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数学八年级下暑假培优专题训练
专题九、 矩形
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目录
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【典例剖析】
矩形的概念与性质
概念：有一个角是直角的平行四边形是矩形。
性质：（1）矩形的对边平行且相等；
（2）矩形的四个角都是直角；
（3）矩形的对角线相等。
矩形的判定
有一个角是直角的平行四边形是矩形；
对角线相等的平行四边形是矩形；
有三个直角的四边形是矩形。
直角三角形斜边上的中线
直角三角形斜边上的中线 等于斜边的一半
【典例1-1】阅读下面材料：
小石遇到这样一个问题：图1，分别是的边上的动点（不与点B重合），与的角平分线交于点P，的周长为a，过点P作于点于点N，求与的周长a的数量关系．
小石通过测量发现了垂线段与的数量关系，从而构造全等三角形和直角三角形，经过推理和计算使问题得解决．
（1）线段与的数量关系为__________；与a的数量关系是____________．
（2）如图2，当时，其它条件不变，判断点P到的距离与的周长a的数量关系，并简要说明理由．
【典例1-2】将图1、图2、图3中的直角三角形、锐角三角形、四边形纸片分别裁剪成若干块，并分别拼成一个矩形，请画出裁剪线并画出拼接示意图．
【典例1-3】如图，已知四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上，，EC与BD相交于点G，与AD相交于点F，．
(1)若，求的度数．
(2)连接AG，探究AG，DG，EG的数量关系．
针对训练1
【变式1-1】如图，在四边形ABCD中，AD//BC，∠ABC＝∠ADC＝90°，对角线AC，BD交于点O，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若∠BDE＝15°；
①求证：△OEC是等腰三角形；
②求∠DOE的度数．
【变式1-2】如图,中,对角线 相交于点,若 是线段上两动点,同时分别从 两点都以1cm/s的速度向 运动．
（1）求证:不论、在任何位置,四边形始终是平行四边形;
（2）若cm,cm,当运动时间为何值时,四边形是矩形
【典例2-1】如图，在平行四边形中，E、F分别是上一点，且，连接交于点G，且．

(1)求证：四边形是矩形；
(2)当时，求的长．
【典例2-2】如图，在中，E为的中点，延长交于点F，连接．

(1)求证：；
(2)若，求的长．
【典例2-3】如图，在矩形中，M是边的中点，P是边上的一点，连接，且，，垂足分别为E、F．

(1)若，，求的值；
(2)当矩形的长与宽满足什么数量关系时，四边形是矩形？证明你的结论．
针对训练2
【变式2-1】4．如图，在四边形中，作交于点O、交于点E，连接、，且，，．

(1)求证：四边形是矩形；
(2)当，时，求的长度．
【变式2-2】如图，的对角线，交于点O，，，．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)连接，若，，求的长．
【典例3-1】综合与实践
问题情境
如图1，是线段上任意一点（不与点，重合），分别以和为斜边在同侧构造等腰直角三角形和等腰直角三角形，连接，取的中点，的中点，连接．
(1)猜想验证
如图1，当点与点重合时，试判断与之间的数量关系，并说明理由．
(2)延伸探究
如图2，当点与点不重合时，问题（）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
【典例3-2】如图所示，在四边形中，对角线，相交于点O，，，且，．
(1)求证：四边形是矩形．
(2)若，于点E，求的度数．
针对训练3
【变式3-1】如图，在中，对角线AC，BD相交于点O，于点E，于点F，且．
(1)求证：四边形ABCD是矩形．
(2)若，求的度数．
【变式3-2】如图，在中，为边上一点，以为边作矩形．若，，则的大小为______度．
【变式3-3】在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，点E为AB上一动点，DE交AC于F，当∠CFE＝2∠ACB时，线段DF的长为____．
【典例4-1】如图，在中，延长至点E，延长至点F，使得，连接，．

(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)连接，若，，求四边形的面积．
【典例4-2】如图，在中，E为的中点，连接并延长交的延长线于点F，连接，，若．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，直接写出的面积．
【典例4-3】如图1，在中，，于点C，点E是的中点，连接并延长，使，连接．
(1)求证：四边形是矩形．
(2)如图2，点H为的中点，连接，若，，求四边形的面积．
针对训练4
【变式4-1】定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．
(1)根据定义判矩形
已知：如图1，在平行四边形中，是它的两条对角线，．求证：平行四边形是矩形．
(2)动手操作有发现
如图2，在矩形中，是的中点，将沿折叠后得到，点在矩形内部，延长交于点．猜想线段与有何数量关系 并证明你的结论．
(3)类比探究到一般
如图3，将(2)中的矩形改为平行四边形，其它条件不变，(2)中的结论是否仍然成立，请说明理由．
(4)解决问题巧应用
如图4，保持(2)中的条件不变，若点是的中点，且，请直接写出矩形的面积．
【变式4-2】如图，在平行四边形中，对角线与相交于点，点分别为的中点．
(1)求证：；
(2)延长至，使，连接，延长，交于点．
①当与满足什么数量关系时，四边形是矩形？请说明理由；
②若，，，求四边形的面积．
【典例5-1】如图，四边形中，°，为边上一点，连接，，为的中点，延长交的延长线于点，交于点，连接交于点．

(1)求证；
(2)若，，求证：四边形为矩形．
【典例5-2】如图，在中，点，，分别是边，，的中点，且．

(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，求出矩形的周长．
【典例5-3】已知：如图，在中，于点．于点，与交于点．且．

(1)如图1，求证：；
(2)如图2，连接，当点为中点时，请直接写出图2中所有的等腰三角形．
针对训练5
【变式5-1】如图，边长为2的等边的两个顶点分别在两条射线上滑动，若，则的最大值是_________．

【变式5-2】如图，在中，，，D，E分别是边的中点，以和为边作平行四边形．若，则四边形的周长为_________．
【典例6-1】综合与实践
问题情境
在矩形纸片中，点是边上一动点，连接，将沿折叠得到，并展开铺平．
实践操作

(1)在图中，过点作，垂足为点，交于点（要求：尺规作图，保留痕迹，不写作法）；
猜想证明
(2)在（1）所作的图形中连接，猜想并证明与之间的关系；
问题解决
(3)已知，，沿所在直线折叠矩形纸片，折痕交矩形纸片的边于点．当时，求的长．
【典例6-2】如图，长方形纸片中，，将纸片折叠，使顶点B落在边上的E点处，折痕的一端G点在边上．
(1)如图（1），当折痕的另一端F在边上且时，求的长．
(2)如图（2），当折痕的另一端F在边上且时，
①求证：．
②求的长．
【典例6-3】如图，在矩形中，已知．

(1)如图①，将矩形沿对角线折叠，使得点C落在点处，与相交于点E，则与的数量关系是 ___________；
(2)如图②，点E，F分别是边上的点，将折叠，使得点B正好落在边上的点，过作，交于点G．若，求的长．
(3)如图③，点E，F分别是边上的点，将折叠，使得点B正好落在边上的点，当点E，F分别在上移动时，点也在边上随之移动，请直接写出的取值范围．
针对训练6
【变式6-1】如图，将长为8，宽为4的矩形折叠，使点与点重合，求的长．

【变式6-2】如图，将矩形沿对角线翻折，点C落在处，交于点E，
(1)过点作交于点F，连接．求证：四边形是菱形；
(2)若，，求线段的长．
数学八年级下暑假培优专题训练
专题九、 矩形（解析版）
【典例剖析】
【典例1-1】阅读下面材料：
小石遇到这样一个问题：图1，分别是的边上的动点（不与点B重合），与的角平分线交于点P，的周长为a，过点P作于点于点N，求与的周长a的数量关系．
小石通过测量发现了垂线段与的数量关系，从而构造全等三角形和直角三角形，经过推理和计算使问题得解决．
（1）线段与的数量关系为__________；与a的数量关系是____________．
（2）如图2，当时，其它条件不变，判断点P到的距离与的周长a的数量关系，并简要说明理由．
【答案】（1）PM=PN，；（2）（或），理由见解析．
【分析】（1）根据角平分线上的点到角两边距离相等可证PG=PM=PN，再根据HL定理可证明DM=DG，GE=EN，最后根据矩形的性质和判定以及线段的和差可得结论；
（2）由（1）可得PM=PH=PN，的周长a=PM+BN，根据角平分线的判定定理可得BP为∠ABC的角平分线上，根据含30°角的直角三角形的特点可得结论．
【详解】解：（1）作PG⊥DE与DE交于G，
∵DP为的平分线，，PG⊥DE，
∴PM=PG，
同理可证明PG=PN，
∴PM=PN，
在Rt△PDM和Rt△PDG中，
∵PM=PG，PD=PD，
∴Rt△PDM≌Rt△PDG（HL），
∴DM=DG，
同理可证GE=EN，
∴，
∵，，，
∴，
∴四边形BNPM为矩形，
∴PN=BM,PM=BN，
∴
故答案为：PM=PN，；
（2）（或），理由如下：
作PH⊥DE，连接BP，
与（1）同理可证PM=PH=PN，的周长a=BM+BN，
∴P在∠ABN的角平分线上，
∵，
∴∠ABP=∠PBN=30°，
∴在Rt△BPM中，BP=2PM，
根据勾股定理,
同理可证，
∴（或）．
【点睛】本题考查角平分线的性质和判定，HL定理，矩形的性质和判定，含30°角的直角三角形，勾股定理等．本题主要是角平分线的性质和判定定理的应用，理解角平分线上的点到角两边距离相等和在角内部到角两边距离相等的点在角平分线上是解题关键．
【典例1-2】将图1、图2、图3中的直角三角形、锐角三角形、四边形纸片分别裁剪成若干块，并分别拼成一个矩形，请画出裁剪线并画出拼接示意图．
【答案】见解析
【分析】分别利用矩形的性质画出图形即可．
【详解】解：裁剪线如图所示，矩形如图所示．
【点睛】本题图形的拼剪，直角三角形的性质，矩形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
【典例1-3】如图，已知四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上，，EC与BD相交于点G，与AD相交于点F，．
(1)若，求的度数．
(2)连接AG，探究AG，DG，EG的数量关系．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）证明△AEF≌△ADB（SAS），则∠AEF=∠ADB，∠GEB+∠GBE=∠ADB+∠ABD=90°，即可求解；
（2）证明△AEP≌△ADG（SAS），则△PAG为等腰直角三角形，故EG-DG=EG-．
【详解】（1）解：∵四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上，
∴∠EAF=∠DAB=90°，
又∵AE=AD，AF=AB，
∴△AEF≌△ADB（SAS），
∴∠AEF=∠ADB，
∴∠GEB+∠GBE=∠ADB+∠ABD=90°， 即∠EGB=90°，
故BD⊥EC，
∵∠E=25°，
∴∠EBG=90°-25°=65°；
（2）．理由如下：
如图，在线段EG上取点P，使得EP=DG，
在△AEP与△ADG中，AE=AD，∠AEP=∠ADG，EP=DG，
∴△AEP≌△ADG（SAS），
∴AP=AG，∠EAP=∠DAG，
∴∠PAG=∠PAD+∠DAG=∠PAD+∠EAP=∠DAE=90°，
∴△PAG为等腰直角三角形，
∴EG-DG=EG-EP=PG=．
【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
针对训练1
【变式1-1】如图，在四边形ABCD中，AD//BC，∠ABC＝∠ADC＝90°，对角线AC，BD交于点O，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若∠BDE＝15°；
①求证：△OEC是等腰三角形；
②求∠DOE的度数．
【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②135°．
【分析】（1）由平行线的性质易证，得出，即可得出结论；
（2）①由矩形和角平分线的性质得出，则，推出，证明是等边三角形，推出，即可得出结论；
②求出，得出，即可得出结果．
【详解】（1）证明：，
，
，
，
，
四边形是矩形；
（2）①证明：四边形是矩形，平分，
，
，
又，
，
又矩形的对角线互相平分且相等，
，
是等边三角形，
，
，
是等腰三角形；
②解：是等边三角形，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行线的性质、角平分线的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识；熟练掌握矩形的判定与性质和等边三角形的判定与性质是解题的关键．
【变式1-2】如图,中,对角线 相交于点,若 是线段上两动点,同时分别从 两点都以1cm/s的速度向 运动．
（1）求证:不论、在任何位置,四边形始终是平行四边形;
（2）若cm,cm,当运动时间为何值时,四边形是矩形
【答案】（1）见详解,（2）当运动时间或时,四边形是矩形．
【分析】（1）由平行四边形ABCD的对角线互相平分得到AO=CO,BO=DO;由点E、F同时运动且运动相等可以得到AE=CF,则EO=FO,利用对角线互相平分的四边形是平行四边形即可求证,
（2）根据矩形的对角线相等,由此可以得到EF=BD,根据E F两点的运动路线,可以分两种情况:点E F未过点O时,有OE= OB,即AO-AE= BO:点E F过点O时,有OE= OB时,即AE-AO=OE,即可求t的值．
【详解】（1）设运动时间为t,由题意得:AE=CF=t,
∵四边形ABCD是平行四边形,∴AO=CO,BO=DO,
∴EO=FO,
∴四边形DEBF是平行四边形,
即不论E、F在AC任何位置,四边形DEBF始终是平行四边形．
（2）
图1 图2
由题意可知: ,
,
又∵四边形DEBF是矩形,∴BD=EF,
∴如图1,当OE= OB时,即AO-AE= BO时,有8-t=6,此时t=2s,
如图2,当OE= OB时,即AE-AO=OE,有t-8=6,此时t =14s．
∴当t= 2s或14s时,四边形DEBF是矩形．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质以及矩形的判定,熟练掌握平行四边形的判定与性质以及矩形的判定是解题的关键,本题还运用到了分类思想。
【典例2-1】如图，在平行四边形中，E、F分别是上一点，且，连接交于点G，且．

(1)求证：四边形是矩形；
(2)当时，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)的长是20
【分析】（1）先证明，得，根据等腰三角形的“三线合一”得，而，即可证明，再根据矩形的定义即可得证；
（2）由矩形的性质得，则，所以，再由勾股定理列出方程求解即可．
【详解】（1）证明：在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴四边形是矩形．
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴的长是20．
【点睛】此题重点考查矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的“三线合一”、直角三角形的两个锐角互余、勾股定理等知识，证明及是解题的关键．
【典例2-2】如图，在中，E为的中点，延长交于点F，连接．

(1)求证：；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)5
【分析】（1）利用平行四边形的性质和全等三角形的判定方法可以得到即可；
（2）根据已知条件证明四边形是矩形，然后根据勾股定理即可求出的长．
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
，
，
点是的中点，
，
在和中，
，
；
（2），
，
又，
四边形是平行四边形，
四边形是平行四边形，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，，
，
．
【点睛】本题考查矩形的判定、平行四边形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确平行四边形的判定方法和矩形的判定方法，利用数形结合的思想解答
【典例2-3】如图，在矩形中，M是边的中点，P是边上的一点，连接，且，，垂足分别为E、F．

(1)若，，求的值；
(2)当矩形的长与宽满足什么数量关系时，四边形是矩形？证明你的结论．
【答案】(1)，见解析
(2)当时，四边形是矩形，见解析
【分析】（1）先证，可得，再证明得到，可得，即可求解；
（2）当时，四边形是矩形，根据矩形性质和M是边的中点，可得，从而得到，再根据，，
即可证明．
【详解】（1）解：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，M是边的中点，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，M是边的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
由①②可得：；
（2）当时，四边形是矩形，
证明：∵四边形是矩形，
∴，
∵，M是边的中点，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形，
即当时，四边形是矩形；
【点睛】本题考查了几何问题，涉及到矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等，灵活运用所学知识是关键．
针对训练2
【变式2-1】4．如图，在四边形中，作交于点O、交于点E，连接、，且，，．

(1)求证：四边形是矩形；
(2)当，时，求的长度．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）首先根据等角对等边及平行线的性质，可证得，即可证得四边形为平行四边形，再根据，即可证得结论；
（2）过点O作，垂足为F，首先根据等腰三角形的性质，可证得为的中点，根据矩形的性质，即可证得四边形为平行四边形，再根据勾股定理，即可求得，可证得为的中位线，可求得，再根据勾股定理，即可求解
【详解】（1）证明： ，
，
，
．
，
，
，
．
又，
∴四边形为平行四边形．
，，，
，
，
∴四边形为矩形；
（2）解：如图：过点O作，垂足为F，

，
为的中点，
四边形为矩形，
，
∴四边形为平行四边形，
，
．
为的中点，F为的中点，
为的中位线，
．
，
，
，
∴在中，．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，平行四边形及矩形的判定与性质，矩形的判定与性质、勾股定理，三角形中位线的判定与性质，熟练掌握和运用各图形的判定与性质是解决本题的关键．
【变式2-2】如图，的对角线，交于点O，，，．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)连接，若，，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）设，交于F，根据平行四边形的判定定理得到四边形是平行四边形，求得，根据矩形的判定定理即可得到结论；
（2）连接，过E作交的延长线于H，根据平行四边形的性质得到，根据勾股定理得到，求得，由矩形的性质得到，，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】（1）
解：设，交于F，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴四边形是矩形；
（2）
如图，连接，过E作交的延长线于H，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴四边形是矩形，
，，
∴．
【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键。
【典例3-1】综合与实践
问题情境
如图1，是线段上任意一点（不与点，重合），分别以和为斜边在同侧构造等腰直角三角形和等腰直角三角形，连接，取的中点，的中点，连接．
(1)猜想验证
如图1，当点与点重合时，试判断与之间的数量关系，并说明理由．
(2)延伸探究
如图2，当点与点不重合时，问题（）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
【答案】(1)，理由见解析；
(2)成立，理由见解析
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出，，，然后得出，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的得出，根据折叠的性质得出，即可求解．
（2）延长交的延长线于点，连接，．同（1）的方法得出，可得四边形是矩形，是等腰直角三角形，根据等腰三角形的性质得出，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，进而即可求解．
【详解】（1）解： ．
理由：和都是等腰直角三角形，
，，，
，
，
．
又是的中点，
，即．
又点与点重合，
，
．
（2）成立．
理由：如图，延长交的延长线于点，连接，．
和都是等腰直角三角形，
，，，
，，
，，
四边形是矩形，是等腰直角三角形，
．
又是的中点，
，
．
又是的中点，
是的中点．
在中，是的中点，
，
，即．
【点睛】本题考查了矩形的性质与判定，折叠的性质，等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握以上知识是解题的关键．
【典例3-2】如图所示，在四边形中，对角线，相交于点O，，，且，．
(1)求证：四边形是矩形．
(2)若，于点E，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，利用勾股定理逆定理，得到，即可得证；
（2）求出的度数，根据三角形的内角和，求出，然后根据，得到，即可求出的度数．
【详解】（1）证明：∵在四边形中，对角线，相交于点O，，，
∴四边形是平行四边形，，
∵，，
∴，
∴，
∴四边形是矩形；
（2）∵四边形是矩形
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，能灵活运用定理进行推理是解题的关键．注意：矩形的对角线相等，有一个角是直角的平行四边形是矩形．
针对训练3
【变式3-1】如图，在中，对角线AC，BD相交于点O，于点E，于点F，且．
(1)求证：四边形ABCD是矩形．
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)10°
【分析】（1）证△AEO≌△DFO（AAS），得出OA=OD，则AC=BD，即可得出四边形ABCD是矩形．
（2）由矩形的性质得出∠ABC=∠BAD=90°，OA=OB，则∠OAB=∠OBA，求出∠BAE=40°，则∠OBA=∠OAB=50°，即可得出答案．
【详解】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，，
∵于点E，于点F，
∴，
又∵ ，
∴，
∴，
∴，
∴四边形ABCD是矩形；
（2）由（1）得：四边形ABCD是矩形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握矩形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
【变式3-2】如图，在中，为边上一点，以为边作矩形．若，，则的大小为______度．
【答案】60
【分析】想办法求出，利用平行四边形的性质即可解决问题．
【详解】解：四边形是矩形，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
故答案为：60．
【点睛】本题考查矩形的性质、平行四边形的性质、三角形内角和定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题．
【变式3-3】在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，点E为AB上一动点，DE交AC于F，当∠CFE＝2∠ACB时，线段DF的长为____．
【答案】5
【分析】连接BD交AC于点O，由矩形的性质可知，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，OA＝OB＝OC＝OD＝5，∠AOB＝2∠ACB；所以∠AOB＝∠CFE，所以∠DFO＝∠DOF，由“等角对等边”可知DF＝DO＝5．
【详解】解：如图，连接BD交AC于点O，
在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，
∴AC＝BD＝10，
∴OA＝OB＝OC＝OD＝5，
∴∠ACB＝∠OBC，
∴∠AOB＝∠ACB+∠OBC＝2∠ACB，
∵∠CFE＝2∠ACB，
∴∠AOB＝∠CFE，
∵∠AOB+∠DOF＝∠CFE+∠DFO＝180°，
∴∠DFO＝∠DOF，
∴DF＝DO＝5．
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查矩形的性质，等腰三角形的性质与判定等相关知识，熟知矩形的性质，由此作出辅助线是解题的关键．
【典例4-1】如图，在中，延长至点E，延长至点F，使得，连接，．

(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)连接，若，，求四边形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据平行四边形的性质得出，根据题意得出，再由平行四边形的判定即可证明；
（2）根据矩形的判定得出四边形是矩形，然后求矩形面积即可．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵延长至点E，延长至点F，使得，
∴即，
∴四边形是平行四边形；
（2）连接，如图所示，

由（1）得四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形的面积为：，
∴四边形的面积为．
【点睛】题目主要考查平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，熟练掌握平行四边形和矩形的判定性质定理是解题关键．
【典例4-2】如图，在中，E为的中点，连接并延长交的延长线于点F，连接，，若．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，直接写出的面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先利用定理证出，再根据全等三角形的性质可得，根据平行四边形的判定可得四边形是平行四边形，然后根据等量代换可得，最后根据矩形的判定即可得证；
（2）先根据矩形的性质可得，再利用勾股定理和含30度角的直角三角形的性质可得，然后利用平行四边形的面积公式求解即可得．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵为的中点，
∴，
在和中，，
，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形．
（2）解：，，
，
由（1）已证：四边形是矩形，
，
，
在中，，
，
则的面积为．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理、含30度角的直角三角形的性质等知识点，熟练掌握矩形的判定与性质是解题关键．
【典例4-3】如图1，在中，，于点C，点E是的中点，连接并延长，使，连接．
(1)求证：四边形是矩形．
(2)如图2，点H为的中点，连接，若，，求四边形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)4
【分析】（1）根据对角线互相平分证明四边形是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形进行证明即可；
（2）根据中点的性质得出四边形的面积等于两个三角形的面积和，求出三角形面积即可．
【详解】（1）证明：∵点E是的中点，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴平行四边形是矩形．
（2）解：由（1）得，
∵，，
∴
∵点E是的中点，点H为的中点，
∴，，
四边形的面积等于．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，解题关键是熟练运用矩形的判定定理进行推理证明，利用矩形和中点的性质求出面积．
针对训练4
【变式4-1】定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．
(1)根据定义判矩形
已知：如图1，在平行四边形中，是它的两条对角线，．求证：平行四边形是矩形．
(2)动手操作有发现
如图2，在矩形中，是的中点，将沿折叠后得到，点在矩形内部，延长交于点．猜想线段与有何数量关系 并证明你的结论．
(3)类比探究到一般
如图3，将(2)中的矩形改为平行四边形，其它条件不变，(2)中的结论是否仍然成立，请说明理由．
(4)解决问题巧应用
如图4，保持(2)中的条件不变，若点是的中点，且，请直接写出矩形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)，理由见解析
(3)成立，理由见解析
(4)
【分析】（1）由“边边边”证明，然后得到，即可得到结论成立；
（2）连接，利用折叠的性质，矩形的性质，证明，即可得到结论成立；
（3）连接，利用折叠的性质，平行四边形的性质，证明，即可得到结论成立；
（4）由折叠的性质，先求出，然后由勾股定理求出，即可求出面积．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形
∴，，
在和中，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴平行四边形是矩形；
（2）证明：．
理由如下：如图，连接，
∵E是的中点，
∴，
∵沿折叠后得到，
∴，，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∵在和中，
∵，
∴，
∴；
（3）证明：（2）中的结论仍然成立．
理由如下：如图，连接，
∵E是的中点，
∴，
∵将沿折叠后得到，
∴，，
∴，
∴；
∵四边形为平行四边形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
即（2）中的结论仍然成立．
（4）解：在平行四边形中，，
由（2）可知，
∵点是的中点，
∴，
由折叠的性质，则，
∴，
∵，
∴，
∴矩形的面积为：
；
【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的进行证明．
【变式4-2】如图，在平行四边形中，对角线与相交于点，点分别为的中点．
(1)求证：；
(2)延长至，使，连接，延长，交于点．
①当与满足什么数量关系时，四边形是矩形？请说明理由；
②若，，，求四边形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)①当时，四边形是矩形，见解析；②30
【分析】（1）由平行四边形的性质得出，由平行线的性质得出，证出，证明即可；
（2）①证出，由等腰三角形的性质得出，同理，得出，证出，得出四边形是平行四边形，即可得出结论；②过点C作于H，连接，先求出四边形的面积，再求出的面积，即可得答案．
【详解】（1）解：四边形是平行四边形，
，
，
点分别为的中点，
，
，
在和中，
；
（2）①当时，四边形是矩形，理由如下：
，
，
又是的中点，
，
，
同理：，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
又，
平行四边形是矩形；
②过点C作于H，连接，
则，
，
，
设则，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
点分别为的中点，
，
，
四边形是平行四边形，
．
【点睛】本题考查了矩形的判定和性质、平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定、三角形中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题
【典例5-1】如图，四边形中，°，为边上一点，连接，，为的中点，延长交的延长线于点，交于点，连接交于点．

(1)求证；
(2)若，，求证：四边形为矩形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）证明，则，然后根据直角三角形斜边上的中线性质即可得到；
（2）由和都是等腰直角三角形得到，则可得到，，进而可得，，于是可判断四边形为平行四边形，加上，则可判断四边形为矩形．
【详解】（1）证明：∵
∴
∴，
∵为的中点，
∴，
在和中，
，
∴
∴，
∴为斜边上的中线
∴
（2）由（1）知，又，，
∴，
∴为等腰直角三角形．
又由（1）知，
∴，，
又和都是等腰直角三角形．
∴，
∴，，
∴，，
∴四边形为平行四边形，
∵
∴平行四边形为矩形，
【点睛】本题考查了全等三角形的判断和性质、直角三角形斜边中线定理、矩形的判断，掌握矩形的证明步骤-先证明是平行四边形，再证明有直角是解题关键．
【典例5-2】如图，在中，点，，分别是边，，的中点，且．

(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，求出矩形的周长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接．根据三角形的中位线的性质可得四边形为平行四边形，然后再证明即可证明结论；
（2）根据题意可得，即，再根据直角三角形的性质求得，进而求得；再根据勾股定理求得，进而求得；最后求矩形的周长即可．
【详解】（1）证明：连接．

，分别是边，的中点，
，，
点是边的中点，
．
．
四边形为平行四边形；
由点，分别是边，的中点，
．
，
，
四边形为矩形．
（2）解：，
，，
四边形为矩形，
，
，
，
∴，
，
∵点、分别是边、的中点
∴，，
矩形的周长．
【点睛】本题考查了矩形的性质和判定、三角形的中位线的性质、勾股定理，熟练掌握矩形的判定和性质是解题的关键．
【典例5-3】已知：如图，在中，于点．于点，与交于点．且．

(1)如图1，求证：；
(2)如图2，连接，当点为中点时，请直接写出图2中所有的等腰三角形．
【答案】(1)证明见解析
(2)、、、
【分析】（1）根据可证明即可推出．
（2）根据三角形全等可以推出和从而证明和为等腰三角形，再根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边一半，即可推出，从而证明和为等腰三角形．
【详解】（1）证明：，
．
，．
，
．
，
．
．
（2）解：等腰三角形有：、、、，理由如下；
①为中点，，
，．
，
．
．
为等腰三角形．
②由（1）可知，，
，
为等腰三角形．
③，为中点，
，
为等腰三角形，为等腰三角形．
故答案为：、、、．
【点睛】本题考查的是等腰三角形的判定、三角形的全等的灵活运用、直角三角形的性质．解题的关键在于熟练掌握证明三角形全等的方法以及相关性质．
针对训练5
【变式5-1】如图，边长为2的等边的两个顶点分别在两条射线上滑动，若，则的最大值是_________．

【答案】/
【分析】如图所示，取的中点D，连接，先根据等边三角形的性质和勾股定理求出，再根据直角三角形的性质得到，再由可得当三点共线时，有最大值，最大值为．
【详解】解：如图所示，取的中点D，连接，
∵是边长为2的等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，即，
∴，
∵，
∴当三点共线时，有最大值，最大值为，
故答案为：．

【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质等等，正确作出辅助线确定当三点共线时，有最大值是解题的关键．
【变式5-2】如图，在中，，，D，E分别是边的中点，以和为边作平行四边形．若，则四边形的周长为_________．
【答案】9
【分析】先证明是等边三角形求出的长，再根据三角形中位线定理求出的长，据此即可求得平行四边形的周长．
【详解】解：在中，
∵，，
∴，
∵E是的中点，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵D、E分别是的中点，
∴，
∴平行四边形的周长．
故答案为：9．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理的运用，熟悉直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质．熟练运用三角形的中位线定理和直角三角形性质是解题的关键．
【典例6-1】综合与实践
问题情境
在矩形纸片中，点是边上一动点，连接，将沿折叠得到，并展开铺平．
实践操作

(1)在图中，过点作，垂足为点，交于点（要求：尺规作图，保留痕迹，不写作法）；
猜想证明
(2)在（1）所作的图形中连接，猜想并证明与之间的关系；
问题解决
(3)已知，，沿所在直线折叠矩形纸片，折痕交矩形纸片的边于点．当时，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)，，理由见解析
(3)的长是或3
【分析】（1）根据垂线的作法来求解；
（2）根据矩形的性质和折叠的性质易得到四边形是平行四边形，再利用平行四边形的性质求解；
（3）分以下两种情况：点在边上，利用折叠的性质和勾股定理求出，进而得到，，再用三角形面积求解；点在边上，连接，利用全等三角形的判定和性质求解.
【详解】（1）解：根据题意作图如下

所以，上图为所求作的图形；
（2）解：，.
证明：如答图1，
∵四边形是矩形，
∴.
∵将沿折叠得到，
∴，，，
∴.
∵，
∴，，
∴，
∴.
∵，
∴，
∴，
∴.
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，；

（3）解：分以下两种情况：
如答图2，点在边上，
∵，将沿折叠得到，
∴，.
∵，，
∴，.
在中，，由勾股定理，得，
∴，
解得，
∴， .
∵，
∴，
∴，
∴；

如答图3，点在边上，连接，
根据题意，得，，，
∴
在和中，
∵，，
∴（HL），
∴，
∴，
∴点是的中点，
∵，
∴.
综上所述，的长是或3.
.
【点睛】本题主要考查了折叠的性质，矩形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，理解相关知识是解答关键.
【典例6-2】如图，长方形纸片中，，将纸片折叠，使顶点B落在边上的E点处，折痕的一端G点在边上．
(1)如图（1），当折痕的另一端F在边上且时，求的长．
(2)如图（2），当折痕的另一端F在边上且时，
①求证：．
②求的长．
【答案】(1)
(2)①见解析；②
【分析】（1）根据翻折的性质可得，然后用表示出，在中，利用勾股定理列出方程求解即可；
（2）①根据翻折的性质可得，再根据两直线平行，内错角相等可得，从而得到，再根据等角对等边证明即可；
②根据翻折的性质可得，，，然后在中，利用勾股定理列式计算即可得解．
【详解】（1）解：∵纸片折叠后顶点B落在边上的E点处，
∴，
∵，
∴，
在中，，
即，
解得：；
（2）①∵纸片折叠后顶点B落在边上的E点处，
∴，
∵长方形纸片的边，
∴，
∴，
∴；
②∵纸片折叠后顶点B落在边上的E点处，
∴，，，
∴，
在中，，
∴．
【点睛】本题考查了翻折变换的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，勾股定理等知识，熟记翻折前后两个图形能够重合得到相等的线段和角是解题的关键．
【典例6-3】如图，在矩形中，已知．

(1)如图①，将矩形沿对角线折叠，使得点C落在点处，与相交于点E，则与的数量关系是 ___________；
(2)如图②，点E，F分别是边上的点，将折叠，使得点B正好落在边上的点，过作，交于点G．若，求的长．
(3)如图③，点E，F分别是边上的点，将折叠，使得点B正好落在边上的点，当点E，F分别在上移动时，点也在边上随之移动，请直接写出的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据平行线的性质和折叠的性质得出的等腰三角形即可得出结论；
（2）设，由翻折知，根据平行线的性质和等腰三角形的判定得出，，由勾股定理求出x，然后计算即可；
（3）当点E和点A重合时得出的最小值，当点F与点C重合时求出的最大值即可．
【详解】（1）解：由折叠知，，
，
，
，
即是等腰三角形，
，
故答案为：；
（2），
，
四边形是矩形，
，
由折叠知，，
，
∴
，
设，
则，
由勾股定理得，，
即，
解得：，
；
（3）由题意知，当点E和点A重合时得出的最小值，
此时，
当点F与点C重合时求出的最大值，
此时，
的取值范围为．
【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握矩形的性质．
针对训练6
【变式6-1】如图，将长为8，宽为4的矩形折叠，使点与点重合，求的长．

【答案】．3
【分析】设，在中用勾股定理列方程即可求出的长．
【详解】解：矩形折叠，使点与点重合，折痕为，
，
设，则，
在中，，
，
解得，
．
【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，解题的关键是利用勾股定理列方程求出．
【变式6-2】如图，将矩形沿对角线翻折，点C落在处，交于点E，
(1)过点作交于点F，连接．求证：四边形是菱形；
(2)若，，求线段的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据和矩形沿对角线翻折，得到可证四边形是平行四边形，即可得到证明；
（2）根据折叠可得，，再因为，可得，设，在中，根据勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵将矩形沿对角线翻折，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形；
（2）解：∵将矩形沿对角线翻折，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
设，则，
在中，根据勾股定理得：
，
解得，
∴，
∴线段的长为．
【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，灵活运用所学知识是解题关键．
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