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数学七年级下暑假培优专题训练
专题三、平行线中的拐点问题
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目录
【考点一 过一个拐点作平行线求角度】.........................................1
【考点二 过多个拐点作平行线求角度】.........................................4
【考点三 与拐点有关的证明题】...............................................7
【考点四 与拐点有关的探究题】...............................................8
【聚焦考点1】
解题技巧提炼
当两条平行线不是被第三条直线所截,而是被一条折线所截时，平行线的性质则不能直接应用，遇到一个拐点时，只需过折线的“拐点”作一条平行线,利用平行公理的推论得出三条直线互相平行，从而多次利用平行线的性质解决问题.
【典例剖析1】
【考点一 过一个拐点作平行线求角度】
猪蹄型
铅笔型
3.鸡翅型
4.骨折型
【典例1-1】如图，直线，将一个直角三角尺按如图所示的位置摆放，若，则的度数为　　
A． B． C． D．
【典例1-2】如图，直线a∥b，点M、N分别在直线a、b上，P为两平行线间一点，那么∠1+∠2+∠3等于（　　）
A．360° B．300° C．270° D．180°
【典例1-3】探照灯、锅形天线、汽车灯以及其它很多灯具都与抛物线形状有关，如图所示是一探照灯灯碗的纵剖面，从位于O点的灯泡发出的两束光线OB、OC经灯碗反射以后平行射出．如果图中∠ABO＝32°，∠DCO＝78°，则∠BOC的度数为（　　）
A．46° B．92° C．110° D．100°
【典例1-4】为增强学生体质，某学校将“抖空竹”引入阳光体育一小时活动．图1是一位同学抖空竹时的一个瞬间，数学老师把它抽象成图2的数学问题：已知AB∥CD，∠EAB＝80°，∠ECD＝110°．求∠AEC的度数．小明在解决过程中，过E点作EF∥CD，则可以得到EF∥AB，其理由是 　 　，根据这个思路可得∠AEC＝　 　．
针对训练1
【变式1-1】（1）已知：如图（a），直线．求证：；
（2）如图（b），如果点在与之外，其他条件不变，那么会有什么结果？你还能就本题作出什么新的猜想？
【变式1-2】如图：
（1）若，猜想图①中，、与之间的数量关系并加以证明；
（2）若，如图②，直接写出、与之间的数量关系：　　．
（3）学以致用：一个小区大门栏杆的平面示意图如图所示，垂直地面于，平行于地面，若，则　　．
【变式1-3】如图，AB∥DE，∠1＝25°，∠2＝110°，求∠BCD的度数．
【变式1-4】如图，AB∥CD，则∠1+∠3—∠2的度数等于 __________．
【聚焦考点2】
解题技巧提炼
题型一中的题平行线间有个一折点，只需过折点处作一条辅助平行线即可，若有个多个折点，则需要过每一个折点作辅助平行线，再利用平行线的判定和性质解决问题即可.
【典例剖析2】
【考点二 过多个拐点作平行线求角度】
【典例2-1】 如图，，，平分，平分，则　　
A． B． C． D ．
【典例2-2】如图所示，已知AB∥CD，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，∠BED＝115°，那么∠BFD的度数是（　　）
A．62° B．64° C．57.5° D．60°
【典例2-3】如图，已知，，则、与的关系是　　．
针对训练2
【变式2-1】（2022春 新洲区期末）如图，AB∥EF，则∠A，∠C，∠D，∠E满足的数量关系是（　　）
A．∠A+∠C+∠D+∠E＝360° B．∠A+∠D＝∠C+∠E
C．∠A﹣∠C+∠D+∠E＝180° D．∠E﹣∠C+∠D﹣∠A＝90°
【变式2-2】如图，，平分，平分，，求．
【变式2-3】已知：点A、C、B不在同一条直线上，AD∥BE
（1）如图①，当∠A＝58°，∠B＝118°时，求∠C的度数；
（2）如图②，AQ、BQ分别为∠DAC、∠EBC的平分线所在直线，试探究∠C与∠AQB的数量关系；
（3）如图③，在（2）的前提下，且有AC∥QB，QP⊥PB，直接写出∠DAC：∠ACB：∠CBE的值．
【聚焦考点3】
解题技巧提炼
对于两条平行线间“折线”与“拐点”的证明题，一般都是在拐点处作平行线，使问题转化，从而构造一些相等的角或互补的角，使已知和未知一目了然，达到解题的目的，具体步骤是：
①作辅助线（过拐点处作平行线）；
②找特殊角（找相等的角或互补的角）；
③解决问题（找到数量关系）.
【典例剖析3】
【考点三 与拐点有关的证明题】
【典例3-1】 如图，点E在线段AC上，AB∥CD，∠1=∠B，∠2=∠D．求证：BE⊥DE.
【典例3-2】已知，点为平面内一点，于．
（1）如图1，点在两条平行线外，则与之间的数量关系为______；
（2）点在两条平行线之间，过点作于点．
①如图2，说明成立的理由；
②如图3，平分交于点平分交于点．若，求的度数．
针对训练3
【变式3-1】已知：直线EF分别与直线AB，CD相交于点G，H，并且∠AGE+∠DHE＝180°．
（1）如图1，求证：AB∥CD；
（2）如图2，点M在直线AB，CD之间，连接GM，HM，求证：∠M＝∠AGM+∠CHM；
（3）如图3，在（2）的条件下，射线GH是∠BGM的平分线，在MH的延长线上取点N，连接GN，若∠N＝∠AGM，∠M＝∠N+∠FGN，求∠MHG的度数
【变式3-2】如图1，AB∥CD，EOF是直线AB、CD间的一条折线．
（1）试证明：∠O＝∠BEO+∠DFO．
（2）如果将折一次改为折二次，如图2，则∠BEO、∠O、∠P、∠PFC之间会满足怎样的数量关系，证明你的结论．
【聚焦考点4】
解题技巧提炼
综合运用平行线的性质和判定解决与拐点有关的探究题，作辅助线是解题的关键，有时要用到分类讨论的数学思想方法，是学生的难点突破.
【典例剖析4】
【考点四 与拐点有关的探究题】
【典例4-1】已知AB∥CD，点E是AB，CD之间的一点．
（1）如图1，试探索∠AEC，∠BAE，∠DCE之间的数量关系；
以下是小明同学的探索过程，请你结合图形仔细阅读，并完成填空（理由或数学式）：
解：过点E作PE∥AB（过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行）．
∵AB∥CD（已知），
∴PE∥CD（ 　 　），
∴∠BAE＝∠1，∠DCE＝∠2（ 　 　），
∴∠BAE+∠DCE＝　 +　 　（等式的性质）．
即∠AEC，∠BAE，∠DCE之间的数量关系是 　 　．
（2）如图2，点F是AB，CD之间的一点，AF平分∠BAE，CF平分∠DCE．
①若∠AEC＝74°，求∠AFC的大小；
②若CG⊥AF，垂足为点G，CE平分∠DCG，∠AEC+∠AFC＝126°，求∠BAE的大小．
【典例4-2】小明同学遇到这样一个问题：
如图①，已知：AB∥CD，E为AB、CD之间一点，连接BE，ED，得到∠BED．
求证：∠BED＝∠B+∠D．
小亮帮助小明给出了该问的证明．
证明：
过点E作EF∥AB，则有∠BEF＝∠B．
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠FED＝∠D，
∴∠BED＝∠BEF+∠FED＝∠B+∠D．
请你参考小亮的思考问题的方法，解决问题：
直线l1∥l2，直线EF和直线l1、l2分别交于C、D两点，点A、B分别在直线l1、l2上，
猜想：如图②，若点P在线段CD上，∠PAC＝15°，∠PBD＝40°，求∠APB的度数．
拓展：如图③，若点P在直线EF上，连接PA、PB（BD＜AC），直接写出∠PAC、∠APB、∠PBD之间的数量关系．
针对训练4
【变式4-1】直线，A是上一点，B是上一点，直线和直线，交于点C和D，在直线CD上有一点P．
（1）如果P点在C、D之间运动时，问、、有怎样的数量关系？请说明理由．
（2）若点P在C、D两点的外侧运动时（P点与点C、D不重合），试探索、、之间的关系又是如何？（请直接写出答案，不需要证明）
【变式4-2】（1）如图1，直线AB∥CD．点P在直线AB，CD之间，试说明：∠BAP+∠APC+∠PCD＝360°．
小明说明的过程是这样的：“过点P作PE∥AB，…”
请按照小明的思路写出完整的解答说明过程．
（2）①直线AB∥CD，点P，Q在直线AB，CD之间，且点P，Q在直线AC的同侧，如图2，试探究∠BAP，∠APQ，∠PQC，∠QCD之间的数量关系，并说明理由；
②直线AB∥CD，点P，Q在直线AB，CD之间，且点P，Q在直线AC的两侧．如图3，试探究∠BAP，∠APQ，∠PQC，∠QCD之间的数量关系，并说明理由．
请在①②任选一个问题进行解答．
（3）如图4，若a∥b，直接写出图中x的度数（不用说理）．
数学七年级下暑假培优专题训练
专题三、平行线中的拐点问题（解析版）
【考点一 过一个拐点作平行线求角度】
【典例1-1】如图，直线，将一个直角三角尺按如图所示的位置摆放，若，则的度数为　　
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先利用平行线的性质得出，进而利用三角板的特征求出，最后利用平行线的性质即可．
【解答】解：如图，
过点作，
，
，
，
，，
，
，
故选：．
【点评】此题主要考查了平行线的性质，作出BA∥a，根据平行线的性质得出相等（或互补）的角是解决问题的关键．
【典例1-2】如图，直线a∥b，点M、N分别在直线a、b上，P为两平行线间一点，那么∠1+∠2+∠3等于（　　）
A．360° B．300° C．270° D．180°
【答案】A
【分析】先过点P作PA∥a，构造三条平行线，然后利用两直线平行，同旁内角互补，即可得出结论．
【解答】解：如图，过点P作PA∥a，则a∥b∥PA，
∴∠3+∠NPA＝180°，∠1+∠MPA＝180°，
∴∠1+∠2+∠3＝180°+180°＝360°．
故选：A．
【点评】此题主要考查了平行线的性质，作出PA∥a，根据平行线的性质得出相等（或互补）的角是解决问题的关键．
【典例1-3】探照灯、锅形天线、汽车灯以及其它很多灯具都与抛物线形状有关，如图所示是一探照灯灯碗的纵剖面，从位于O点的灯泡发出的两束光线OB、OC经灯碗反射以后平行射出．如果图中∠ABO＝32°，∠DCO＝78°，则∠BOC的度数为（　　）
A．46° B．92° C．110° D．100°
【答案】C
【解答】解：过O点作OH∥AB，
∵AB∥CD，
∴OH∥CD．
∴∠BPH＝∠ABO＝32°，∠HOC＝∠DCO＝78°．
∴∠BOC＝32°+78°＝110°．
故选：C．
【点评】此题主要考查了平行线的性质，作出OH∥AB，根据平行线的性质得出相等（或互补）的角是解决问题的关键．
【典例1-4】为增强学生体质，某学校将“抖空竹”引入阳光体育一小时活动．图1是一位同学抖空竹时的一个瞬间，数学老师把它抽象成图2的数学问题：已知AB∥CD，∠EAB＝80°，∠ECD＝110°．求∠AEC的度数．小明在解决过程中，过E点作EF∥CD，则可以得到EF∥AB，其理由是 　 　，根据这个思路可得∠AEC＝　 　．
【答案】平行于同一直线的两直线平行；30°
【分析】根据平行公理推论得到EF∥AB，再根据平行线的x性质求解即可．
【解答】解：过E点作EF∥CD，
∵AB∥CD，
∴EF∥AB（平行于同一直线的两直线平行），
∴∠EAB+∠AEF＝180°，
∵EF∥CD，
∴∠CEF+∠ECD＝180°，
∵∠EAB＝80°，∠ECD＝110°，
∴∠AEF＝100°，∠CEF＝70°，
∴∠AEC＝∠AEF﹣∠CEF＝30°．
故答案为：平行于同一直线的两直线平行；30°．
【点评】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．
针对训练1
【变式1-1】（1）已知：如图（a），直线．求证：；
（2）如图（b），如果点在与之外，其他条件不变，那么会有什么结果？你还能就本题作出什么新的猜想？
【答案】见解析
【分析】（1）首先过点作，由直线，可得，然后由两直线平行，内错角相等，即可证得；
（2）首先由两直线平行，内错角相等，可得，然后根据三角形外角的性质即可证得．
【解答】（1）证明：过点作，
，
，
，，
；
（2）结论：，
证明：如图：
，
，
在中，，
，
．
【点评】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．
【变式1-2】如图：
（1）若，猜想图①中，、与之间的数量关系并加以证明；
（2）若，如图②，直接写出、与之间的数量关系：　　．
（3）学以致用：一个小区大门栏杆的平面示意图如图所示，垂直地面于，平行于地面，若，则　　．
【答案】（1） （2） （3） 120
【分析】（1）过点作；通过平行线的性质倒角即可；
（2）过点作；根据两直线平行同旁内角互补列出等式求解；
（3）由（2）中的结论计算即可．
【解答】解：（1）；理由如下：
如图，过点作；
，
，
，
，
，
；
（2）；理由如下：
如图，过点作；
，
，
，，
，
故答案为：；
（3）解：由（2）可知：，
，
，
，
故答案为：120．
【点评】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．
【变式1-3】如图，AB∥DE，∠1＝25°，∠2＝110°，求∠BCD的度数．
【分析】过点C作CF∥AB，由平行公理的推论得出CF∥DE，再由平行线的性质求得∠4的度数为70°，再根据CF∥AB得∠3=∠1=25°，最后由角的和差求出∠BCD的度数即可．
【解答】解：如图：过点C作CF∥AB，
∵CF∥AB
∴∠3＝∠1＝25°
∵AB∥DE，
∴DF∥CE，
∵∠4+∠2=180°，又∵∠2＝110°，
∴∠4＝180°﹣∠2＝180°﹣110°＝70°，
∴∠BCD＝∠3+∠4＝25°+70°＝95°．
【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同旁内角互补
【变式1-4】如图，AB∥CD，则∠1+∠3—∠2的度数等于 __________．
【答案】180°
【详解】∵AB∥CD
∴∠1=∠EFD
∵∠2+∠EFC=∠3
∠EFD=180°-∠EFC
∴∠1+∠3—∠2=180°，故答案为：180°
【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同旁内角互补
【考点二 过多个拐点作平行线求角度】
【典例2-1】 如图，，，平分，平分，则　　
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先过点作，过点作，由，即可得，然后根据两直线平行，同旁内角互补，由，即可求得，又由平分，平分，根据角平分线的性质，即可求得的度数，又由两只线平行，内错角相等，即可求得的度数．
【解答】解：过点作，过点作，
，
，
，，
，
，
，
平分，平分，
，，
，
，，
．
故选：．
【点评】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．
【典例2-2】如图所示，已知AB∥CD，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，∠BED＝115°，那么∠BFD的度数是（　　）
A．62° B．64° C．57.5° D．60°
【答案】C
【解答】解：如图，过E作EG∥AB，过F作FH∥AB，
∵AB∥CD，
∴EG∥CD，FH∥CD，
∴∠ABE＝∠GEB，∠CDE＝∠GED，
∴∠BED＝∠ABE+∠CDE＝115°，
又∵BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，
∴∠ABF＝∠ABE，∠CDF＝∠CDE，
∴∠ABF+∠CDF＝（∠ABE+∠CDE）＝57.5°，
∵AB∥FH∥CD，
∴∠ABF＝∠BFH，∠CDF＝∠DFH，
∴∠BFD＝∠BFH+∠DFH＝∠ABF+∠CDF＝57.5°，
故选：C．
【点评】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．
【典例2-3】如图，已知，，则、与的关系是　　．
【答案】
【分析】首先过点作，过点作，由，即可得，然后由两直线平行，内错角相等，即可求得答案．
【解答】解：过点作，过点作，
，
，
，，，
①，②，
由①②得：．
故答案为：．
【点评】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．
针对训练2
【变式2-1】（2022春 新洲区期末）如图，AB∥EF，则∠A，∠C，∠D，∠E满足的数量关系是（　　）
A．∠A+∠C+∠D+∠E＝360° B．∠A+∠D＝∠C+∠E
C．∠A﹣∠C+∠D+∠E＝180° D．∠E﹣∠C+∠D﹣∠A＝90°
【答案】C
【分析】过点C作CG∥AB，过点D作DH∥EF，根据两直线平行，内错角相等可得∠A＝∠ACG，∠CDH＝∠DCG，两直线平行，同旁内角互补可得∠EDH＝180°﹣∠E，然后表示出∠C整理即可得解．
【解答】解：如图，过点C作CG∥AB，过点D作DH∥EF，
则∠A＝∠ACG，∠EDH＝180°﹣∠E，
∵AB∥EF，
∴CG∥DH，
∴∠CDH＝∠DCG，
∴∠C＝∠ACG+∠CDH＝∠A+∠D﹣（180°﹣∠E），
∴∠A﹣∠C+∠D+∠E＝180°．
故选：C．
【点评】本题考查了平行线的性质，此类题目难点在于过拐点作平行线．
【变式2-2】如图，，平分，平分，，求．
【答案】
【分析】连接，过作，由，得到，利用两直线平行内错角相等， 得到两对角相等， 进而求出的度数， 由平分，平分，利用角平分线定义得到的度数， 在三角形中， 利用内角和定理得到的度数， 进而求出的度数， 求出度数即可 ．
【解答】解： 连接，过作，由，得到，
，，
，，
平分，平分，
，
，
则．
【点评】本题考查了平行线的性质，此类题目难点在于过拐点作平行线．
【变式2-3】已知：点A、C、B不在同一条直线上，AD∥BE
（1）如图①，当∠A＝58°，∠B＝118°时，求∠C的度数；
（2）如图②，AQ、BQ分别为∠DAC、∠EBC的平分线所在直线，试探究∠C与∠AQB的数量关系；
（3）如图③，在（2）的前提下，且有AC∥QB，QP⊥PB，直接写出∠DAC：∠ACB：∠CBE的值．
【答案】（1）120° （2） 2∠AQB+∠C＝180°
（3）∠DAC：∠ACB：∠CBE＝60°：120°：120°＝1：2：2
【解答】解：（1）在图①中，过点C作CF∥AD，则CF∥BE．
∵CF∥AD∥BE，
∴∠ACF＝∠A，∠BCF＝180°﹣∠B，
∴∠ACB＝∠ACF+∠BCF＝180°﹣（∠B﹣∠A）＝120°．
（2）在图②中，过点Q作QM∥AD，则QM∥BE．
∵QM∥AD，QM∥BE，
∴∠AQM＝∠NAD，∠BQM＝∠EBQ．
∵AQ平分∠CAD，BQ平分∠CBE，
∴∠NAD＝∠CAD，∠EBQ＝∠CBE，
∴∠AQB＝∠BQM﹣∠AQM＝（∠CBE﹣∠CAD）．
∵∠C＝180°﹣（∠CBE﹣∠CAD）＝180°﹣2∠AQB，
∴2∠AQB+∠C＝180°．
（3）∵AC∥QB，
∴∠AQB＝∠CAP＝∠CAD，∠ACP＝∠PBQ＝∠CBE，
∴∠ACB＝180°﹣∠ACP＝180°﹣∠CBE．
∵2∠AQB+∠ACB＝180°，
∴∠CAD＝∠CBE．
又∵QP⊥PB，
∴∠CAP+∠ACP＝90°，即∠CAD+∠CBE＝180°，
∴∠CAD＝60°，∠CBE＝120°，
∴∠ACB＝180°﹣（∠CBE﹣∠CAD）＝120°，
∴∠DAC：∠ACB：∠CBE＝60°：120°：120°＝1：2：2．
【点评】本题考查了平行线的性质，此类题目难点在于过拐点作平行线
【考点三 与拐点有关的证明题】
【典例3-1】 如图，点E在线段AC上，AB∥CD，∠1=∠B，∠2=∠D．求证：BE⊥DE.
【答案】见解析
【分析】过点E在∠BED的内部作EM∥AB，先根据平行线的性质得出∠1=∠BEM，∠DEM=∠2然后根据∠AEC=180°得出∠1+∠BEM+∠DEM+∠2=180°，从而得到∠BEM+∠DEM=90°,即可证明BE⊥DE.
【解答】证明：过点E在∠BED的内部作EM∥AB，则∠B=∠BEM，
∵∠1=∠B，∴∠1=∠BEM，
又∵AB∥CD，EM∥CD，
∴∠D=∠DEM，
∵∠2=∠D，∠DEM=∠2，
∴∠1+∠BEM+∠DEM+∠2=180°，
∴∠BEM+∠DEM=90°,
即∠BED=90，
∴BE⊥DE.
【点评】本题考查平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
【典例3-2】已知，点为平面内一点，于．
（1）如图1，点在两条平行线外，则与之间的数量关系为______；
（2）点在两条平行线之间，过点作于点．
①如图2，说明成立的理由；
②如图3，平分交于点平分交于点．若，求的度数．
【答案】（1）∠A+∠C=90°；（2）①见解析；②105°
【分析】（1）根据平行线的性质以及直角三角形的性质进行证明即可；
（2）①过点B作BG∥DM，根据平行线找角的联系即可求解；②先过点B作BG∥DM，根据角平分线的定义，得出∠ABF=∠GBF，再设∠DBE=α，∠ABF=β，根据∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°，可得2α+β+3α+3α+β=180°，根据AB⊥BC，可得β+β+2α=90°，最后解方程组即可得到∠ABE=15°，进而得出∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°．
【详解】解：（1）如图1，AM与BC的交点记作点O，
∵AM∥CN，
∴∠C=∠AOB，
∵AB⊥BC，
∴∠A+∠AOB=90°，
∴∠A+∠C=90°；
（2）①如图2，过点B作BG∥DM，
∵BD⊥AM，
∴DB⊥BG，
∴∠DBG=90°，
∴∠ABD+∠ABG=90°，
∵AB⊥BC，
∴∠CBG+∠ABG=90°，
∴∠ABD=∠CBG，
∵AM∥CN，BG∥DM，
∴∠C=∠CBG，
∠ABD=∠C；
②如图3，过点B作BG∥DM，
∵BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，
∴∠DBF=∠CBF，∠DBE=∠ABE，
由（2）知∠ABD=∠CBG，
∴∠ABF=∠GBF，
设∠DBE=α，∠ABF=β，
则∠ABE=α，∠ABD=2α=∠CBG，
∠GBF=∠AFB=β，
∠BFC=3∠DBE=3α，
∴∠AFC=3α+β，
∵∠AFC+∠NCF=180°，∠FCB+∠NCF=180°，
∴∠FCB=∠AFC=3α+β，
△BCF中，由∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°得：
2α+β+3α+3α+β=180°，
∵AB⊥BC，
∴β+β+2α=90°，
∴α=15°，
∴∠ABE=15°，
∴∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质的运用，解决问题的关键是作平行线构造内错角，运用等角的余角（补角）相等进行推导．余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联．解题时注意方程思想的运用．
针对训练3
【变式3-1】已知：直线EF分别与直线AB，CD相交于点G，H，并且∠AGE+∠DHE＝180°．
（1）如图1，求证：AB∥CD；
（2）如图2，点M在直线AB，CD之间，连接GM，HM，求证：∠M＝∠AGM+∠CHM；
（3）如图3，在（2）的条件下，射线GH是∠BGM的平分线，在MH的延长线上取点N，连接GN，若∠N＝∠AGM，∠M＝∠N+∠FGN，求∠MHG的度数．
【答案】（1）略 （2）略 （3）60°
【解答】（1）证明：如图1，∵∠AGE+∠DHE＝180°，∠AGE＝∠BGF．
∴∠BGF+∠DHE＝180°，
∴AB∥CD；
（2）证明：如图2，过点M作MR∥AB，
又∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥MR．
∴∠GMR＝∠AGM，∠HMR＝∠CHM．
∴∠GMH＝∠GMR+∠RMH＝∠AGM+∠CHM．
（3）解：如图3，令∠AGM＝2α，∠CHM＝β，则∠N＝2α，∠M＝2α+β，
∵射线GH是∠BGM的平分线，
∴，
∴∠AGH＝∠AGM+∠FGM＝2α+90°﹣α＝90°+α，
∵，
∴，
∴∠FGN＝2β，
过点H作HT∥GN，
则∠MHT＝∠N＝2α，∠GHT＝∠FGN＝2β，
∴∠GHM＝∠MHT+∠GHT＝2α+2β，
∠CHG＝∠CHM+∠MHT+∠GHT＝β+2α+2β＝2α+3β，
∵AB∥CD，
∴∠AGH+∠CHG＝180°，
∴90°+α+2α+3β＝180°，
∴α+β＝30°，
∴∠GHM＝2（α+β）＝60°．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质的运用，解决问题的关键是作平行线构造内错角.利用平行线的性质解决问题是解题关键
【变式3-2】如图1，AB∥CD，EOF是直线AB、CD间的一条折线．
（1）试证明：∠O＝∠BEO+∠DFO．
（2）如果将折一次改为折二次，如图2，则∠BEO、∠O、∠P、∠PFC之间会满足怎样的数量关系，证明你的结论．
【答案】见解析
【分析】（1）作OM∥AB，根据平行线的性质得∠1＝∠BEO，由于AB∥CD，根据平行线的传递性得OM∥CD，根据平行线的性质得∠2＝∠DFO，所以∠1+∠2＝∠BEO+∠DFO；
（2）作OM∥AB，PN∥CD，由AB∥CD得到OM∥PN∥AB∥CD，根据平行线的性质得∠1＝∠BEO，∠2＝∠3，∠4＝∠PFC，所以∠1+∠2+∠PFC＝∠BEO+∠3+∠4，即∠O+∠PFC＝∠BEO+∠P．
【解答】（1）证明：作OM∥AB，如图1，
∴∠1＝∠BEO，
∵AB∥CD，
∴OM∥CD，
∴∠2＝∠DFO，
∴∠1+∠2＝∠BEO+∠DFO，
即：∠O＝∠BEO+∠DFO．
（2）解：∠O+∠PFC＝∠BEO+∠P．理由如下：
作OM∥AB，PN∥CD，如图2，
∵AB∥CD，
∴OM∥PN∥AB∥CD，
∴∠1＝∠BEO，∠2＝∠3，∠4＝∠PFC，
∴∠1+∠2+∠PFC＝∠BEO+∠3+∠4，
∴∠O+∠PFC＝∠BEO+∠P．
【点评】本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．
【考点四 与拐点有关的探究题】
【典例4-1】已知AB∥CD，点E是AB，CD之间的一点．
（1）如图1，试探索∠AEC，∠BAE，∠DCE之间的数量关系；
以下是小明同学的探索过程，请你结合图形仔细阅读，并完成填空（理由或数学式）：
解：过点E作PE∥AB（过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行）．
∵AB∥CD（已知），
∴PE∥CD（ 　 　），
∴∠BAE＝∠1，∠DCE＝∠2（ 　 　），
∴∠BAE+∠DCE＝　 +　 　（等式的性质）．
即∠AEC，∠BAE，∠DCE之间的数量关系是 　 　．
（2）如图2，点F是AB，CD之间的一点，AF平分∠BAE，CF平分∠DCE．
①若∠AEC＝74°，求∠AFC的大小；
②若CG⊥AF，垂足为点G，CE平分∠DCG，∠AEC+∠AFC＝126°，求∠BAE的大小．
【答案】（1） 平行于同一条直线的两条直线平行，两直线平行，内错角相等，∠1，∠2，
∠AEC＝∠BAE+∠DCE， （2）52°
【解答】解：（1）平行于同一条直线的两条直线平行，
两直线平行，内错角相等，
∠1，∠2，
∠AEC＝∠BAE+∠DCE，
故答案为：平行于同一条直线的两条直线平行，
两直线平行，内错角相等，
∠1，∠2，
∠AEC＝∠BAE+∠DCE，
（2）①由（1）得：
∠AEC＝∠BAE+∠DCE，
∠AFC＝∠BAF+∠DCF，
∵AF平分∠BAE，CF平分∠DCE，
∴∠BAF＝∠BAE，∠DCF＝∠DCE，
∴∠AFC＝∠BAF+∠DCF
＝∠BAE+∠DCE
＝∠AEC
＝×74°
＝37°；
②由①得：∠AEC＝2∠AFC，
∵∠AEC+∠AFC＝126°，
∴∠AFC＝42°，∠AEC＝82°，
∵CG⊥AF，
∴∠CGF＝90°，
∴∠GCF＝48°，
∵CE平分∠DCG，
∴∠GCE＝∠ECD，
∵CF平分∠DCE，
∴∠DCE＝2∠DCF＝2∠ECF，
∴∠GCF＝3∠DCF，
∴∠DCF＝16°，
∴∠DCE＝32°，
∴∠BAE＝∠AEC﹣∠DCE＝52°．
【典例4-2】小明同学遇到这样一个问题：
如图①，已知：AB∥CD，E为AB、CD之间一点，连接BE，ED，得到∠BED．
求证：∠BED＝∠B+∠D．
小亮帮助小明给出了该问的证明．
证明：
过点E作EF∥AB，则有∠BEF＝∠B．
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠FED＝∠D，
∴∠BED＝∠BEF+∠FED＝∠B+∠D．
请你参考小亮的思考问题的方法，解决问题：
直线l1∥l2，直线EF和直线l1、l2分别交于C、D两点，点A、B分别在直线l1、l2上，
猜想：如图②，若点P在线段CD上，∠PAC＝15°，∠PBD＝40°，求∠APB的度数．
拓展：如图③，若点P在直线EF上，连接PA、PB（BD＜AC），直接写出∠PAC、∠APB、∠PBD之间的数量关系．
【分析】猜想：过点P作PH∥AC，然后得到BD∥PH，从而得到∠PAC＝∠APH，∠PBD＝∠BPH，然后得到∠APB的度数；
拓展：分情况讨论，当点P在线段CD上时，当点P在射线DF上时，当点P在射线CE上时，然后过点P作PH∥AC，再利用平行线的性质进行探究角之间的数量关系．
【解答】解：猜想：如图1，过点P作PH∥AC，则∠PAC＝∠APH，
∵l1∥l2，
∴BD∥PH，
∴∠PBD＝∠BPH，
∴∠APB＝∠APH+∠BPH＝∠PAC+∠PBD，
∵∠PAC＝15°，∠PBD＝40°，
∴∠APB＝15°+40°＝55°．
拓展：①如图1，当点P在线段CD上时，
由猜想可知，∠APB＝∠PAC+∠PBD；
②如图2，当点P在射线DP上时，
过点P作PH∥AC，则∠PAC＝∠APH，
∵l1∥l2，
∴BD∥PH，
∴∠PBD＝∠BPH，
∴∠APB＝∠APH﹣∠BPH＝∠PAC﹣∠PBD；
③如图3，当点P在射线CE上时，
过点P作PH∥AC，则∠PAC＝∠APH，
∵l1∥l2，
∴BD∥PH，
∴∠PBD＝∠BPH，
∴∠APB＝∠BPH﹣∠APH＝∠PBD﹣∠PAC；
综上所述，∠PAC、∠APB、∠PBD之间的数量关系为∠APB＝∠PAC+∠PBD或∠APB＝∠PAC﹣∠PBD或∠APB＝∠PBD﹣∠PAC．
【点评】本题考查了平行线的性质，解题的关键是熟练作出辅助线构造平行线，然后通过平行线的性质得到内错角相等．
【变式4-1】直线，A是上一点，B是上一点，直线和直线，交于点C和D，在直线CD上有一点P．
（1）如果P点在C、D之间运动时，问、、有怎样的数量关系？请说明理由．
（2）若点P在C、D两点的外侧运动时（P点与点C、D不重合），试探索、、之间的关系又是如何？（请直接写出答案，不需要证明）
【答案】（1）．理由见解析；（2）或．
【分析】（1）过点P作，即可得到，然后根据平行线的性质进行求解即可；
（2）分当P在AC的上方时和当P在BD的下方时，两种情况，利用平行线的性质求解即可.
【详解】（1）．
过点P作，如图1所示．
因为，，
所以，
所以，，
因为，
所以
（2）
如图当P在AC的上方时，
过点P作，如图2所示．
因为，，
所以，
所以，，
因为，
所以；
如图当P在BD的下方时，
过点P作，如图2所示．
因为，，
所以，
所以，，
因为，
所以；
∴综上所述：或．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及角的计算，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解
【变式4-2】（1）如图1，直线AB∥CD．点P在直线AB，CD之间，试说明：∠BAP+∠APC+∠PCD＝360°．
小明说明的过程是这样的：“过点P作PE∥AB，…”
请按照小明的思路写出完整的解答说明过程．
（2）①直线AB∥CD，点P，Q在直线AB，CD之间，且点P，Q在直线AC的同侧，如图2，试探究∠BAP，∠APQ，∠PQC，∠QCD之间的数量关系，并说明理由；
②直线AB∥CD，点P，Q在直线AB，CD之间，且点P，Q在直线AC的两侧．如图3，试探究∠BAP，∠APQ，∠PQC，∠QCD之间的数量关系，并说明理由．
请在①②任选一个问题进行解答．
（3）如图4，若a∥b，直接写出图中x的度数（不用说理）．
【分析】（1）过点P作PE∥AB，根据平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补，可得∠BAP+∠APE＝180°，∠DCP+CPE＝180°，根据等式的性质可得∠BAP+∠APE+∠DCP+CPE＝360°，即可得出答案；
（2）①过点P作PE∥AB，过点Q作QF∥CD，如图5，根据平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补，∠BAP+∠APE＝180°，∠EPQ+∠PQF＝180°，∠FQC+∠QCD＝180°，根据等式的性质可得∠BAP+∠APE+∠EPQ+∠PQF+∠FQC+∠QCD＝180°+180°+180°，即可得出答案；
（3）如图4，根据平行线模型﹣锯齿模型定理，朝向左边的角的和＝朝向右边的角的和，根据邻补角的定义，120°角的邻补角为60°，所以可列x+48°＝60°+30°+30°，求出x即可得出答案．
【解答】解：（1）过点P作PE∥AB，
∵AB∥PE，
∴∠BAP+∠APE＝180°，
∵CD∥PE，
∴∠DCP+CPE＝180°，
∴∠BAP+∠APE+∠DCP+CPE＝360°，
∴∠BAP+∠APC+∠PCD＝360°；
（2）①过点P作PE∥AB，过点Q作QF∥CD，如图5，
∵PE∥AB，
∴∠BAP+∠APE＝180°，
∵AB∥CD，
∴PE∥QF，
∴∠EPQ+∠PQF＝180°，
∵QF∥CD，
∴∠FQC+∠QCD＝180°，
∵∠BAP+∠APE+∠EPQ+∠PQF+∠FQC+∠QCD＝180°+180°+180°，
∴∠BAP+∠APQ+∠PQC+∠QCD＝540°；
（3）x＝72°．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质进行求解是解决本题的关键．
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