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数学七年级下暑假培优专题训练
专题二、平行线性质判定
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目录
【考点一 平行公理及推论】..................................................1
【考点二 平行线的判定】....................................................4
【考点三 平行线的性质】....................................................7
【考点四 命题定理证明】....................................................9
【考点五 平移】...........................................................11
【聚焦考点1】
知识点一、平行公理及其推论
平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两直线也互相平行。简称平行于同一条直线的两条直线也互相平行。用符号语言表示为：∵a∥b, c∥b ∴a∥c
【典例剖析1】
【考点一 平行公理及推论】
【典例1-1】如图，在由相同小正方形组成的网格中，点A，B，C，O都在网格的格点上，，射线在的内部，请用无刻度的直尺作图：
(1)过点A作；
(2)在的外部，作与有什么关系，并说明理由．
【典例1-2】如图，在方格纸中，、、为 3 个格点，点在直线外．
（1）仅用直尺，过点画的垂线和平行线；
（2）请直接写出（1）中直线、的位置关系．
【典例1-3】把图中的互相平行的线段用符号“∥”写出来，互相垂直的线段用符号“⊥”写出来：
针对训练1
【变式1-1】（1）补全下面的图形，使之成为长方体的直观图，并标出顶点的字母；
（2）图中与棱平行的棱有　 　；
（3）图中棱和面的位置关系是 　 ．
【变式1-2】如图，内有一点；
(1)过点画的垂线；
(2)过点画交于点，画交于点．
【变式1-3】如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长是1，点M、N、P、Q均为格点（格点是指每个小正方形的顶点），线段MN经过点P．
(1)过点P画线段AB，使得线段AB满足以下两个条件：①AB⊥MN；②；
(2)过点Q画MN的平行线CD，CD与AB相交于点E；
(3)若格点F使得△PFM的面积等于4，则这样的点F共有 个．
【变式1-4】画图题：
(1)在如图所示的方格纸中，经过线段AB外一点C，不用量角器与三角尺，仅用直尺，画线段AB的垂线EF和平行线GH.
(2)判断EF、GH的位置关系是______．
(3)连接AC和BC，则三角形ABC的面积是______
【聚焦考点2】
知识点二、平行线的判定
判定方法 1 ：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行
　　　　 简称：同位角相等，两直线平行
判定方法 2 ：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行
　　　　 简称：内错角相等，两直线平行
判定方法 3： 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行
　　　　 简称：同旁内角互补，两直线平行
【典例剖析2】
【考点二 平行线的判定】
【典例2-1】，，，说明与平行．
【典例2-2】如图，已知，平分，，求证：．
【典例2-3】如图，点、在直线上，点、在直线上，平分，平分，判断与的位置关系并说明理由．

针对训练2
【变式2-1】（如图，直线与直线，分别相交于点M，O，，分别平分和，与交于点P，Q，已知．
(1)若，求的度数；
(2)对说明理由．
【变式2-2】（如图，点在上，已知，平分，平分，图中有哪些直线平行，并说明理由．
【聚焦考点3】
知识点三、平行线的性质
性质1：两直线平行，同位角相等；
性质2：两直线平行，内错角相等；
性质3：两直线平行，同旁内角互补.。
【典例剖析3】
【考点三 平行线的性质】
【典例3-1】我们知道：“两直线平行，同位角相等”是平行线的一个性质，把这个命题的题设和结论互换，可以得到平行线的判定“同位角相等，两直线平行．”
(1)我们易证：“已知，求证：”它是一个真命题．请你把这个命题的题设和结论互换，写出一个命题，判断这个命题的真假，并说明理由．
(2)结合前面的知识完成如下问题：如图，已知，，，求证：．
【典例3-2】如图，点P为直线外一点，过点P作直线．现将一个含角的三角板按如图1放置，使点F、E分别在直线、上，且点E在点P的右侧，，，设．
(1)填空：___________；
(2)若的平分线交直线于点H，如图2．
①当时，求的度数；
②在①的条件下，将三角板绕点E以每秒的转速进行顺时针旋转，同时射线绕点P以每秒的转速进行顺时针旋转，射线旋转一周后停止转动，同时三角板也停止转动．在旋转过程中，当___________秒时，有．
【典例3-3】如图，已知D是上一点，C是上一点．．

(1)如图（1），求证： ；
(2)如图（2），连接， ，．
①当时，求证：平分；
②若，直接用含n的式子表示的大小．
针对训练3
【变式3-1】如图、已知，，且线段的延长线平分的邻补角．

(1)求证：；
(2)若射线绕点D以每秒的速度逆时针方向旋转得，同时，射线绕点B以每秒的速度逆时针方向旋转得，和交于点G，设旋转时间为t秒．
①当，且时，求t的值；
②当，，则t的值是___________
【变式3-2】如图，已知，点C在边上，过点C的直线．
(1)求证：．
(2) 平分．若，求（用含的代数式表示）．
【变式3-3】【阅读理解】：两条平行线间的拐点问题经常可以通过作一条直线的平行线进行转化．
例如：如图1，，点、分别在直线、上，点在直线、之间．问，，之间有何数量关系？请说明理由．
小铭同学发现，并给出了部分理由．
如图，过点作，
因为，，
所以，
…；
(1)请将上面的说理过程补充完整；
(2)如图2，若，∠，．则　 　；
【方法运用】
(3)如图3，，点在的上方，问，，之间有何数量关系？请说明理由；
【联想拓展】
(4)如图4，已知，的平分线和的平分线交于点，请你用含有的式子表示的度数，直接写出结果．
【聚焦考点4】
知识点四 :命题定理及证明
1.命题：判断一件事情的语句，叫做命题．每个命题都由题设、结论两部分组成.题设是已知事项；结论是由已知事项推出的事项.
注意：（1）命题必须是一个完整的句子。
（2）这个句子必须对某事情作出肯定或者否定的判断，二者缺一不可
( 3)每个命题都有题设和结论两部分组成。题设是已知的事项，结论是由已知事项推断出的事项。一般地，命题都可以写出“如果------，那么-------”的形式。有的命题表面上看不具有“如果------，那么-------”的形式，但可以写成这种形式。
2.真命题与假命题
正确的命题就是真命题, 错误的命题就是假命题
证明
从一个命题的条件出发，通过讲道理（推理），得出它的结论成立，这个过程叫作证明。
注意：证明一个命题是假命题的方法是举反例，即找出一个例子，它符合命题条件，但它不满足命题的结论，从而判断这个命题是假命题。
证明命题的步骤：由题设出发，经过一步步的推理最后推出结论（书证）正确的过程叫做证明。证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”，这些根据，可以是已知条件，也可以是定义、公理，在此以前学过的定理。（证明命题的格式一般为：1）按题意画出图形；2）分清命题的条件和结论，结合图形在“已知”中写出条件，在“求证”中写出结论；3）在“证明”中写出推理过程）
4. 公理与定理
数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其它命题 真假的原始依据，这样的真命题叫做公理。以基本定义和公理作为推理的出发点，去判断其他命题的真假，已经判断为真的命题称为定理。
注意：（1）公理是不需要证明的，它是判断其他命题真假的依据，定理是需要证明；
(2 ) 定理都是真命题，但真命题不一定都是定理。
【考点四 命题定理证明】
【典例4-1】已知的两边与的两边平行，即，．

(1)如图①，若，则　　；
(2)如图②，猜想与有怎样的关系？试说明理由；
(3)如图③，猜想与有怎样的关系？试说明理由；
(4)根据以上情况，请归纳概括出一个真命题．
【典例4-2】如图，，．

(1)与平行吗？说明理由．
(2)与的位置关系如何？为什么？
针对训练4
【变式4-1】．判断下列命题是真命题还是假命题，若是假命题，请举出一个反例进行说明．
(1)一个锐角与一个钝角的和是；
(2)若，则或；
(3)若，则；
(4)有公共顶点且相等的角是对顶角；
(5)倒数等于它本身的数是1．
【变式4-2】如图，现有以下三个条件：①，②，③．请你以其中两个作为题设，另一个作为结论组成一个真命题，写出这个真命题（写一个即可），并给予证明．
【变式4-3】如图，有如下三个论断：①，②，③．
(1)请从这三个论断中选择两个作为题设，余下的一个作为结论，构成一个真命题．试用“如果……那么……”的形式写出来；（写出所有的真命题，不要说明理由）
(2)请你在上述真命题中选择一个进行证明．
【变式4-4】如图，有如下四个论断：①；②；③平分；④平分，请你选择四个论断中的三个作为条件，余下的一个论断作为结论，构成一个正确的数学命题并证明它．
【聚焦考点5】
知识点五 图形平移
1.平移的概念：在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做平移变换 (简称平移)，平移不改变物体的形状和大小。
2.平移的性质：
(1)、把一个图形整体沿某一方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同.
(2)、新图形的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点
(3)、连接各组对应点的线段平行且相等。
3.作平移图形的一般步骤：
(1)、确定平移的方向和距离。
(2)、确定图形的关键点。
(3)、过这些关键点作与平移方向平行的射线，在射线上截取与平移的距离相等的线段，得到关键点的对应点。
(4)、依次连接关键点，作出平移后的新图形。
【考点五 平移】
【典例5-1】如图1.在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，且a，b满足，现同时将点A，B分别向左平移2个单位，再向上平移2个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接，．
(1)请直接写出A，B两点的坐标；
(2)如图2，点P是线段上的一个动点，点Q是线段的中点，连接．当点P在线段上移动时（不与A，C重合），请找出的数量关系，并证明你的结论；
(3)在坐标轴上是否存在点M，使的面积与的面积相等？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，试说明理由．
【典例5-2】如图，线段和相交于点M．
(1)将线段沿线段所示的方向平移，使点M与点E重合，在图中画出平移后的线段；
(2)过点C画出的垂线，交于点N，并测量出C点到直线的距离；
(3)在（1）（2）的基础上，若测量出．求和的度数．
【典例5-3】如图，在中，，现将沿方向平移到的位置，此时，求四边形的面积．
针对训练5
【变式5-1】如图，直线l上摆放着直角三角形纸板，将三角板沿直线l向左平移到图中的三角板位置，P为与的交点．
(1)求证：；
(2)，，，求阴影部分的面积．
【变式5-2】如图，两个相同的直角三角形部分重叠在一起，求阴影部分的面积．
【变式5-3】如图，已知，将沿直线平移得到（其中、、分别与、、对应），平移的距离为长度的．
(1)画出满足条件的；
(2)连接，如果的面积为，求出的面积．
数学七年级下暑假培优专题训练
专题二、平行线性质和判定（解析版）
【考点一 平行公理及推论】
【典例1-1】如图，在由相同小正方形组成的网格中，点A，B，C，O都在网格的格点上，，射线在的内部，请用无刻度的直尺作图：
(1)过点A作；
(2)在的外部，作与有什么关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)，理由见解析
【分析】（1）根据网格的特点作出图形即可；
（2）由得到，则，由，则，由同角的余角相等即可得到结论．
【详解】（1）解：如图，直线即为所求作；
（2）即为所求作，，
理由如下：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
【点睛】此题考查了网格作图、余角的性质、垂直的定义、平行线的判定等知识，根据网格特点作图是解题的关键．
【典例1-2】如图，在方格纸中，、、为 3 个格点，点在直线外．
（1）仅用直尺，过点画的垂线和平行线；
（2）请直接写出（1）中直线、的位置关系．
【答案】（1）如图见解析；（2）垂直.
【分析】（1）根据小方格的特征过C点画AB的垂线和平行线；
（2）观察图形得出m,n的垂直关系，或者根据平行线的性质可得.
【详解】（1）将点A向上平移3个单位，过该点和点C作直线n,用直尺过点C作直线AB的垂线m,如图：
（2）观察图形可得m,n互相垂直，或根据两直线平行，同位角相等也可得m与n的夹角为90°，即m，n互相垂直.
【点睛】本题考查网格画图，根据网格中小正方形的特征画图是解答此题的关键.
【典例1-3】把图中的互相平行的线段用符号“∥”写出来，互相垂直的线段用符号“⊥”写出来：
【答案】详见解析.
【分析】根据平行线和垂直的定义即可解答.
【详解】解：如图所示，在长方体中:互相平行的线段：AB∥CD，EF∥GH，MN∥PQ；互相垂直的线段：AB⊥EF，AB⊥GH，CD⊥EF，CD⊥GH．
【点睛】本题考查了平行线和垂直的定义,理解定义是解题的关键.
针对训练1
【变式1-1】（1）补全下面的图形，使之成为长方体的直观图，并标出顶点的字母；
（2）图中与棱平行的棱有　 　；
（3）图中棱和面的位置关系是 　 ．
【答案】（1）见解析；（2）、、；（3）平行
【分析】（1）根据长方体的立体结构画出即可．
（2）根据平行线的定义，找出符合条件的线即可．
（3）因为线与面没有交点，所以平行．
【详解】解：（1）如图即为补全的图形；
（2）图中与棱AB平行的棱有CD、EF、GH；
故答案为：CD、EF、GH；
（3）图中棱CG和面ABFE的位置关系是：平行．
故答案为：平行．
【点睛】本题考查了平行线的判断，理解平行线的定义是解题关键．
【变式1-2】如图，内有一点；
(1)过点画的垂线；
(2)过点画交于点，画交于点．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）过点画的垂线即可；
（2）过点画交于点，画交于点．
【详解】（1）解：如图即为所求，
（2）如图：，，
【点睛】本题考查了作垂线和过直线外一点作平行线，掌握基本作图方法是解答本题的关键．
【变式1-3】如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长是1，点M、N、P、Q均为格点（格点是指每个小正方形的顶点），线段MN经过点P．
(1)过点P画线段AB，使得线段AB满足以下两个条件：①AB⊥MN；②；
(2)过点Q画MN的平行线CD，CD与AB相交于点E；
(3)若格点F使得△PFM的面积等于4，则这样的点F共有 个．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)6
【分析】（1）根据网格作图即可；
（2）根据网格作图即可；
（3）根据网格作图即可.
【详解】（1）解：作图如下：
（2）解：作图见（1）
（3）如图：
故符合题意的点F有6个.
故答案为：6
【点睛】本题考查了直线、射线、线段及平行公理的应用，解题的关键是准确作出图形.
【变式1-4】画图题：
(1)在如图所示的方格纸中，经过线段AB外一点C，不用量角器与三角尺，仅用直尺，画线段AB的垂线EF和平行线GH.
(2)判断EF、GH的位置关系是______．
(3)连接AC和BC，则三角形ABC的面积是______
【答案】（1）画图见解析；（2）EF⊥GH；（3）10．
【分析】（1）过点C作4×2的长方形的对角线所在的直线，可得AB的垂线EF和平行线GH；
（2）根据平行线公理的推论易得EF与GH的位置关系是：垂直；
（3）根据割补法即可解答．
【详解】解：（1）如图，直线EF，直线GH即为所求作．
（2）结论：EF⊥GH．
理由：∵EF⊥AB，GH∥AB，
∴EF⊥GH．
故答案为：EF⊥GH．
（3）S△ABC＝．
故答案为：10．
【点睛】本题考查了平行线、垂线，关键是熟练掌握过直线外一点作直线的平行线、垂线的方法，还要熟练掌握三角形的面积公式
【典例剖析2】
【考点二 平行线的判定】
【典例2-1】，，，说明与平行．
【答案】，证明见解析
【分析】根据余角的性质可得，再根据平行线的判断方法可得．
【详解】解：，理由如下：
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了余角的性质，平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解题的关键．
【典例2-2】如图，已知，平分，，求证：．
【答案】见解析
【分析】首先根据角平分线的概念得到，然后利用平行线的判定定理求解即可．
【详解】证明：∵平分，
∴，
∵，
∴
∵，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了角平分线的概念和平行线的判定，解题的关键是熟练掌握以上知识点
【典例2-3】如图，点、在直线上，点、在直线上，平分，平分，判断与的位置关系并说明理由．

【答案】，理由见解析．
【分析】先利用角平分线的定义可得，，从而可得，然后利用平行线的判定，即可解答．
【详解】解：，理由如下：
理由：平分，平分，
，，
，
，
．
【点睛】本题考查了平行线的判定，角平分线的定义，熟知同旁内角互补，两直线平行是解题的关键．
针对训练2
【变式2-1】（如图，直线与直线，分别相交于点M，O，，分别平分和，与交于点P，Q，已知．
(1)若，求的度数；
(2)对说明理由．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）根据角平分线的定义得出，设，则，根据题意得出，求出x的值，即可得出答案；
（2）根据，分别平分和，得出，根据，得出，根据平行线的判断即可得出结论．
【详解】（1）解：∵平分，
∴，
∵，
∴设，则，
∴，
解得：，
∴；
（2）证明：∵，分别平分和，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定，角平分线的定义，余角的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的判断方法．
【变式2-2】（如图，点在上，已知，平分，平分，图中有哪些直线平行，并说明理由．
【答案】，，理由见解析
【分析】根据，得出，根据平分，平分，得出，进而得出．
【详解】解：，，理由如下，
∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的判定定理，熟练掌握内错角相等两直线平行是解题的关键．
【考点三 平行线的性质】
【典例3-1】我们知道：“两直线平行，同位角相等”是平行线的一个性质，把这个命题的题设和结论互换，可以得到平行线的判定“同位角相等，两直线平行．”
(1)我们易证：“已知，求证：”它是一个真命题．请你把这个命题的题设和结论互换，写出一个命题，判断这个命题的真假，并说明理由．
(2)结合前面的知识完成如下问题：如图，已知，，，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）过点C作，然后根据平行线的判定和性质进行推理证明；
（2）结合（1）中的结论，根据平行线的性质和判定进行推理论证．
【详解】（1）解：命题：如果，那么，此命题是真命题，理由如下：
过点C作，
∵，
∴，
∴，
∴，
（2）证明：∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查平行线的判定和性质，掌握平行线的判定和性质，准确添加辅助线是解题关键．
【典例3-2】如图，点P为直线外一点，过点P作直线．现将一个含角的三角板按如图1放置，使点F、E分别在直线、上，且点E在点P的右侧，，，设．
(1)填空：___________；
(2)若的平分线交直线于点H，如图2．
①当时，求的度数；
②在①的条件下，将三角板绕点E以每秒的转速进行顺时针旋转，同时射线绕点P以每秒的转速进行顺时针旋转，射线旋转一周后停止转动，同时三角板也停止转动．在旋转过程中，当___________秒时，有．
【答案】(1)
(2)①，②或者
【分析】（1）根据两直线平行同旁内角互补以及直角三角形中两锐角互余等知识即可作答；
（2）①先求出，根据，可得，即可得，再根据平分，可得，结合、，可得；②根据①先求出，分类讨论：旋转中，当点旋转至直线上方时，存在，根据运动特点可知，，，根据，即可列方程，解方程问题得解；旋转中，当点旋转至直线下方时，存在，根据运动特点可知，，，同理可列方程，解方程问题得解．
【详解】（1）∵，
∴，
∴，
∵在中，，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）①∵在中，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
②中有：，，
∵，
∴，
∴初始时，
如图，旋转中，当点旋转至直线上方时，存在，
根据运动特点可知，，，
∵，
∴，
∴，
解得：，
即当秒时，有；
如图，旋转中，当点旋转至直线下方时，存在，
根据运动特点可知，，，
∵，
∴，
∴，
解得：，
即当秒时，有；
综上：当或者秒时，有．
【点睛】本题考查了平行线的性质，直角三角形两锐角互余，角平分线的定义等知识，理解运动的特点，掌握平行线的性质，是解答本题的关键．
【典例3-3】如图，已知D是上一点，C是上一点．．

(1)如图（1），求证： ；
(2)如图（2），连接， ，．
①当时，求证：平分；
②若，直接用含n的式子表示的大小．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②
【分析】（1）先证明得出，再由推出即可证明结论；
（2）①当时，，根据平行线的性质推出即可；
②根据平行线的性质先求出，，进而推出，最后根据两直线平行同位角相等得出．
【详解】（1）证明：

∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
（2）①∵，
∴
又∵，
∴，

∴，，
∴，
由（1）知，
∴，
∴，
∴平分；
②由（1）知，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
∴．
故答案是．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
针对训练3
【变式3-1】如图、已知，，且线段的延长线平分的邻补角．

(1)求证：；
(2)若射线绕点D以每秒的速度逆时针方向旋转得，同时，射线绕点B以每秒的速度逆时针方向旋转得，和交于点G，设旋转时间为t秒．
①当，且时，求t的值；
②当，，则t的值是___________
【答案】(1)见解析
(2)①；②32或50
【分析】（1）先求出，再由角平分线的定义得到，则，由此即可证明；
（2）①如图所示，过点G作，则，由平行线的性质得到，，则，再由
， 得到，解方程即可；②分图2-1和图2-2，过点G作，则，利用平行线的性质求出，的度数，然后根据建立方程求解即可．
【详解】（1）证明：∵是的邻补角，，
∴，
又∵平分．
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：①∵
∴，
如图所示，过点G作，
又∵
∴，
∴，，
∴

又∵，
∴，
∴；
②如图2-1所示，当时，过点G作，
又∵
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
解得；

如图2-2所示，
由（2）①，
∴，
∵，
∴
解得；
综上所述，t的值为或50．

【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线定义，利用分类讨论的思想是解题的关键．
【变式3-2】如图，已知，点C在边上，过点C的直线．
(1)求证：．
(2) 平分．若，求（用含的代数式表示）．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据平行线的性质可得，再根据对顶角相等，即可得到；
（2）根据角平分线的定义可得，再利用平行线的性质即可求解．
【详解】（1）∵，
∴，
∵，
∴；
（2）∵平分，，
∴．
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了平行线的性质，对顶角的性质，以及角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握两直线平行，同旁内角互补．
【变式3-3】【阅读理解】：两条平行线间的拐点问题经常可以通过作一条直线的平行线进行转化．
例如：如图1，，点、分别在直线、上，点在直线、之间．问，，之间有何数量关系？请说明理由．
小铭同学发现，并给出了部分理由．
如图，过点作，
因为，，
所以，
…；
(1)请将上面的说理过程补充完整；
(2)如图2，若，∠，．则　 　；
【方法运用】
(3)如图3，，点在的上方，问，，之间有何数量关系？请说明理由；
【联想拓展】
(4)如图4，已知，的平分线和的平分线交于点，请你用含有的式子表示的度数，直接写出结果
【答案】(1)见解析
(2)
(3)，理由见解析
(4)
【分析】（1）根据平行线的判定与性质求解即可；
（2）根据平行线的判定与性质求解即可；
（3）根据平行线的判定与性质求解即可；
（4）根据平行线的性质及角平分线定义求解即可．
【详解】（1）解：如图，过点作，
，，
，
，，
；
（2）如图2，过点作，
，
，
，，
，，
，
，
故答案为：；
（3），理由如下：
如图3，过点作，
，
，，
，
，
；
（4）如图4，
由知，，
，
，
的平分线和的平分线交于点，
，，
，
在四边形中，，
．
【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．
【考点四 命题定理证明】
【典例4-1】已知的两边与的两边平行，即，．

(1)如图①，若，则　　；
(2)如图②，猜想与有怎样的关系？试说明理由；
(3)如图③，猜想与有怎样的关系？试说明理由；
(4)根据以上情况，请归纳概括出一个真命题．
【答案】(1)
(2)，理由见解析
(3)，理由见解析
(4)如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角的关系是相等或互补
【分析】（1）根据平行线的性质得出，，即可得出答案；
（2）根据平行线的性质得出，，即可得出答案；
（3）根据平行线的性质得出，，即可得出答案；
（4）根据结果得出即可．
【详解】（1）解：∵，，，
∴，，
∴，
故答案为：；
（2），
理由：∵，，
∴，，
∴；
（3），
理由：∵，，
∴，，
∵，
∴；
（4）解：通过上面（1）、（2）、（3），可得到的真命题是：如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角的关系是相等或互补．
【点睛】本题考查命题与定理，掌握平行线的性质是解题的关键．
【典例4-2】如图，，．

(1)与平行吗？说明理由．
(2)与的位置关系如何？为什么？
【答案】(1)，理由见解析
(2)，理由见解析
【分析】（1）根据同角的补角相等证明即可证明；
（2）先根据平行线的性质得到，则，即可证明．
【详解】（1）解：．理由如下：
∵，，
∴，
∴（同位角相等，两直线平行）．
（2）解：．理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴（同位角相等，两直线平行）
【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，熟知平行线的性质与判定条件是解题的关键．
针对训练4
【变式4-1】．判断下列命题是真命题还是假命题，若是假命题，请举出一个反例进行说明．
(1)一个锐角与一个钝角的和是；
(2)若，则或；
(3)若，则；
(4)有公共顶点且相等的角是对顶角；
(5)倒数等于它本身的数是1．
【答案】(1)假命题，理由见解析
(2)真命题
(3)假命题，理由见解析
(4)假命题，理由见解析
(5)假命题，理由见解析
【分析】（1）根据锐角和钝角的概念判断；
（2）根据有理数的乘法法则判断；
（3）根据有理数的大小比较法则、有理数的乘方法则计算，判断即可；
（4）根据对顶角的概念判断；
（5）根据倒数的概念判断．
【详解】（1）一个锐角与一个钝角的和是，是假命题，例如：的角是锐角，的角是钝角，，不是；
（2）若，则或，是真命题；
（3）若，则则是假命题，例如：，而；
（4）有公共顶点且相等的角是对顶角，是假命题，90°的角和它的邻补角有公共顶点且相等，但不是对顶角；
（5）倒数等于它本身的数是1，是假命题，例如的倒数等于它本身的数是﹣1．
【点睛】本题考查的是命题的真假判断，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
【变式4-2】如图，现有以下三个条件：①，②，③．请你以其中两个作为题设，另一个作为结论组成一个真命题，写出这个真命题（写一个即可），并给予证明．
【答案】见解析
【分析】根据真命题的概念，结合平行线的判定和性质解答即可．
【详解】答案1：如果①②，那么③为真命题，
证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
答案2：如果①③，那么②为真命题，
证明∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
答案3：如果②③，那么①为真命题，
证明∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查的是命题和定理，掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
【变式4-3】如图，有如下三个论断：①，②，③．
(1)请从这三个论断中选择两个作为题设，余下的一个作为结论，构成一个真命题．试用“如果……那么……”的形式写出来；（写出所有的真命题，不要说明理由）
(2)请你在上述真命题中选择一个进行证明．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据平行直线的性质和判断即可得到答案；
（2）根据平行直线的性质：两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，再结合平行直线的判断方法，即可证得．
【详解】（1）解：①如图，如果，，那么；
②如图，如果，，那么；
③如图，，，那么；
（2）解：①如图，如果，，那么；
证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
②如图，如果，，那么；
证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
③如图，，，那么；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查命题与定理、平行线的性质和判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
【变式4-4】如图，有如下四个论断：①；②；③平分；④平分，请你选择四个论断中的三个作为条件，余下的一个论断作为结论，构成一个正确的数学命题并证明它．
【答案】见解析
【分析】根据平行线的性质和角平分线的定义即可得到结论．
【详解】已知：，，平分，
求证：平分．
证明：如图所示，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴平分．
【点睛】本题考查了命题与定理，平行线的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
【考点五 平移】
【典例5-1】如图1.在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，且a，b满足，现同时将点A，B分别向左平移2个单位，再向上平移2个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接，．
(1)请直接写出A，B两点的坐标；
(2)如图2，点P是线段上的一个动点，点Q是线段的中点，连接．当点P在线段上移动时（不与A，C重合），请找出的数量关系，并证明你的结论；
(3)在坐标轴上是否存在点M，使的面积与的面积相等？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，试说明理由．
【答案】(1)
(2)，见解析
(3)存在，点M的坐标为或或或
【分析】（1）根据绝对值的非负性质、偶次方的非负性质分别求出a、b的值，即可得到点A，B的坐标；
（2）过P作．根据平行线的性质即可得出结论；
（3）先求出的面积，再分点M在x轴上、点M在y轴上两种情况，根据三角形的面积公式分别求解即可．
【详解】（1）∵ ，
∴ ，
解得：，
∴ 点A，B的坐标分别为．
（2）．理由如下：
如图2，过P作，
由题意可知，，
∵，
∴，
∴，，
∴ ，
∵，
∴ ．
（3）由题意得：点C的坐标为，点D的坐标为，
则，当点M在x轴上时，设点M的坐标为，
则，由题意得：，
解得：，
此时点M的坐标为或；
当点M在y轴上时，设点M的坐标为，
则，由题意得：，解得：，
此时点M的坐标为或；
综上所述，在坐标轴上存在点M，使的面积与的面积相等，点M的坐标为或或或．
【点睛】本题考查了实数的非负性，平行线的判定和性质，平移规律，分类思想，熟练掌握实数的非负性，平行线的判定和性质，平移规律是解题的关键．
【典例5-2】如图，线段和相交于点M．
(1)将线段沿线段所示的方向平移，使点M与点E重合，在图中画出平移后的线段；
(2)过点C画出的垂线，交于点N，并测量出C点到直线的距离；
(3)在（1）（2）的基础上，若测量出．求和的度数．
【答案】(1)见解析
(2)见解析，约厘米（答案不唯一）
(3)，
【分析】（1）首先根据平移的性质，即可画得；
（2）根据过直线外一点作已知直线的垂线的方法，即可作得，再量出的长度即可；
（3）根据平行线的性质及直角三角形的性质，即可求解．
【详解】（1）解：如图：将线段沿线段所示的方向平移，使点M与点E重合，所得的线段即为所求，
（2）解：根据过直线外一点作已知直线的垂线的方法，即可作得的垂线，
测量出C点到直线的距离，即线段的长约为厘米（答案不唯一）；
（3）解： ，
，
，
，
，，
．
【点睛】本题考查了利用平移的性质作图，作垂线，平行线的性质，直角三角形的性质，理解作图的方法是解决本题的关键．
【典例5-3】如图，在中，，现将沿方向平移到的位置，此时，求四边形的面积．
【答案】24
【分析】根据平移的性质可知，从而可证，由，，可证四边形是直角梯形，利用梯形的面积公式计算即可．
【详解】解：∵将沿方向平移到的位置，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是直角梯形．
∵沿方向平移到，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查平移的性质、梯形的判定及面积公式，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
针对训练5
【变式5-1】如图，直线l上摆放着直角三角形纸板，将三角板沿直线l向左平移到图中的三角板位置，P为与的交点．
(1)求证：；
(2)，，，求阴影部分的面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据平移的性质得到，则由平行线的性质即可证明；
（2）先根据平移的性质得到，，即可求出，再推出阴影部分的面积即可得到答案．
【详解】（1）证明：∵将三角板沿直线l向左平移到图中的三角板位置，
∴，
∴；
（2）解：∵将三角板沿直线l向左平移到图中的三角板位置，
∴，，
∵，
∴，
∴阴影部分的面积
．
【点睛】本题主要考查了平移的性质，平行线的性质，熟知平移的性质是解题的关键．
【变式5-2】如图，两个相同的直角三角形部分重叠在一起，求阴影部分的面积．
【答案】
【分析】由题意可知，即，根据梯形面积公式即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
，即，
∴，
答:阴影部分面积为．
【点睛】本题考查求图形重叠部分面积及直角三角形性质，解题的关键是根据题意得到．
【变式5-3】如图，已知，将沿直线平移得到（其中、、分别与、、对应），平移的距离为长度的．
(1)画出满足条件的；
(2)连接，如果的面积为，求出的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据平移作图的方法作图即可；
（2）先根据平移的性质得到，则，过点A作于D，根据三角形面积公式得到，则．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：由平移的性质可知，
∴，
过点A作于D，
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了平移作图，平移的性质，三角形面积，熟知平移的相关知识是解题的关键．
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