专题3 三角函数与解三角形-2023年全国各省份高考数学真题分类汇编(含解析)

资源下载
  1. 二一教育资源

专题3 三角函数与解三角形-2023年全国各省份高考数学真题分类汇编(含解析)

资源简介

2023年全国各省份高考数学真题分类汇编
专题3 三角函数与解三角形(解析版)
一、单选题
1.(2023年新课标Ⅰ卷 第8题)已知,则( ).
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】根据给定条件,利用和角、差角的正弦公式求出,再利用二倍角的余弦公式计算作答.
【详解】因为,而,因此,
则,
所以.
故选:B
【点睛】方法点睛:三角函数求值的类型及方法
(1)“给角求值”:一般所给出的角都是非特殊角,从表面来看较难,但非特殊角与特殊角总有一定关系.解题时,要利用观察得到的关系,结合三角函数公式转化为特殊角的三角函数.
(2)“给值求值”:给出某些角的三角函数值,求另外一些角的三角函数值,解题关键在于“变角”,使其角相同或具有某种关系.
(3)“给值求角”:实质上也转化为“给值求值”,关键也是变角,把所求角用含已知角的式子表示,由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角,有时要压缩角的取值范围.
2.(2023年新课标Ⅱ卷 第7题)已知为锐角,,则( ).
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】根据二倍角公式(或者半角公式)即可求出.
【详解】因为,而为锐角,
解得:.
故选:D.
3.(2023年全国乙卷(文数)第4题)在中,内角的对边分别是,若,且,则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】首先利用正弦定理边化角,然后结合诱导公式和两角和的正弦公式求得的值,最后利用三角形内角和定理可得的值.
【详解】由题意结合正弦定理可得,
即,
整理可得,由于,故,
据此可得,
则.
故选:C.
4.(2023年全国乙卷(文数)第10题,(理数)第6题)已知函数在区间单调递增,直线和为函数的图像的两条相邻对称轴,则( )
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】根据题意分别求出其周期,再根据其最小值求出初相,代入即可得到答案.
【详解】因为在区间单调递增,
所以,且,则,,
当时,取得最小值,则,,
则,,不妨取,则,
则,
故选:D.
5.(2023年全国甲卷(文数)第12题,(理数)第10题)函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到,则的图象与直线的交点个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】C
【分析】先利用三角函数平移的性质求得,再作出与的部分大致图像,考虑特殊点处与的大小关系,从而精确图像,由此得解.
【详解】因为向左平移个单位所得函数为,所以,
而显然过与两点,
作出与的部分大致图像如下,

考虑,即处与的大小关系,
当时,,;
当时,,;
当时,,;
所以由图可知,与的交点个数为.
故选:C.
6.(2023年全国甲卷(理数)第7题)设甲:,乙:,则( )
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】B
【分析】根据充分条件、必要条件的概念及同角三角函数的基本关系得解.
【详解】当时,例如但,
即推不出;
当时,,
即能推出.
综上可知,甲是乙的必要不充分条件.
故选:B
7.(2023年北京卷第7题)在中,,则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】利用正弦定理的边角变换与余弦定理即可得解.
【详解】因为,
所以由正弦定理得,即,
则,故,
又,所以.
故选:B.
8.(2023年天津卷第5题)已知函数的一条对称轴为直线,一个周期为4,则的解析式可能为( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【分析】由题意分别考查函数的最小正周期和函数在处的函数值,排除不合题意的选项即可确定满足题意的函数解析式.
【详解】由函数的解析式考查函数的最小周期性:
A选项中,B选项中,
C选项中,D选项中,
排除选项CD,
对于A选项,当时,函数值,故是函数的一个对称中心,排除选项A,
对于B选项,当时,函数值,故是函数的一条对称轴,
故选:B.
二、填空题
9.(2023年新课标Ⅰ卷 第15题)已知函数在区间有且仅有3个零点,则的取值范围是________.
【答案】
【分析】令,得有3个根,从而结合余弦函数的图像性质即可得解.
【详解】因为,所以,
令,则有3个根,
令,则有3个根,其中,
结合余弦函数的图像性质可得,故,
故答案为:.
10.(2023年新课标Ⅱ卷 第16题)已知函数,如图A,B是直线与曲线的两个交点,若,则______.

【答案】
【分析】设,依题可得,,结合的解可得,,从而得到的值,再根据以及,即可得,进而求得.
【详解】设,由可得,
由可知,或,,由图可知,
,即,.
因为,所以,即,.
所以,
所以或,
又因为,所以,.
故答案为:.
【点睛】本题主要考查根据图象求出以及函数的表达式,从而解出,熟练掌握三角函数的有关性质,以及特殊角的三角函数值是解题关键.
11.(2023年全国乙卷(文数)第14题)若,则________.
【答案】
【分析】根据同角三角关系求,进而可得结果.
【详解】因为,则,
又因为,则,
且,解得或(舍去),
所以.
故答案为:.
12.(2023年全国甲卷(理数)第16题)在中,,的角平分线交BC于D,则_________.
【答案】
【分析】方法一:利用余弦定理求出,再根据等面积法求出;
方法二:利用余弦定理求出,再根据正弦定理求出,即可根据三角形的特征求出.
【详解】
如图所示:记,
方法一:由余弦定理可得,,
因为,解得:,
由可得,

解得:.
故答案为:.
方法二:由余弦定理可得,,因为,解得:,
由正弦定理可得,,解得:,,
因为,所以,,
又,所以,即.
故答案为:.
【点睛】本题压轴相对比较简单,既可以利用三角形的面积公式解决角平分线问题,也可以用角平分定义结合正弦定理、余弦定理求解,知识技能考查常规.
13.(2023年北京卷第13题)已知命题若为第一象限角,且,则.能说明p为假命题的一组的值为__________, _________.
【答案】
【分析】根据正切函数单调性以及任意角的定义分析求解.
【详解】因为在上单调递增,若,则,
取,
则,即,
令,则,
因为,则,
即,则.
不妨取,即满足题意.
故答案为:.
14.(2023年天津卷第14题)在中,,,点为的中点,点为的中点,若设,则可用表示为_________;若,则的最大值为_________.
【答案】
【分析】空1:根据向量的线性运算,结合为的中点进行求解;空2:用表示出,结合上一空答案,于是可由表示,然后根据数量积的运算和基本不等式求解.
【详解】空1:因为为的中点,则,可得,
两式相加,可得到,
即,则;
空2:因为,则,可得,
得到,
即,即.
于是.
记,
则,
在中,根据余弦定理:,
于是,
由和基本不等式,,
故,当且仅当取得等号,
则时,有最大值.
故答案为:;.

三、解答题
15.(2023年新课标Ⅰ卷 第17题)已知在中,.
(1)求;
(2)设,求边上的高.
【答案】(1)
(2)6
【分析】(1)根据角的关系及两角和差正弦公式,化简即可得解;
(2)利用同角之间的三角函数基本关系及两角和的正弦公式求,再由正弦定理求出,根据等面积法求解即可.
【详解】(1),
,即,
又,



即,所以,
.
(2)由(1)知,,
由,
由正弦定理,,可得,

.
16.(2023年新课标Ⅱ卷 第17题)记的内角的对边分别为,已知的面积为,为中点,且.
(1)若,求;
(2)若,求.
【答案】(1);
(2).
【分析】(1)方法1,利用三角形面积公式求出,再利用余弦定理求解作答;方法2,利用三角形面积公式求出,作出边上的高,利用直角三角形求解作答.
(2)方法1,利用余弦定理求出a,再利用三角形面积公式求出即可求解作答;方法2,利用向量运算律建立关系求出a,再利用三角形面积公式求出即可求解作答.
【详解】(1)方法1:在中,因为为中点,,,

则,解得,
在中,,由余弦定理得,
即,解得,则,

所以.
方法2:在中,因为为中点,,,
则,解得,
在中,由余弦定理得,
即,解得,有,则,
,过作于,于是,,
所以.
(2)方法1:在与中,由余弦定理得,
整理得,而,则,
又,解得,而,于是,
所以.
方法2:在中,因为为中点,则,又,
于是,即,解得,
又,解得,而,于是,
所以.
17.(2023年全国乙卷(理数)第18题)在中,已知,,.
(1)求;
(2)若D为BC上一点,且,求的面积.
【答案】(1);
(2).
【分析】(1)首先由余弦定理求得边长的值为,然后由余弦定理可得,最后由同角三角函数基本关系可得;
(2)由题意可得,则,据此即可求得的面积.
【详解】(1)由余弦定理可得:

则,,
.
(2)由三角形面积公式可得,
则.
18.(2023年全国甲卷(文数)第17题)记的内角的对边分别为,已知.
(1)求;
(2)若,求面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根据余弦定理即可解出;
(2)由(1)可知,只需求出即可得到三角形面积,对等式恒等变换,即可解出.
【详解】(1)因为,所以,解得:.
(2)由正弦定理可得

变形可得:,即,
而,所以,又,所以,
故的面积为.
19.(2023年北京卷第17题)设函数.
(1)若,求的值.
(2)已知在区间上单调递增,,再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知,使函数存在,求的值.
条件①:;
条件②:;
条件③:在区间上单调递减.
注:如果选择的条件不符合要求,第(2)问得0分;如果选择多个符合要求的条件分别解答,按第一个解答计分.
【答案】(1).
(2)条件①不能使函数存在;条件②或条件③可解得,.
【分析】(1)把代入的解析式求出,再由即可求出的值;
(2)若选条件①不合题意;若选条件②,先把的解析式化简,根据在上的单调性及函数的最值可求出,从而求出的值;把的值代入的解析式,由和即可求出的值;若选条件③:由的单调性可知在处取得最小值,则与条件②所给的条件一样,解法与条件②相同.
【详解】(1)因为
所以,
因为,所以.
(2)因为,
所以,所以的最大值为,最小值为.
若选条件①:因为的最大值为,最小值为,所以无解,故条件①不能使函数存在;
若选条件②:因为在上单调递增,且,
所以,所以,,
所以,
又因为,所以,
所以,
所以,因为,所以.
所以,;
若选条件③:因为在上单调递增,在上单调递减,
所以在处取得最小值,即.
以下与条件②相同.
20.(2023年天津卷第16题)在中,角所对的边分別是.已知.
(1)求的值;
(2)求的值;
(3)求.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】(1)根据正弦定理即可解出;
(2)根据余弦定理即可解出;
(3)由正弦定理求出,再由平方关系求出,即可由两角差的正弦公式求出.
【详解】(1)由正弦定理可得,,即,解得:;
(2)由余弦定理可得,,即,
解得:或(舍去).
(3)由正弦定理可得,,即,解得:,而,
所以都为锐角,因此,,
故.
试卷第14页,共15页2023年全国各省份高考数学真题分类汇编
专题3 三角函数与解三角形(解析版)
一、单选题
1.(2023年新课标Ⅰ卷 第8题)已知,则( ).
A. B. C. D.
2.(2023年新课标Ⅱ卷 第7题)已知为锐角,,则( ).
A. B. C. D.
3.(2023年全国乙卷(文数)第4题)在中,内角的对边分别是,若,且,则( )
A. B. C. D.
4.(2023年全国乙卷(文数)第10题,(理数)第6题)已知函数在区间单调递增,直线和为函数的图像的两条相邻对称轴,则( )
A. B. C. D.
5.(2023年全国甲卷(文数)第12题,(理数)第10题)函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到,则的图象与直线的交点个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
6.(2023年全国甲卷(理数)第7题)设甲:,乙:,则( )
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
7.(2023年北京卷第7题)在中,,则( )
A. B. C. D.
8.(2023年天津卷第5题)已知函数的一条对称轴为直线,一个周期为4,则的解析式可能为( )
A. B.
C. D.
二、填空题
9.(2023年新课标Ⅰ卷 第15题)已知函数在区间有且仅有3个零点,则的取值范围是________.
10.(2023年新课标Ⅱ卷 第16题)已知函数,如图A,B是直线与曲线的两个交点,若,则______.

11.(2023年全国乙卷(文数)第14题)若,则________.
12.(2023年全国甲卷(理数)第16题)在中,,的角平分线交BC于D,则_________.
13.(2023年北京卷第13题)已知命题若为第一象限角,且,则.能说明p为假命题的一组的值为__________, _________.
14.(2023年天津卷第14题)在中,,,点为的中点,点为的中点,若设,则可用表示为_________;若,则的最大值为_________.
三、解答题
15.(2023年新课标Ⅰ卷 第17题)已知在中,.
(1)求;
(2)设,求边上的高.
16.(2023年新课标Ⅱ卷 第17题)记的内角的对边分别为,已知的面积为,为中点,且.
(1)若,求;
(2)若,求.
17.(2023年全国乙卷(理数)第18题)在中,已知,,.
(1)求;
(2)若D为BC上一点,且,求的面积..
18.(2023年全国甲卷(文数)第17题)记的内角的对边分别为,已知.
(1)求;
(2)若,求面积.
19.(2023年北京卷第17题)设函数.
(1)若,求的值.
(2)已知在区间上单调递增,,再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知,使函数存在,求的值.
条件①:;
条件②:;
条件③:在区间上单调递减.
注:如果选择的条件不符合要求,第(2)问得0分;如果选择多个符合要求的条件分别解答,按第一个解答计分.
20.(2023年天津卷第16题)在中,角所对的边分別是.已知.
(1)求的值;
(2)求的值;
(3)求.

展开更多......

收起↑

资源列表