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2023 年四川省宜宾市中考数学试卷附解析
一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 4 分，共 48 分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡对应题目上．
1．（4分）2的相反数是（ ）
A．﹣2 B． C．2 D．
2．（4分）下列计算正确的是（ ）
A．4a﹣2a＝2 B．2ab+3ba＝5ab
C．a+a2＝a3 D．5x2y﹣3xy2＝2xy
3．（4分）下列图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（4分）为积极践行节能减排的发展理念，宜宾大力推进“电动宜宾”工程，2022年城区
已建成充电基础设施接口超过 8500个．将 8500用科学记数法表示为（ ）
A．0.85×104 B．85×102 C．8.5×103 D．8.5×104
5．（4分）如图，AB∥CD，且∠A＝40°，∠D＝24°，则∠E等于（ ）
A．40° B．32° C．24° D．16°
6．（4分）“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何”是《孙子算经》
卷中著名数学问题．意思是：鸡兔同笼，从上面数，有 35个头；从下面数，有 94条腿．问
鸡兔各有多少只？若设鸡有 x只，兔有 y只，则所列方程组正确的是（ ）
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A． B．
C． D．
7．（4 分）如图，已知点 A，B，C在⊙O上，C为 的中点．若∠BAC＝35°，则∠AOB
等于（ ）
A．140° B．120° C．110° D．70°
8．（4分）分式方程 ＝ 的解为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
9．（4分）《梦溪笔谈》是我国古代科技著作，其中它记录了计算圆弧长度的“会圆术”．如
图， 是以点 O为圆心、OA为半径的圆弧，N是 AB的中点．MN⊥AB．“会圆术”给
出 的弧长 l的近似值计算公式：l＝AB+ ．当 OA＝4，∠AOB＝60°时，则 l的值
为（ ）
A．11﹣2 B．11﹣4 C．8﹣2 D．8﹣4
10．（4分）如图，边长为 6的正方形 ABCD中，M为对角线 BD上的一点，连接 AM并延
长交 CD于点 P，若 PM＝PC，则 AM的长为（ ）
第 2页（共 39页）
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A．3（ ﹣1） B．3（3 ﹣2） C．6（ ﹣1） D．6（3 ﹣2）
11．（4分）如图，在平面直角坐标系 xOy中，点 A、B分别在 y、x轴上，BC⊥x轴，点 M、
N分别在线段 BC、AC上，BM＝CM，NC＝2AN，反比例函数 y＝ （x＞0）的图象经过
M、N两点，P为 x轴正半轴上一点，且 OP：BP＝1：4，△APN的面积为 3，则 k的值
为（ ）
A． B． C． D．
12．（4分）如图，△ABC和△ADE是以点 A为直角顶点的等腰直角三角形，把△ADE以 A
为中心顺时针旋转，点 M为射线 BD、CE的交点．若 AB＝ ，AD＝1．以下结论：①
BD＝CE；②BD⊥CE；③当点 E在 BA的延长线上时，MC＝ ；④在旋转过程中，
当线段 MB最短时，△MBC的面积为 ．其中正确结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题：本大题共 6 个小题，每小题 4 分，共 24 分，请把答案直接填在答题卡对应题
中横线上.
第 3页（共 39页）
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13．（4分）在“庆五四 展风采”的演讲比赛中，7位同学参加决赛，演讲成绩依次为：77，
80，79，77，80，79，80．这组数据的中位数是 ．
14．（4分）分解因式：x3﹣6x2+9x＝ ．
15．（4分）若关于 x的方程 x2﹣2（m+1）x+m+4＝0两根的倒数和为 1，则 m的值为 ．
16．（4 分）若关于 x 的不等式组 所有整数解的和为 14，则整数 a 的值
为 ．
17．（4分）如图，M是正方形 ABCD边 CD的中点，P是正方形内一点，连接 BP，线段 BP
以 B为中心逆时针旋转 90°得到线段 BQ，连接 MQ．若 AB＝4，MP＝1，则 MQ的最小
值为 ．
18．（4分）如图，抛物线 y＝ax2+bx+c经过点 A（﹣3，0），顶点为 M（﹣1，m），且抛物
线与 y轴的交点 B在（0，﹣2）与（0，﹣3）之间（不含端点），则下列结论：①当﹣3
≤x≤1时，y≤0；②当△ABM的面积为 时，a＝ ；③当△ABM为直角三角形
时，在△AOB内存在唯一一点 P，使得 PA+PO+PB的值最小，最小值的平方为 18+9 ．其
中正确的结论是 ．（填写所有正确结论的序号）
三、解答题：本大题共 7 个小题，共 78 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（10分）（1）计算：2tan45°+（﹣ ）0+| ﹣1|．
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（2）化简：（ ﹣ ）÷ ．
20．（10分）已知：如图，AB∥DE，AB＝DE，AF＝DC．求证：∠B＝∠E．
21．（10分）某校举办“我劳动，我快乐，我光荣”活动．为了解该校九年级学生周末在家
的劳动情况，随机调查了九年级 1班的所有学生在家劳动时间（单位：小时），并进行了
统计和整理，绘制如图所示的不完整统计图．根据图表信息回答以下问题：
类别 劳动时间
x
A 0≤x＜1
B 1≤x＜2
C 2≤x＜3
D 3≤x＜4
E 4≤x
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（1）九年级 1班的学生共有 人，补全条形统计图；
（2）若九年级学生共有 800人，请估计周末在家劳动时间在 3小时及以上的学生人数；
（3）已知 E类学生中恰好有 2名女生 3名男生，现从中抽取两名学生做劳动交流，请用
列表或画树状图的方法，求所抽的两名学生恰好是一男一女的概率．
22．（10分）渝昆高速铁路的建成，将会显著提升宜宾的交通地位．渝昆高速铁路宜宾临港
长江公铁两用大桥（如图 1），桥面采用国内首创的公铁平层设计．为测量左桥墩底到桥
面的距离 CD，如图 2．在桥面上点 A处，测得 A到左桥墩 D的距离 AD＝200米，左桥
墩所在塔顶 B的仰角∠BAD＝45°，左桥墩底 C的俯角∠CAD＝15°，求 CD的长度．（结
果精确到 1米．参考数据： ≈1.4， ≈1.73）
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23．（12分）如图，在平面直角坐标系 xOy中，等腰直角三角形 ABC的直角顶点 C（3，0），
顶点 A、B（6，m）恰好落在反比例函数 y＝ 第一象限的图象上．
（1）分别求反比例函数的表达式和直线 AB所对应的一次函数的表达式；
（2）在 x轴上是否存在一点 P，使△ABP周长的值最小．若存在，求出最小值；若不存
在，请说明理由．
24．（12分）如图，以 AB为直径的⊙O上有两点 E、F， ＝ ，过点 E作直线 CD⊥AF
交 AF的延长线于点 D，交 AB的延长线于点 C，过 C作 CM平分∠ACD交 AE于点 M，
交 BE于点 N．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）求证：EM＝EN；
（3）如果 N是 CM的中点，且 AB＝9 ，求 EN的长．
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25．（14分）如图，抛物线 y＝ax2+bx+c与 x轴交于点 A（﹣4，0）、B（2，0），且经过点 C
（﹣2，6）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）在 x轴上方的抛物线上任取一点 N，射线 AN、BN分别与抛物线的对称轴交于点 P、
Q，点 Q关于 x轴的对称点为 Q′，求△APQ′的面积；
（3）点 M是 y轴上一动点，当∠AMC最大时，求 M的坐标．
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2023 年四川省宜宾市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 4 分，共 48 分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡对应题目上．
1．（4分）2的相反数是（ ）
A．﹣2 B． C．2 D．
【答案】A
【分析】根据相反数的概念解答即可．
【解答】解：2的相反数是﹣2，
故选：A．
【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号；
一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是 0．
2．（4分）下列计算正确的是（ ）
A．4a﹣2a＝2 B．2ab+3ba＝5ab
C．a+a2＝a3 D．5x2y﹣3xy2＝2xy
【答案】B
【分析】根据合并同类项的运算法则将各项计算后进行判断即可．
【解答】解：A．4a﹣2a＝（4﹣2）a＝2a，则 A不符合题意；
B．2ab+3ba＝（2+3）ab＝5ab，则 B符合题意；
C．a与 a2不是同类项，无法合并，则 C不符合题意；
D．5x2y与 3xy2不是同类项，无法合并，则 D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查合并同类项，其运算法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
3．（4分）下列图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
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C． D．
【答案】D
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐项判断即可求解．
【解答】解：A、该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、该图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、该图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，熟练掌握如果一个图形沿
着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图
形绕着某个点旋转 180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中
心对称图形是解题的关键．
4．（4分）为积极践行节能减排的发展理念，宜宾大力推进“电动宜宾”工程，2022年城区
已建成充电基础设施接口超过 8500个．将 8500用科学记数法表示为（ ）
A．0.85×104 B．85×102 C．8.5×103 D．8.5×104
【答案】C
【分析】将一个数表示为 a×10n的形式，其中 1≤|a|＜10，n为整数，这种记数方法叫做
科学记数法，据此即可得出答案．
【解答】解：8500＝8.5×103，
故选：C．
【点评】本题考查科学记数法表示较大的数，科学记数法是基础且重要知识点，必须熟
练掌握．
5．（4分）如图，AB∥CD，且∠A＝40°，∠D＝24°，则∠E等于（ ）
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A．40° B．32° C．24° D．16°
【答案】D
【分析】由 AB∥CD，得∠ACD＝∠A＝40°，而∠D＝24°，故∠E＝16°．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠ACD＝∠A＝40°，
∵∠ACD＝∠D+∠E，∠D＝24°，
∴40°＝24°+∠E，
∴∠E＝16°，
故选：D．
【点评】本题考查平行线的性质，解题的关键是掌握平行线性质和三角形一个外角等于
与它不相邻的两个内角的和．
6．（4分）“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何”是《孙子算经》
卷中著名数学问题．意思是：鸡兔同笼，从上面数，有 35个头；从下面数，有 94条腿．问
鸡兔各有多少只？若设鸡有 x只，兔有 y只，则所列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据鸡有两条腿，兔子有四条腿，共有 35个头，94条腿，列出二元一次方程组
即可．
【解答】解：由题意得： ，
故选：B．
【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一
次方程组是解题的关键．
7．（4 分）如图，已知点 A，B，C在⊙O上，C为 的中点．若∠BAC＝35°，则∠AOB
等于（ ）
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A．140° B．120° C．110° D．70°
【答案】A
【分析】连接 OC，由∠BAC＝35°，得∠BOC＝2∠BAC＝70°，又 C为 的中点．故
∠AOC＝∠BOC＝70°，即知∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝140°．
【解答】解：连接 OC，如图：
∵∠BAC＝35°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝70°，
∵C为 的中点．
∴ ＝ ，
∴∠AOC＝∠BOC＝70°，
∴∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝140°，
故选：A．
【点评】本题考查圆的性质及应用，解题的关键是掌握圆周角定理和圆心角，弧的关系．
8．（4分）分式方程 ＝ 的解为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】先去分母化为整式方程，解出 x的值，再检验即可．
【解答】解：两边同时乘以（x﹣3）得：x﹣2＝2，
解得 x＝4，
第 12页（共 39页）
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把 x＝4代入最简公分母得：
x﹣3＝4﹣3＝1≠0，
∴x＝4是原方程的解，
故选：C．
【点评】本题考查解分式方程，解题的关键是掌握将分式方程化为整式方程的方法，注
意要检验．
9．（4分）《梦溪笔谈》是我国古代科技著作，其中它记录了计算圆弧长度的“会圆术”．如
图， 是以点 O为圆心、OA为半径的圆弧，N是 AB的中点．MN⊥AB．“会圆术”给
出 的弧长 l的近似值计算公式：l＝AB+ ．当 OA＝4，∠AOB＝60°时，则 l的值
为（ ）
A．11﹣2 B．11﹣4 C．8﹣2 D．8﹣4
【答案】B
【分析】连接 ON，根据 是以 O为圆心，OA为半径的圆弧，N是 AB的中点，MN⊥
AB，知 ON⊥AB，M，N，O共线，由 OA＝4，∠AOB＝60°，知△AOB是等边三角形，
得 ON＝OA sin60°＝2 ，即得 MN＝OM﹣ON＝4﹣2 ，故 l＝AB+ ＝
4+ ＝11﹣4 ．
【解答】解：连接 ON，如图：
第 13页（共 39页）
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∵ 是以 O为圆心，OA为半径的圆弧，N是 AB的中点，MN⊥AB，
∴ON⊥AB，
∴M，N，O共线，
∵OA＝4，∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA＝AB＝4，∠OAN＝60°，
∴ON＝OA sin60°＝2 ，
∴MN＝OM﹣ON＝4﹣2 ，
∴l＝AB+ ＝4+ ＝11﹣4 ；
故选：B．
【点评】本题考查弧长的计算，解题的关键是读懂题意，作出辅助线求 ON的长度．
10．（4分）如图，边长为 6的正方形 ABCD中，M为对角线 BD上的一点，连接 AM并延
长交 CD于点 P，若 PM＝PC，则 AM的长为（ ）
A．3（ ﹣1） B．3（3 ﹣2） C．6（ ﹣1） D．6（3 ﹣2）
【答案】C
【分析】以 B为原点，BC所在直线为 x轴建立直角坐标系，由正方形 ABCD边长为 6，
可知 A（0，6），D（6，6），C（6，0），直线 BD解析式为 y＝x，设 M（m，m），可得直
线 AM解析式为 y＝ x+6，即得 P（6， ），由 PM＝PC，有（m﹣6）2+（m
﹣ ）2＝（ ）2，解得 m＝9+3 （不符合题意，舍去）或 m＝9﹣3 ，
故 M（9﹣3 ，9﹣3 ），从而求出 AM＝6（ ﹣1）．
【解答】解：以 B为原点，BC所在直线为 x轴建立直角坐标系，如图：
第 14页（共 39页）
{#{QQABJY6QggCIQBAAAQACEwVQCgCQkgEAAIgOhAAQoEIBCQFABAA=}#}
∵正方形 ABCD边长为 6，
∴A（0，6），D（6，6），C（6，0），
由 B（0，0），D（6，6）可得直线 BD解析式为 y＝x，
设 M（m，m），
由 A（0，6），M（m，m）得直线 AM解析式为 y＝ x+6，
在 y＝ x+6中，令 x＝6得 y＝ ，
∴P（6， ），
∵PM＝PC，
∴（m﹣6）2+（m﹣ ）2＝（ ）2，
∴m2﹣12m+36+m2﹣2（12m﹣36）+（ ）2＝（ ）2，
整理得 m2﹣18m+54＝0，
解得 m＝9+3 （不符合题意，舍去）或 m＝9﹣3 ，
∴M（9﹣3 ，9﹣3 ），
∴AM＝ ＝6（ ﹣1），
故选：C．
方法 2：
∵PM＝PC，
∴∠PMC＝∠PCM，
∴∠DPA＝∠PMC+∠PCM＝2∠PCM＝2∠PAD，
∵∠DPA+∠PAD＝90°，
∴∠APD＝60°，∠PAD＝30°，
第 15页（共 39页）
{#{QQABJY6QggCIQBAAAQACEwVQCgCQkgEAAIgOhAAQoEIBCQFABAA=}#}
∴PD＝ ＝2 ，∠CPM＝120°，
∴CP＝CD﹣PD＝6﹣2 ，
在△PCM中，∠CPM＝120°，PM＝PC，
∴CM＝ CP＝6 ﹣6，
由正方形对称性知 AM＝CM＝6（ ﹣1），
故选：C．
【点评】本题考查正方形性质及应用，解题的关键是建立直角坐标系，求出 M的坐标．
11．（4分）如图，在平面直角坐标系 xOy中，点 A、B分别在 y、x轴上，BC⊥x轴，点 M、
N分别在线段 BC、AC上，BM＝CM，NC＝2AN，反比例函数 y＝ （x＞0）的图象经过
M、N两点，P为 x轴正半轴上一点，且 OP：BP＝1：4，△APN的面积为 3，则 k的值
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】过点 N作 NQ⊥x轴于点 Q，过 C作 CT⊥y轴交 y轴于 T，交 NQ于 K，设 OA
＝a，OP＝b，BM＝c，N（m，n），由 OP：BP＝1：4，BM＝CM，得 A（0，a），B（5b，
0），M（5b，c），C（5b，2c），又△NKC∽△ATC，NC＝2AN，可得 CK＝2TK，NK＝ AT，
即 ，得 ，故 ，根据△APN的面积为 3，
有 ，得 2ab+bc＝9，将点 M（5b，c），
代入 ，整理得：2a＝7c，代入 2ab+bc＝9 得 ，从而
．
【解答】解：如图，过点 N作 NQ⊥x轴于点 Q，过 C作 CT⊥y轴交 y轴于 T，交 NQ于
第 16页（共 39页）
{#{QQABJY6QggCIQBAAAQACEwVQCgCQkgEAAIgOhAAQoEIBCQFABAA=}#}
K，
设 OA＝a，OP＝b，BM＝c，N（m，n），
∵OP：BP＝1：4，BM＝CM，
∴A（0，a），B（5b，0），M（5b，c），C（5b，2c），
∵∠NCK＝∠ACT，∠NKC＝90°＝∠ATC，
∴△NKC∽△ATC，
∴ ＝ ＝ ，
∵NC＝2AN，
∴CK＝2TK，NK＝ AT，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵△APN的面积为 3，
∴S 梯形OANQ﹣S△AOP﹣S△NPQ＝3，
∴ ，
∴2ab+bc＝9，
第 17页（共 39页）
{#{QQABJY6QggCIQBAAAQACEwVQCgCQkgEAAIgOhAAQoEIBCQFABAA=}#}
将点 M（5b，c）， 代入 得：
，
整理得：2a＝7c，
将 2a＝7c代入 2ab+bc＝9得：7bc+bc＝9，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
【点评】本题考查反比例函数的图象上点坐标的特征，解题的关键是用含字母的式子表
示相关点坐标和相关线段的长度．
12．（4分）如图，△ABC和△ADE是以点 A为直角顶点的等腰直角三角形，把△ADE以 A
为中心顺时针旋转，点 M为射线 BD、CE的交点．若 AB＝ ，AD＝1．以下结论：①
BD＝CE；②BD⊥CE；③当点 E在 BA的延长线上时，MC＝ ；④在旋转过程中，
当线段 MB最短时，△MBC的面积为 ．其中正确结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】证明△BAD≌△CAE可判断①，由三角形的外角的性质可判断②，证明∠DCM
∽∠ECA，有 ，即可判断③；以 A为圆心，AD为半径画圆，当 CE在⊙A
的下方与⊙A相切时，MB 的值最小，可得四边形 AEMD是正方形，在 Rt△MBC中，
，然后根据三角形的面积公式可判断④．
【解答】解：∵△ABC和△ADE是以点 A为直角顶点的等腰直角三角形，
∴BA＝CA，DA＝EA，∠BAC＝∠DAE＝90°，
第 18页（共 39页）
{#{QQABJY6QggCIQBAAAQACEwVQCgCQkgEAAIgOhAAQoEIBCQFABAA=}#}
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，故①正确；
设∠ABD＝∠ACE＝x，∠DBC＝45°﹣x，
∴∠EMB＝∠DBC+∠BCM＝∠DBC+∠BCA+∠ACE＝45°﹣x+45°+x＝90°，
∴BD⊥CE，故②正确；
当点 E在 BA的延长线上时，如图：
同理可得∠DMC＝90°，
∴∠DMC＝∠EAC，
∵∠DCM＝∠ECA，
∴∠DCM∽△ECA
∴ ，
∵ ＝AC，AD＝1＝AE，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，故③正确；
④以 A为圆心，AD为半径画圆，如图：
∵∠BMC＝90°，
∴当 CE在⊙A的下方与⊙A相切时，MB的值最小，
∴∠ADM＝∠DME＝∠AEM＝90°，
第 19页（共 39页）
{#{QQABJY6QggCIQBAAAQACEwVQCgCQkgEAAIgOhAAQoEIBCQFABAA=}#}
∵AE＝AD，
∴四边形 AEMD是正方形，
∴MD＝AE＝1，
∵BD＝ ＝ ＝ ，
∴CE＝BD＝ ，BM＝BD﹣MD＝ ﹣1，
∴MC＝CE+ME＝ +1，
∵BC＝ AB＝ ，
∴MB＝ ＝ ＝ +1，
∴△MBC的面积为 ×（ +1）×（ ﹣1）＝ ，故④正确，
故选：D．
【点评】本题考查等腰直角三角形的旋转问题，涉及全等三角形的判定与性质，相似三
角形的判定与性质，最短路径等知识，解题的关键是掌握旋转的性质．
二、填空题：本大题共 6 个小题，每小题 4 分，共 24 分，请把答案直接填在答题卡对应题
中横线上.
13．（4分）在“庆五四 展风采”的演讲比赛中，7位同学参加决赛，演讲成绩依次为：77，
80，79，77，80，79，80．这组数据的中位数是 79 ．
【答案】79．
【分析】将已知数据按照从小到大排列，再找中间的数即可．
【解答】解：将这组数据从小到大排列为：77，77，79，79，80，80，80，位置在中间
的数是 79，
∴这组数据的中位数是 79；
故答案为：79．
【点评】本题考查中位数，解题的关键是将已知数据按照从小到大（或从大到小）的顺
序排列后找中间的数．
14．（4分）分解因式：x3﹣6x2+9x＝ x（x﹣3）2 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】先提取公因式 x，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
【解答】解：x3﹣6x2+9x，
第 20页（共 39页）
{#{QQABJY6QggCIQBAAAQACEwVQCgCQkgEAAIgOhAAQoEIBCQFABAA=}#}
＝x（x2﹣6x+9），
＝x（x﹣3）2．
故答案为：x（x﹣3）2．
【点评】本题考查提公因式法分解因式和利用完全平方公式分解因式，关键在于需要进
行二次分解因式．
15．（4 分）若关于 x 的方程 x2﹣2（m+1）x+m+4＝0 两根的倒数和为 1，则 m 的值为
2 ．
【答案】2．
【分析】设关于 x的方程 x2﹣2（m+1）x+m+4＝0两根为α，β，可得α+β＝2（m+1），αβ
＝m+4，根据两根的倒数和为 1，有 ＝1，即 ＝1，得 m＝2，再检验可得
答案．
【解答】解：设关于 x的方程 x2﹣2（m+1）x+m+4＝0两根为α，β，
∴α+β＝2（m+1），αβ＝m+4，
∵两根的倒数和为 1，
∴ + ＝1，
∴ ＝1，
∴ ＝1，
解得 m＝2，
经检验，m＝2是分式方程的解，
当 m＝2时，原方程为 x2﹣6x+6＝0，
Δ＝12＞0，
∴m＝2符合题意，
故答案为：2．
【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程根与
系数的关系，注意最后需要检验原方程是否有实数根．
16．（4分）若关于 x的不等式组 所有整数解的和为 14，则整数 a的值为 2
或﹣1 ．
第 21页（共 39页）
{#{QQABJY6QggCIQBAAAQACEwVQCgCQkgEAAIgOhAAQoEIBCQFABAA=}#}
【答案】2或﹣1．
【分析】求出 a﹣1＜x≤5，根据所有整数解的和为 14，列出关于 a的不等式组，解得 a
的范围，即可求得答案．
【解答】解： ，
解不等式①得：x＞a﹣1，
解不等式②得：x≤5，
∴a﹣1＜x≤5，
∵所有整数解的和为 14，
∴不等式组的整数解为 5，4，3，2或 5，4，3，2，1，0，﹣1，
∴1≤a﹣1＜2或﹣2≤a﹣1＜﹣1，
∴2≤a＜3或﹣1≤a＜0，
∵a为整数，
∴a＝2或 a＝﹣1，
故答案为：2或﹣1．
【点评】本题考查不等式组的整数解，解题的关键是根据题意列出关于 a的不等式组．
17．（4分）如图，M是正方形 ABCD边 CD的中点，P是正方形内一点，连接 BP，线段 BP
以 B为中心逆时针旋转 90°得到线段 BQ，连接 MQ．若 AB＝4，MP＝1，则 MQ的最小
值为 2 ﹣1 ．
【答案】2 ﹣1．
【分析】连接 BM，将△BCM绕 B逆时针旋转 90°得△BEF，连接 MF，QF，证明△BPM
≌△BBQF（SAS），得 MP＝QF＝1，故 Q的运动轨迹是以 F为圆心，1为半径的弧，求
出 BM＝ ＝2 ，可得 MF＝ BM＝2 ，由 MQ≥MF﹣QF，知 MQ≥
2 ﹣1，从而可得 MQ的最小值为 2 ﹣1．
【解答】解：连接 BM，将△BCM绕 B逆时针旋转 90°得△BEF，连接 MF，QF，如图：
第 22页（共 39页）
{#{QQABJY6QggCIQBAAAQACEwVQCgCQkgEAAIgOhAAQoEIBCQFABAA=}#}
∵∠CBE＝90°，∠ABC＝90°，
∴∠ABC+∠CBE＝180°，
∴A，B，E共线，
∵∠PBM＝∠PBQ﹣∠MBQ＝90°﹣∠MBQ＝∠FBQ，
由旋转性质得 PB＝QB，MB＝FB，
∴△BPM≌△BBQF（SAS），
∴MP＝QF＝1，
∴Q的运动轨迹是以 F为圆心，1为半径的弧，
∵BC＝AB＝4，CM＝ CD＝2，
∴BM＝ ＝2 ，
∵∠MBF＝90°，BM＝BF，
∴MF＝ BM＝2 ，
∵MQ≥MF﹣QF，
∴MQ≥2 ﹣1，
∴MQ的最小值为 2 ﹣1．
故答案为：2 ﹣1．
【点评】本题考查正方形中的旋转问题，解题的关键是掌握性质的性质，正确作出辅助
线构造全等三角形解决问题．
18．（4分）如图，抛物线 y＝ax2+bx+c经过点 A（﹣3，0），顶点为 M（﹣1，m），且抛物
线与 y轴的交点 B在（0，﹣2）与（0，﹣3）之间（不含端点），则下列结论：①当﹣3
≤x≤1时，y≤0；②当△ABM的面积为 时，a＝ ；③当△ABM为直角三角形
时，在△AOB内存在唯一一点 P，使得 PA+PO+PB的值最小，最小值的平方为 18+9 ．其
第 23页（共 39页）
{#{QQABJY6QggCIQBAAAQACEwVQCgCQkgEAAIgOhAAQoEIBCQFABAA=}#}
中正确的结论是 ①② ．（填写所有正确结论的序号）
【答案】①②．
【分析】①根据抛物线的对称性可得：抛物线与 x轴的另一个交点坐标为（1，0），再
结合抛物线的性质可判断结论①；
②将（﹣3，0），（1，0）代入 y＝ax2+bx+c，可得 b＝2a，c＝﹣3a，得出 y＝ax2+2ax﹣
3a＝a（x+1）2﹣4a，抛物线的顶点为 M（﹣1，﹣4a），设抛物线对称轴交 x轴于 H，利
用 S△ABM＝S△AMH+S 梯形 BMHO﹣S△AOB，建立方程求解即可判断②；
③根据△ABM为直角三角形，利用勾股定理求得 a＝ ，将△BPA绕点 B逆时针旋转
60°得到△BP′A′，连接 PP′，过点 A′作 A′T⊥x轴于点 T，作 A′Q⊥y轴于点 Q，
可得△BPP′和△ABA′是等边三角形，即 AA′＝A′B＝AB＝ ，由于 PA+PO+PB＝
P′A′+PO+PP′，可得当点 O，点 P，点 P′，点 A′共线时，PA+PO+PB值最小，最
小值为 OA′，设 A′（m，n），列方程组 ，求解即可求得
m、n，再利用 OA′2＝m2+n2，即可判断③．
【解答】解：①∵抛物线 y＝ax2+bx+c经过点 A（﹣3，0），顶点为 M（﹣1，m），
∴抛物线的对称轴为直线 x＝﹣1，
∴抛物线与 x轴的另一个交点坐标为（1，0），
∵抛物线的开口向上，
∴当﹣3≤x≤1时，y≤0；故①正确．
②将（﹣3，0），（1，0）代入 y＝ax2+bx+c，得 ，
解得： ，
∴y＝ax2+2ax﹣3a＝a（x+1）2﹣4a，
∴抛物线的顶点为 M（﹣1，﹣4a），
第 24页（共 39页）
{#{QQABJY6QggCIQBAAAQACEwVQCgCQkgEAAIgOhAAQoEIBCQFABAA=}#}
设抛物线对称轴交 x轴于 H，如图，
则 H（﹣1，0），
∴AH＝﹣1﹣（﹣3）＝2，MH＝4a，OH＝1，
∵B（0，﹣3a），
∴OB＝3a，
∴S△ABM＝S△AMH+S 梯形 BMHO﹣S△AOB＝ AH MH+ （MH+OB） OH﹣ OA OB＝ ×
2×4a+ ×（4a+3a）×1﹣ ×3×3a＝3a，
∵S△ABM＝ ，
∴3a＝ ，
∴a＝ ；故②正确．
③∵A（﹣3，0），B（0，﹣3a），M（﹣1，﹣4a），
∴AB2＝OA2+OB2＝32+（3a）2＝9+9a2，AM2＝AH2+MH2＝4+16a2，BM2＝1+a2，
若∠AMB＝90°，则 AM2+BM2＝AB2，
即 4+16a2+1+a2＝9+9a2，
解得：a＝ ，或 a＝﹣ （舍去）；
若∠ABM＝90°，则 AB2+BM2＝AM2，
即 9+9a2+1+a2＝4+16a2，
解得：a＝1，或 a＝﹣1（舍去）；
若∠BAM＝90°，则 AB2+AM2＝BM2，
第 25页（共 39页）
{#{QQABJY6QggCIQBAAAQACEwVQCgCQkgEAAIgOhAAQoEIBCQFABAA=}#}
即 9+9a2+4+16a2＝1+a2，
整理得：a2＝﹣ （无解）；
∵点 B在（0，﹣2）与（0，﹣3）之间（不含端点），
∴﹣3＜﹣3a＜﹣2，
∴ ＜a＜1，
∴a＝ ，
∴OB＝ ，AB2＝ ，
如图，将△BPA绕点 B逆时针旋转 60°得到△BP′A′，连接 PP′，过点 A′作 A′T
⊥x轴于点 T，作 A′Q⊥y轴于点 Q，
∴BP＝BP′，PA＝P′A′，∠PBP′＝∠ABA′＝60°，
∴△BPP′和△ABA′是等边三角形，
∴BP＝PP′，AA′＝A′B＝AB＝ ，
∴PA+PO+PB＝P′A′+PO+PP′，
∴当点 O，点 P，点 P′，点 A′共线时，PA+PO+PB值最小，最小值为 OA′，
此时∠APB＝∠APO＝∠BPO＝120°，
设 A′（m，n），
则 A′T＝﹣n，AT＝﹣3﹣m，A′Q＝﹣m，BQ＝﹣n﹣ ，
在 Rt△AA′T中，AT2+A′T2＝AA′2，
在 Rt△BA′Q中，BQ2+A′Q2＝A′B2，
第 26页（共 39页）
{#{QQABJY6QggCIQBAAAQACEwVQCgCQkgEAAIgOhAAQoEIBCQFABAA=}#}
即 ，
解得： ，
∴OA′2＝m2+n2＝（ ）2+（ ）2＝ ，
故③错误；
故答案为：①②．
【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法，三角形面积，勾股定理，旋
转变换的应用，等边三角形的判定和性质等，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造
特殊三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
三、解答题：本大题共 7 个小题，共 78 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（10分）（1）计算：2tan45°+（﹣ ）0+| ﹣1|．
（2）化简：（ ﹣ ）÷ ．
【答案】（1）2+ ；
（2） ．
【分析】（1）先把特殊角三角函数值代入，计算零指数幂，去绝对值，再合并即可；
（2）通分先算括号内的，把除化为乘，再将分子，分母分解因式约分即可．
【解答】解：（1）原式＝2×1+1+ ﹣1
＝2+1+ ﹣1
＝2+ ；
（2）原式＝
＝
＝ ．
【点评】本题考查实数的运算和分式的混合运算，解题的关键是掌握实数相关运算的法
则和分式的基本性质．
20．（10分）已知：如图，AB∥DE，AB＝DE，AF＝DC．求证：∠B＝∠E．
第 27页（共 39页）
{#{QQABJY6QggCIQBAAAQACEwVQCgCQkgEAAIgOhAAQoEIBCQFABAA=}#}
【答案】证明见解答过程．
【分析】由 AF＝DC，得 AC＝DF，由 AB∥DE，得∠A＝∠D，即可证△ABC≌△DEF
（SAS），故∠B＝∠E．
【解答】证明：∵AF＝DC，
∴AF+CF＝DC+CF，即 AC＝DF，
∵AB∥DE，
∴∠A＝∠D，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴∠B＝∠E．
【点评】本题考查三角形全等的判定与性质，解题的关键是掌握三角形全等的判定定理．
21．（10分）某校举办“我劳动，我快乐，我光荣”活动．为了解该校九年级学生周末在家
的劳动情况，随机调查了九年级 1班的所有学生在家劳动时间（单位：小时），并进行了
统计和整理，绘制如图所示的不完整统计图．根据图表信息回答以下问题：
类别 劳动时间
x
A 0≤x＜1
B 1≤x＜2
C 2≤x＜3
D 3≤x＜4
E 4≤x
第 28页（共 39页）
{#{QQABJY6QggCIQBAAAQACEwVQCgCQkgEAAIgOhAAQoEIBCQFABAA=}#}
（1）九年级 1班的学生共有 50 人，补全条形统计图；
（2）若九年级学生共有 800人，请估计周末在家劳动时间在 3小时及以上的学生人数；
（3）已知 E类学生中恰好有 2名女生 3名男生，现从中抽取两名学生做劳动交流，请用
列表或画树状图的方法，求所抽的两名学生恰好是一男一女的概率．
【答案】（1）50，补全条形统计图见解答；
（2）估计周末在家劳动时间在 3小时及以上的学生人数为 208人；
（3）所抽的两名学生恰好是一男一女的概率是 ．
【分析】（1）由 C的人数及对应的百分数可得九年级 1班的学生共有 50人；求出 B的
人数为 14人，D的人数为 8人，再补全条形统计图；
（2）用样本估计总体的方法可得答案；
（3）列树状图用概率公式可得答案．
【解答】解：（1）∵15÷30%＝50（人），
∴九年级 1班的学生共有 50人；
∴B的人数为 50×28%＝14（人），
∴D的人数为 50﹣8﹣14﹣15﹣5＝8（人），
补全条形统计图如下：
故答案为：50；
（2）∵800× ＝208（人），
第 29页（共 39页）
{#{QQABJY6QggCIQBAAAQACEwVQCgCQkgEAAIgOhAAQoEIBCQFABAA=}#}
∴估计周末在家劳动时间在 3小时及以上的学生人数为 208人；
（3）列树状图如下：
由图可知，一共有 20中等可能的情况，其中恰为一男一女的情况有 12种，
∴所抽的两名学生恰好是一男一女的概率是 P＝ ＝ ．
【点评】本题考查条形统计图，扇形统计图，解题的关键是从图中获取有用的信息和列
树状图求求概率．
22．（10分）渝昆高速铁路的建成，将会显著提升宜宾的交通地位．渝昆高速铁路宜宾临港
长江公铁两用大桥（如图 1），桥面采用国内首创的公铁平层设计．为测量左桥墩底到桥
面的距离 CD，如图 2．在桥面上点 A处，测得 A到左桥墩 D的距离 AD＝200米，左桥
墩所在塔顶 B的仰角∠BAD＝45°，左桥墩底 C的俯角∠CAD＝15°，求 CD的长度．（结
果精确到 1米．参考数据： ≈1.4， ≈1.73）
【答案】CD的长度约为 54米．
【分析】过 C作 CE⊥AB于 E，由∠BAD＝45°，知△ABD是等腰直角三角形，可得∠
ABD＝45°，AD＝BD＝200，AB＝200 （米），故△BCE是等腰直角三角形，∠BCE
＝∠EBC＝45°，BE＝CE，求出∠ACE＝∠ACB﹣∠ECB＝30°，设 AE＝x米，可得 CE
＝ AE＝ x米，BE＝AB﹣AE＝（200 ﹣x）米，有 x＝200 ﹣x，得 x＝100
﹣100 ，再求出 CE＝ x＝300 ﹣100 ，BC＝ CE＝（600﹣200 ）米，即
可得 CD的长度约为 54米．
【解答】解：过 C作 CE⊥AB于 E，如图：
第 30页（共 39页）
{#{QQABJY6QggCIQBAAAQACEwVQCgCQkgEAAIgOhAAQoEIBCQFABAA=}#}
∵∠BAD＝45°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴∠ABD＝45°，AD＝BD＝200，AB＝200 （米），
∴△BCE是等腰直角三角形，
∴∠BCE＝∠EBC＝45°，BE＝CE，
∵∠ACB＝90°﹣∠DAC＝75°，
∴∠ACE＝∠ACB﹣∠ECB＝30°，
设 AE＝x米，则 AC＝2x米，
∴CE＝ AE＝ x米，BE＝AB﹣AE＝（200 ﹣x）米，
∴ x＝200 ﹣x，
解得 x＝100 ﹣100 ，
∴CE＝ x＝300 ﹣100 ，
∴BC＝ CE＝（600﹣200 ）米，
∴CD＝BC﹣BD＝400﹣200 ≈54（米），
∴CD的长度约为 54米．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是掌握含特殊角的直角三角形三边
的关系．
23．（12分）如图，在平面直角坐标系 xOy中，等腰直角三角形 ABC的直角顶点 C（3，0），
顶点 A、B（6，m）恰好落在反比例函数 y＝ 第一象限的图象上．
（1）分别求反比例函数的表达式和直线 AB所对应的一次函数的表达式；
（2）在 x轴上是否存在一点 P，使△ABP周长的值最小．若存在，求出最小值；若不存
在，请说明理由．
第 31页（共 39页）
{#{QQABJY6QggCIQBAAAQACEwVQCgCQkgEAAIgOhAAQoEIBCQFABAA=}#}
【答案】（1）反比例函数的表达式为 y＝ ，直线 AB所对应的一次函数的表达式为 y＝
﹣ x+4；
（2）在 x轴上存在一点 P，使△ABP周长的值最小，周长的最小值为 4 +2 ．
【分析】（1）过 A作 AT⊥x轴于 T，过 B作 BK⊥x轴于 K，证明△ATC≌△CKB（AAS），
由 C（3，0），B（6，m），可得 A（3﹣m，3），即有 k＝3（3﹣m）＝6m，解得 m＝1，k
＝6，故反比例函数的表达式为 y＝ ，A（2，3），B（6，1），再用待定系数法可得直线
AB所对应的一次函数的表达式为 y＝﹣ x+4；（2）作 A（2，3）关于 x轴的对称点 A'
（2，﹣3），连接 A'B交 x轴于 P，由 A（2，3），B（6，1），得 AB＝2 ，故当 AP+BP
最小时，△ABP周长最小，由 A'（2，﹣3），B（6，1），得 A'B＝
＝4 ，从而可知△ABP周长的最小值为 4 +2 ．
【解答】解：（1）过 A作 AT⊥x轴于 T，过 B作 BK⊥x轴于 K，如图：
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠ACT＝90°﹣∠BCK＝∠CBK，
第 32页（共 39页）
{#{QQABJY6QggCIQBAAAQACEwVQCgCQkgEAAIgOhAAQoEIBCQFABAA=}#}
∵∠ATC＝90°＝∠CKB，
∴△ATC≌△CKB（AAS），
∴AT＝CK，CT＝BK，
∵C（3，0），B（6，m），
∴AT＝CK＝6﹣3＝3，CT＝BK＝m，
∴OT＝3﹣m，
∴A（3﹣m，3），
∵A（3﹣m，3），B（6，m）恰好落在反比例函数 y＝ 第一象限的图象上，
∴k＝3（3﹣m）＝6m，
∴m＝1，k＝6，
∴反比例函数的表达式为 y＝ ，A（2，3），B（6，1），
设直线 AB所对应的一次函数的表达式为 y＝k'x+b，把 A（2，3），B（6，1）代入得：
，
解得 ，
∴直线 AB所对应的一次函数的表达式为 y＝﹣ x+4；
（2）在 x轴上存在一点 P，使△ABP周长的值最小，理由如下：
作 A（2，3）关于 x轴的对称点 A'（2，﹣3），连接 A'B交 x轴于 P，如图：
∵A（2，3），B（6，1），
∴AB＝ ＝2 ，
∴当 AP+BP最小时，△ABP周长最小，
第 33页（共 39页）
{#{QQABJY6QggCIQBAAAQACEwVQCgCQkgEAAIgOhAAQoEIBCQFABAA=}#}
∵A，A'关于 x轴对称，
∴AP＝A'P，
∴当 A'，P，B共线时，AP+BP最小，△ABP周长也最小，
∵A'（2，﹣3），B（6，1），
∴A'B＝ ＝4 ，
∴AP+BP＝A'P+BP＝A'B＝4 ，
∴△ABP周长的最小值为 4 +2 ．
【点评】本题考查反比例函数，一次函数的交点问题，涉及等腰直角三角形性质及应用，
解题的关键是证明△ATC≌△CKB，从而求出 m的值．
24．（12分）如图，以 AB为直径的⊙O上有两点 E、F， ＝ ，过点 E作直线 CD⊥AF
交 AF的延长线于点 D，交 AB的延长线于点 C，过 C作 CM平分∠ACD交 AE于点 M，
交 BE于点 N．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）求证：EM＝EN；
（3）如果 N是 CM的中点，且 AB＝9 ，求 EN的长．
【答案】（1）（2）证明见解答过程；
（3）EN的长为 6．
【分析】（1）连接 OE，由 ＝ ，得∠FAE＝∠EAB，可得∠FAE＝∠AEO，AF∥OE，
又 CD⊥AF，故 OE⊥CD，CD是⊙O的切线；
（2）由∠CEB＝∠EAC（弦切角定理），∠ECM＝∠ACM，可得∠ENM＝∠EMN，EM＝
EN；
（3）证明△EMC∽△BNC，可得 ＝ ＝ ＝2，又△BEC∽△EAC，可得 AE＝2BE，
在 Rt△ABE中，（2BE）2+BE2＝（9 ）2，求出 BE＝9，故 EN＝ BE＝6．
第 34页（共 39页）
{#{QQABJY6QggCIQBAAAQACEwVQCgCQkgEAAIgOhAAQoEIBCQFABAA=}#}
【解答】（1）证明：连接 OE，如图：
∵ ＝ ，
∴∠FAE＝∠EAB，
∵OA＝OE，
∴∠AEO＝∠EAB，
∴∠FAE＝∠AEO，
∴AF∥OE，
∵CD⊥AF，
∴OE⊥CD，
∵OE是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）证明：如图：
由（1）知 CD是⊙O的切线，
∴∠CEB＝∠EAC（弦切角定理），
∵CM平分∠ACD，
∴∠ECM＝∠ACM，
∴∠CEB+∠ECM＝∠EAC+∠ACM，
∴∠ENM＝∠EMN，
∴EM＝EN；
（3）解：如图：
第 35页（共 39页）
{#{QQABJY6QggCIQBAAAQACEwVQCgCQkgEAAIgOhAAQoEIBCQFABAA=}#}
由（2）知 EM＝EN，∠EMN＝∠ENM，
∴∠EMN＝∠BNC，
∵∠ECM＝∠BCN，
∴△EMC∽△BNC，
∴ ＝ ＝ ，
∵N是 CM的中点，
∴ ＝ ＝ ＝2，
∴EM＝2BN，CE＝2BC，
∵∠BEC＝∠EAB，∠BCE＝∠ECA，
∴△BEC∽△EAC，
∴ ＝ ＝ ＝ ，
∴AE＝2BE，
在 Rt△ABE中，AE2+BE2＝AB2，
∴（2BE）2+BE2＝（9 ）2，
∴BE＝9，
∵EN＝EM＝2BN，
∴EN＝ BE＝6．
∴EN的长为 6．
【点评】本题考查切线的判定与性质，圆的性质及应用，涉及三角形相似的判定与性质，
解题的关键是掌握相似三角形的判定定理．
25．（14分）如图，抛物线 y＝ax2+bx+c与 x轴交于点 A（﹣4，0）、B（2，0），且经过点 C
（﹣2，6）．
（1）求抛物线的表达式；
第 36页（共 39页）
{#{QQABJY6QggCIQBAAAQACEwVQCgCQkgEAAIgOhAAQoEIBCQFABAA=}#}
（2）在 x轴上方的抛物线上任取一点 N，射线 AN、BN分别与抛物线的对称轴交于点 P、
Q，点 Q关于 x轴的对称点为 Q′，求△APQ′的面积；
（3）点 M是 y轴上一动点，当∠AMC最大时，求 M的坐标．
【答案】（1）抛物线的表达式为 y＝﹣ x2﹣ x+6；
（2）△APQ′的面积为 ；
（3）M（0，12﹣4 ）．
【分析】（1）用待定系数法可得抛物线的表达式为 y＝﹣ x2﹣ x+6；（2）设抛物线的
对称轴交 x轴于 K，求出抛物线的对称轴为直线 x＝ ＝﹣1，知 K（﹣1，0），AK＝
3，设 N（t，﹣ t2﹣ t+6），可得 AN的函数表达式为 y＝（﹣ t+ ）x﹣3t+6，即得 P
（﹣1，﹣ t+ ），同理可得 Q（﹣1， t+9），可得 Q'坐标为（﹣1，﹣ t﹣9），PQ'＝
﹣ t+ ﹣（﹣ t﹣9）＝ ，从而可求出△APQ′的面积为 ；
（3）当以 AC为弦的⊙T与 y轴相切时，切点即为使∠AMC最大的点 M，设 T（p，q），
由 AT＝CT，A（﹣4，0），C（﹣2，6），得（p+4）2+q2＝（p+2）2+（q﹣6）2，有 q＝
﹣ p+2，故 T（p，﹣ p+2），又 TM＝AT，得 p2＝（p+4）2+（﹣ p+2）2，即可解得
p＝﹣30+12 或 p＝﹣30﹣12 （不符合题意，舍去），从而 M（0，12﹣4 ）．
【解答】解：（1）把 A（﹣4，0）、B（2，0），C（﹣2，6）代入 y＝ax2+bx+c得：
，
第 37页（共 39页）
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解得 ，
∴抛物线的表达式为 y＝﹣ x2﹣ x+6；
（2）设抛物线的对称轴交 x轴于 K，如图：
∵抛物线 y＝ax2+bx+c与 x轴交于点 A（﹣4，0）、B（2，0），
∴抛物线的对称轴为直线 x＝ ＝﹣1，
∴K（﹣1，0），
∴AK＝3，
设 N（t，﹣ t2﹣ t+6），
设 AN的函数表达式为 y＝kx+n，把 A（﹣4，0），N（t，﹣ t2﹣ t+6）代入得：
，
解得 ，
∴AN的函数表达式为 y＝（﹣ t+ ）x﹣3t+6，
在 y＝（﹣ t+ ）x﹣3t+6中，令 x＝﹣1得 y＝﹣ t+ ，
∴P（﹣1，﹣ t+ ），
第 38页（共 39页）
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同理可得 Q（﹣1， t+9），
∴Q关于 x轴的对称点 Q'坐标为（﹣1，﹣ t﹣9），
∴PQ'＝﹣ t+ ﹣（﹣ t﹣9）＝ ，
∴S△APQ'＝ × ×3＝ ；
∴△APQ′的面积为 ；
（3）当△ACM的外接圆与 y轴相切时，切点即为使∠AMC最大的点 M，如图：
∴TM⊥y轴，
设 T（p，q），则 TM＝﹣p，
∵AT＝CT，A（﹣4，0），C（﹣2，6），
∴（p+4）2+q2＝（p+2）2+（q﹣6）2，
∴q＝﹣ p+2，
∴T（p，﹣ p+2），
∵TM＝AT，
∴p2＝（p+4）2+（﹣ p+2）2，
解得 p＝﹣30+12 或 p＝﹣30﹣12 （不符合题意，舍去），
∴﹣ p+2＝﹣ （﹣30+12 ）+2＝12﹣4 ，
∴M（0，12﹣4 ）．
【点评】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，对称变换等知识，
解题的关键是找到使∠AMC最大时的点 M．
第 39页（共 39页）
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