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数学八年级下暑假培优专题训练
专题六、 平行四边形
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【考点一 平行四边形的性质 】...............................................1
【考点二 利用平行四边形的性质求线段长度、图形面积】.........................4
【考点三 利用平行四边形的性质求角度】...................................5
【考点四 三角形的性质判定综合】.............................................7
【典例剖析】
【考点一 平行四边形的性质 】
平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（3）平行线间的距离处处相等．
（4）平行四边形的面积：
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
【典例1-1】已知中，于点E，．
(1)如图1，若平分交线段于点F．
①当，时，______，______；
②如图2，若，且，试探究线段，，之间的数量关系，并证明．
(2)如图3，若点P为线段上一动点，，．连接，点Q是中点，且，当点P从A点运动到D点时，点Q的运动路径长为______．（直接写出答案）
【典例1-2】如图，已知在中，过对角线的中点为O，过点O的直线交、的延长线于E和F．
(1)求证：；
(2)指出图中所有全等三角形（除外）
针对训练1
【变式1-1】综合与实践
折纸是一项有趣的活动，折纸活动也伴随着我们初中数学的学习．在折纸过程中，我们可以研究图形的运动和性质，也可以在思考问题的过程中，初步建立几何直观，现在就让我们带着数学的眼光来折纸吧．定义：将纸片折叠，若折叠后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的长方形，这样的长方形称为完美长方形．
(1)操作发现：
如图1，将纸片按所示折叠成完美长方形，若的面积为12，，则此完美长方形的边长 ，面积为 ．
(2)类比探究：
如图2，将纸片按所示折叠成完美长方形，若的面积为20，，求完美长方形的周长．
(3)拓展延伸：
如图3，将纸片按所示折叠成完美长方形，若，则此完美长方形的周长为 ，面积为 ．
【变式1-2】如图，在中，对角线和交于点O，．
(1)请用尺规完成基本作图：作出的角平分线交于点M，交于点N．（尺规作图保留作图痕迹，不写作法，不写结论）；
(2)在（1）的条件下，连接，若，，求的周长．请完成下面的证明过程
解：∵四边形是平行四边形，
∴___________①___________，
∵
∴
∴___________②___________
∵平分
∴___________③___________且
即是线段的垂直平分线
∴___________④___________
∵
∴___________⑤___________
【变式1-3】浙教版教材八年级下册第5章“4．2平行四边形及其性质（3）”中有这样一道例题：
如图，在中，对角线AC，BD交于点E，，若，求BD的长．请你完成求解过程．
小明的解题过程如下：在中∵，∴ 第①步∵∴ 第②步∴ 第③步∴ 第④步
你认为他的解题过程正确吗？若正确，请再用其他方法求出BD的长；若不正确，请指出错误（从第几步开始错），并求出正确的BD长
【考点二 利用平行四边形的性质求线段长度、图形面积】
【典例2-1】如图，在平行四边形中，．按以下步骤：①以为圆心，以适当长为半径作弧，交于两点；②分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射经交于点，交边于点．则的长度为（ ）
A． B． C． D．
【典例2-2】如图，△ABC的面积为16，点D是BC边上一点，且BD＝BC，点G是AB边上一点，点H在△ABC内部，BD∥GH，且BD＝GH.则图中阴影部分的面积是(　　)
A．3 B．4 C．5 D．6
【典例2-3】在中，，，点是线段上的动点（点不与点重合），连接，过点作交直线于点．

(1)如图1，当点为线段的中点时，请判断出，的数量关系，并证明；
(2)如图2，当点在线段上时，求证：；
(3)点在射线上运动，若，，求线段的长．
针对训练2
【变式2-1】如图，已知四边形是平行四边形．

(1)尺规作图：作的平分线交于点；（保留作图痕迹，不用写作法）
(2)在（1）中，若，，求的长．
【变式2-2】如图，在平行四边形中，于点E，于点F，若平行四边形的周长为，求平行四边形的面积．
【考点三 利用平行四边形的性质求角度】
【典例3-1】如图，在平行四边形中，，的平分线交 于点E，连接 ．若，则的度数为________．

【典例3-2】如图，在平行四边形ABCD中，，．
请用尺规作图法，在BC上求作一点E，使得．（保留作图痕迹，不写作法）
针对训练3
【变式3-1】将一个三角板按如图所示的方式放置在一张平行四边形的纸片上，，，，则的度数为（ ）

A．80° B．90° C．110° D．140°
【变式3-2】．如图，中，E，F是对角线上两点，，，，则___________．

【变式3-3】如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，点，在上，点，在上．
(1)若，，求的度数；
(2)若四边形是平行四边形，求证：．
【变式3-4】．如图，在中，E是上一点，连接交于点F，且，．
(1)的度数；
(2)当时，求的度数．
【变式3-5】如图，在平行四边形中，E，F分别是边，上的点，且．

(1)判定与是否相等，并说明理由；
(2)连接，若，求的度数
【考点四 三角形的性质判定综合】
【典例4-1】如图，在中，，于点D，延长到点E，使．过点E作交的延长线于点F，连接，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)过点E作于点G，若，，求的长．
【典例4-2】如图，中，，D是上的一点，，过点D作，并截取．
(1)求证：是等腰直角三角形；
(2)延长至，使得，连接并与的延长线相交于点，求的度数．
【典例4-3】如图1，在中，．点是边上的动点，连结，将绕点旋转至，使点与点重合，连结交于点．
(1)当点为中点时，线段___________；
(2)如图2，作交于点G，连结交于点H．求证：四边形是平行四边形；
(3)在（2）的条件下
①若，求的度数；
②连接，当时，____________．
针对训练4
【变式4-1】．已知：如图1，四边形中，．
(1)求证：四边形 是平 四边形；
(2)如图2，点E、F 分别在、上，连接， 交于点K，，，，求证：；
(3)如图 3，在（2）的条件下，点P是下 点，连接，，，，G为中点，连接，若， ，求的 ．
【变式4-2】在等边中，点E在直线上，点D在射线上，且，试确定线段与的大小关系．
(1)特殊情况，探索结论．如图1，当点E在线段的中点时，线段与的大小关系是：_____（选填“”、“”或“”）．
(2)特例启发，解决问题．如图2，当点E在线段的延长线上，线段与的大小关系是什么？请说明理由．
(3)拓展结论，延伸应用．若直线交直线交于点F，等边的边长为2，，求的长。
数学八年级下暑假培优专题训练
专题六、 平行四边形（解析版）
【典例剖析】
【考点一 平行四边形的性质 】
【典例1-1】已知中，于点E，．
(1)如图1，若平分交线段于点F．
①当，时，______，______；
②如图2，若，且，试探究线段，，之间的数量关系，并证明．
(2)如图3，若点P为线段上一动点，，．连接，点Q是中点，且，当点P从A点运动到D点时，点Q的运动路径长为______．（直接写出答案）
【答案】(1)①4，2；②，理由见解析
(2)
【分析】（1）①先根据角平分线的定义求得，再根据平行四边形的性质求得，利用含角的直角三角形的性质和勾股定理求解即可；
②延长到H，使，连接．设度数为x，根据平行四边形的性质得到，，，进而，证明
，得到，，，进而得到，利用等腰三角形的等角对等边得到即可得出结论；
（2）在图3中，建立如图所示的平面直角坐标系，过M作轴于N，证明，得到，，设，则，，即，利用中点坐标公式可求得，当时，，当时，，当点P从A点运动到D点时，点Q在线段上运动，利用两点坐标距离公式求得即可．
【详解】（1）解：①在图1中，∵平分，，
∴，
在中，，，
∵，
∴
∴，
在中，，
∴，，
∴，
在中，，，
由得，
故答案为4，2；
②
证明：延长到H，使，连接．
∵平分，∴，
设度数为x，在中，
∴，，，
∵，∴，
∴，，
在和中，∵，，，
∴，
∴，，，
∴，
∴，
∴，即．
（2）解：在图3中，建立如图所示的平面直角坐标系，过M作轴于N，则，
∵，
∴，
∴，又，
∴，
∴，，
设，则，，
∴，
∵点Q是中点，
∴，
当时，，当时，，
当点P从A点运动到D点时，点Q在线段上运动，
∵，
∴点Q的运动路径长为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定、全等三角形的判定与性质、坐标与图形等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，（1）②中关键是添加辅助线构造全等三角形求解；（2）中关键是建立适当的直角坐标系，利用坐标与图形求解，并得出Q的运动路线．
【典例1-2】如图，已知在中，过对角线的中点为O，过点O的直线交、的延长线于E和F．
(1)求证：；
(2)指出图中所有全等三角形（除外）
【答案】(1)见解析
(2)，，
【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，，进而得到，，然后利用证明即可；
（2）根据平行四边形的性质和全等三角形的判定定理求解即可．
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形．
，
，，
点O为的中点，
，
；
（2）∵四边形是平行四边形，
∴，，
又∵，
∴；
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴；
综上所述，图中所有全等三角形有，，．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质和判断，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
针对训练1
【变式1-1】综合与实践
折纸是一项有趣的活动，折纸活动也伴随着我们初中数学的学习．在折纸过程中，我们可以研究图形的运动和性质，也可以在思考问题的过程中，初步建立几何直观，现在就让我们带着数学的眼光来折纸吧．定义：将纸片折叠，若折叠后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的长方形，这样的长方形称为完美长方形．
(1)操作发现：
如图1，将纸片按所示折叠成完美长方形，若的面积为12，，则此完美长方形的边长 ，面积为 ．
(2)类比探究：
如图2，将纸片按所示折叠成完美长方形，若的面积为20，，求完美长方形的周长．
(3)拓展延伸：
如图3，将纸片按所示折叠成完美长方形，若，则此完美长方形的周长为 ，面积为 ．
【答案】(1)3，6
(2)13
(3)42，108
【分析】（1）由折叠可知点H是中点，，过点A作于M，根据三角形面积求的长，由，点H是中点可知是中位线，得到 进而求完美长方形面积；
（2）根据折叠可知，，从而可得 ，根据平行四边形面积可求得的长为4进而可求周长；
（3）由折叠可证点E，G分别是中点，进一步可证四边形是平行四边形，所以，即长方形对角线长为15，设，根据勾股定理得到方程，解出x，从而可得完美长方形的边长和宽，最后求周长面积即可．
【详解】（1）由折叠可知，，
∴，点H是中点
∵
∴
即，
过点A作于M
∵四边形是矩形
∴，，
∴
∴H是中点
∴
∵
∴
∴
∴完美长方形的面积为
故答案为：3，6
（2）由折叠可知
同理可知
∴长方形的面积为

∴长方形的周长为
（3）由折叠可证点E，G分别是的中点
∴
由题意知
∴
∴为平行四边形
∴
在中，设，则
由勾股定理得
∴
∴周长为：
面积为：
故答案为：42，108
【点睛】本题考查了折叠的性质，平行四边形的性质与判定等知识，熟练掌握其性质是解决此题的关键．
【变式1-2】如图，在中，对角线和交于点O，．
(1)请用尺规完成基本作图：作出的角平分线交于点M，交于点N．（尺规作图保留作图痕迹，不写作法，不写结论）；
(2)在（1）的条件下，连接，若，，求的周长．请完成下面的证明过程
解：∵四边形是平行四边形，
∴___________①___________，
∵
∴
∴___________②___________
∵平分
∴___________③___________且
即是线段的垂直平分线
∴___________④___________
∵
∴___________⑤___________
【答案】(1)见解析
(2)①，②，③（或），④，⑤
【分析】（1）根据题意作出图即可；
（2）根据平行四边形的性质和线段垂直平分线的性质解答即可．
【详解】（1）解：射线即为所求作；
（2）解：∵四边形是平行四边形，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴且，
即是线段的垂直平分线，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查平行四边形的性质和基本作图-作角平分线、线段垂直平分线的性质、角平分线的定义，解题的关键在于利用平行四边形的对角线互相平分得到．
【变式1-3】浙教版教材八年级下册第5章“4．2平行四边形及其性质（3）”中有这样一道例题：
如图，在中，对角线AC，BD交于点E，，若，求BD的长．请你完成求解过程．
小明的解题过程如下：在中∵，∴ 第①步∵∴ 第②步∴ 第③步∴ 第④步
你认为他的解题过程正确吗？若正确，请再用其他方法求出BD的长；若不正确，请指出错误（从第几步开始错），并求出正确的BD长
【答案】小明的解题过程不正确，从第③步开始错；BD=2
【分析】利用平行四边形的性质求得EA=EC=2，EB=ED，利用勾股定理先后求得BC和BE，据此求解即可．
【详解】解：小明的解题过程不正确，从第③步开始错；
在 ABCD中，
∵AC=4，AB=5，
∴EA=EC=AC=×4=2，EB=ED，
∵AC⊥BC，
∴，
∴BE，
∴BD=2EB=2 ．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，关键是根据平行四边形的对角线相互平分解答．
【考点二 利用平行四边形的性质求线段长度、图形面积】
【典例2-1】如图，在平行四边形中，．按以下步骤：①以为圆心，以适当长为半径作弧，交于两点；②分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射经交于点，交边于点．则的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
如图，过点D作DG⊥BC的延长线于点G，由作图可知，CF为∠BCD的角平分线，则∠BCF=∠DCF，由平行四边形的性质、平行线的性质可得∠BCF=∠DFC，∠DCG=∠ABC=60°，然后利用等腰三角形的性质及勾股定理可得DF=DC=4，CG=2，DG=，BD=，最后根据相似三角形的判定与性质得比例式，计算可得答案．
【详解】
解：如图，过点D作DG⊥BC的延长线于点G，
由作图可知，CF为∠BCD的角平分线，
∴∠BCF=∠DCF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，DC=AB=4，
∴∠BCF=∠DFC，∠DCG=∠ABC=60°，
∴∠DFC=∠DCF，
∴DF=DC=4，
在Rt△DCG中，∠DCG=60°，∠CDG=30°，
∴CG=DC=2，DG=，
在Rt△BGD中，BG=BC+CG=5+2=7，DG=，
∴BD=，
∵AD∥BC，
∴△BOC∽△DOF，
∴，即DO=BO，
又∵BO+DO=BD=，
∴BO+BO=，
解得BO=，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、角平分线的定义、勾股定理及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键
【典例2-2】如图，△ABC的面积为16，点D是BC边上一点，且BD＝BC，点G是AB边上一点，点H在△ABC内部，BD∥GH，且BD＝GH.则图中阴影部分的面积是(　　)
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【详解】
试题分析：设△ABC底边BC上的高为h，△AGH底边GH上的高为h1，△CGH底边GH上的高为h2，
则有h=h1+h2．所以S△ABC=BC h=16，S阴影=S△AGH+S△CGH=GH h1+GH h2=GH （h1+h2）=GH h．因为四边形BDHG是平行四边形，且BD=BC，可得GH=BD=BC，所以S阴影=×（BC h）=S△ABC=4．
故答案选B．
【典例2-3】在中，，，点是线段上的动点（点不与点重合），连接，过点作交直线于点．

(1)如图1，当点为线段的中点时，请判断出，的数量关系，并证明；
(2)如图2，当点在线段上时，求证：；
(3)点在射线上运动，若，，求线段的长．
【答案】(1)，见解析
(2)见解析
(3)或
【分析】（1）连接，可知是等腰直角三角形，再证明，得；
（2）过点作交于点，首先证明，得，再证明是等腰直角三角形，可得结论；
（3）分点在线段和的延长线上两种情形，分别画出图形，利用，得，从而解决问题．
【详解】（1）解：连接，
四边形是平行四边形，
，
，
∴，
，
是等腰直角三角形，
点为的中点，
，，
，

，
，
，
，
；
（2）证明：如图，过点作交于点，

，，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
又，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
由勾股定理得：，
，
；
（3）解：当点在线段上时，如图②，作，交延长线于，

则是等腰直角三角形，
，
由勾股定理得：，
，
由（2）得，；
，
，
，
当点在的延长线上时，作，交延长线于，

同理可得，
，
，
，
，
综上：的长为或．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键，同时注意分类讨论思想的运用．
【变式2-1】如图，已知四边形是平行四边形．

(1)尺规作图：作的平分线交于点；（保留作图痕迹，不用写作法）
(2)在（1）中，若，，求的长．
【答案】(1)见解析；
(2)4．
【分析】（1）以点A为圆心，任意长为半径画弧，交，于两点，分别以这两点为圆心，大于这两点的距离为半径画弧，在内交于一点O，作射线BO，交于点E即可；
（2）根据角平分线和平行线可得到，然后利用平行四边形对边相等计算即可．
【详解】（1）如图所示，为所求．

（2）在平行四边形中，，
，
由（1）知，，
，
，
在平行四边形中，，
，
．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、角平分线的作法，解决本题的关键是熟记平行四边形的性质．
【变式2-2】如图，在平行四边形中，于点E，于点F，若平行四边形的周长为，求平行四边形的面积．
【答案】．
【分析】已知平行四边形的高，根据“等面积法”列方程，求，再根据平行四边形的面积=底乘以高可得出答案．
【详解】∵四边形是平行四边形，
∴，
∵平行四边形的周长为，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴（），
∴；
【点睛】本题考查平行四边形的性质，解题的关键是利用等面积法构建方程解决问题．
【考点三 利用平行四边形的性质求角度】
【典例3-1】如图，在平行四边形中，，的平分线交 于点E，连接 ．若，则的度数为________．

【答案】/39度
【分析】由平行四边形的性质得出，，得出，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出，即可得出的度数．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，三角形和内角和定理等知识；关键是掌握平行四边形对边平行，对角相等．
针对训练3
【变式3-1】将一个三角板按如图所示的方式放置在一张平行四边形的纸片上，，，，则的度数为（ ）

A．80° B．90° C．110° D．140°
【答案】C
【分析】互余关系求出，求出，再根据两直线平行，内错角相等，即可得解．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∵平行四边形纸片，
∴，
∴；
故选C．
【点睛】本题考查求角的度数．熟练掌握平行四边形对边平行，正确的识图，理清角的和差关系，是解题的关键．
【变式3-2】．如图，中，E，F是对角线上两点，，，，则___________．

【答案】/19度
【分析】设，由等腰三角形的性质和直角三角形得出，，则，推出，再由平行四边形的性质得出，得出方程，解方程即可．
【详解】解：设，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：，
即，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质等知识；根据角的关系得出方程是解题的关键．
【变式3-3】如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，点，在上，点，在上．
(1)若，，求的度数；
(2)若四边形是平行四边形，求证：．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）由等腰三角形的性质得出，由平行四边形的性质可得出答案；
（2）由平行四边形的性质得出，，则可得出结论．
【详解】（1）解：，，
，
四边形是平行四边形，
，
，
；
（2）证明：四边形和四边形是平行四边形，
，，
，即．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解决本题的关键是掌握平行四边形的性质．
【变式3-4】．如图，在中，E是上一点，连接交于点F，且，．
(1)的度数；
(2)当时，求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由平行四边形的性质可求得的度数，则由即可求得结果；
（2）由平行四边形的性质可得的度数，则可得的度数，再由垂直关系即可求得结果．
【详解】（1）解：（1）∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，垂直关系，平行四边形的性质是解题的关键．
【变式3-5】如图，在平行四边形中，E，F分别是边，上的点，且．

(1)判定与是否相等，并说明理由；
(2)连接，若，求的度数
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）证明即可得到结论；
（2）根据平行四边形对边平行求出，再根据等腰对等边求出，即可求出答案．
【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，，
∴；
【点睛】本题考查了平行四边形的相关的性质，熟悉平行线的证明是解题的关键．
【考点四 三角形的性质判定综合】
【典例4-1】如图，在中，，于点D，延长到点E，使．过点E作交的延长线于点F，连接，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)过点E作于点G，若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）利用和，使用证明，从而得到，再利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可；
（2）根据等腰三角形的三线合一性质可知，，再由求出，采用勾股定理求出的长，即的长，再用等面积法求出的长．
【详解】（1）证明：∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴四边形是平行四边形．
（2）过点E作于点G
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴．
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，即
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质，利用等面积法求高是本题的解题技巧，掌握平行四边的判定与性质是解题的关键．
【典例4-2】如图，中，，D是上的一点，，过点D作，并截取．
(1)求证：是等腰直角三角形；
(2)延长至，使得，连接并与的延长线相交于点，求的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由可得，，证明，由全等三角形的性质可得，，则，即可得证；
（2）先证明四边形是平行四边形，再根据等腰直角三角形的性质及平行四边形的性质可得．
【详解】（1）证明：，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
是等腰直角三角形；
（2）解：，，
，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
，
是等腰直角三角形，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
【典例4-3】如图1，在中，．点是边上的动点，连结，将绕点旋转至，使点与点重合，连结交于点．
(1)当点为中点时，线段___________；
(2)如图2，作交于点G，连结交于点H．求证：四边形是平行四边形；
(3)在（2）的条件下
①若，求的度数；
②连接，当时，____________．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)①；②
【分析】（1）根据三线合一得出，，勾股定理得出，根据旋转的性质得出，，垂直平分，进而根据等面积法即可求解；
（2）由，得出，根据旋转的性质得出，根据得出，则，进而得出，等量代换得出，即可得证；
（3）①设，则，则，根据旋转的性质得出，，，根据平行四边形的性质即可求解；
②连接，连接，设交于点,根据已知条件得出，进而设，，得出，，即可求解．
【详解】（1）解：∵．点为中点
∴，，
在中，，
∵将绕点旋转至，使点与点重合，
∴，，
∴垂直平分，
∴，
∵
∴，
∴，
故答案为：．
（2）证明：∵，
∴，
∵将绕点旋转至，使点与点重合，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
又，
∴四边形是平行四边形；
（3）①设，则，
∴，
∵将绕点旋转至，使点与点重合，
∴，，
∴
∴
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴
②如图所示，连接，连接，设交于点,
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵将绕点旋转至，使点与点重合，
∴，
设，，
则，
，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，平行四边形的性质与判定，平行线之间的距离相等，熟练掌握以上知识是解题的关键．
针对训练4
【变式4-1】．已知：如图1，四边形中，．
(1)求证：四边形 是平 四边形；
(2)如图2，点E、F 分别在、上，连接， 交于点K，，，，求证：；
(3)如图 3，在（2）的条件下，点P是下 点，连接，，，，G为中点，连接，若， ，求的 ．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
(3)
【分析】（1）连接，证明即可得证；
（2）过作，证明即可得证；
（3）延长、交于，证出，再过作，取的中点，连接、、、，从而可证出，再证，，即可求出．
【详解】（1）证明：连接，
，
，
在和中
，
，
，
四边形 是平 四边形．
（2）证明：过作，交于，
由（2）得，，，，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
在中
，
，
．
（3）解：延长、交于，
，
，
，，
由（2）得：，
，
即：，
是等边三角形，
设，，，
，
在中
，
，
，
，
，
，
，
，
如图，过作，取的中点，连接、、、，
，
，，
是的中点，
，，
，
，，，
，
，
，
在和中
，
，
，，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了在平行四边形中三角形综合知识的运用，主要考查了等边三角形的判定及性质，直角三角形的性质，勾股定理，中位线等，掌握相关判定定理及性质，根据题意作出辅助线，构建直角三角形是解题的关键．
【变式4-2】在等边中，点E在直线上，点D在射线上，且，试确定线段与的大小关系．
(1)特殊情况，探索结论．如图1，当点E在线段的中点时，线段与的大小关系是：_____（选填“”、“”或“”）．
(2)特例启发，解决问题．如图2，当点E在线段的延长线上，线段与的大小关系是什么？请说明理由．
(3)拓展结论，延伸应用．若直线交直线交于点F，等边的边长为2，，求的长
【答案】(1)
(2)；理由见解析
(3)的长为或
【分析】（1）为等边三角形，点E在线段的中点，得出，，，根据等腰三角形的判定和性质，得出，即可得出答案；
（2）过点E作于点F，过点A作于点G，根据等边三角形的性质，得出，根据平行线的判定和性质，得出，得出，根据等腰三角形的性质，得出，根据线段间的关系，即可得出答案；
（3）分点E在线段上和点E在线段延长线上两种情况进行讨论，分别画出图形，求出的长即可．
【详解】（1）解：∵为等边三角形，点E在线段的中点，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
，
∴，
∴，
故答案为：．
（2）解：，理由如下：
过点E作于点F，过点A作于点G，如图所示：
∵为等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴．
（3）解：①当点E在线段上时，如图所示：
∵等边的边长为2，，
∴点E为的中点，
∴，
∵为等边三角形，
∴，平分，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵为等边三角形，
∴，，
，
∴，
∴；
②当点E在线段上时，如图所示：
连接，过点E作于点G，交于点H，连接，
根据解析（2）可知，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形为平行四边形，
，
∵，，
在中，根据勾股定理得：
，
在中，根据勾股定理得：
，
∴；
综上分析可知，的长为或．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，含的直角三角形的性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，注意进行分类讨论。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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