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第9讲 匀变速直线运动的规律
考点（知识点） 重要程度 常考题型分布 本讲教学目标
中间时刻和中间位置的瞬时速度 ★★☆ 选择题、填空题、实验题、解答题 理解并掌握
初速度为零的匀加速直线运动的运动规律 ★★☆ 选择题、填空题、实验题 理解并掌握
注:★☆☆:普通考点知识点； ★★☆：高考高频考点； ★★★：高考重点、难点、必考点；
平均速度的计算：
知识点一：中间时刻和中间位置的瞬时速度
1．中间时刻的瞬时速度()与位移中点的瞬时速度()的比较
在v t图象中，速度图线与时间轴围成的面积表示位移。当物体做匀加速直线运动时，由图甲可知；当物体做匀减速直线运动时，由图乙可知。
不论物体是做匀加速直线运动还是做匀减速直线运动，总有
2. 匀变速直线运动的规律
（1）某段过程中间时刻的瞬时速度，等于该过程的平均速度，等于初末速度之和的一半，即；
（2）中间位置的瞬时速度：
（3）平均速度公式总结：
【例1】（多选）汽车从A到B做匀加速直线运动．已知汽车经过A点时速度为2m/s，经过B点时速度为8m/s，AB间距离为L．则下列说法中正确的是（　　）
A．汽车经过AB中间时刻的速度是5m/s
B．汽车经过AB位移中点时速度是5m/s
C．若汽车前一半时间发生位移x1，后一半时间发生位移x2，则x1＜x2
D．若汽车前一半位移所用时间t1，后一半位移所用时间t2，则t1＞t2
【答案】ACD
【解析】A．汽车经过AB中间时刻的速度，故A正确；
汽车经过AB位移中点时的速度，故B错误；
C．汽车前一半时间的平均速度 ，后一半时间内的平均速度，
因为前一半时间内的平均速度小于后一半时间内的平均速度，根据知x1前一半位移的平均速度小于后一半位移的平均速度，，前后位移相等，所以前一半位移的时间大于后一半位移的时间t1>t2，
故D正确．
[变式1]（多选）一个作匀加速直线运动的物体，先后经过A、B两点时的速度分别是v和7v，所用时间是t，则下列判断正确的是（ ）
A．物体的加速度大小是 B．经过AB中点的速度是
C．经过AB中间时刻的速度是 D．前时间通过的位移比后时间通过的位移少
【答案】CD
【解析】A．物体运动的加速度 B．根据中间位置速度为
则物体经过A、B中点位置的速度为故B错误；
根据平均速度推论知，经过A、B中间时刻的瞬时速度故C正确；
D．前时间内的平均速度后时间内的平均速度根据可知前时间通过的位移比后时间通过的位移
故D正确。
故选CD。
知识点二：初速度为零的匀加速直线运动规律
间隔时间相等
（1）1 s末、2 s末、3 s末、…、n s末的速度之比：v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶2∶3∶…∶n
（2）在1s内、2 s内、3 s内、…、n s 内的位移之比：x1∶x2∶x3∶…∶xn＝1∶4∶9∶…∶n2
（3）在第1 s内、第2 s内、第3 s内、…、第N s内的位移之比：xⅠ∶xⅡ∶xⅢ∶…∶xN＝1∶3∶5∶…∶(2N－1)
（4）连续相同的时间内的位移之差为一定值，即：△x=at2
2. 间隔距离相等
（1）通过x、2x、3x、…、nx的位移所用的时间之比：t1∶t2∶t3∶…∶tn＝1∶∶∶…∶
（2）通过第1个x、第2个x、第3个x、…、第N个x相邻相等位移所用的时间之比(即通过连续相邻相等的位移所用的时间之比)：tⅠ∶tⅡ∶tⅢ∶…∶tN＝1∶(－1)∶(－)∶…∶(－)
注意：（1）以上比例式成立的前提是物体做初速度为零的匀加速直线运动
（2）对于末速度为零的匀减速直线运动，可把它看成逆向的初速度为零的匀加速直线运动，应用比例关系，可使问题简化．
（3）对于初速度为零，且运动过程可分为等时间段或等位移段的匀加速直线运动，可优先考虑应用上面的结论求解。
【例2】质点从静止开始做匀加速直线运动，在第1个2 s、第2个2 s和第5 s内三段位移之比为(　 )
A．2∶6∶5 B．2∶8∶7 C．4∶12∶9 D．2∶2∶1
解析：选C　质点在从静止开始运动的前5 s内的每1 s内位移之比应为1∶3∶5∶7∶9，因此第1个2 s内的位移为(1＋3)＝4份，第2个2 s内的位移为(5＋7)＝12份，第5 s内的位移即为9份，C正确。
[变式1] 一观察者站在第一节车厢前端，当列车从静止开始做匀加速运动时（　　）
A. 每节车厢末端经过观察者的速度之比是1∶2∶3∶…
B. 每节车厢末端经过观察者的时间之比是1∶3∶5∶…
C. 在相等时间里经过观察者的车厢数之比是1∶3∶5∶…
D. 在相等时间里经过观察者的车厢数之比是1∶2∶3∶…
【答案】C【解析】A．列车从静止开始做匀加速直线运动，速度所以每节车厢末端经过观察者的速度之比是1∶∶∶…，故A错误；B．根据时间t＝所以每节车厢末端经过观察者的时间之比是1∶∶∶…，故B错误；CD．根据连续相等时间内的位移之比x1∶x2∶x3∶…∶xn＝1∶3∶5∶…∶(2n－1)可知，在相等时间里经过观察者的车厢数之比是1∶3∶5∶…，故C正确，D错误。故选C。
[变式2](多选）如图所示，光滑斜面AE被分成四个长度相等的部分，即AB=BC=CD=DE，一物体从A点静止释放沿斜面做匀加速直线运动，下列结论中正确的是( )
A．物体到达各点的速率vBvCvDvE=12
B．物体从A运动到E全过程的平均速度=vB
C．物体从A点到达各点所经历的时间之比：tBtCtDtE=1(-1)(-)(2-)
D．物体通过每一部分时，其速度增量vB-vA=vC-vB=vD-vC=vE-vD
【答案】AB【解析】根据得，由于AB、AC、AD、AE的位移之比为1：2：3：4，则，A正确；某段时间内的平均速度等于中间时刻的瞬时速度，由于AB和BE之比为1：3，可知B点为AE的中间时刻，则AE段的平均速度，B正确；根据知，则物体到达各点经历的时间，C错误；因为通过连续相等位移所用的时间不等，根据知，通过每一部分的速度增量不等，D错误．
【变式3】如图所示，某物体自O点由静止开始做匀加速直线运动，A、B、C、D为其运动轨迹上的四个点，测得xAB＝2 m，xBC＝3 m.且该物体通过AB、BC、CD所用时间相等，则下列说法正确的是(　　)
A.可以求出该物体加速度的大小
B.可以求得xCD＝5 m
C.可求得OA之间的距离为1.125 m
D.可求得OA之间的距离为1.5 m
【答案】C【解析】设加速度为a，该物体通过AB、BC、CD所用时间均为T，由Δx＝aT2，Δx＝xBC－xAB＝xCD－xBC＝1 m，可以求得aT2＝1 m，xCD＝4 m，而B点的瞬时速度vB＝，则OB之间的距离xOB＝＝3.125 m，OA之间的距离为xOA＝xOB－xAB＝1.125 m，C选项正确.
【例3】一辆汽车以某一速度在平直公路上做匀速直线运动，某时刻开始刹车做匀减速直线运动，第内通过的位移，第内通过的位移，则以下说法不正确的是（　　）
A．汽车匀速运动时的速度大小为 B．汽车刹车时的加速度大小为
C．汽车在内的位移大小为 D．汽车刹车后经停止运动
【答案】C
【详解】AB．由匀加速直线运动推论可得，第末速度为
则汽车匀速运动时的速度为，故A、B正确，不符合题意；
CD．汽车刹车到停止需要的时间为，即汽车时已经停止。内的位移为
故C错误，符合题意，D正确，不符合题意。
故选C。
[变式1]如图所示，一个质点从O点开始做初速度为零的匀加速直线运动，依次经过A、B、C三点，从A到B和从B到C运动时间相等，A、B间距离为，B、C间距离为，则O、A间的距离为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】设A、B间距离为x1，B、C间距离为x2，A到B运动的时间为t，则加速度，在B点的速度，则，解得
故选A。
[变式2]某汽车做匀加速直线运动，从某时刻起开始计时，在经过两个连续相同的时间内，速度的增量均为，汽车运动的位移大小分别为，则汽车的加速度大小为（　　）
A．2.5m/s2 B．1.25 m/s2 C．5 m/s2 D．4 m/s2
【答案】B
【详解】在经过两个连续相同的时间内，速度的增量均为，汽车运动的位移大小分别为，则，解得a=1.25 m/s2
故选B。
[变式3]如图，一质点从A点开始做匀加速直线运动，随后依次经过B、C、D三点。已知AB段、CD段距离分别为5m、13m，质点经过AB段、BC段、CD段时间相等，均为1s，则（　　）
A．质点的加速度大小为4m/s2
B．质点的加速度大小为2m/s2
C．质点在C点的速度大小为9m/s
D．质点在B点的速度大小为6m/s
【答案】A
【详解】AB．质点经过AB、BC、CD段时间相等，均为T=1s，由x3－x1=2aT2，得
故A符合题意，B不符合题意；
C．由x2－x1=x3－x2，得BC段长度x2=9m，过B点时刻对应AC段的中间时刻
故C错误；
D．过C点时刻对应BD段的中间时刻，故D错误。
故选A。
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第9讲 匀变速直线运动的规律
考点（知识点） 重要程度 常考题型分布 本讲教学目标
中间时刻和中间位置的瞬时速度 ★★☆ 选择题、填空题、实验题、解答题 理解并掌握
初速度为零的匀加速直线运动的运动规律 ★★☆ 选择题、填空题、实验题 理解并掌握
注:★☆☆:普通考点知识点； ★★☆：高考高频考点； ★★★：高考重点、难点、必考点；
平均速度的计算：
知识点一：中间时刻和中间位置的瞬时速度
1．中间时刻的瞬时速度()与位移中点的瞬时速度()的比较
在v t图象中，速度图线与时间轴围成的面积表示位移。当物体做匀加速直线运动时，由图甲可知；当物体做匀减速直线运动时，由图乙可知。
不论物体是做匀加速直线运动还是做匀减速直线运动，总有
2. 匀变速直线运动的规律
（1）某段过程中间时刻的瞬时速度，等于该过程的平均速度，等于初末速度之和的一半，即；
（2）中间位置的瞬时速度：
（3）平均速度公式总结：
【例1】（多选）汽车从A到B做匀加速直线运动．已知汽车经过A点时速度为2m/s，经过B点时速度为8m/s，AB间距离为L．则下列说法中正确的是（　　）
A．汽车经过AB中间时刻的速度是5m/s
B．汽车经过AB位移中点时速度是5m/s
C．若汽车前一半时间发生位移x1，后一半时间发生位移x2，则x1＜x2
D．若汽车前一半位移所用时间t1，后一半位移所用时间t2，则t1＞t2
[变式1]（多选）一个作匀加速直线运动的物体，先后经过A、B两点时的速度分别是v和7v，所用时间是t，则下列判断正确的是（ ）
A．物体的加速度大小是 B．经过AB中点的速度是
C．经过AB中间时刻的速度是 D．前时间通过的位移比后时间通过的位移少
知识点二：初速度为零的匀加速直线运动规律
间隔时间相等
（1）1 s末、2 s末、3 s末、…、n s末的速度之比：v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶2∶3∶…∶n
（2）在1s内、2 s内、3 s内、…、n s 内的位移之比：x1∶x2∶x3∶…∶xn＝1∶4∶9∶…∶n2
（3）在第1 s内、第2 s内、第3 s内、…、第N s内的位移之比：xⅠ∶xⅡ∶xⅢ∶…∶xN＝1∶3∶5∶…∶(2N－1)
（4）连续相同的时间内的位移之差为一定值，即：△x=at2
2. 间隔距离相等
（1）通过x、2x、3x、…、nx的位移所用的时间之比：t1∶t2∶t3∶…∶tn＝1∶∶∶…∶
（2）通过第1个x、第2个x、第3个x、…、第N个x相邻相等位移所用的时间之比(即通过连续相邻相等的位移所用的时间之比)：tⅠ∶tⅡ∶tⅢ∶…∶tN＝1∶(－1)∶(－)∶…∶(－)
注意：（1）以上比例式成立的前提是物体做初速度为零的匀加速直线运动
（2）对于末速度为零的匀减速直线运动，可把它看成逆向的初速度为零的匀加速直线运动，应用比例关系，可使问题简化．
（3）对于初速度为零，且运动过程可分为等时间段或等位移段的匀加速直线运动，可优先考虑应用上面的结论求解。
【例2】质点从静止开始做匀加速直线运动，在第1个2 s、第2个2 s和第5 s内三段位移之比为(　 )
A．2∶6∶5 B．2∶8∶7 C．4∶12∶9 D．2∶2∶1
[变式1] 一观察者站在第一节车厢前端，当列车从静止开始做匀加速运动时（　　）
A. 每节车厢末端经过观察者的速度之比是1∶2∶3∶…
B. 每节车厢末端经过观察者的时间之比是1∶3∶5∶…
C. 在相等时间里经过观察者的车厢数之比是1∶3∶5∶…
D. 在相等时间里经过观察者的车厢数之比是1∶2∶3∶…
[变式2](多选）如图所示，光滑斜面AE被分成四个长度相等的部分，即AB=BC=CD=DE，一物体从A点静止释放沿斜面做匀加速直线运动，下列结论中正确的是( )
A．物体到达各点的速率vBvCvDvE=12
B．物体从A运动到E全过程的平均速度=vB
C．物体从A点到达各点所经历的时间之比：tBtCtDtE=1(-1)(-)(2-)
D．物体通过每一部分时，其速度增量vB-vA=vC-vB=vD-vC=vE-vD
【变式3】如图所示，某物体自O点由静止开始做匀加速直线运动，A、B、C、D为其运动轨迹上的四个点，测得xAB＝2 m，xBC＝3 m.且该物体通过AB、BC、CD所用时间相等，则下列说法正确的是(　　)
A.可以求出该物体加速度的大小
B.可以求得xCD＝5 m
C.可求得OA之间的距离为1.125 m
D.可求得OA之间的距离为1.5 m
【例3】一辆汽车以某一速度在平直公路上做匀速直线运动，某时刻开始刹车做匀减速直线运动，第内通过的位移，第内通过的位移，则以下说法不正确的是（　　）
A．汽车匀速运动时的速度大小为 B．汽车刹车时的加速度大小为
C．汽车在内的位移大小为 D．汽车刹车后经停止运动
[变式1]如图所示，一个质点从O点开始做初速度为零的匀加速直线运动，依次经过A、B、C三点，从A到B和从B到C运动时间相等，A、B间距离为，B、C间距离为，则O、A间的距离为（　　）
A． B． C． D．
[变式2]某汽车做匀加速直线运动，从某时刻起开始计时，在经过两个连续相同的时间内，速度的增量均为，汽车运动的位移大小分别为，则汽车的加速度大小为（　　）
A．2.5m/s2 B．1.25 m/s2 C．5 m/s2 D．4 m/s2
[变式3]如图，一质点从A点开始做匀加速直线运动，随后依次经过B、C、D三点。已知AB段、CD段距离分别为5m、13m，质点经过AB段、BC段、CD段时间相等，均为1s，则（　　）
A．质点的加速度大小为4m/s2
B．质点的加速度大小为2m/s2
C．质点在C点的速度大小为9m/s
D．质点在B点的速度大小为6m/s
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