资源简介

必修二第八章《立体几何初步》必备知识与能力盘点
一、空间几何体概念辨析
1.平行六面体：
①定义：底面是平行四边形的四棱柱叫做平行六面体；
②几类特殊的平行六面体：{平行六面体}{直平行六面体}{长方体}{正四棱柱}{正方体}；
③性质：（I）平行六面体的任何一个面都可以作为底面；（II）平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分；（III）平行六面体的四条对角线的平方和等于各棱的平方和；（III）长方体的一条对角线的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和。
2.正棱柱：底面为正多边形的直棱柱（直棱柱：侧棱垂直于底面）
练习1：（多选）下列关于四棱柱的四个命题，其中真命题的为（ ）
若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直棱柱；
若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直棱柱；
若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直棱柱；
若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直棱柱。（答：BD）。
3.正棱锥：（I）定义：如果一个棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫正棱锥。特别地，侧棱与底面边长相等的正三棱锥叫做正四面体。
（II）性质：①正棱锥的各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高（叫侧高）也相等。②正棱锥的高、斜高、斜高在底面的射影（底面的内切圆的半径）、侧棱、侧棱在底面的射影（底面的外接圆的半径）、底面的半边长可组成四个直角三角形。注意正棱锥中直角三角形的运用。如图，正棱锥的计算集中在四个直角三角形中：，，其中分别表示底面边长、侧棱长、侧面与底面所成的角和侧棱与底面所成的角。
练习2.（1）下列结论正确的是 (　　)
A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥
B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥
C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥
D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线（答：D）
（2）（多选）四面体中，有如下命题，正确的是（ ）A.若，则；B.若分别是的中点，则的大小等于异面直线与所成角的大小；C.若点是四面体外接球的球心，则在面上的射影是外心；D.若四个面是全等的三角形，则为正四面体。（答：AC）
二、空间几何体的直观图
1.斜二侧画法规则
在画直观图时，要注意：（1）使，所确定的平面表示水平平面。（2）已知图形中平行于轴和轴的线段，在直观图中保持长度和平行性不变，平行于轴的线段平行性不变，但在直观图中其长度为原来的一半。
2.注意：(1)原图形与直观图中的“三变”与“三不变”
①“三变”
②“三不变”
(2)按照斜二测画法得到的平面图形的直观图与原图形面积的关系：
①S直观图＝S原图形；②S原图形＝2S直观图．
练习（1）用斜二测画法画一个水平放置的平面图形为如下图的一个正方形，则原来图形的形状是（　　）（答：A）
（2）已知正的边长为，那么的平面直观图的面积为_____（答：）
三、简单几何体的表面积与体积
1.求侧面积、表面积
练习1：（1）（多选）攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为最尖，清代称攒尖，通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑、园林建筑．下面以四角攒尖为例，如图，它的屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥．已知此正四棱锥的侧面与底面所成的锐二面角为θ，这个角接近30°，若取θ＝30°，侧棱长为米，则(　　)
A．正四棱锥的底面边长为6米 B．正四棱锥的底面边长为3米
C．正四棱锥的侧面积为24平方米 D．正四棱锥的侧面积为12平方米
【答案】　AC
【解析】如图，在正四棱锥S－ABCD中，O为正方形ABCD的中心，H为AB的中点，
则SH⊥AB，设底面边长为2a. 因为∠SHO＝30°，所以OH＝AH＝a，OS＝a，SH＝a.
在Rt△SAH中，a2＋（a）2＝21，
解得a＝3，所以正四棱锥的底面边长为6米，侧面积为S＝×6×2×4＝24(平方米)．
（2）已知圆锥的顶点为S，底面圆周上的两点A，B满足△SBA为等边三角形，且面积为4，又知圆锥轴截面的面积为8，则圆锥的侧面积为________．
【答案】　　8π
【解析】设圆锥的母线长为l，由△SAB为等边三角形，且面积为4，
所以l2sin ＝4，解得l＝4；又设圆锥底面半径为r，高为h，
则由轴截面的面积为8，得rh＝8；又r2＋h2＝16，
解得r＝h＝2，所以圆锥的侧面积S＝πrl＝π×2×4＝8π.
2.求体积的常用技巧
(1)公式法;(2)割补法（割补成易求体积的多面体。补形：三棱锥三棱柱平行六面体；分割：三棱柱中三棱锥、四棱锥、三棱柱的体积关系是 （答：1：2：3）
(3)等积变换法(平行换点、换面)和比例(性质转换)法等
练习2：（1）正多面体被古希腊圣哲认为是构成宇宙的基本元素，加上它们的多种变体，一直是科学、艺术、哲学灵感的源泉之一．如图，该几何体是一个棱长为2的正八面体，则此正八面体的体积与表面积之比为(　　)
A. B. C. D.
【答案】　B　
【解析】　取BC的中点G，连接EG，BD，取BD的中点O，连接EO，如图，由棱长为2，可得正八面体上半部分的斜高为EG＝＝，高为EO＝＝，
则正八面体的体积为V＝2×＝2×＝，
其表面积为S＝8×＝8×＝8，
∴此正八面体的体积与表面积之比为.
（2）《九章算术》是我国古代的数学巨著，其卷第五“商功”有如下的问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈．问积几何？”意思为：今有底面为矩形的屋脊形状的多面体(如图)，下底面宽AD＝3丈，长AB＝4丈，上棱EF＝2丈，EF与平面ABCD平行，EF与平面ABCD的距离为1丈，则它的体积是(　　)
A．4立方丈 B．5立方丈 C．6立方丈 D．8立方丈
【答案】　B
【解析】如图，过E作EG⊥平面ABCD，垂足为G，过F作FH⊥平面ABCD，垂足为H，过G作PQ∥AD，交AB于Q，交CD于P，过H作MN∥BC，交AB于N，交CD于M，由图形的对称性可知，AQ＝BN＝1，QN＝2，且四边形AQPD与四边形NBCM都是矩形．
则它的体积V＝VE－AQPD＋VEPQ－FMN＋VF－NBCM
＝·EG·S矩形AQPD＋S△EPQ·NQ＋·FH·S矩形NBCM
＝×1×1×3＋×3×1×2＋×1×1×3＝5(立方丈)．
（3）（人教A版(2019)必修二P119练习第1题改编）已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为_______.
【解析】圆锥的侧面展开图是一个半圆，侧棱长为,底面圆的半径为R，，高，
(4) 棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱BB1，AB的中点，则三棱锥A1－D1MN的体积为________．
【答案】1　
【解析】如图，由正方体棱长为2，
得＝2×2－2××2×1－×1×1＝，
又易知D1A1为三棱锥D1－A1MN的高，且D1A1＝2，
＝··D1A1＝××2＝1.
四.掌握有关球的必备能力
1.球的截面的性质：（1）用一个平面去截球，截面是圆面；（2）球心和截面圆心的连线垂直截面；（3）球心和截面圆的距离d与球的半径R及截面圆半径r之间的关系是r＝。
2、球的体积和表面积公式：V＝。
练习1:（1）在球内有相距9cm的两个平行截面，面积分别为49cm2、400cm2，则球的表面积为______（答：）；
（2）三条侧棱两两垂直且长都为1的三棱锥P-ABC内接于球O，求球O的表面积与体积分别为___ ___。。（答：表面积，体积）；
3.空间几何体与球接、切问题的求解方法
(1) 求解方法:求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．
(2)掌握10种常见模型:
①直棱柱（圆柱）的外接球：球心为上下底面中心连线的中点
由对称性可知，球心O的位置是上下底面的中心O1 ，O2的连线的中点，算出小圆O1的半径AO1＝r，OO1＝，所以.　
练习2（1）已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为(　　)
A. B．2 C． D．3
【答案】　C
【解析】将直三棱柱补形为长方体ABEC－A1B1E1C1，则球O是长方体ABEC－A1B1E1C1的外接球．∴体对角线BC1的长为球O的直径．因此2R＝＝13，则R＝.
（2）（人教A版必修二P27例4改编）古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个“圆柱容球”，圆柱容球是这样的: “圆及其外切正方形绕过切点的一条对称轴旋转一周生成的几何体称为圆柱容球”,此圆柱为等边圆柱，此球为等边圆柱的内切球，相传这是阿基米德最引以为自豪的发现.则此等边圆柱的表面积是其外接球与内切球的表面积之和的_______ 倍.
【解析】设球的半径为，则圆柱的底面半径为，高为，
圆柱的表面积；内切球的表面积，外接球的半径为，外接球的表面积圆柱的表面积与外接球、内切球的表面积之和的比为，本题正确结果：
②正四面体外接球半径
方法1(求正棱锥外接球的通性通法)：如图所示，设正四面体内接于球，由点向底面作垂线，垂足为,连接，
则可求得 ，，
在中,，
∴，解得.
注：你能求正棱锥的外接球吗？请总结，试试求正四棱锥和正六棱锥的外接球
方法2：可将正四面体还原成一正方体如图，
∴球的直径为正方体的对角线长．设正方体的棱长为，球的半径为，则，
练习3.正四棱锥的底面边长和各侧棱长都为2，点都在同一球面上，则此球的体积为___________.
【解析】正四棱锥的底面边长和各侧棱长都为2,
点都在同一球面上,该球的球心恰好为底面的中心,
球的半径,此球的体积为.
故答案为：
③用构造法(构造长方体)解决
（1）同一顶点的三侧棱两两垂直模型：若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解．
（II）一条侧棱垂直于底面且底面是直角三角形的棱锥模型
（III）4个面都是直角三角形：
法一：构造长方体；法二：球心在最长斜边的中点.
（IV）对棱相等模型
练习4:已知正三棱锥，点都在半径为的球面上，若两两互相垂直，则球心到截面的距离为_______．
【答案】
【解析】可将正三棱锥补成一个正方体，
球心到截面的距离为球的半径减去正三棱锥
在面上的高．已知球的半径为，
∴正方体的棱长为，可求得正三棱锥,在面上的高为，
∴球心到截面的距离为．
练习5.已知在四面体PABC中，PA＝4，BC＝2，PB＝PC＝2，PA⊥平面PBC，则四面体PABC的外接球的表面积是
【答案】40π
【解析】　∵PB2＋PC2＝12＋12＝24＝BC2，∴PB⊥PC，
又PA⊥平面PBC，∴PA⊥PB，PA⊥PC，
即PA，PB，PC两两垂直，以PA，PB，PC为从同一顶点出发的三条棱补成长方体，所以该长方体的体对角线长为＝＝2，
故该四面体的外接球半径为.于是四面体P－ABC的外接球的表面积是4π()2＝40π.
练习6.四面体中，，，，则四面体外接球的表面积为
【解析】将四面体置于一个长方体中，所以四面体的外接球即为长方体的外接球，设长方体的长、宽、高分别为，则根据图形可有，则外接球的直径，所以，则球的表面积为，故答案为:.
④顶点可构成共斜边的直角三角形的棱锥外接球
方法技巧：若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点为其外接球球心;两直角三角形拼接在一起(斜边相同,也可看作矩形沿对角线折起所得三棱锥)模型
练习7.在矩形中，，，沿将矩形折叠，连接，所得三棱锥的外接球的表面积为 ．
【解析】的中点是球心，，；
⑤侧材相等的棱锥的外接球
练习8.在三棱锥中，,侧棱与底面所成的角为，则该三棱锥外接球的体积为
【解析】圆锥在以的圆上，,V=
⑥求外接球：有一条侧棱垂直底面的棱锥模型
有一条侧棱垂直底面的棱锥模型，可补为直棱柱内接于球；如图所示，由对称性可知球心O的位置是△CBD的外心O1，与△AB2D2的外心O2连线的中点，算出小圆O1的半径CO1＝r，OO1＝，则R＝.
练习9.如图，三棱锥的所有顶点都在一个球面上，在△ABC中，AB＝，∠ACB＝60°，∠BCD＝90°，AB⊥CD，CD＝2，则该球的体积为________．
【答案】4π　
【解析】以△ABC所在平面为球的截面，则由正弦定理得截面圆的半径为·＝1.
依题意得CD⊥平面ABC，故球心到截面的距离为CD＝，
则球的半径为＝，所以球的体积为·π·()3＝4π.
⑦求外接球：有一侧面垂直底面的棱锥模型
练习10.三棱锥中，平面平面，△和△均为边长为的正三角形，则三棱锥外接球的半径为 .
【解析】，，，
，；
法二：，，，
⑧求棱锥内切球的通性通法（等体积法）
练习11. 已知正三棱锥的高为1，底面边长为2，内有一个球与四个面都相切，则棱锥的内切球的半径为 .
【解析】如图，过点P作PD⊥平面ABC于点D，连接AD并延长交BC于点E，连接PE，
∵△ABC是正三角形，∴AE是BC边上的高和中线，D为△ABC的中心．∵AB＝2，
∴S△ABC＝3，DE＝1，PE＝.
∴S表＝3××2×＋3＝3＋3.
∵PD＝1，∴三棱锥的体积V＝×3×1＝.
设球的半径为r，以球心O为顶点，三棱锥的四个面为底面把正三棱锥分割为四个小棱锥，则r＝＝－1.
⑨ 圆锥的内切球问题
练习12.已知底面半径为3的圆锥SO的体积为．若球在圆锥SO内，则球的表面积的最大值为
【解析】如图所示：圆锥SO的轴截面为等腰，
因为底面半径为3，所以底面积为，又因为圆锥SO的体积为，
所以圆锥的高为，母线长为，
若球的体积最大时，则球的轴截面是的内切圆，
所以，解得：，
所以球的表面积的最大值为.故答案：.
⑩柱体,台体的外接（内切）球问题
练习13.如图所示，直三棱柱ABC－A1B1C1是一块石材，测量得∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，AA1＝13.若将该石材切削、打磨，加工成几个大小相同的健身手球，则一个加工所得的健身手球的最大体积及此时加工成的健身手球的个数分别为(　　)
A．，4 B．，3 C．6π，4 D．，3
【答案】　D
【解析】依题意知，当健身手球与直三棱柱的三个侧面均相切时，健身手球的体积最大．
易知AC＝＝10.设健身手球的最大半径为R，
则×(6＋8＋10)×R＝×6×8，解得R＝2，则健身手球的最大直径为4.
因为AA1＝13，所以最多可加工3个健身手球．
于是一个健身手球的最大体积V＝πR3＝π×23＝.
练习14.圆台中，，其外接球的球心O在线段上，上下底面的半径分别为，，则圆台外接球的表面积为________.
【解析】
设外接球半径为R，则，解得，
所以外接球表面积为，故答案为：.
五、共点、共线、共面问题的证明方法
(1)证明点共线问题：①基本事实法：先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，再根据基本事实3证明这些点都在交线上；②同一法：选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上．
(2)证明线共点问题：先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过该点．
(3)证明点、直线共面问题：①纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内；②辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合．
练习1.如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图是(　　)
【答案】D
2.如图所示，ABCD－A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是(　　)
A．A，M，O三点共线 B．A，M，O，A1不共面
C．A，M，C，O不共面 D．B，B1，O，M共面
【答案】　A
【解析】　连接A1C1，AC(图略)，则A1C1∥AC，∴A1，C1，A，C四点共面，
∴A1C 平面ACC1A1，∵M∈A1C，∴M∈平面ACC1A1，又M∈平面AB1D1，
∴M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，同理A，O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上．∴A，M，O三点共线．
3.(2020·全国Ⅲ卷)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别在棱DD1，BB1上，且2DE＝ED1，BF＝2FB1.证明：
(1)当AB＝BC时，EF⊥AC；
(2)点C1在平面AEF内．
证明　(1)如图，连接BD，B1D1.因为AB＝BC，所以四边形ABCD为正方形，故AC⊥BD.又因为BB1⊥平面ABCD，于是AC⊥BB1.又BD∩BB1＝B，所以AC⊥平面BB1D1D.
由于EF 平面BB1D1D，所以EF⊥AC.
(2)如图，在棱AA1上取点G，使得AG＝2GA1，连接GD1，FC1，FG.
因为ED1＝DD1，AG＝AA1，DD1AA1，所以ED1AG，于是四边形ED1GA为平行四边形，故AE∥GD1.因为B1F＝BB1，A1G＝AA1，BB1AA1，所以B1FGA1是平行四边形，所以FGA1B1，所以FGC1D1，四边形FGD1C1为平行四边形，故GD1∥FC1.
于是AE∥FC1.所以A，E，F，C1四点共面，即点C1在平面AEF内．
六、空间位置关系的判定
1.异面直线的判定：
反证法。
练习1:（1）“ａ、ｂ为异面直线”是指：①ａ∩ｂ＝Φ，但ａ不平行于ｂ；②ａ面α，ｂ面β且a∩b＝Φ；③ａ面α，ｂ面β且α∩β＝Φ；④ａ面α，b面α　；⑤不存在平面α，能使ａ面α且ｂ面α成立。上述结论中，正确的是_____（答：①⑤）； （2）( 多选 )如果ａ、ｂ是异面直线，P是不在ａ、ｂ上的任意一点，下列四个结论中不正确的是( )
A过点P一定可以作直线与ａ、ｂ都相交；　B过点P一定可以作直线与ａ、ｂ都垂直；C.过点P一定可以作平面α与ａ、ｂ都平行；　D.过点P一定可以作直线与ａ、ｂ都平行。（答：ACD）
（3）如图，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有 (填上所有正确答案的序号)．
①　　　　②　　　③　　　　④
（答：②④）
2、两直线平行的判定：
（1）基本事实4：平行于同一直线的两直线互相平行；（2）线面平行的性质：如果一条直线和一个平面平行，那么经过这条直线的平面和这个平面相交的交线和这条直线平行；（3）面面平行的性质：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行；（4）线面垂直的性质：如果两条直线都垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。
请写出符号语言:
3.判定线面平行的四种方法
(1)利用线面平行的定义(无公共点)；
(2)利用线面平行的判定定理(a α，b α，a∥b a∥α)；
(3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a α a∥β)；
(4)利用面面平行的性质(α∥β，a α，a β，a∥α a∥β)．
4、判定平面与平面平行的四种方法
(1)面面平行的定义，即证两个平面没有公共点(不常用)；
(2)面面平行的判定定理(主要方法)；
(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行(客观题可用)；
(4)利用平面平行的传递性，两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行(客观题可用)．
请写出符号语言:
练习2（1）(多选)是两个不重合的平面，在下列条件中，能判定平面的条件是( )
A、是内一个三角形的两条边，且　　
B、内有不共线的三点到的距离都相等　　
C、都垂直于同一条直线　　
D、是两条异面直线，，且（答：ACD）；
（2）给出以下六个命题：①垂直于同一直线的两个平面平行；②平行于同一直线的两个平面平行；③平行于同一平面的两个平面平行；④与同一直线成等角的两个平面平行；⑤一个平面内的两条相交直线于另一个平面内的两条相交直线平行，则这两个平面平行；⑥两个平面分别与第三个平面相交所得的两条交线平行，则这两个平面平行。其中正确的序号是___________（答：①③⑤）；
练习3.如图所示，已知四边形ABCD是正方形，四边形ACEF是矩形，M是线段EF的中点．
(1)求证：AM∥平面BDE；
(2)若平面ADM∩平面BDE＝l，平面ABM∩平面BDE＝m，试分析l与m的位置关系，并证明你的结论．
【解析】　(1)证明　如图，记AC与BD的交点为O，连接OE.
因为O，M分别为AC，EF的中点，四边形ACEF是矩形，
所以四边形AOEM是平行四边形，所以AM∥OE.
又因为OE 平面BDE，AM 平面BDE，所以AM∥平面BDE.
(2) l∥m，证明如下：由(1)知AM∥平面BDE，又AM 平面ADM，平面ADM∩平面BDE＝l，
所以l∥AM，同理，AM∥平面BDE，又AM 平面ABM，平面ABM∩平面BDE＝m，
所以m∥AM，所以l∥m.
练习4.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G分别为B1C1，A1B1，AB的中点．
(1)求证：平面A1C1G∥平面BEF；
(2)若平面A1C1G∩BC＝H，求证：H为BC的中点．
证明　(1)∵E，F分别为B1C1，A1B1的中点，∴EF∥A1C1，∵A1C1 平面A1C1G，EF 平面A1C1G，∴EF∥平面A1C1G，又F，G分别为A1B1，AB的中点，∴A1F＝BG，又A1F∥BG，
∴四边形A1GBF为平行四边形，则BF∥A1G，
∵A1G 平面A1C1G，BF 平面A1C1G，∴BF∥平面A1C1G，
又EF∩BF＝F，EF，BF 平面BEF，∴平面A1C1G∥平面BEF.
(2)∵平面ABC∥平面A1B1C1，平面A1C1G∩平面A1B1C1＝A1C1，
平面A1C1G与平面ABC有公共点G，则有经过G的直线，设交BC于点H，如图，
则A1C1∥GH，得GH∥AC，∵G为AB的中点，∴H为BC的中点．
5.直线与直线垂直
两直线垂直的判定：（1）转化为证线面垂直；
6.直线和平面垂直：
6.1判定：①如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直。（2）性质：①如果一条直线和一个平面垂直，那么这条直线和这个平面内所有直线都垂直。②如果两条直线都垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。
6.2证明直线与平面垂直的常用方法
(1)利用线面垂直的判定定理．
(2) 两条平行线中有一条直线和一个平面垂直，那么另一条直线也和这个平面垂直。
(3)利用“一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则与另一个也垂直”．
(4)利用面面垂直的性质定理．
练习5（1）如果命题“若∥z，则”不成立，那么字母x、y、z在空间所表示的几何图形一定是_____（答：x、y是直线，z是平面）；
（2）已知a，b，c是直线，α、β是平面，下列条件中能得出直线a⊥平面α的是( )　 A、a⊥b，ａ⊥ｃ其中ｂα，ｃα　　B、a⊥b ，ｂ∥α
　C、α⊥β，ａ∥β　 D、ａ∥ｂ，ｂ⊥α（答：D）；
（3）已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形，AB＝BC＝2，E，F分别为AC和CC1的中点，BF⊥A1B1.
(1)求三棱锥F－EBC的体积；
(2)已知D为棱A1B1上的点，证明：BF⊥DE.
【解析】　(1)　如图，取BC的中点为M，连接EM，由已知可得EM∥AB，AB＝BC＝2，
CF＝1，EM＝AB＝1，AB∥A1B1，由BF⊥A1B1得EM⊥BF，
又EM⊥CF，BF∩CF＝F，所以EM⊥平面BCF，
故V三棱锥F－EBC＝V三棱锥E－FBC＝×BC×CF×EM＝××2×1×1＝.
(2)证明　连接A1E，B1M，由(1)知EM∥A1B1，所以ED在平面EMB1A1内．
在正方形CC1B1B中，由于F，M分别是CC1，BC的中点，
所以由平面几何知识可得BF⊥B1M，又BF⊥A1B1，B1M∩A1B1＝B1，
所以BF⊥平面EMB1A1，又DE 平面EMB1A1，所以BF⊥DE.
7.证明面面垂直的两种方法
（1）判定：①判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。②定义法：即证两个相交平面所成的二面角为直二面角；
练习6: （1）(多选)已知直线平面，直线平面，给出下列四命题中正确的是( )
A. B.；C.；D.。
（答：AC）；
（2）(多选)设是两条不同直线，是两个不同平面，给出下列四命题中正确的是( )
A.若则；B.若，则；
C.若，则或；D.若则。
（答：ACD）
(3)在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足___________时，平面MBD⊥平面PCD（答：）；
练习7: (2021·全国乙卷)如图，四棱锥P－ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，M为BC的中点，且PB⊥AM.
(1)证明：平面PAM⊥平面PBD；
(2)若PD＝DC＝1，求四棱锥P－ABCD的体积．
【解析】　(1)证明　∵PD⊥平面ABCD，AM 平面ABCD，∴PD⊥AM.
∵PB⊥AM，且PB∩PD＝P，PB 平面PBD，PD 平面PBD，∴AM⊥平面PBD.
又AM 平面PAM，∴平面PAM⊥平面PBD.
(2)　∵M为BC的中点，∴BM＝AD.由题意知AB＝DC＝1.
∵AM⊥平面PBD，BD 平面PBD，∴AM⊥BD，
由∠BAM＋∠MAD＝90°，∠MAD＋∠ADB＝90°，得∠BAM＝∠ADB，
易得△BAM∽△ADB，∴＝，即＝，得AD＝，
∴S矩形ABCD＝AD·DC＝×1＝，
则四棱锥P－ABCD的体积VP－ABCD＝S矩形ABCD·PD＝××1＝.
练习8.　如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E，F分别为AD，PB的中点．求证：
(1)PE⊥BC；
(2)平面PAB⊥平面PCD；
(3)EF∥平面PCD.
证明　(1)因为PA＝PD，E为AD的中点，所以PE⊥AD.
因为底面ABCD为矩形，所以BC∥AD.所以PE⊥BC.
(2)因为底面ABCD为矩形，所以AB⊥AD.又因为平面PAD⊥平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB 平面ABCD，所以AB⊥平面PAD.
又PD 平面PAD，所以AB⊥PD.又因为PA⊥PD，且PA∩AB＝A，
所以PD⊥平面PAB.又PD 平面PCD，所以平面PAB⊥平面PCD.
(3)如图，取PC中点G，连接FG，DG.因为F，G分别为PB，PC的中点，
所以FG∥BC，FG＝BC.因为ABCD为矩形，且E为AD的中点，
所以DE∥BC，DE＝BC.所以DE∥FG，DE＝FG.
所以四边形DEFG为平行四边形．所以EF∥DG.
又因为EF 平面PCD，DG 平面PCD，所以EF∥平面PCD.
注:I.利用线面平行的判定定理证明直线与平面平行的关键是在平面内找到一条与已知直线平行的直线．
II．利用面面平行的性质证明线面平行时，关键是构造过该直线与所证平面平行的平面，这种方法往往借助于比例线段或平行四边形．
七、求点到平面的距离(高)的两种方法
(1)定义法：求几何体的高或点到面的距离，经常根据高或距离的定义在几何体中作出高或点到面的距离．其步骤为：一作、二证、三求．如何作出点到面的距离是关键，一般的方法是利用辅助面法，所作的辅助面，一是要经过该点，二是要与所求点到面的距离的面垂直，这样在辅助面内过该点作交线的垂线，点到垂足的距离即为点到面的距离．
(2)等体积法：求棱锥的高或点到平面的距离常常利用同一个三棱锥变换顶点及底面的位置，其体积相等的方法求解．
练习1（1）在平面几何中有：Rt△ABC的直角边分别为a,b，斜边上的高为h，则。类比这一结论，在三棱锥P—ABC中，PA、PB、PC两点互相垂直，且PA=a，PB=b，PC=c，此三棱锥P—ABC的高为h，则结论为______________（答：）．
把四个半径为R的小球放在桌面上，使下层三个，上层一个，两两相切，则上层小球最高处离桌面的距离为________（答：）。
（3）设正方体的棱长为1，为的中点，为直线上一点，为平面内一点，则两点间距离的最小值为________
答：
【解析】结合题意，绘制图形，如图, 结合题意可知是三角形的中位线，题目计算两点间的最短距离，即与平面的距离，法一：等体积法；法二：即求与两平行线的距离.
易知 ,设所求距离为，结合三角形面积计算公式可得, 解得.
练习2.如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．
(1)证明：MN∥平面C1DE；
(2)求点C到平面C1DE的距离．
【解析】(1)证明　如图，连接B1C，ME.因为M，E分别为BB1，BC的中点，
所以ME∥B1C，且ME＝B1C.又因为N为A1D的中点，所以ND＝A1D.
由题设知A1B1DC，可得B1CA1D，故MEND，因此四边形MNDE为平行四边形，
所以MN∥ED.又MN 平面C1DE，DE 平面C1DE，所以MN∥平面C1DE.
(2)　过点C作C1E的垂线，垂足为H.由已知可得DE⊥BC，DE⊥C1C，
又BC∩C1C＝C，BC，C1C 平面C1CE，所以DE⊥平面C1CE，
故DE⊥CH.所以CH⊥平面C1DE，故CH的长即为点C到平面C1DE的距离．
由已知可得CE＝1，C1C＝4，所以C1E＝，故CH＝.
从而点C到平面C1DE的距离为.
练习3.如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，∠DAB＝90°，AB＝BC＝PA＝AD＝2，E为PB的中点，F是PC上的点．
(1)若EF∥平面PAD，证明：F为PC的中点；
(2)求点C到平面PBD的距离．
【解析】　(1)证明　因为BC∥AD，BC 平面PAD，AD 平面PAD，所以BC∥平面PAD.
因为P∈平面PBC，P∈平面PAD，所以可设平面PBC∩平面PAD＝PM，
又因为BC 平面PBC，所以BC∥PM，因为EF∥平面PAD，EF 平面PBC，
所以EF∥PM，从而得EF∥BC.因为E为PB的中点，所以F为PC的中点．
(2)　因为PA⊥底面ABCD，∠DAB＝90°，AB＝BC＝PA＝AD＝2，
所以PB＝＝2，PD＝＝2，
BD＝＝2，
所以S△DPB＝PB·＝6.
设点C到平面PBD的距离为d，
由VC－PBD＝VP－BCD，得S△DPB·d＝S△BCD·PA＝××BC×AB×PA，
则6d＝×2×2×2，解得d＝.
练习4.正方体ABCD-A１B１C１D１中AB=。①求证：平面AD1B1∥平面C1DB；②求证：A1C⊥平面AD1B1 ；③求平面AD1B1与平面C1DB间的距离（答：）；
八、熟悉下列结论
⑴从一点O出发的三条射线OA、OB、OC，若∠AOB=∠AOC，则点A在平面∠BOC上的射影在∠BOC的平分线上；
(2)AB和平面所成的角是，AC在平面内，AC和AB的射影成，设∠BAC=,则coscos=cos；
(3)如果两个相交平面都与第三个平面垂直，那么它们的交线也垂直于第三个平面；
(4)若长方体的体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为，则cos2+
cos2+cos2=1；若长方体的体对角线与过同一顶点的三侧面所成的角分别为则cos2+cos2+cos2=2。
练习1（1）长方体中若一条对角线与过同一顶点的三个面中的二个面所成的角为30°、45°，则与第三个面所成的角为____________（答：30°）；
（2）若一条对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为，则的关系为____________。（答：）
(5)在三棱锥中：①侧棱长相等(侧棱与底面所成角相等)顶点在底上射影为底面外心；②侧棱两两垂直(两对对棱垂直)顶点在底上射影为底面垂心；③顶点到底面三角形各边的距离相等(侧面与底面所成角相等)且顶点在底面上的射影在底面三角形内顶点在底上射影为底面内心.提醒：③若顶点在底面上的射影在底面三角形外，则顶点在底上射影为底面的旁心。
(6)(1)球(半径为R)与正方体(设棱长为a)有以下三种特殊情形：
①球内切于正方体，此时2R＝a；②球与正方体的棱相切，此时2R＝a；
③球外接于正方体，此时2R＝a.
④长、宽、高分别为a，b，c的长方体的体对角线长等于其外接球的直径，即＝2R.
⑤棱长为a的正四面体，斜高为a，高为h=a，其外接球的半径为R=a，内切球的半径为r=a.R:r=3:1,R+r=h
练习2:若正四面体的棱长为，则此正四面体的外接球的表面积为_____（答：）；
八、立体几何问题的求解策略
1.转化思想
(1)证明线面平行、面面平行可转化为证明线线平行；证明线线平行可以转化为证明线面平行或面面平行．
(2)从解题方法上讲，由于线线垂直、线面垂直、面面垂直之间可以相互转化，因此整个解题过程始终沿着线线垂直、线面垂直、面面垂直的转化途径进行．
(3)求几何体的体积也常用转化法．如三棱锥顶点和底面的转化，几何体的高利用平行、中点，比例关系的转化等．
2.降维思想，转化为平面几何问题，具体方法表现为：
（1）求空间角、距离，归到三角形中求解；
（2）对于球的内接外切问题，作适当的截面――既要能反映出位置关系，又要反映出数量关系。
（3）求曲面上两点之间的最短距离，通过化曲为直转化为同一平面上两点间的距离。练习1（1）已知一个半径为的球中有一个各条棱长都相等的内接正三棱柱，则这一正三棱柱的体积是_____（答：）；
（2）已知正方体的棱长为1，是的中点，是上的一点，则的最小值是_____（答：）；
(3)如图，在水平地面上的圆锥形物体的母线长为12，底面圆的半径等于4，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥侧面爬行一周后回到点P处，则小虫爬行的最短路程为_____
【解析】　如图，设圆锥侧面展开扇形的圆心角为θ，
则由题意可得2π×4＝12θ，则θ＝，在△POP′中，OP＝OP′＝12，
则小虫爬行的最短路程为PP′＝＝12.
九、空间距离的求法
1.点到直线的距离：
2.点到平面的距离：①垂面法：借助于面面垂直的性质来作垂线，其中过已知点确定已知面的垂面是关键；②体积法：转化为求三棱锥的高；③等价转移法。
3.直线与平面的距离：前提是直线与平面平行，利用直线上任意一点到平面的距离都相等，转化为求点到平面的距离。
4.两平行平面之间的距离：转化为求点到平面的距离。
练习1（1）等边三角形的边长为，是边上的高，将沿折起，使之与所在平面成的二面角，这时点到的距离是_____（答：）；
(2)如图，已知在直三棱柱A1B1C1-ABC中，AB＝AC＝AA1＝1，∠BAC＝90°.
求点B1到平面A1BC的距离.
【解】）设点B1到平面A1BC的距离为h，
由（1）得＝××·sin 60°＝，
＝×1×1＝.
因为＝，即·h＝·CA，解得h＝.
所以点B1到平面A1BC的距离为
练习2,如图所示，在矩形ABCD中，CD＝2CB＝2CE，将△DAE沿AE折起至△PAE的位置，使得PA⊥PB.
(1)求证：PA⊥BE；
(2)若CB＝2，求点C到平面PAE的距离．
(1)证明　在矩形ABCD中，AD⊥DC，PA⊥PE，又PA⊥PB，PE∩PB＝P，
PB，PE 平面PBE，∴PA⊥平面PBE，∴PA⊥BE.
(2)　∵CD＝2CB＝2CE＝4，
∴AE2＋BE2＝AP2＋PE2＋CE2＋BC2＝4CB2＝AB2，∴AE⊥BE，
由(1)知PA⊥BE，又AE∩PA＝A，AE，PA 平面PAE，
∴BE⊥平面PAE，又BE 平面ABCE，
∴平面PAE⊥平面ABCE，连接AC，过P作PH⊥AE于点H，则PH⊥平面ABCE，
∵PA＝PE，∴H为AE的中点．∵CB＝2，
∴AE＝BE＝2，PE＝PA＝CE＝2，AB＝4，
则PH＝，S△ACE＝·CE·CB＝×2×2＝2，
VP－ACE＝·S△ACE·PH＝×2×＝.S△PAE＝·PA·PE＝×2×2＝2.
设点C到平面PAE的距离为d，则VC－PAE＝·S△PAE·d＝×2×d＝VP－ACE＝，∴d＝，
故点C到平面PAE的距离为.
十.空间角的计算
1、异面直线所成角的求法：（1）范围：；（2）求法：计算异面直线所成角的关键是平移（中点平移，顶点平移以及补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，以便易于发现两条异面直线间的关系）转化为相交两直线的夹角。
练习1.（1）正四棱锥的所有棱长相等，是的中点，那么异面直线与所成的角的余弦值等于____（答：）；
（2）已知异面直线a、b所成的角为50°，P为空间一点，则过P且与a、b所成的角都是30°的直线有且仅有____条（答：2）；
（3）如图，在圆锥SO中，AB，CD为底面圆的两条直径，AB∩CD＝O，且AB⊥CD，SO＝OB＝3，SE＝SB，则异面直线SC与OE所成角的正切值为____
【答案】
【解析】如图，过点S作SF∥OE，交AB于点F，连接CF，则∠CSF(或其补角)为异面直线SC与OE所成的角．∵SE＝SB，∴SE＝BE. 又OB＝3，
∴OF＝OB＝1.∵SO⊥OC，SO＝OC＝3，∴SC＝3.
∵SO⊥OF，∴SF＝＝.∵OC⊥OF，∴CF＝.
∴在等腰△SCF中，tan∠CSF＝＝.
(4)如图，已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，C是圆柱下底面弧AB的中点，C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为________．
【答案】　
【解析】　取圆柱下底面弧AB的另一中点D，连接C1D，AD，因为C是圆柱下底面弧AB的中点，所以AD∥BC，所以直线AC1与AD所成角等于异面直线AC1与BC所成角．因为C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，所以C1D⊥圆柱下底面，所以C1D⊥AD，因为圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，所以C1D＝AD，
所以直线AC1与AD所成角的正切值为，
所以异面直线AC1与BC所成角的正切值为.
2、直线和平面所成的角：求直线和平面所成角的步骤
（1）定义：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫这条直线和这个平面所成的角。（2）范围：；（3）求法：(I)作出直线在平面上的射影（寻找过斜线上一点与平面垂直的直线）；(II)连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角；(III)把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角
注:①求直线与平面所成的角，主要是找出斜线在平面内的射影，其关键是作垂线，找垂足，把线面角转化到一个三角形中求解．
②斜线与平面中所有直线所成角中最小的角
练习2（1）在正三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB=1，D在棱BB1上，BD=1，则AD与平面AA1C1C所成的角的正弦值为______（答： ）；
（2）正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是AB、C1D1的中点，则棱 A1B1 与截面A1ECF所成的角的余弦值是______（答：）；
（3）若一平面与正方体的十二条棱所在直线都成相等的角θ，则sinθ的值为______（答：）。
练习3.　如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，△PCD为等边三角形，平面PAC⊥平面PCD，PA⊥CD，CD＝2，AD＝3.
(1)设G，H分别为PB，AC的中点，求证：GH∥平面PAD；
(2)求证：PA⊥平面PCD；
(3)求直线AD与平面PAC所成角的正弦值．
【解析】(1)证明　连接BD，易知AC∩BD＝H，BH＝DH.
又由BG＝PG，故GH为△PBD的中位线，所以GH∥PD.
又因为GH 平面PAD，PD 平面PAD，所以GH∥平面PAD.
(2)证明　取棱PC的中点N，连接DN.依题意，得DN⊥PC.又因为平面PAC⊥平面PCD，平面PAC∩平面PCD＝PC，DN 平面PCD，所以DN⊥平面PAC.
又PA 平面PAC，所以DN⊥PA.又已知PA⊥CD，CD∩DN＝D，所以PA⊥平面PCD.
(3)解　连接AN，由(2)中DN⊥平面PAC，可知∠DAN为直线AD与平面PAC所成的角．
因为△PCD为等边三角形，CD＝2且N为PC的中点，所以DN＝.
又DN⊥AN，在Rt△AND中，sin∠DAN＝＝.
所以直线AD与平面PAC所成角的正弦值为.
练习4.如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的一动点．
(1)证明：△PBC是直角三角形；
(2)若PA＝AB＝2，且当直线PC与平面ABC所成角的正切值为时，求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．
【解析】(1)证明　∵AB是⊙O的直径，C是圆周上不同于A，B的一动点．∴BC⊥AC，
∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，又PA∩AC＝A，PA，AC 平面PAC，
∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥PC，∴△BPC是直角三角形．
(2)解　如图，过A作AH⊥PC于H，∵BC⊥平面PAC，
∴BC⊥AH，又PC∩BC＝C，PC，BC 平面PBC，∴AH⊥平面PBC，
∴∠ABH是直线AB与平面PBC所成的角，
∵PA⊥平面ABC，∴∠PCA是直线PC与平面ABC所成的角，
∵tan∠PCA＝＝，又PA＝2，∴AC＝，
∴在Rt△PAC中，AH＝＝，∴在Rt△ABH中，sin∠ABH＝＝＝，
故直线AB与平面PBC所成角的正弦值为.
3.二面角问题
二面角平面角：（1）平面角的三要素：①顶点在棱上；②角的两边分别在两个半平面内；③角的两边与棱都垂直。
（2）作平面角的主要方法：①定义法：直接在二面角的棱上取一点（特殊点），分别在两个半平面内作棱的垂线，得出平面角，用定义法时，要认真观察图形的特性；②垂线法：过其中一个面内一点作另一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角；③垂面法：过一点作棱的垂面，则垂面与两个半平面的交线所成的角即为平面角；
（3）二面角的范围：.
练习5（1）将∠A为60°的棱形ABCD沿对角线BD折叠，使A、C的距离等于BD，则二面角A-BD-C的余弦值是______（答：）；
（2）正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中对角线BD1＝8，BD1与侧面B1BCC1所成的为30°，则二面角C1—BD1—B1的正弦值为______（答：）；
（3）二面角α--β的平面角为120°，A、B∈，ACα，BDβ，AC⊥，BD⊥，若AB=AC=BD=1，则CD的长______（答：2）；
（4）ABCD为菱形，∠DAB＝60°，PD⊥面ABCD，且PD＝AD，则面PAB与面PCD所成的锐二面角的正切值为______（答：）。
　 练习6.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为四边形，△ABD是边长为2的正三角形，BC⊥CD，BC＝CD，PD⊥AB，平面PBD⊥平面ABCD.
(1)求证：PD⊥平面ABCD；
(2)若二面角C－PB－D的平面角的余弦值为，求PD的长．
【解析】(1)证明　如图所示，E为BD的中点，连接AE，△ABD是正三角形，
则AE⊥BD.平面PBD⊥平面ABCD，平面PBD∩平面ABCD＝BD，
AE 平面ABCD，故AE⊥平面PBD，PD 平面PBD，
故AE⊥PD.PD⊥AB，AE∩AB＝A，AE，AB 平面ABCD，
故PD⊥平面ABCD.
(2)　过点E作EF⊥PB于点F，连接CF，CE，因为BC⊥CD，BC＝CD，E为BD的中点，所以EC⊥BD，所以EC⊥平面PBD.又PB 平面PBD，所以EC⊥PB，
又EC∩EF＝E，EC，EF 平面EFC，所以PB⊥平面EFC，又因为CF 平面EFC，
所以CF⊥PB，故∠EFC为二面角C－PB－D的平面角．cos∠EFC＝，
故tan∠EFC＝，EC＝1，故EF＝.
sin∠PBD＝＝，tan∠PBD＝，即＝，PD＝1.
十一、解决平面图形翻折问题
平面图形翻折为空间图形问题的解题关键是看翻折前后线面位置关系的变化，根据翻折的过程找到翻折前后线线位置关系中没有变化的量和发生变化的量，这些不变的和变化的量反映了翻折后的空间图形的结构特征．
练习1.(必修2 P170复习参考题8综合运用T10)如图，边长为2的正方形ABCD中，
(1)点E是AB的中点，点F是BC的中点，将△AED，△DCF分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于点A′，求证：A′D⊥EF；
(2)当BE＝BF＝BC时，求三棱锥A′－EFD的体积．
练习2.正三角形ABC的边长为a，将它沿平行于BC的线段PQ折起(其中P在边AB上，Q在边AC上)，使平面APQ⊥平面BPQC，D，E分别是PQ，BC的中点．
(1)证明：PQ⊥平面ADE；
(2)若折叠后A，B两点间的距离为d，求d最小时，四棱锥A－PBCQ的体积．
【解析】(1)证明　因为在△APQ中，AP＝AQ，D是PQ的中点，所以AD⊥PQ，
因为直线DE是等腰梯形PBCQ的对称轴，所以DE⊥PQ.
又AD∩DE＝D，所以PQ⊥平面ADE.
(2)因为平面APQ⊥平面PBCQ，平面APQ∩平面PBCQ＝PQ，AD⊥PQ，
所以AD⊥平面PBCQ，所以d2＝AD2＋BD2.设AD＝x,0于是BD2＝DE2＋BE2＝2＋a2.所以d2＝x2＋BD2＝x2＋DE2＋BE2
＝x2＋2＋a2＝22＋a2，
当x＝a时，dmin＝a.
此时四棱锥A－PBCQ的体积为×S梯形PBCQ×AD
＝××a×a＝a3.
练习3.图1是由矩形和菱形组成的一个平面图形，其中， ，将其沿折起使得与重合，连结，如图2.
（1）证明图2中的四点共面，且平面平面；
（2）求图2中的四边形的面积.
【解析】(1)证：，，又因为和粘在一起.
，A，C，G，D四点共面.又.
平面BCGE，平面ABC，平面ABC平面BCGE，得证.
(2)取的中点，连结.因为，平面BCGE，所以平面BCGE，故，由已知，四边形BCGE是菱形，且得，故平面DEM．
因此．在中，DE=1，，故．
所以四边形ACGD的面积为4.
十二、探究性问题
求条件探索性问题的主要途径：(1)先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明；(2)先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性．
练习1:在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，则点Q满足条件________时，有平面D1BQ∥平面PAO.
【答案】　Q为CC1的中点
【解析】如图所示，设Q为CC1的中点，因为P为DD1的中点，所以QB∥PA.连接DB，因为P，O分别是DD1，DB的中点，所以D1B∥PO，又D1B 平面PAO，QB 平面PAO，PO 平面PAO，PA 平面PAO，所以D1B∥平面PAO，QB∥平面PAO，又D1B∩QB＝B，所以平面D1BQ∥平面PAO.故Q为CC1的中点时，有平面D1BQ∥平面PAO.
练习2.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，△PAD是正三角形，E为线段AD的中点．
(1)求证：平面PBC⊥平面PBE；
(2)是否存在满足PF＝λFC(λ>0)的点F，使得VB－PAE＝VD－PFB？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．
【解析】(1)证明　因为△PAD是正三角形，E为线段AD的中点，所以PE⊥AD.
因为底面ABCD是菱形，所以AD＝AB，又∠BAD＝60°，所以△ABD是正三角形，所以BE⊥AD.又BE∩PE＝E，所以AD⊥平面PBE.又AD∥BC，
所以BC⊥平面PBE.又BC 平面PBC，所以平面PBC⊥平面PBE.
(2)解　由PF＝λFC，知(λ＋1)FC＝PC，所以VB－PAE＝VP－ADB＝VP－BCD＝VF－BCD，
VD－PFB＝VP－BDC－VF－BDC＝λVF－BCD.因此，＝，得λ＝2.
故存在满足PF＝λFC(λ>0)的点F，使得VB－PAE＝VD－PFB，此时λ＝2.
练习3.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，△PDC和△BDC均为等边三角形，且平面PDC⊥平面BDC.
(1)在棱PB上是否存在点E，使得AE∥平面PDC？若存在，试确定点E的位置；若不存在，试说明理由．
(2)若△PBC的面积为，求四棱锥P－ABCD的体积．
【解析】　(1)存在点E，当点E为棱PB的中点时，使得AE∥面PDC，理由如下：
如图所示，取PB的中点E，连接AE，取PC的中点F，连接EF，DF，取BC的中点G，连接DG.因为△BCD是等边三角形，所以∠DGB＝90°.
因为∠ABC＝∠BAD＝90°，所以四边形ABGD为矩形，
所以AD＝BG＝BC，AD∥BC.因为EF为△BCP的中位线，
所以EF＝BC，且EF∥BC，故AD＝EF，且AD∥EF，
所以四边形ADFE是平行四边形，从而AE∥DF，
又AE 平面PDC，DF 平面PDC，所以AE∥平面PDC.
(2)取CD的中点M，连接PM，过点P作PN⊥BC交BC于点N，连接MN，如图所示．
因为△PDC为等边三角形，所以PM⊥DC.
因为PM⊥DC，平面PDC⊥平面BDC，平面PDC∩平面BDC＝DC.
所以PM⊥平面BCD，故PM为四棱锥P－ABCD的高．又BC 平面BCD，所以PM⊥BC.
因为PN⊥BC，PN∩PM＝P，PN 平面PMN，PM 平面PMN，所以BC⊥平面PMN.
因为MN 平面PMN，所以BC⊥MN.由M为DC的中点，易知NC＝BC.
设BC＝x，则△PBC的面积为·＝，解得x＝2，即BC＝2，
所以AD＝1，AB＝DG＝PM＝.
故四棱锥P－ABCD的体积为V＝×S梯形ABCD×PM＝××＝.
练习4.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是菱形，∠DAB＝30°，PD⊥平面ABCD，AD＝2，点E为AB上一点，且＝m，点F为PD中点．
(1)若m＝，证明：直线AF∥平面PEC；
(2)是否存在一个常数m，使得平面PED⊥平面PAB？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．
【解析】(1)证明　如图作FM∥CD，交PC于点M，连接EM，因为点F为PD的中点，
所以FM＝CD.因为m＝，所以AE＝AB＝FM，又FM∥CD∥AE，
所以四边形AEMF为平行四边形，所以AF∥EM，因为AF 平面PEC，EM 平面PEC，
所以直线AF∥平面PEC.
(2)解　存在一个常数m＝，使得平面PED⊥平面PAB，理由如下：
要使平面PED⊥平面PAB，只需AB⊥DE，因为AB＝AD＝2，∠DAB＝30°，
所以AE＝ADcos 30°＝，又因为PD⊥平面ABCD，PD⊥AB，
PD∩DE＝D，所以AB⊥平面PDE，因为AB 平面PAB，所以平面PDE⊥平面PAB，
所以m＝＝.
十四：动态几何：交线与截面、运动变换问题
1.线面（或线），线中有动点.方法：找面的垂线，证线线平行；假设线面，则线面中任意一条直线；
2.面面，面中有动点,方法：找线面，通过平行线之间的转化
练习1.(1)如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是A1D1，A1B1的中点，过直线BD的平面α∥平面AMN，则平面α截该正方体所得截面的面积为(　　)
A. B． C． D．
【答案】B
【解析】如图1，分别取B1C1，C1D1的中点E，F，连接EF，BE，DF，B1D1，ME，易知EF∥B1D1∥BD，AB∥ME，AB＝EM，所以四边形ABEM为平行四边形，则AM∥BE，又BD和BE为平面BDFE内的两条相交直线．
　
图1　　　　　　　　　　　图2
所以平面AMN∥平面BDFE，即平面BDFE为平面α，BD＝，EF＝B1D1＝，
得四边形BDFE为等腰梯形，DF＝BE＝，
在等腰梯形BDFE如图2中，过E，F作BD的垂线，则四边形EFGH为矩形，
∴其高FG＝＝＝，
故所得截面的面积为××＝.
(2)我国古代的数学著作《九章算术·商功》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．在如图所示的“堑堵”ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，M、N分别是BB1和A1C1的中点，则平面AMN截“堑堵”ABC－A1B1C1所得截面图形的面积为(　　)
A. B． C. D．
【答案】A
【解析】延长AN，与CC1的延长线交于点P，则P∈平面BB1C1C，连接PM，与B1C1交于点E，连接NE，得到的四边形AMEN是平面AMN截“堑堵”ABC－A1B1C1所得截面图形，由题意解三角形可得NE＝ME＝，AM＝AN＝，MN＝.
∴△AMN中MN边上的高h1＝＝，△EMN中MN边上的高h2＝＝.
∴AMN截“堑堵”ABC－A1B1C1所得截面图形的面积S＝S△AMN＋S△EMN＝MN·(h1＋h2)
＝×＝.
(3)(多选)如图，在边长为2的正方形AP1P2P3中，线段BC的端点B，C分别在边P1P2，P2P3上滑动，且P2B＝P2C＝.现将△AP1B，△AP3C分别沿AB，CA折起使点P1，P3重合，重合后记为点P，得到三棱锥P－ABC.现有以下结论中正确的是( )
A.AP⊥BC；
B.当B，C分别为P1P2，P2P3的中点时，三棱锥P－ABC的外接球的表面积为6π；
C.当时三棱锥P－ABC体积为;D.三棱锥P－ABC体积的最大值为.
【答案】ABD
【解析】对A:由正方形AP1P2P3知，，
，A正确；
对B:知PB=PC=1，三棱锥P－ABC的外接球即为所在的长方体的外接球故B正确；
对C:
，故C错；
对D: 当且仅当x=1时，取“=”，故D正确，选ABD
练习2(1)正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是___________（答：线段B1C）。
(2)四棱锥P-ABCD的外接球O的表面积为，PA=4，，底面ABCD为矩形，点M在球的表面上运动，则四棱锥M-ABCD体积的最大值为_________.
【解析】由题意将四棱锥P-ABCD补成长方体，可知外接球的直径为长方体的体对角线，设长方体的长、宽、高为a,b,c且c=4, 当且仅池a=b时取“=”，，要使四棱锥M-ABCD体积的最大，只需点M为面ABCD的中心与球心O所在直线与球的交点，，
故四棱锥M-ABCD体积的最大值为.
练习3.如图，已知ABCD－A1B1C1D1是底面为正方形的长方体，∠AD1A1＝60°，AD1＝4，点P是AD1上的动点．
(1)试判断不论点P在AD1上的任何位置，是否都有平面BPA⊥平面AA1D1D，并证明你的结论；
(2)当P为AD1的中点时，求异面直线AA1与B1P所成的角的余弦值；
(3)求PB1与平面AA1D1所成角的正切值的最大值．
【解析】　(1)∵BA⊥平面AA1D1D，BA 平面BPA，
∴平面BPA⊥平面AA1D1D，∴与P点位置无关．
(2)过点P作PE⊥A1D1，垂足为E，连接B1E(如图)，则PE∥AA1，
∴∠B1PE或其补角是异面直线AA1与B1P所成的角．
在Rt△AA1D1中，∵∠AD1A1＝60°，∴∠A1AD1＝30°，
∵A1B1＝A1D1＝AD1＝2，A1E＝A1D1＝1.又PE＝AA1＝.
∴在Rt△B1PE中，B1P＝＝2，cos∠B1PE＝＝＝.
∴异面直线AA1与B1P所成的角的余弦值为.
(3)由(1)知，B1A1⊥平面AA1D1，∴∠B1PA1是PB1与平面AA1D1所成的角，
tan∠B1PA1＝＝，当A1P最小时，tan∠B1PA1最大，
这时A1P⊥AD1，由A1P＝＝，得tan∠B1PA1＝，
即PB1与平面AA1D1所成角的正切值的最大值为.必修二第八章《立体几何初步》必备知识与能力盘点
一、空间几何体概念辨析
1.平行六面体：
①定义：底面是平行四边形的四棱柱叫做平行六面体；
②几类特殊的平行六面体：{平行六面体}{直平行六面体}{长方体}{正四棱柱}{正方体}；
③性质：（I）平行六面体的任何一个面都可以作为底面；（II）平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分；（III）平行六面体的四条对角线的平方和等于各棱的平方和；（III）长方体的一条对角线的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和。
2.正棱柱：底面为正多边形的直棱柱（直棱柱：侧棱垂直于底面）
练习1：（多选）下列关于四棱柱的四个命题，其中真命题的为（ ）
若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直棱柱；
若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直棱柱；
若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直棱柱；
若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直棱柱。（答：BD）。
3.正棱锥：（I）定义：如果一个棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫正棱锥。特别地，侧棱与底面边长相等的正三棱锥叫做正四面体。
（II）性质：①正棱锥的各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高（叫侧高）也相等。②正棱锥的高、斜高、斜高在底面的射影（底面的内切圆的半径）、侧棱、侧棱在底面的射影（底面的外接圆的半径）、底面的半边长可组成四个直角三角形。注意正棱锥中直角三角形的运用。如图，正棱锥的计算集中在四个直角三角形中：，，其中分别表示底面边长、侧棱长、侧面与底面所成的角和侧棱与底面所成的角。
练习2.（1）下列结论正确的是 (　　)
A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥
B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥
C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥
D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线
（2）（多选）四面体中，有如下命题，正确的是（ ）
A.若，则；
B.若分别是的中点，则的大小等于异面直线与所成角的大小；
C.若点是四面体外接球的球心，则在面上的射影是外心；
D.若四个面是全等的三角形，则为正四面体。
二、空间几何体的直观图
1.斜二侧画法规则
在画直观图时，要注意：（1）使，所确定的平面表示水平平面。（2）已知图形中平行于轴和轴的线段，在直观图中保持长度和平行性不变，平行于轴的线段平行性不变，但在直观图中其长度为原来的一半。
2.注意：(1)原图形与直观图中的“三变”与“三不变”
①“三变”
②“三不变”
(2)按照斜二测画法得到的平面图形的直观图与原图形面积的关系：
①S直观图＝S原图形；②S原图形＝2S直观图．
练习（1）用斜二测画法画一个水平放置的平面图形为如下图的一个正方形，则原来图形的形状是（　　）
（2）已知正的边长为，那么的平面直观图的面积为_____
三、简单几何体的表面积与体积
1.求侧面积、表面积
练习1：（1）（多选）攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为最尖，清代称攒尖，通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑、园林建筑．下面以四角攒尖为例，如图，它的屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥．已知此正四棱锥的侧面与底面所成的锐二面角为θ，这个角接近30°，若取θ＝30°，侧棱长为米，则(　　)
A．正四棱锥的底面边长为6米 B．正四棱锥的底面边长为3米
C．正四棱锥的侧面积为24平方米 D．正四棱锥的侧面积为12平方米
（2）已知圆锥的顶点为S，底面圆周上的两点A，B满足△SBA为等边三角形，且面积为4，又知圆锥轴截面的面积为8，则圆锥的侧面积为________．
2.求体积的常用技巧
(1)公式法;(2)割补法（割补成易求体积的多面体。补形：三棱锥三棱柱平行六面体；分割：三棱柱中三棱锥、四棱锥、三棱柱的体积关系是 （答：1：2：3）
(3)等积变换法(平行换点、换面)和比例(性质转换)法等
练习2：（1）正多面体被古希腊圣哲认为是构成宇宙的基本元素，加上它们的多种变体，一直是科学、艺术、哲学灵感的源泉之一．如图，该几何体是一个棱长为2的正八面体，则此正八面体的体积与表面积之比为(　　)
A. B. C. D.
（2）《九章算术》是我国古代的数学巨著，其卷第五“商功”有如下的问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈．问积几何？”意思为：今有底面为矩形的屋脊形状的多面体(如图)，下底面宽AD＝3丈，长AB＝4丈，上棱EF＝2丈，EF与平面ABCD平行，EF与平面ABCD的距离为1丈，则它的体积是(　　)
A．4立方丈 B．5立方丈 C．6立方丈 D．8立方丈
（3） （人教A版(2019)必修二P119练习第1题改编）已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为_______.
(4) 棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱BB1，AB的中点，则三棱锥A1－D1MN的体积为________．
四.掌握有关球的必备能力
1.球的截面的性质：（1）用一个平面去截球，截面是圆面；（2）球心和截面圆心的连线垂直截面；（3）球心和截面圆的距离d与球的半径R及截面圆半径r之间的关系是r＝。
2、球的体积和表面积：V＝。
练习1:（1）在球内有相距9cm的两个平行截面，面积分别为49cm2、400cm2，则球的表面积为______；
（2）三条侧棱两两垂直且长都为1的三棱锥P-ABC内接于球O，则球O的表面积与体积分别为___ ___。
3.空间几何体与球接、切问题的求解方法
(1) 求解方法:求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．
(2)掌握10种常见模型:
①直棱柱（圆柱）的外接球：球心为上下底面中心连线的中点
由对称性可知，球心O的位置是上下底面的中心O1 ，O2的连线的中点，算出小圆O1的半径AO1＝r，OO1＝，所以.　
练习2.（1） 已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为(　　)
A. B．2 C． D．3
（2）（人教A版必修二P119例4改编）古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个“圆柱容球”，圆柱容球是这样的: “圆及其外切正方形绕过切点的一条对称轴旋转一周生成的几何体称为圆柱容球”,此圆柱为等边圆柱，此球为等边圆柱的内切球，相传这是阿基米德最引以为自豪的发现.则此等边圆柱的表面积是其外接球与内切球的表面积之和的_______ 倍.
②正四面体外接球半径
方法1(求正棱锥外接球的通性通法)：如图所示，设正四面体内接于球，由点向底面作垂线，垂足为,连接，
则可求得 ，，
在中,，
∴，解得.
注：你能求正棱锥的外接球吗？请总结，试试求正四棱锥和正六棱锥的外接球
方法2：可将正四面体还原成一正方体如图，
∴球的直径为正方体的对角线长．设正方体的棱长为，球的半径为，则，
练习3.正四棱锥的底面边长和各侧棱长都为2，点都在同一球面上，则此球的体积为___________.
③用构造法(构造长方体)解决
（1）同一顶点的三侧棱两两垂直模型：若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解．
（II）一条侧棱垂直于底面且底面是直角三角形的棱锥模型
（III）4个面都是直角三角形：
法一：构造长方体；法二：球心在最长斜边的中点.
（IV）对棱相等模型
练习4:已知正三棱锥，点都在半径为的球面上，若两两互相垂直，则球心到截面的距离为_______．
练习5.已知在四面体PABC中，PA＝4，BC＝2，PB＝PC＝2，PA⊥平面PBC，则四面体PABC的外接球的表面积是
练习6.四面体中，，，，则四面体外接球的表面积为
④顶点可构成共斜边的直角三角形的棱锥外接球
方法技巧：若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点为其外接球球心;两直角三角形拼接在一起(斜边相同,也可看作矩形沿对角线折起所得三棱锥)模型
练习7.在矩形中，，，沿将矩形折叠，连接，所得三棱锥的外接球的表面积为 ．
⑤侧材相等的棱锥的外接球
练习8.在三棱锥中，,侧棱与底面所成的角为，则该三棱锥外接球的体积为
⑥求外接球：有一条侧棱垂直底面的棱锥模型
有一条侧棱垂直底面的棱锥模型，可补为直棱柱内接于球；如图所示，由对称性可知球心O的位置是△CBD的外心O1，与△AB2D2的外心O2连线的中点，算出小圆O1的半径CO1＝r，OO1＝，则R＝.
练习9.如图，三棱锥的所有顶点都在一个球面上，在△ABC中，AB＝，∠ACB＝60°，∠BCD＝90°，AB⊥CD，CD＝2，则该球的体积为________．
⑦求外接球：有一侧面垂直底面的棱锥模型
练习10.三棱锥中，平面平面，△和△均为边长为的正三角形，则三棱锥外接球的半径为 .
⑧求棱锥内切球的通性通法（等体积法）
练习11. 已知正三棱锥的高为1，底面边长为2，内有一个球与四个面都相切，则棱锥的内切球的半径为 .
⑨ 圆锥的内切球问题
练习12.已知底面半径为3的圆锥SO的体积为．若球在圆锥SO内，则球的表面积的最大值为
⑩柱体,台体的外接（内切）球问题
练习13.如图所示，直三棱柱ABC－A1B1C1是一块石材，测量得∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，AA1＝13.若将该石材切削、打磨，加工成几个大小相同的健身手球，则一个加工所得的健身手球的最大体积及此时加工成的健身手球的个数分别为(　　)
A．，4 B．，3 C．6π，4 D．，3
练习14.圆台中，，其外接球的球心O在线段上，上下底面的半径分别为，，则圆台外接球的表面积为________.
五、共点、共线、共面问题的证明方法
(1)证明点共线问题：①基本事实法：先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，再根据基本事实3证明这些点都在交线上；②同一法：选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上．
(2)证明线共点问题：先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过该点．
(3)证明点、直线共面问题：①纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内；②辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合．
练习1.如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图是(　　)
2.如图所示，ABCD－A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是(　　)
A．A，M，O三点共线 B．A，M，O，A1不共面
C．A，M，C，O不共面 D．B，B1，O，M共面
3.(2020·全国Ⅲ卷)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别在棱DD1，BB1上，且2DE＝ED1，BF＝2FB1.证明：
(1)当AB＝BC时，EF⊥AC；
(2)点C1在平面AEF内．
六、空间位置关系的判定
1.异面直线的判定：反证法。
练习1:（1）“ａ、ｂ为异面直线”是指：①ａ∩ｂ＝Φ，但ａ不平行于ｂ；②ａ面α，ｂ面β且a∩b＝Φ；③ａ面α，ｂ面β且α∩β＝Φ；④ａ面α，b面α　；⑤不存在平面α，能使ａ面α且ｂ面α成立。上述结论中，正确的是_____ ； （2）( 多选 )如果ａ、ｂ是异面直线，P是不在ａ、ｂ上的任意一点，下列四个结论中不正确的是( )
A过点P一定可以作直线与ａ、ｂ都相交；　B过点P一定可以作直线与ａ、ｂ都垂直；C.过点P一定可以作平面α与ａ、ｂ都平行；　D.过点P一定可以作直线与ａ、ｂ都平行。
（3）如图，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有 (填上所有正确答案的序号)．
①　　　　②　　　③　　　　④
2、两直线平行的判定：
（1）基本事实4：平行于同一直线的两直线互相平行；（2）线面平行的性质：如果一条直线和一个平面平行，那么经过这条直线的平面和这个平面相交的交线和这条直线平行；（3）面面平行的性质：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行；（4）线面垂直的性质：如果两条直线都垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。
请写出符号语言:
3.判定线面平行的四种方法
(1)利用线面平行的定义(无公共点)；(2)利用线面平行的判定定理(a α，b α，a∥b a∥α)；(3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a α a∥β)；
(4)利用面面平行的性质(α∥β，a α，a β，a∥α a∥β)．
4、判定平面与平面平行的四种方法
(1)面面平行的定义，即证两个平面没有公共点(不常用)；(2)面面平行的判定定理(主要方法)；(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行(客观题可用)；
(4)利用平面平行的传递性，两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行(客观题可用)．
请写出符号语言:
练习2（1）(多选)是两个不重合的平面，在下列条件中，能判定平面的条件是( )
A、是内一个三角形的两条边，且　　
B、内有不共线的三点到的距离都相等　　C、都垂直于同一条直线　　
D、是两条异面直线，，且；
（2）给出以下六个命题：①垂直于同一直线的两个平面平行；②平行于同一直线的两个平面平行；③平行于同一平面的两个平面平行；④与同一直线成等角的两个平面平行；⑤一个平面内的两条相交直线于另一个平面内的两条相交直线平行，则这两个平面平行；⑥两个平面分别与第三个平面相交所得的两条交线平行，则这两个平面平行。其中正确的序号是___________；
练习3.如图所示，已知四边形ABCD是正方形，四边形ACEF是矩形，M是线段EF的中点．
(1)求证：AM∥平面BDE；
(2)若平面ADM∩平面BDE＝l，平面ABM∩平面BDE＝m，试分析l与m的位置关系，并证明你的结论．
练习4.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G分别为B1C1，A1B1，AB的中点．
(1)求证：平面A1C1G∥平面BEF；
(2)若平面A1C1G∩BC＝H，求证：H为BC的中点．
5.直线与直线垂直
两直线垂直的判定：（1）转化为证线面垂直；
6.直线和平面垂直：
6.1判定：①如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直。（2）性质：①如果一条直线和一个平面垂直，那么这条直线和这个平面内所有直线都垂直。②如果两条直线都垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。
6.2证明直线与平面垂直的常用方法
(1)利用线面垂直的判定定理．
(2) 两条平行线中有一条直线和一个平面垂直，那么另一条直线也和这个平面垂直。
(3)利用“一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则与另一个也垂直”．
(4)利用面面垂直的性质定理．
练习5（1）如果命题“若∥z，则”不成立，那么字母x、y、z在空间所表示的几何图形一定是_____；
（2）已知a，b，c是直线，α、β是平面，下列条件中能得出直线a⊥平面α的是( )　 A、a⊥b，ａ⊥ｃ其中ｂα，ｃα　　B、a⊥b ，ｂ∥α
　C、α⊥β，ａ∥β　 D、ａ∥ｂ，ｂ⊥α；
（3）已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形，AB＝BC＝2，E，F分别为AC和CC1的中点，BF⊥A1B1.
(1)求三棱锥F－EBC的体积；
(2)已知D为棱A1B1上的点，证明：BF⊥DE.
7.证明面面垂直的两种方法
（1）判定：①判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。②定义法：即证两个相交平面所成的二面角为直二面角；
练习6: （1）(多选)已知直线平面，直线平面，给出下列四命题中正确的是( )
A. B.；C.；D.。
（2）(多选)设是两条不同直线，是两个不同平面，给出下列四命题中正确的是( )
A.若则；B.若，则；
C.若，则或；D.若则。
(3)在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足___________时，平面MBD⊥平面PCD；
练习7: (2021·全国乙卷)如图，四棱锥P－ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，M为BC的中点，且PB⊥AM.
(1)证明：平面PAM⊥平面PBD；
(2)若PD＝DC＝1，求四棱锥P－ABCD的体积．
练习8.　如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E，F分别为AD，PB的中点．求证：
(1)PE⊥BC；
(2)平面PAB⊥平面PCD；
(3)EF∥平面PCD.
七、求点到平面的距离(高)的两种方法
(1)定义法：求几何体的高或点到面的距离，经常根据高或距离的定义在几何体中作出高或点到面的距离．其步骤为：一作、二证、三求．如何作出点到面的距离是关键，一般的方法是利用辅助面法，所作的辅助面，一是要经过该点，二是要与所求点到面的距离的面垂直，这样在辅助面内过该点作交线的垂线，点到垂足的距离即为点到面的距离．
(2)等体积法：求棱锥的高或点到平面的距离常常利用同一个三棱锥变换顶点及底面的位置，其体积相等的方法求解．
练习1（1）在平面几何中有：Rt△ABC的直角边分别为a,b，斜边上的高为h，则。类比这一结论，在三棱锥P—ABC中，PA、PB、PC两点互相垂直，且PA=a，PB=b，PC=c，此三棱锥P—ABC的高为h，则结论为______________．
（2）把四个半径为R的小球放在桌面上，使下层三个，上层一个，两两相切，则上层小球最高处离桌面的距离为________。
练习2.如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．
(1)证明：MN∥平面C1DE；
(2)求点C到平面C1DE的距离．
练习3.如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，∠DAB＝90°，AB＝BC＝PA＝AD＝2，E为PB的中点，F是PC上的点．
(1)若EF∥平面PAD，证明：F为PC的中点；
(2)求点C到平面PBD的距离．
练习4.正方体ABCD-A１B１C１D１中AB=。①求证：平面AD1B1∥平面C1DB；②求证：A1C⊥平面AD1B1 ；③求平面AD1B1与平面C1DB间的距离
八、熟悉下列结论
⑴从一点O出发的三条射线OA、OB、OC，若∠AOB=∠AOC，则点A在平面∠BOC上的射影在∠BOC的平分线上；
(2)AB和平面所成的角是，AC在平面内，AC和AB的射影成，设∠BAC=,则coscos=cos；
(3)如果两个相交平面都与第三个平面垂直，那么它们的交线也垂直于第三个平面；
(4)若长方体的体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为，则cos2+
cos2+cos2=1；若长方体的体对角线与过同一顶点的三侧面所成的角分别为则cos2+cos2+cos2=2。
练习1（1）长方体中若一条对角线与过同一顶点的三个面中的二个面所成的角为30°、45°，则与第三个面所成的角为____________
（2）若一条对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为，则的关系为____________。
(5)在三棱锥中：①侧棱长相等(侧棱与底面所成角相等)顶点在底上射影为底面外心；②侧棱两两垂直(两对对棱垂直)顶点在底上射影为底面垂心；③顶点到底面三角形各边的距离相等(侧面与底面所成角相等)且顶点在底面上的射影在底面三角形内顶点在底上射影为底面内心.提醒：③若顶点在底面上的射影在底面三角形外，则顶点在底上射影为底面的旁心。
(6)(1)球(半径为R)与正方体(设棱长为a)有以下三种特殊情形：
①球内切于正方体，此时2R＝________ ；
②球与正方体的棱相切，此时2R＝ ________；
③球外接于正方体，此时2R＝________；
④长、宽、高分别为a，b，c的长方体的体对角线长等于其外接球的直径，即
2R＝ ________ .
⑤棱长为a的正四面体，斜高为a，高为h=a，其外接球的半径为R=a，内切球的半径为r=a.R:r=3:1,R+r=h
练习2:若正四面体的棱长为，则此正四面体的外接球的表面积为
八、立体几何问题的求解策略
1.转化思想
(1)证明线面平行、面面平行可转化为证明线线平行；证明线线平行可以转化为证明线面平行或面面平行．
(2)从解题方法上讲，由于线线垂直、线面垂直、面面垂直之间可以相互转化，因此整个解题过程始终沿着线线垂直、线面垂直、面面垂直的转化途径进行．
(3)求几何体的体积也常用转化法．如三棱锥顶点和底面的转化，几何体的高利用平行、中点，比例关系的转化等．
2.降维思想，转化为平面几何问题，具体方法表现为：
（1）求空间角、距离，归到三角形中求解；
（2）对于球的内接外切问题，作适当的截面――既要能反映出位置关系，又要反映出数量关系。
（3）求曲面上两点之间的最短距离，通过化曲为直转化为同一平面上两点间的距离。练习1.（1）已知一个半径为的球中有一个各条棱长都相等的内接正三棱柱，则这一正三棱柱的体积是_____；
（2）已知正方体的棱长为1，是的中点，是上的一点，则的最小值是_____；
(3)如图，在水平地面上的圆锥形物体的母线长为12，底面圆的半径等于4，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥侧面爬行一周后回到点P处，则小虫爬行的最短路程为_____
九、空间距离的求法
1.点到直线的距离：
2.点到平面的距离：①垂面法：借助于面面垂直的性质来作垂线，其中过已知点确定已知面的垂面是关键；②体积法：转化为求三棱锥的高；③等价转移法。
3.直线与平面的距离：前提是直线与平面平行，利用直线上任意一点到平面的距离都相等，转化为求点到平面的距离。
4.两平行平面之间的距离：转化为求点到平面的距离。
练习1（1）等边三角形的边长为，是边上的高，将沿折起，使之与所在平面成的二面角，这时点到的距离是_____
(2)如图，已知在直三棱柱A1B1C1-ABC中，AB＝AC＝AA1＝1，∠BAC＝90°.
求点B1到平面A1BC的距离.
练习2,如图所示，在矩形ABCD中，CD＝2CB＝2CE，将△DAE沿AE折起至△PAE的位置，使得PA⊥PB.
(1)求证：PA⊥BE；
(2)若CB＝2，求点C到平面PAE的距离．
十.空间角的计算
1、异面直线所成角的求法：（1）范围：；（2）求法：计算异面直线所成角的关键是平移（中点平移，顶点平移以及补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，以便易于发现两条异面直线间的关系）转化为相交两直线的夹角。
练习1.（1）正四棱锥的所有棱长相等，是的中点，那么异面直线与所成的角的余弦值等于____
（2）已知异面直线a、b所成的角为50°，P为空间一点，则过P且与a、b所成的角都是30°的直线有且仅有____条；
（3）如图，在圆锥SO中，AB，CD为底面圆的两条直径，AB∩CD＝O，且AB⊥CD，SO＝OB＝3，SE＝SB，则异面直线SC与OE所成角的正切值为____
(4)如图，已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，C是圆柱下底面弧AB的中点，C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为________．
2、直线和平面所成的角：求直线和平面所成角的步骤
（1）定义：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫这条直线和这个平面所成的角。（2）范围：；（3）求法：(I)作出直线在平面上的射影（寻找过斜线上一点与平面垂直的直线）；(II)连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角；(III)把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角
注:①求直线与平面所成的角，主要是找出斜线在平面内的射影，其关键是作垂线，找垂足，把线面角转化到一个三角形中求解．
②斜线与平面中所有直线所成角中最小的角
练习2（1）在正三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB=1，D在棱BB1上，BD=1，则AD与平面AA1C1C所成的角的正弦值为______；
（2）正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是AB、C1D1的中点，则棱 A1B1 与截面A1ECF所成的角的余弦值是______；
（3）若一平面与正方体的十二条棱所在直线都成相等的角θ，则sinθ的值为______
练习3.　如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，△PCD为等边三角形，平面PAC⊥平面PCD，PA⊥CD，CD＝2，AD＝3.
(1)设G，H分别为PB，AC的中点，求证：GH∥平面PAD；
(2)求证：PA⊥平面PCD；
(3)求直线AD与平面PAC所成角的正弦值．
练习4.如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的一动点．
(1)证明：△PBC是直角三角形；
(2)若PA＝AB＝2，且当直线PC与平面ABC所成角的正切值为时，求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．
3.二面角问题
二面角平面角：（1）平面角的三要素：①顶点在棱上；②角的两边分别在两个半平面内；③角的两边与棱都垂直。
（2）作平面角的主要方法：①定义法：直接在二面角的棱上取一点（特殊点），分别在两个半平面内作棱的垂线，得出平面角，用定义法时，要认真观察图形的特性；②垂线法：过其中一个面内一点作另一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角；③垂面法：过一点作棱的垂面，则垂面与两个半平面的交线所成的角即为平面角；
（3）二面角的范围：.
练习5（1）将∠A为60°的棱形ABCD沿对角线BD折叠，使A、C的距离等于BD，则二面角A-BD-C的余弦值是______；
（2）正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中对角线BD1＝8，BD1与侧面B1BCC1所成的为30°，则二面角C1—BD1—B1的正弦值为______；
（3）二面角α--β的平面角为120°，A、B∈，ACα，BDβ，AC⊥，BD⊥，若AB=AC=BD=1，则CD的长______；
（4）ABCD为菱形，∠DAB＝60°，PD⊥面ABCD，且PD＝AD，则面PAB与面PCD所成的锐二面角的正切值为______。
　 练习6.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为四边形，△ABD是边长为2的正三角形，BC⊥CD，BC＝CD，PD⊥AB，平面PBD⊥平面ABCD.
(1)求证：PD⊥平面ABCD；
(2)若二面角C－PB－D的平面角的余弦值为，求PD的长．
十一、解决平面图形翻折问题
平面图形翻折为空间图形问题的解题关键是看翻折前后线面位置关系的变化，根据翻折的过程找到翻折前后线线位置关系中没有变化的量和发生变化的量，这些不变的和变化的量反映了翻折后的空间图形的结构特征．
练习1.(必修2 P79复习参考题B1)如图，边长为2的正方形ABCD中，
(1)点E是AB的中点，点F是BC的中点，将△AED，△DCF分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于点A′，求证：A′D⊥EF；
(2)当BE＝BF＝BC时，求三棱锥A′－EFD的体积．
练习2.正三角形ABC的边长为a，将它沿平行于BC的线段PQ折起(其中P在边AB上，Q在边AC上)，使平面APQ⊥平面BPQC，D，E分别是PQ，BC的中点．
(1)证明：PQ⊥平面ADE；
(2)若折叠后A，B两点间的距离为d，求d最小时，四棱锥A－PBCQ的体积．
练习3.图1是由矩形和菱形组成的一个平面图形，其中， ，将其沿折起使得与重合，连结，如图2.
（1）证明图2中的四点共面，且平面平面；
（2）求图2中的四边形的面积.
十二、探究性问题
求条件探索性问题的主要途径：(1)先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明；(2)先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性．
练习1:在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，则点Q满足条件________时，有平面D1BQ∥平面PAO.
练习2.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，△PAD是正三角形，E为线段AD的中点．
(1)求证：平面PBC⊥平面PBE；
(2)是否存在满足PF＝λFC(λ>0)的点F，使得VB－PAE＝VD－PFB？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．
练习3.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，△PDC和△BDC均为等边三角形，且平面PDC⊥平面BDC.
(1)在棱PB上是否存在点E，使得AE∥平面PDC？若存在，试确定点E的位置；若不存在，试说明理由．
(2)若△PBC的面积为，求四棱锥P－ABCD的体积．
练习4.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是菱形，∠DAB＝30°，PD⊥平面ABCD，AD＝2，点E为AB上一点，且＝m，点F为PD中点．
(1)若m＝，证明：直线AF∥平面PEC；
(2)是否存在一个常数m，使得平面PED⊥平面PAB？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．
十四：动态几何：交线与截面、运动变换问题
1.线面（或线），线中有动点.方法：找面的垂线，证线线平行；假设线面，则线面中任意一条直线；
2.面面，面中有动点,方法：找线面，通过平行线之间的转化
练习1.(1)如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是A1D1，A1B1的中点，过直线BD的平面α∥平面AMN，则平面α截该正方体所得截面的面积为(　　)
A. B． C． D．
(2)我国古代的数学著作《九章算术·商功》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．在如图所示的“堑堵”ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，M、N分别是BB1和A1C1的中点，则平面AMN截“堑堵”ABC－A1B1C1所得截面图形的面积为(　　)
A. B． C. D．
(3)(多选)如图，在边长为2的正方形AP1P2P3中，线段BC的端点B，C分别在边P1P2，P2P3上滑动，且P2B＝P2C＝.现将△AP1B，△AP3C分别沿AB，CA折起使点P1，P3重合，重合后记为点P，得到三棱锥P－ABC.现有以下结论中正确的是( )
A.AP⊥BC；
B.当B，C分别为P1P2，P2P3的中点时，三棱锥P－ABC的外接球的表面积为6π；
C.当时三棱锥P－ABC体积为;D.三棱锥P－ABC体积的最大值为.
练习2(1)正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是___________。
(2)四棱锥P-ABCD的外接球O的表面积为，PA=4，，底面ABCD为矩形，点M在球的表面上运动，则四棱锥M-ABCD体积的最大值为_________.
练习3.如图，已知ABCD－A1B1C1D1是底面为正方形的长方体，∠AD1A1＝60°，AD1＝4，点P是AD1上的动点．
(1)试判断不论点P在AD1上的任何位置，是否都有平面BPA⊥平面AA1D1D，并证明你的结论；
(2)当P为AD1的中点时，求异面直线AA1与B1P所成的角的余弦值；
(3)求PB1与平面AA1D1所成角的正切值的最大值．

展开更多......

收起↑