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必备知识与能力五：二级结论
1.三点共线充要条件
（结论）设平面上三点,,不共线,则平面上任意一点与,共线的充要条件是存在实数与,使得,且.特别地,当为线段的中点时,.
练习1：（1）已知分别是的边上的中线,且,则可用向量表示为_____（答：）；
（2）已知△ABC的重心为G，经过点G的直线交AB于D，AC于E，若＝λ，＝μ，则＋＝________.
【解析】如图，设F为BC中点，
则＝＝(＋)，又＝，＝，
∴＝＋，又G，D，E三点共线，∴＋＝1，即＋＝3.
（3）如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，过点O的直线与AB，AD所在直线分别交于点M，N，若，（m＞0，n＞0），则的最小值为
【解析】
∵M、O、N三点共线， ，则，
当且仅当m=n时取“=”，故答案为2.
(4)已知M，P，N是平面上不同的三点，点A是此平面上任意一点，则“M，P，N三点共线”的充要条件是“存在实数，使得”．此结论往往称为向量的爪子模型．
(1)给出这个结论的证明；
(2)在的边、上分别取点E、F，使，，连结、交于点G．设，．利用上述结论，求出用、表示向量的表达式．
【解析】（1）先证充分性．若，
则，，
即，，故M，P，N三点共线．
再证必要性．若M，P，N三点共线，则存在实数，使得，
即，，故．
综上知，结论成立．
（2）利用A，G，F和B，G，E共线的充要条件，存在实数，使得
则，解得．
故．
2.三角形的重心坐标公式
△ABC三个顶点的坐标分别为、、,则△ABC的重心的坐标是.
练习2.(1)若⊿ABC的三边的中点分别为（2，1）、（-3，4）、（-1，-1），则⊿ABC的重心的坐标为_______（答：）；
(2)如图，在中，已知，BC，AC边上的两条中线AM，BM相交于点P，则的余弦值为 .
【答案】
【解析】法一:基底法∵M，N分别是BC，AC的中点，
.
与的夹角等于.
，
，
，
．
法二:坐标法(自主完成)
3、向量三角不等式
，特别地，当同向或有
；当反向或有；当不共线(这些和实数比较类似).
练习3:（1）若,满足,则的最大值为____________，最小值为____________；
【答案】 5 ;1
【解析】（1），当且仅当，同向时取等号，
又，当且仅当，反向时取等号，
.
(2)已知a，b是单位向量，a·b＝0.若向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的最大值是________．
【解析】法一:　由a·b＝0，得a⊥b.如图所示，分别作＝a，＝b，作＝a＋b，则四边形OACB是边长为1的正方形，所以||＝.
作＝c，则|c－a－b|＝|－|＝||＝1.所以点P在以C为圆心，1为半径的圆上．由图可知，当点O，C，P三点共线且点P在点P1处时，||取得最大值＋1.故|c|的最大值是＋1.
法二:　易知|a＋b|＝，|c－a－b|＝|c－(a＋b)|≥||c|－|a＋b||＝||c|－|，
由已知得||c|－|≤1，所以|c|≤1＋，故|c|max＝＋1.
4.
练习4(1) 若平面向量，满足：；则的最小值是．
【答案】
【解析】，
∴
(2)向量是解决数学问题的一种重要工具，我们可以应用向量的数量积来解决不等式等问题．
（1）（ⅰ）若，，比较与的大小；
（ⅱ）若，，比较与的大小；
（2），为非零向量，，，证明：；
（3）设为正数，，，，求的值．
【解析】（1）（ⅰ），，
∴；
（ⅱ），，
∴；
（2）∵，，而，
∴；
（3）设，∴，，
∴，而为正数，∴，
即，则同向.设，即，∴，
∴.
5.用极化恒等式解平面向量问题
极化恒等式：.
三角形模型中：如图，在中，D为BC中点，.
平行四边形模型：如图，在平行四边形ABCD中， .
练习5：在△ABC中，M是BC的中点，AM=3，BC=10，则=________.
【解析】法一: 极化恒等式：=-16
法二:
，
，，两式子相加为，
，
.
6.三角形“四心”：重心，垂心，内心，外心
（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1；
（2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直；
（3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；
（4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。
7.三角形四“心”向量形式的充要条件
设为所在平面上一点，角所对边长分别为，则
（1）为的外心 ||＝||＝||＝.
（2）为的重心.
（3）为的垂心.
（4）为的内心.
②为的重心，特别地为的重心；
③为的垂心；
④向量所在直线过的内心(是的角平分线所在直线)；
⑤的内心；
练习7.（1）下列各题从下面选项中选择
外心　　B．内心 C．重心　　D．垂心
①点P是△ABC所在平面上一点，若·＝·＝·，则点P是△ABC的(　　) 答：C
②O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足＝＋，λ∈(0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的(　　)答：B
③已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则的轨迹一定通过的（ ）答：C
④已知是平面上的一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则动点的轨迹一定通过的（ ）答：D.
（2）已知A，B，C是平面上不共线的三点，O为坐标原点，动点P满足＝[(1－λ)＋(1－λ)＋(1＋2λ)·]，λ∈R，则点P的轨迹一定经过(　　)
A．△ABC的内心 B．△ABC的垂心 C．△ABC的重心 D．AB边的中点
答：　C
【解析】若取AB的中点D，则2＝＋，∵＝[(1－λ)＋(1－λ)＋(1＋2λ)]，
∴＝[2(1－λ)＋(1＋2λ)]＝＋，
而＋＝1，∴P，C，D三点共线，∴点P的轨迹一定经过△ABC的重心．
（3）已知点，，若，则当＝____时，点P在第一、三象限的角平分线上（答：）；
（4）在直角坐标系xOy中，已知点A(0,1)和点B(－3,4)，若点C在∠AOB的平分线上，且||＝3，则向量的坐标为________．
【解析】因为点C在∠AOB的平分线上，所以存在λ∈(0，＋∞)，使得＝.∴＝λ(0,1)＋λ（）＝，又||＝3，
所以(3)2，解得λ＝5.故向量＝(－3,9).
（5）若点是的外心，且，则的内角为____（答：）；
（6）在△ABC中，AB＝5，AC＝6，cos A＝，O是△ABC的内心，若＝x＋y，其中x，y∈[0,1]，则动点P的轨迹所覆盖图形的面积为(　　)
A. B． C．4 D．6
答：　B
【解析】　根据向量加法的平行四边形法则可知，动点P的轨迹是以OB，OC为邻边的平行四边形及其内部，其面积为△BOC的面积的2倍．
在△ABC中，设内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，得a＝7.设△ABC的内切圆的半径为r，则bcsin A＝(a＋b＋c)r，解得r＝，
所以S△BOC＝×a×r＝×7×＝.
故动点P的轨迹所覆盖图形的面积为2S△BOC＝.
（7）在△ABC中，O为其外心，·＝，且＋＋＝0，则边AC的长是________．
【答案】　－1
【解析】　设△ABC外接圆的半径为R，∵O为△ABC的外心，
∴||＝||＝||＝R，又＋＋＝0，则＋＝－，
∴32＋2＋2·＝72，从而·＝R2，又·＝，所以R2＝2，
又·＝||||cos∠AOC＝R2cos∠AOC＝，∴cos∠AOC＝，∴∠AOC＝，
在△AOC中，由余弦定理得AC2＝OA2＋OC2－2OA·OC·cos∠AOC
＝R2＋R2－2R2×＝(2－)R2＝4－2.所以AC＝－1.
（8） 在△ABC中，AB＝5，AC＝2，BC边上的高AD＝4，且垂足D在线段BC上，H为△ABC的垂心，且＝x＋y(x，y∈R)，则＝________.
【解析】因为AB＝5，AC＝2，AD＝4，AD⊥BC于D，由勾股定理得BD＝3，CD＝2，则＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，
又因为点H为△ABC的垂心，AD为三角形的高，
所以点H在AD上，则存在实数λ，使得＝λ＝λ＋λ＝x＋y，
则x＝λ，y＝λ，所以＝.
8.三角形中的射影定理
在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B.
练习8：在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若ccos B＋bcos C＝，且b2＋c2－a2＝bc，则三角形ABC的外接圆半径的长为(　　)
A. B. C.2 D.1
【解析】∵ccos B＋bcos C＝c·＋b·
＝＝a，即a＝.
又cos A＝＝，∵0由正弦定理可得三角形外接圆的半径R满足＝2R，解得R＝1，故选D.
9.平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍。
练习9:设a，b为单位向量，且|a＋b|＝1，则|a－b|＝________.答:　
10、奔驰定理
奔驰定理：设是内一点，,,的面积分别记作,,则.
奔驰定理在三角形四心中的具体形式：
①是的重心.
②是的内心.
练习10： (多选)有下列说法其中错误的说法为　　
A．若，，则
B．若，，分别表示，的面积，则
C．两个非零向量，，若，则与共线且反向
D．若，则存在唯一实数使得
【解析】若，，且，则或，不共线，故错误；
若，设，，可得为△的重心，
设，，，则，，，由，可得，故正确；
两个非零向量，，若，则与共线且反向，故正确；
若，且，则实数可有无数个使，故错误．故选：．必备知识与能力五：二级结论
1.三点共线充要条件
（结论）设平面上三点,,不共线,则平面上任意一点与,共线的充要条件是存在实数与,使得,且.特别地,当为线段的中点时,.
练习1：（1）已知分别是的边上的中线,且,则可用向量表示为_____；
（2）已知△ABC的重心为G，经过点G的直线交AB于D，AC于E，若＝λ，＝μ，则＋＝________.
（3）如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，过点O的直线与AB，AD所在直线分别交于点M，N，若，（m＞0，n＞0），则的最小值为
(4)已知M，P，N是平面上不同的三点，点A是此平面上任意一点，则“M，P，N三点共线”的充要条件是“存在实数，使得”．此结论往往称为向量的爪子模型．
(1)给出这个结论的证明；
(2)在的边、上分别取点E、F，使，，连结、交于点G．设，．利用上述结论，求出用、表示向量的表达式．
2.三角形的重心坐标公式
△ABC三个顶点的坐标分别为、、,则△ABC的重心的坐标是.
练习2.(1)若⊿ABC的三边的中点分别为（2，1）、（-3，4）、（-1，-1），则⊿ABC的重心的坐标为_______（答：）；
(2)如图，在中，已知，BC，AC边上的两条中线AM，BM相交于点P，则的余弦值为 .
3、向量三角不等式
，特别地，当同向或有
；当反向或有；当不共线(这些和实数比较类似).
练习3:（1）若,满足,则的最大值为____________，最小值为____________；
(2)已知a，b是单位向量，a·b＝0.若向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的最大值是________．
4.
练习4(1) 若平面向量，满足：；则的最小值是．
(2)向量是解决数学问题的一种重要工具，我们可以应用向量的数量积来解决不等式等问题．
（1）（ⅰ）若，，比较与的大小；
（ⅱ）若，，比较与的大小；
（2），为非零向量，，，证明：；
（3）设为正数，，，，求的值．
5.用极化恒等式解平面向量问题
极化恒等式：.
三角形模型中：如图，在中，D为BC中点，.
平行四边形模型：如图，在平行四边形ABCD中， .
练习5：在△ABC中，M是BC的中点，AM=3，BC=10，则=________.
6.三角形“四心”：重心，垂心，内心，外心
（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1；
（2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直；
（3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；
（4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。
7.三角形四“心”向量形式的充要条件
①设为所在平面上一点，角所对边长分别为，则
（1）为的外心 ||＝||＝||＝.
（2）为的重心.
（3）为的垂心.
（4）为的内心.
②为的重心，特别地为的重心；
③为的垂心；
④向量所在直线过的内心(是的角平分线所在直线)；
⑤的内心；
练习7.（1）下列各题从下面选项中选择
外心　　B．内心 C．重心　　D．垂心
①点P是△ABC所在平面上一点，若·＝·＝·，则点P是△ABC的(　　)
②O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足＝＋，λ∈(0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的(　　)
③已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则的轨迹一定通过的（ ）
④已知是平面上的一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则动点的轨迹一定通过的（ ）
（2）已知A，B，C是平面上不共线的三点，O为坐标原点，动点P满足＝[(1－λ)＋(1－λ)＋(1＋2λ)·]，λ∈R，则点P的轨迹一定经过(　　)
A．△ABC的内心 B．△ABC的垂心 C．△ABC的重心 D．AB边的中点
（3）已知点，，若，则当＝____时，点P在第一、三象限的角平分线上；
（4）在直角坐标系xOy中，已知点A(0,1)和点B(－3,4)，若点C在∠AOB的平分线上，且||＝3，则向量的坐标为________．
（5）若点是的外心，且，则的内角为____；
（6）在△ABC中，AB＝5，AC＝6，cos A＝，O是△ABC的内心，若＝x＋y，其中x，y∈[0,1]，则动点P的轨迹所覆盖图形的面积为(　　)
A. B． C．4 D．6
（7）在△ABC中，O为其外心，·＝，且＋＋＝0，则边AC的长是________．
（8） 在△ABC中，AB＝5，AC＝2，BC边上的高AD＝4，且垂足D在线段BC上，H为△ABC的垂心，且＝x＋y(x，y∈R)，则＝________.
8.三角形中的射影定理
在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B.
练习8：在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若ccos B＋bcos C＝，且b2＋c2－a2＝bc，则三角形ABC的外接圆半径的长为
9.平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍。
练习9:设a，b为单位向量，且|a＋b|＝1，则|a－b|＝________.
10、奔驰定理
奔驰定理：设是内一点，,,的面积分别记作,,则.
奔驰定理在三角形四心中的具体形式：
①是的重心.
②是的内心.
练习10： (多选)有下列说法其中错误的说法为　　
A．若，，则
B．若，，分别表示，的面积，则
C．两个非零向量，，若，则与共线且反向
D．若，则存在唯一实数使得

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