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人教A版（2019）必修第一册《2.2 基本不等式》提升训练
一 、单选题（本大题共10小题，共50分）
1.（5分）等差数列的公差，，且，，成等比数列．为的前项和，则的值为
A. B. C. D.
2.（5分）记为等差数列的前项和．已知，，则
A.
B.
C.
D.
3.（5分）设等差数列的前项和为，则是的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.（5分）已知数列是各项均为正数的等比数列，且是方程的两个根．则
A. B. C. D.
5.（5分）为了参加冬季运动会的长跑比赛，某同学给自己制定了天的训练计划：第天跑，以后何天比前天多跑，则这个同学天一共将跑
A. B. C. D.
6.（5分）已知数列的前项和为，，若存在两项，使得，则的最小值为
A. B. C. D.
7.（5分）已知正项等比数列满足，若存在两项，使得，则的最小值为
A. B. C. D.
8.（5分）若数列满足，则的前项的和是
A. B. C. D.
9.（5分）已知数列的前项和，且，则
A. B. C. D.
10.（5分）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列，，，，，，，，，，，，，，，，其中第一项是，接下来的两项是，，再接下来的三项是，，，依此类推求满足如下条件的最小整数：且该数列的前项和为的整数幂，那么该款软件的激活码是
A.
B.
C.
D.
二 、多选题（本大题共4小题，共20分）
11.（5分）记等差数列的前项和为，已知，，则有
A. B. C. D.
12.（5分）已知是等差数列的前项和，且，以下有四个命题，其中正确的有
A. 数列的公差 B. 数列中的最大项为
C. D.
13.（5分）设数列的前项和为，，，则下列结论正确的是
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
14.（5分）各项均为正数的等比数列的前项积为，若，公比，则下列命题正确的是
A. 若，则必有 B. 若，则必有是中最大的项
C. 若，则必有 D. 若，则必有
三 、填空题（本大题共4小题，共20分）
15.（5分）等差数列的前项和为，，，则______．
16.（5分）在和之间插入两个正数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的两个正数分别是______.
17.（5分）已知数列中：，记的前项和为，且满足：，若对任意，都有，则首项的取值范围为 ______.
18.（5分）已知定义在上的奇函数满足，，数列的前项和为，且，，则______．
四 、解答题（本大题共6小题，共72分）
19.（12分）已知首项为的等比数列的前项和为．
求的通项公式；
著，，求数列的前项和．
20.（12分）在①，，成等比数列，且；②，且这两个条件中任选一个填入下面的横线上并解答．
已知数列是公差不为的等差数列，，其前项和为，数列的前项和为，若______
求数列，的通项公式；
求数列的前项和注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
21.（12分）已知数列满足，
求的通项公式；
设，数列的前项和为，若存在，使，求的取值范围.
22.（12分）在数列中，已知，，
求数列的通项公式；
设数列的前项和为，问是否存在正整数，，使得若存在，求出所有的正整数对；若不存在，请说明理由．
23.（12分）已知数列的前项和为，，且
求的通项公式；
若，数列的前项和为，求证：
24.（12分）已知数列满足
证明：是等比数列；
令，求数列的前项和．
答案和解析
1.【答案】D;
【解析】解：设等差数列的公差为，，，成等比数列．
可得：，
解得，或舍去．
．
故选：．
利用等比关系求出数列的公差，然后求解的值．
此题主要考查等差数列以及等比数列的通项公式的应用，等差数列的求和，考查计算能力．
2.【答案】A;
【解析】
该题考查等差数列的通项公式以及前项和公式，属于基础题．
根据题意，设等差数列的公差为，则有，求出首项和公差，然后求出通项公式和前项和即可．

解：设等差数列的公差为，
由，，
得，
，
，，
故选：．
3.【答案】A;
【解析】
根据等差数列的通项公式和前项和公式，将左右两端进行转化，再进行判断．
此题主要考查等差数列的通项公式，前项和公式的简单应用，及充要条件的判断．属于基础题．

解：设：，：
化简：；
：，即 ， 即
易知是的充分不必要条件．
故选
4.【答案】A;
【解析】解：根据题意，数列是各项均为正数的等比数列，且与方程的两个根，
则，则有，
则；
故选：．
根据题意，由根与系数的关系可得，又由等比数列的性质可得，进而结合对数的运算性质计算即可得答案．
该题考查等比数列的性质，涉及对数的运算，属于基础题．
5.【答案】A;
【解析】解：此同学每天跑步的长度组成等差数列，，．
这个同学天一共将跑．
故选：．
此同学每天跑步的长度组成等差数列，，利用求和公式即可得出．
此题主要考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
6.【答案】B;
【解析】
该题考查数列的通项公式的求法，考查基本不等式的运用，注意检验等号成立的条件，属于中档题．
运用数列的递推式和等比数列的定义、通项公式可得求得，，运用基本不等式，检验等号成立的条件，即可得到所求最小值．


解：，可得，即，
时，，又，
相减可得，即，
是首项为，公比为的等比数列．
所以．
，即，
得，
所以

，
当且仅当时取等号，即为，．
因为、取整数，所以均值不等式等号条件取不到，则，
验证可得，当，时，取得最小值为．
故选：．
7.【答案】B;
【解析】
此题主要考查了等比数列的通项公式，基本不等式，属于中档题．正项等比数列满足，，则，即，解出，即可得到当，时、的关系式，进而得到结论．
【解析】
解：依题意，正项等比数列满足，
所以，即，
解得或，
因为数列是正项等比数列，
所以，
所以，
又知道，
所以，即，
所以，
当且仅当时等号成立，故等号不成立，
当，时，，
当时，，
当，时，，
故选：
8.【答案】D;
【解析】解：，
可得，，，，，
设，则，，，，，，，
，，，，，
可得每隔项的和构成首项为，公差为的等差数列，
即有的前项的和是．
故选：．
通过计算数列的前几项，归纳得到每隔项的和为首项为，公差为的等差数列，再由等差数列的求和公式，计算可得所求和．
该题考查数列的求和，注意运用归纳法，以及等差数列的求和公式，考查运算能力和推理能力，属于中档题．
9.【答案】B;
【解析】解：因为，
所以当时，，
故
故选：
，又由，后由累乘法可得答案．
此题主要考查数列递推式，数列的求和，考查运算求解能力，属于中档题．
10.【答案】A;
【解析】
该题考查数列的应用，等差数列与等比数列的前项和，考查计算能力，属于难题．
由题意求得数列的每一项，及前项和，及总共的项数，由题意可知：为的整数幂．只需将消去即可，从而可求得的值．

解：由题意可知，数列可看作：第一项，第二项：，第三项：，，第项：，
根据等比数列前项和公式，求得每项和分别为：，，，，，
每项含有的项数为：，，，，，
总共的项数为，
所有项数的和为
，
由题意可知：为的整数幂，只需将消去即可，
则，解得：，
总共有，不满足，
，解得：，
总共有，不满足，
，解得：，
总共有，不满足，
，解得：，
总共有，满足，
该款软件的激活码是．
故选A．
11.【答案】ACD;
【解析】解：设等差数列的公差为，
由，得，解得，，选项正确；
所以，选项错误；，选项正确；
又，所以，选项正确．
故选：
设等差数列的公差为，根据，，从而求解出与的值即可对选项进行逐一判断．
此题主要考查等差数列的通项公式，前项和公式，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题．
12.【答案】AC;
【解析】解：已知是等差数列的前项和，且，
所以，即，由于，即，
对于：所以，故公差，故A正确，
对于：由于，，所以数列的中的最大项为最大，故B错误；
对于：，故C正确，
对于：由于，故D错误．
故选：．
直接利用等差数列的性质和等差数列的前项和的应用判断、、、的结论．
此题主要考查的知识要点：等差数列的性质，等差数列的前项和，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．
13.【答案】AD;
【解析】
此题主要考查等差数列，等比数列的求和公式及性质，周期数列的性质，属于中档题。解：当，时，，所以
因为，所以是首项为，公比为的等比数列，则，故正确.
当，时，，即因为，所以，
则，故错误.
当，时，，因为，所以，，
所以是周期为的周期数列，则，故错误.
当，时，，则，
即
因为，所以，所以是首项为，公比为的等比数列，所以，
即，故正确.
14.【答案】ABC;
【解析】解：由等比数列，可知，由等比数列的前项积结合等差数列性质可知：，
对于，若，可得，即，，故正确；
对于，若，可得，即，
又，故，又，可知，
利用等比数列性质知，可知，，，，故是中最大的项，故正确；
对于，若，则，
即，又，则，可得，故，故正确；
对于，若，则，无法判断其与““的大小关系，故错误．
故选：
根据题意，结合等比数列的通项公式、等差数列的前项和公式，以及等比数列的性质，逐项分析，即可求解．
此题主要考查了等比数列的通项公式及等差数列前项和公式，以及等比数列的性质的应用，属于中档题．
15.【答案】;
【解析】
该题考查等差数列的求和，裂项消项法求和的应用，考查计算能力，属于中档题．
利用已知条件求出等差数列的前项和，然后化简所求的表达式，求解即可．
【解析】
解：等差数列的前项和为，，，
由，
可得，等差数列的公差为，首项为，
所以
，，
则
．
故答案为．
16.【答案】6，18;
【解析】解：设此数列为，，，
于是有，
解得，
故插入的两个正数为，，
故答案为：，
依题意设出此数列，进而根据等比中项的性质和等差中项的性质联立方程组求得和，则插入的两个数可求．
此题主要考查等比数列的性质．考查了考生分析问题和解决问题的能力．
17.【答案】;
【解析】解：①，
②，
由②①得，即，
，
当，时，，
当，时，，
当，时，，
又当时，，
对任意，都有，，
，，
，解得，
故首项的取值范围为，
故答案为：
根据数列的递推式，利用作差法可得，即，结合等差数列的定义，分类讨论，，，求出通项，列出关于首项的不等式组，求解即可得出答案．
此题主要考查由数列的递推式求出数列的通项和等差数列的定义，考查转化思想和分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
18.【答案】3;
【解析】解：函数是奇函数

，
，
，

是以为周期的周期函数．
数列满足，且，，，
即，，以为首项，为公比的等比数列．
．
，

故答案为：．
先由函数是奇函数，，推知，得到是以为周期的周期函数．再由，且，推知，计算即可．
这道题主要考查函数性质的转化与应用以及数列的通项及求和公式，在函数性质综合应用中相互结合转化中奇偶性，对称性和周期性之间是一个重点．
19.【答案】解：（1）设公比为q，则1+q+=3，
解得q=1或q=-2，
所以=1或．
（2）依题意可得=n-1，
所以，
所以…．;
【解析】
由，求出，代入即可；
求出，裂项相消法，求出即可．
考查求等比数列的通项公式和裂项相消法求前项和，基础题．
20.【答案】解：设等差数列的公差为，则，
选①，因为，，成等比数列，故，即，
解得或舍，所以
由可得，所以，即
又当时，，得，故
所以为定值，数列是首项为，公比为的等比数列，故
所以，
由可知，，
所以，
，
所以，
即，
所以;
【解析】此题主要考查等差，等比数列的通项公式及求和公式，考查错位相减法求和，属中档题.
设等差数列的公差为，则，
选①得，求得，即可求得，由得，得数列是首项为，公比为的等比数列，得
由可知，，根据错位相减法求和即可.
21.【答案】;
【解析】
依题意可得，再结合等比数列的定义即可求解；
由可得，再分为偶数和奇数两类情况并结合裂项求和法讨论即可．
此题主要考查了等比数列的通项公式和裂项相消求和，属于中档题．
22.【答案】解：由，，
可得数列的奇数项是以为首项，公差为的等差数列；
偶数项是以为首项，公比为的等比数列．
对任意正整数，；
数列的通项公式，
……

，

假设存在正整数，，使得，
则，
，
从而，，
又，，，
①当时，式左边大于，右边等于，不成立．
②当时，式左边等于，，解得，
③当时，式可化为，显然不满足，
当时，存在，，，使得，，且，
从而，，，
，，于是，
综上可知，符合条件的正整数对只有两对：，;
【解析】此题主要考查了递推关系、等差数列与等比数列的通项公式及其前项和公式，属于难题．
由题意可得数列的奇数项是以为首项，公差为的等差数列；偶数项是以为首项，公比为的等比数列，分别利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出．
，，假设存在正整数，，使得，化为，可得，，分类讨论即可得出．
23.【答案】;
【解析】
根据题意，由与的关系可得是以为首项，为公比的等比数列，从而求得结果；
根据题意，由裂项相消法即可求得，即可证明．
此题主要考查等比数列的定义与通项公式的应用，裂项求和法的应用，属中档题．
24.【答案】解：（1）证明：由S1=2-1得：=1，
因为Sn-Sn-1=（2-n）-（2-（n-1））（n≥2），
所以=2+1，从而由+1=2（+1）得（n≥2），
所以{+1}是以2为首项，2为公比的等比数列；
（2）由（1）得，
所以，即，
所以=．;
【解析】
由数列的递推式和等比数列的定义，即可得证；
求得，即，再由裂项相消求和，化简计算可得所求和．
此题主要考查数列的递推式的运用，考查等比数列的定义和通项公式，以及数列的裂项相消求和求和，考查化简运算能力，属于中档题．

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