村输送水．
(1)在图上作出向A，B两村铺设水管所用材料最省时的水厂位置M．（只需作图，不需要证明）
(2)经预算，修建水厂需20万元，铺设水管的所有费用平均每千米为3万元，其他费用需5万元，求完成这项工程乡政府投入的资金至少为多少万元．
【典例1-2】
(1)问题提出
如图1，已知点C为线段上一动点，分别过点B、D作，，连接、．已知，，，则的最小值是_______．
(2)问题探究
如图2，在四边形中，，，，，，E是四边形内一动点，且，求的最小值．
(3)问题解决
如图3，已知，长度为2的线段在射线上滑动，点C在射线上，且，的两个内角的角平分线相交于点F，过F作，垂足为G，求的最大值．
针对训练1
【变式1-1】如图，一个牧童在小河正南方向4km的处牧马，若牧童从点向南继续前行7km到达点．则此时牧童的家位于点正东方向8km的处．牧童打算先把在点吃草的马牵到小河边饮水后再回家，请问他应该如何选择行走路径才能使所走的路程最短？最短路程是多少？请先在图上作出最短路径，再进行计算．
【变式1-2】如图，A村和B村在河岸CD的同侧，它们到河岸CD的距离AC，BD分别为1千米和3千米，又知道CD的长为3千米，现要在河岸CD上建一水厂向两村输送自来水，铺设水管的工程费用为每千米20000元．
（1）请在CD上选取水厂的位置，使铺设水管的费用最省；
（2）求铺设水管的最省总费用．
方法2：构造全等，利用三角形两边之和大于第三边，在三点共线时，求出最小值
【典例1-3】在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠ACB＝90°，点P，Q分别是边AB和BC上的动点，始终保持AP＝BQ，连结AQ，CP，则AQ+CP的最小值为（　　）
A． B． C． D．6
【变式1-3】如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，AB，AC＝6，BC＞4，点E，F分别在BC，AC边上，且AF＝CE，则AE+BF的最小值为 　　．
方法3 .两个动点的时候，轴对称法与垂线段最短结合求最值
【典例1-4】如图，在中，，，，是的平分线，若M、N分别是和上的动点，则的最小值是______．
【变式1-3】如图，在中，，，点E的边上， ，点P是线段AC上一动点，点F是线段上一动点， ___________．当的值最小时， ___________
【考点二 立体图形上求最短路径 】
方法：化曲为直法求最小值
【典例2-1】如图，一只蚂蚁在圆柱形玻璃杯的外壁，距高底端2厘米A处发现在自己左上方距离顶端2厘米B处内壁有一滴蜂蜜，已知玻璃杯底面的周长为12厘米，高为8厘米，求蚂蚁吃到蜂蜜的最短距离．
【典例2-2】如图，两个一样的长方体礼品盒，其底面是边长为的正方形，高为；现有彩带若干（足够用），数学组的小明和小刚分别采用自己喜欢的方式用彩带装饰两个礼品盒（假设彩带完美贴合长方体礼品盒）.
(1)如图1，小明从底面点A开始均匀缠绕长方体侧面，刚好缠绕2周到达点B，求所用彩带的长度；
(2)如图2，小刚沿着长方体的表面从点C缠绕到点D，点D与点E的距离是5cm，请问小刚所需要的彩带最短是多少？（注：以上两问均要求画出平面展开示意图，再解答）
【变式2-1】如图,一只蜘蛛在一块长方体木块的一个顶点A处,一只苍蝇在这个长方体的对角顶点G处,若,,,问蜘蛛要沿着怎样的路线爬行,才能最快抓到苍蝇 这时蜘蛛走过的路程是多少厘米
【变式2-2】初中几何的学习始于空间的“实物和具体模型”，聚焦平面的“几何图形的特征和运用”，形成了空间几何问题要转化为平面几何问题的解题策略．
问题提出：如图所示是放在桌面上的一个圆柱体，一只蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点，如何求最短路程呢？
(1)问题分析：蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点，可以有几条路径？在图中画出来；
(2)问题探究：①若圆柱体的底面圆的周长为，高为，蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点，求最短路程；
②若圆柱体的底面圆的周长为，高为，蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点，求最短路程；
③若圆柱体的底面圆的半径为，高为，一只蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点，求最短路程．
【考点三 求一条线段的最大值 】
方法1：构造有两边已知的三角形，用一边小于等于两边之和求最大值。
【典例3-1】如图，四边形ABCD中，AD⊥CD于点D，BC＝2，AD＝8，CD＝6，点E是AB的中点，连接DE，则DE的最大值是（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
【变式3-1】如图，在△ABC中，AB＝2，∠ACB＝60°，DC⊥BC，DC＝BC，则AD的长的最大值为 　　．
【变式3-2】在平面直角坐标系内有两点A、B，其坐标为A（﹣1，﹣1），B（2，7），点M为x轴上的一个动点，若要使MB﹣MA的值最大，则点M的坐标为　　
【考点四 求一条线段的最小值 】
方法1 .利用垂线段最短求最值
【典例4-1】如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，P为边BC上一动点（且点P不与点B，C重合），PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，则EF的最小值为　　．
方法2 转化为其他线段，再根据垂线段最短
【典例4-2】如图，等腰三角形△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝3．
（1）求BC的长．
如图，点D在CA的延长线上，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，连EF，求EF的最小值．
【典例4-2】如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝4，AB＝8，P为AC边上的一个动点，D为PB上的一个动点，连接AD，当∠CBP＝∠BAD时，线段CD的最小值是（　　）
A． B．2 C． D．
【变式4-2】在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，若点P在边AC上移动，则BP的最小值是（　　）
A．5 B．6 C．4 D．4.8
数学八年级下暑假培优专题训练
专题五、 勾股定理与最值问题（解析版）
【典例剖析】
【考点一 求两条线段和的最小值 】
将军饮马模型用轴对称法求最值
【典例1-1】如图，A，B两个村庄在河CD的同侧，两村庄的距离为a千米，，它们到河CD的距离分别是1千米和3千米．为了解决这两个村庄的饮水问题，乡政府决定在河CD边上修建一水厂向A，B两村输送水．
(1)在图上作出向A，B两村铺设水管所用材料最省时的水厂位置M．（只需作图，不需要证明）
(2)经预算，修建水厂需20万元，铺设水管的所有费用平均每千米为3万元，其他费用需5万元，求完成这项工程乡政府投入的资金至少为多少万元．
【答案】(1)见解析；
(2)50万元.
【分析】（1）作点A关于直线的对称点，连接，交于M点，即M为所求；
（2）连接交于H点，过点B作，根据勾股定理求出，即可得出答案．
【详解】（1）解：如图，作点A关于直线的对称点，连接，交于M点，即M为所求.
（2）解：如图，连接交于H点，过点B作，
由题意可知：，，，
∴，
∴在中，，
∴在中，，
由对称性质可知：，
水管长，
完成这项工程乡政府投入的资金至少为（万元）
【点睛】本题考查了轴对称最短路线问题，勾股定理，题目比较典型，是一道比较好的题目，考查了学生的动手操作能力和计算能力。
【典例1-2】
(1)问题提出
如图1，已知点C为线段上一动点，分别过点B、D作，，连接、．已知，，，则的最小值是_______．
(2)问题探究
如图2，在四边形中，，，，，，E是四边形内一动点，且，求的最小值．
(3)问题解决
如图3，已知，长度为2的线段在射线上滑动，点C在射线上，且，的两个内角的角平分线相交于点F，过F作，垂足为G，求的最大值．
【答案】(1)；
(2)；
(3)．
【分析】（1）连接交于点，根据“两点之间，线段最短”可得当点C位于点处时，的值最小，此时构造直角三角形，利用勾股定理即可求解；
（2）过点A作于点F，利用勾股定理求出的长，过点E作于点M，作于点N，利用，得到，根据过一点有且只有一条直线与已知直线垂直可得点M、E、N三点共线，根据平行线的距离可得，进而得到的长．过点E作，作点D关于直线的对称点，连接，交直线于点，连接，，则点E位于点时，根据对称性，为最小值．根据平行线距离的意义可得，根据对称性得到的长，进而利用勾股定理可得的长，即为的最小值
（3）过点C作于点M，过点F分别作于点P，于点Q．利用角平分线的性质与三角形的面积公式得到，将问题求的最大值转化为求的最小值．作点C关于的对称点，连接、，以、为邻边作平行四边形，要使的值最小，只需C、E、H三点共线．由轴对称图形的性质可得点G是的中点，进而为的中位线，得到，从而在等腰中，利用“三线合一”的性质与勾股定理求出，即的最小值为，从而求出的最大值．
【详解】（1）
如图①，连接交于点，
，
∴当点C位于点处时，的值最小．过点E作交延长线于点F，则四边形是矩形，
，．
．
在中，，
的最小值是．
故答案为：．
（2）
如图②，过点A作于点F
∴
过点E作于点M，作于点N，
，
∴点M、E、N三点共线
，，
，且
过点E作，作点D关于直线的对称点，连接，交直线于点，连接，，则点E位于点时，根据对称性，为最小值．
∵点与点D关于直线对称
∵在中，,
即的最小值为
（3）
如图③，过点C作于点M，过点F分别作于点P，于点Q．
，，
．
平分，，，
．
平分，，，
．
．
∴要使的值最大，即的值最小即可．
如图③，作点C关于的对称点，连接、，以、为邻边作平行四边形，
，，，．
要使的值最小，只需C、E、H三点共线．如图④
此时点M与点G重合，点G为的中点，且，
为的中位线，即．
．
在等腰中，，
．
．
．
．
的最大值为．
【点睛】本题考查最短路径问题，角平分线的性质，轴对称的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
针对训练1
【变式1-1】如图，一个牧童在小河正南方向4km的处牧马，若牧童从点向南继续前行7km到达点．则此时牧童的家位于点正东方向8km的处．牧童打算先把在点吃草的马牵到小河边饮水后再回家，请问他应该如何选择行走路径才能使所走的路程最短？最短路程是多少？请先在图上作出最短路径，再进行计算．
【答案】画图见详解，牧童选择如图所示的AF+FB的回家路线时，所走的路程最短，最短路程为17km．
【分析】作图：先取A点关于河岸l的对称点D，连接BD交直线l于点F，连接AF，即最短路径为：BD．根据题意可知：牧童的行走路线为AF+BF，根据A点关于河岸l的对称点为D，可得AF+BF=DF+BF，即根据两点之间线段最短，可知当点D、F、B三点共线时，路径最短，且最短路径为BD，根据题意可得AD=4×2=8（km），DC=AD+AC=8+7=15（km），利用勾股定理即可求出BD．
【详解】作图：先取A点关于河岸l的对称点D，连接BD交直线l于点F，连接AF，即最短路径为：BD，如图：
∵牧童先由A点去河边，再从河边直接返回家中，
∴牧童的行走路线为AF+BF，
∵A点关于河岸l的对称点为D，
∴AF=DF，
∴AF+BF=DF+BF，
即根据两点之间线段最短，可知当点D、F、B三点共线时，路径最短，且最短路径为BD，
∵A点距离河岸l为4km，
∴AD=4×2=8（km），
∵AC=7km，
∴DC=AD+AC=8+7=15（km），
根据题意可知∠C=90°，BC=8km，
∴△BCD是直角三角形，
∴，
答：牧童选择如图所示的AF+FB的回家路线时，所走的路程最短，最短路程为17km．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，正确作出图形，找到最短回家路线是解答本题的关键．
【变式1-2】如图，A村和B村在河岸CD的同侧，它们到河岸CD的距离AC，BD分别为1千米和3千米，又知道CD的长为3千米，现要在河岸CD上建一水厂向两村输送自来水，铺设水管的工程费用为每千米20000元．
（1）请在CD上选取水厂的位置，使铺设水管的费用最省；
（2）求铺设水管的最省总费用．
【答案】（1）见解析；（2）100000元
【分析】（1）延长到，使，连接，交于，则为所求；
（2）过作，交的延长线于，得出矩形，求出，长，根据勾股定理求出，即可得出答案．
【详解】解：（1）延长到，使，连接，交于，
则在上选择水厂位置是时，使铺设管道的费用最省；
（2）过作，交的延长线于，
，，
，
四边形是矩形，
千米，千米，
千米，
千米千米千米，
在中，由勾股定理得：（千米），
，，
，
千米，
铺设水管的最最省总费用是：20000元千米千米元．
【点睛】本题考查了轴对称最短路线问题，勾股定理，矩形的性质和判定，题目比较典型，是一道比较好的题目，考查了学生的动手操作能力和计算能力．
2.构造全等，利用三角形两边之和大于第三边，在三点共线时，求出最小值
【典例1-3】在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠ACB＝90°，点P，Q分别是边AB和BC上的动点，始终保持AP＝BQ，连结AQ，CP，则AQ+CP的最小值为（　　）
A． B． C． D．6
【答案】B
【分析】作BM⊥AB，使得BM＝AC，连接MQ，AM，首先利用SAS证明△ACP≌△BMQ，得CP＝MQ，即A、Q、M三点共线时，AQ+MQ的最小值为AM的长，利用勾股定理即可解决问题．
【详解】解：作BM⊥AB，使得BM＝AC，连接MQ，AM，
∴∠ABC+∠CBM＝90°，
∵∠CAB+∠ABC＝90°，
∴∠CAB＝∠CBM，
在△ACP和△BMQ中，
，
∴△ACP≌△BMQ（SAS），
∴CP＝MQ，
∴AQ+CP＝AQ+MQ，
即A、Q、M三点共线时，AQ+MQ的最小值为AM的长，
∵AC＝3，BC＝4，∠ACB＝90°，
∴AB，
在Rt△ABM中，∠ABM＝90°，BM＝AC＝3，
∴AM，
∴AQ+CP的最小值为，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，两点之间，线段最短等知识，构造全等三角形将CP转化为MQ是解题的关键．
【变式1-3】如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，AB，AC＝6，BC＞4，点E，F分别在BC，AC边上，且AF＝CE，则AE+BF的最小值为 　　．
【答案】2
【分析】过A点作AG∥BC，截取AG＝AC，连接FG，BG，过B作BR⊥AG，交AG 的反向延长线于R，则∠RBC＝∠BRA＝90°，利用SAS证明△AFG≌△CEA可求得AE+BF的最小值即为BG的长，再结合等腰直角三角形的性质及勾股定理可求解．
【详解】解：过A点作AG∥BC，截取AG＝AC，连接FG，BG，过B作BR⊥AG，交AG 的反向延长线于R，则∠RBC＝∠BRA＝90°，
∴∠GAF＝∠ACE，
在△AFG和△CEA中，
，
∴△AFG≌△CEA（SAS），
∴GF＝AE，
∴AE+BF的最小值，即为BG的长，
∵∠ABC＝45°，
∴∠RAB＝∠EBA＝45°，
∵AB＝4，
∴BR＝AR＝4，
∵AC＝6，
∴AG＝AC＝6，
∴RG＝AR+AG＝4+6＝10，
∴BG2，
即AE+BF的最小值为2．
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，线段的性质，等腰直角三角形，勾股定理等知识的综合运用，判断AE+BF的最小值即为BG的长是解题的关键．
3 .两个动点的时候，轴对称法与垂线段最短结合求最值
【典例1-4】如图，在中，，，，是的平分线，若M、N分别是和上的动点，则的最小值是______．
【答案】
【分析】如图，作N关于的对称点E，连接，在中，勾股定理解出，根据三角形两边之和大于第三边得到：，最后利用等积法求解即可
【详解】如图，作N关于的对称点E，连接
在中，，，，
是的平分线，
与关于轴对称，
当时最小，
由
即
解得
故答案为：．
【点睛】本题考查轴对称——最短问题，解直角三角形等知识；解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，再利用等面积法结算线段长度是解题的关键．
【变式1-3】如图，在中，，，点E的边上， ，点P是线段AC上一动点，点F是线段上一动点， ___________．当的值最小时， ___________
【答案】 10 /
【分析】根据勾股定理即可求出；作点E关于的对称点，过点作于点F，交于点P，通过证明得出，，进而得出，根据勾股定理列出方程求解即可．
【详解】解：在中，由勾股定理可得：，
作点E关于的对称点，过点作于点F，交于点P．
∵，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理可得：，
即，解得：．
故答案为：10，．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握勾股定理，根据题意做出辅助线构建全等三角形，根据勾股定理列出方程求解．
【考点二 立体图形上求最短路径 】
1 .化曲为直法求最小值
【典例2-1】如图，一只蚂蚁在圆柱形玻璃杯的外壁，距高底端2厘米A处发现在自己左上方距离顶端2厘米B处内壁有一滴蜂蜜，已知玻璃杯底面的周长为12厘米，高为8厘米，求蚂蚁吃到蜂蜜的最短距离．
【答案】蚂蚁吃到蜂蜜的最短距离为10厘米．
【分析】将圆柱体展开，作点B关于圆柱顶的对称点，连接，与圆柱顶交于点D，然后根据勾股定理求解即可．
【详解】将圆柱体展开，作点B关于圆柱顶的对称点，连接，与圆柱顶交于点D，
根据题意可得，
∵玻璃杯底面的周长为12厘米，高为8厘米，
∴厘米，厘米，
∵厘米，厘米，
∴厘米，
∵，
∴厘米．
∴蚂蚁吃到蜂蜜的最短距离为10厘米．
【点睛】此题考查了勾股定理的实际应用，解题的关键是根据题意正确画出图形，利用勾股定理求解．
【典例2-2】如图，两个一样的长方体礼品盒，其底面是边长为的正方形，高为；现有彩带若干（足够用），数学组的小明和小刚分别采用自己喜欢的方式用彩带装饰两个礼品盒（假设彩带完美贴合长方体礼品盒）.
(1)如图1，小明从底面点A开始均匀缠绕长方体侧面，刚好缠绕2周到达点B，求所用彩带的长度；
(2)如图2，小刚沿着长方体的表面从点C缠绕到点D，点D与点E的距离是5cm，请问小刚所需要的彩带最短是多少？（注：以上两问均要求画出平面展开示意图，再解答）
【答案】(1)图见详解，
(2)图见详解，
【分析】（1）从底面点开始均匀缠绕长方体侧面，刚好缠绕2周到达点，相当于直角三角形的两条直角边分别是60和10，再根据勾股定理求出斜边长即可；
（2）求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体展开，然后利用两点之间线段最短解答．
【详解】（1）解：如图，
将长方体的侧面沿展开，取的中点，取的中点，连接，，
则为所求的彩带长，
，
，
，
答：彩带的长度是；
（2）解：当上面的面与前面的面展成一个平面时，如图，
此时；
当右边的面与前面的面展成一个平面时，如图，
此时；
当上面的面与左边的面展成一个平面时，如图，
此时；
由上可知小刚所需要的彩带最短是．
【点睛】本题考查了平面展开最短路线问题和勾股定理的应用，能正确画出平面图形是解此题的关键，利用了数形结合思想．
【变式2-1】如图,一只蜘蛛在一块长方体木块的一个顶点A处,一只苍蝇在这个长方体的对角顶点G处,若,,,问蜘蛛要沿着怎样的路线爬行,才能最快抓到苍蝇 这时蜘蛛走过的路程是多少厘米
【答案】见解析,10cm
【分析】本题先把长方体展开,根据两点之间线段最短的性质,得出最短的路线是AG,然后求出展开后的线段AC,BG,DG的长,再根据勾股定理求出AG即可．
【详解】解:（1）如图（2）当蚂蚁从A出发先到上再到点G时
,
,
在中
（2）如图（1）当蚂蚁从A出发先到上再到点G时，
,
,
在中
,,
（3）
如图（3）当蚂蚁从A出发先到上再到点G时,
∵ , ,
∴ ,
在中,
,
∵ ,
∴第一种方案最近,这时蜘蛛走过的路程是10cm．
【点睛】本题考查了两点之间线段最短的性质,以及对勾股定理的应用,解题的关键是能构造出直角三角形,进一步利用勾股定理解决问题．
【变式2-2】初中几何的学习始于空间的“实物和具体模型”，聚焦平面的“几何图形的特征和运用”，形成了空间几何问题要转化为平面几何问题的解题策略．
问题提出：如图所示是放在桌面上的一个圆柱体，一只蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点，如何求最短路程呢？
(1)问题分析：蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点，可以有几条路径？在图中画出来；
(2)问题探究：①若圆柱体的底面圆的周长为，高为，蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点，求最短路程；
②若圆柱体的底面圆的周长为，高为，蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点，求最短路程；
③若圆柱体的底面圆的半径为，高为，一只蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点，求最短路程．
【答案】(1)3条，图形见解析
(2)①；②；③
【分析】（1）共有3条路径，第一条先沿圆柱体的高爬行，再从上底面边缘爬行；第二条先沿圆柱体的高爬行，再从上底面直径爬行；第三条沿圆柱体侧面爬行，即可；
（2）①连接，利用两点之间，线段最短，在中，根据勾股定理，求出的长，即可求解；②利用两点之间，线段最短，在中，根据勾股定理，求出的长，即可求解；③利用两点之间，线段最短，在中，根据勾股定理，求出的长，即可求解．
【详解】（1）解：共有3条路径，如下图：
（2）解：①如图，连接，
根据题意得：，，
∴，
即蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点，最短路程为；
②如图，连接，
根据题意得：，，
∴，
即蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点，最短路程为；
③如图，连接，
根据题意得：，，
∴，
即蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点，最短路程为．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
【考点三 求一条线段的最大值 】
方法1：构造有两边已知的三角形，用一边小于等于两边之和求最大值。
【典例3-1】如图，四边形ABCD中，AD⊥CD于点D，BC＝2，AD＝8，CD＝6，点E是AB的中点，连接DE，则DE的最大值是（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】A
【分析】如图，连接AC，取AC的中点为M，连接DM、EM，由勾股定理可求AC的长，利用直角三角形斜边上的中线可求解DM的长，根据三角形的中位线可求解EM的长，再利用三角形的三边关系可求解．
【详解】解：如图，连接AC，取AC的中点为M，连接DM、EM，
∵AD⊥CD，
∴∠ADC＝90°，
∵AD＝8，CD＝6，
∴AC，
∵M是AC的中点，
∴DMAC＝5，
∵M是AC的中点，E是AB的中点，
∴EM是△ABC的中位线，
∵BC＝2，
∴EMBC＝1，
∵DE≤DM+EM（当且仅当点M在线段DE上时，等号成立），
∴DE≤6，
∴DE的最大值为6．
故选：A．
【点睛】本题主要考查勾股定理，直角三角形的性质，三角形的中位线，三角形的三边关系等知识的综合运用，构造直角三角形是解题的关键．
【变式3-1】如图，在△ABC中，AB＝2，∠ACB＝60°，DC⊥BC，DC＝BC，则AD的长的最大值为 　　．
【答案】
【分析】过点D作DE⊥AC，交AC延长线于E，由含30°角的直角三角形的性质得DECD，设DC＝BC＝x，AC＝y，则DEx，CEx，再由勾股定理得AD2＝AE2+DE2＝（yx）2+（x）2＝x2+y2xy，当x＝y时，AD最大，此时，△ABC为等边三角形，则x＝y＝AB＝2，AD2＝x2+y2＝8+4，即可解决问题．
【详解】解：过点D作DE⊥AC，交AC延长线于E，如图所示：
∵∠ACB＝60°，DC⊥BC，
∴∠DCE＝180°﹣60°﹣90°＝30°，
∴DECD，
设DC＝BC＝x，AC＝y，
则DEx，CEx，
∴AE＝AC+CE＝yx，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：AD2＝AE2+DE2＝（yx）2+（x）2＝x2+y2xy，
∵（x﹣y）2≥0，
∴xy（x2+y2），
当x＝y时，取等号，
∴AD2＝x2+y2xy≤x2+y2（x2+y2），
∴当x＝y时，AD最大，
∵∠ACB＝60°，
∴AD最大时，△ABC为等边三角形，
此时，x＝y＝AB＝2，
AD2＝x2+y2（x2+y2）＝22+22（22+22）＝8+4，
∵AD＞0，
∴AD，
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理、等边三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质以及最值问题等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
【变式3-2】在平面直角坐标系内有两点A、B，其坐标为A（﹣1，﹣1），B（2，7），点M为x轴上的一个动点，若要使MB﹣MA的值最大，则点M的坐标为　　 ．
【答案】
【解答】解：取点B关于x轴的对称点B′，则直线AB′交x轴于点M．点M即为所求．
设直线AB′解析式为：y＝kx+b
把点A（﹣1，﹣1）B′（2，﹣7）代入
解得
∴直线AB′为：y＝﹣2x﹣3，
当y＝0时，x＝﹣
∴M坐标为（﹣，0）
故答案为：（﹣，0）
【考点四 求一条线段的最小值 】
方法1 .利用垂线段最短求最值
【典例4-1】如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，P为边BC上一动点（且点P不与点B，C重合），PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，则EF的最小值为　　．
【答案】4.8
【解答】解：如图，连接PA．
在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，
∴BC2＝AB2+AC2，
∴∠BAC＝90°．
又∵PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F．
∴∠AEP＝∠AFP＝90°，
∴四边形PEAF是矩形．
∴AP＝EF．
∴当PA最小时，EF也最小，
即当AP⊥CB时，PA最小，
∵AB AC＝BC AP，即AP＝＝＝4.8，
∴线段EF长的最小值为4.8；
故答案为：4.8．
【点睛】本题考查了勾股定理，利用矩形性质转化为根据垂线段最短求最小值。
【变式4-1】在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，若点P在边AC上移动，则BP的最小值是（　　）
A．5 B．6 C．4 D．4.8
【答案】D
【分析】根据点到直线的连线中，垂线段最短，得到当BP垂直于AC时，BP的长最小，过A作等腰三角形底边上的高AD，利用三线合一得到D为BC的中点，在直角三角形ADC中，利用勾股定理求出AD的长，进而利用面积法即可求出此时BP的长．
【详解】解：根据垂线段最短，得到BP⊥AC时，BP最短，
过A作AD⊥BC，交BC于点D，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴D为BC的中点，又BC＝6，
∴BD＝CD＝3，
在Rt△ADC中，AC＝5，CD＝3，
根据勾股定理得：AD4，
又∵S△ABCBC ADBP AC，
∴BP4.8．
故选：D．
【点睛】此题考查了勾股定理，等腰三角形的三线合一性质，三角形的面积求法，以及垂线段最短，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
【典例4-2】如图，等腰三角形△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝3．
（1）求BC的长．
如图，点D在CA的延长线上，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，连EF，求EF的最小值．
【答案】EF的最小值BD
【分析】（1）作AM⊥BC于M，由等腰三角形的性质得出∠B＝∠C＝30°，BM＝CM，由直角三角形的性质得出AMAB，由勾股定理得出BM，即可得出答案；
（2）延长DE交BC于G，当BD⊥AC时，证明△BDG是等边三角形，得出BF＝GF，证明△EFG是等边三角形，得出∠EFG＝60°＝∠DBG，证出EF∥BD，得出EF⊥AC，此时EF最小BGBD，由直角三角形的性质求出ADAB，BDAD，即可得出答案．
【详解】解：（1）作AM⊥BC于M，如图1所示：
∵等腰三角形△ABC中，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∵AM⊥BC，
∴BM＝CM，AMAB，
∴BM，
∴BC＝2BM＝3；
（2）连接EF、BD，延长DE交BC于G，如图2所示：
∵∠BAC＝120°，∠C＝30°，DF⊥BC，
∴∠BAD＝60°，∠ADF＝60°，
当BD⊥AC时，BD最小，如图所示：
则∠DBG＝60°，
∵DE⊥AB，
∴∠ADE＝30°，
∴∠BGD＝∠C+∠ADE＝60°＝∠DBG，
∴△BDG是等边三角形，
∴BG＝BD，
∵DF⊥BC，
∴BF＝GF，
∵DE⊥AB，
∴EFBG＝GF，
∴△EFG是等边三角形，
∴∠EFG＝60°＝∠DBG，
∴EF∥BD，
∴EF⊥AC，此时EF最小BGBD，
∵∠ABD＝90°﹣60°＝30°，
∴ADAB，BDAD，
∴EF的最小值BD．
【点睛】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、直角三角形的性质等知识；熟练掌握等边三角形的判定与性质和勾股定理是解题的关键．
方法2.一点与直角顶点相连时，再取斜边中点，三点共线时求的最小值（一箭穿心法）
【典例4-2】如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝4，AB＝8，P为AC边上的一个动点，D为PB上的一个动点，连接AD，当∠CBP＝∠BAD时，线段CD的最小值是（　　）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【分析】根据∠CBP＝∠BAD，得∠ABD+∠BAD＝90°，则∠ADB＝90°，取AB的中点E，连接DE，CE，利用勾股定理求出OC的长，从而得出答案．
【详解】解：∵∠ABC＝90°，
∴∠ABP+∠CBP＝90°，
∵∠CBP＝∠BAD，
∴∠ABD+∠BAD＝90°，
∴∠ADB＝90°，
取AB的中点E，连接DE，CE，
∴DEAB＝4，
∴ECEB＝4，
∵CD≥CE﹣DE，
∴CD的最小值为44，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，三角形三边关系等知识，确定∠ADB＝90°是解题的关键．
【变式4-2】在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，若点P在边AC上移动，则BP的最小值是（　　）
A．5 B．6 C．4 D．4.8
【答案】D
【分析】根据点到直线的连线中，垂线段最短，得到当BP垂直于AC时，BP的长最小，过A作等腰三角形底边上的高AD，利用三线合一得到D为BC的中点，在直角三角形ADC中，利用勾股定理求出AD的长，进而利用面积法即可求出此时BP的长．
【详解】解：根据垂线段最短，得到BP⊥AC时，BP最短，
过A作AD⊥BC，交BC于点D，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴D为BC的中点，又BC＝6，
∴BD＝CD＝3，
在Rt△ADC中，AC＝5，CD＝3，
根据勾股定理得：AD4，
又∵S△ABCBC ADBP AC，
∴BP4.8．
故选：D．
【点睛】此题考查了勾股定理，等腰三角形的三线合一性质，三角形的面积求法，以及垂线段最短，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
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