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第二章 机械振动
3.单摆
教学目标
CONTENT
01
02
03
掌握单摆振动的周期公式
知道什么是单摆
会探究影响单摆周期公式的因素
生活中，我们常看到一些小振幅的摆动现象，类似简谐运动。
新课引入
当摆钟做小振幅的摆动时，可近似看作简谐运动，本节我们将在建立单摆模型的基础上，学习单摆摆动的规律
1．单摆：把一根不能伸长的细线上端固定，下端拴一个小球，线的质量和球的大小忽略不计，这种装置称为单摆。
2．理想化：
研究条件：与小球受到的重力及绳子的拉力相比，空气等对它的阻力可以忽略.
单摆的振动
一
知能提升
3.单摆的结构
θ
摆角
摆长：摆球重心到摆动圆弧圆心的距离。
偏角：摆到最高点时，细线与竖直方向的夹角。
摆线的长l0
摆长为l=l0+R
用什么方法探究单摆的振动是否为简谐运动？
1.位移与时间的关系是否满足正弦关系（x–t 图像法）
2.回复力与位移是否成正比且方向相反（F=-kx）
思考与讨论
B
A
O
方向：
沿切线指向平衡位置
P
θ
T
G
向心力大小：
与该点速度方向一致，不断改变速度大小
与该点速度方向垂直，只改变速度方向
方向：
沿半径指向悬点
理论推导：
摆球在任一点P点时，摆角为θ，摆球对O点的位移x，从O指向P
重力沿切线方向的分力提供回复力
P
O
θ
T
G
θ
F回=Mgsin θ
角度 弧度值θ sin θ
5° 0.08727 0.08716
4° 0.06981 0.06976
3° 0.05236 0.05234
2° 0.03491 0.03490
1° 0.01754 0.01754
当θ较小时，sinθ θ

位移方向与回复力方向相反F x
可以写成：F k x
结论：在摆角很小的情况下，摆球所受的回复力跟位移大小成正比，方向始终指向平衡位置（即与位移方向相反），因此单摆做简谐运动。
一般偏角 F k x (k )
P
O
θ
T
G
θ
如图 ，细线下悬挂一个除去了柱塞的注射器，注射器内装上墨汁。当注射器摆动时，沿着垂直于摆动的方向匀速拖动木板，观察留在木板上的墨汁图样。
t
x
O
通过图像，可看出注射器的摆动是简谐运动
做一做
单摆的周期与哪些因素有关呢？
单摆的周期
二
知能提升
猜想：
1．与振幅有关
2．与摆球的质量有关
3．与摆长有关
思考与讨论
探究一：探究周期与振幅的关系
次数 1 2 3 4 5 6
20次全振动时间/s 37.72 37.78 37.82 37.65 37.83 37.84
周期/s 1.886 1.889 1.891 1.883 1.892 1.892
实验表明：单摆周期与振幅无关，这是摆的等时性。
做一做
探究二：探究周期与摆球质量的关系
实验思想：相同摆长，相同尺寸、不同质量的摆球。
实验表明：单摆周期与摆球质量无关
探究三：探究周期与摆长的关系
实验思想：改变摆长，重复多次实验，记录20个周期
数据记录如下表
实验次数 摆长cm 周期T（s) 20次周期（s)
1 30.95 1.12 22.32
5 49.90 1.42 28.34
9 76.95 1.76 35.15
10 82.75 1.82 36.44
13 93.95 1.95 38.98
16 109.45 2.10 41.98
19 135.95 2.34 46.78
1．单摆的周期与振幅无关——单摆的等时性。
2．单摆的周期与摆球的质量无关。
3．单摆的周期与摆长有关——摆长越长，周期越大。
【实验表明】
荷兰物理学家惠更斯（1629-1695）通过实验进一步得出：
单摆做简谐运动的周期跟摆长的算数平方根成正比，跟重力加速度的算数平方根成反比．
该式是个近似公式，由它算出的周期与精确值之间的差别随着偏角的增加而增加。当偏角为5 时两者相差0.01%
例．一个摆长为2 m的单摆，在地球上某地振动时，测得完成100次全振动所用的时间为284 s。
(1)求当地的重力加速度g的大小。
(2)把该单摆拿到月球上去，已知月球上的重力加速度是1.60 m/s2，则该单摆振动周期是多少
典例精析
解析： (1)周期T= s=2.84 s
由周期公式T=2π得，g= m/s2=9.78 m/s2。
(2)T'=2π=2×3.14× s=7.02 s。
一、单摆的振动：在小角度下，单摆是简谐运动
二、单摆的周期：
课堂小结
1.关于单摆摆球在运动过程中的受力，下列结论正确的是(　　)
A.摆球受重力、摆线的拉力作用
B.摆球受重力、摆线的拉力、回复力作用
C.摆球的回复力为零时，向心力最大
D.摆球的回复力最大时，摆线中的拉力大小比摆球的重力大
解析：单摆在运动过程中，摆球受重力和摆线的拉力，重力沿圆弧切线的分力提供回复力，故A对、B错；在平衡位置处，回复力为零，速度最大，向心力F向= 最大，选项C正确；当回复力最大时，摆球在最大位移处，速度为零，向心力为零，则拉力等于重力沿半径方向的分力，即拉力小于重力，选项D错误。
跟踪练习
AC
2.下列有关单摆运动过程中的受力，说法正确的是(　　)
A.单摆运动的回复力是重力和摆线拉力的合力
B.单摆运动的回复力是重力沿圆弧切线方向的分力
C.单摆经过平衡位置时合力为零
D.单摆运动的回复力是摆线拉力的一个分力
解析：单摆的回复力是重力沿圆弧切线方向的分力，故选项B正确，A、D错误；单摆经过平衡位置时，回复力为零，向心力最大，其合外力不为零，所以选项C错误。
B
3.(多选)单摆是为研究振动而抽象出的理想化模型，其理想化条件是( 　 　)
A.摆线质量不计
B.摆线长度不伸缩
C.摆球的直径比摆线长度短得多
D.只要是单摆的运动就是一种简谐运动
解析：单摆由摆线和摆球组成，摆线只计长度不计质量，摆球只计质量不计大小，且摆线不伸缩，选项A、B、C正确。把单摆作为简谐运动来处理是有条件的，只有在摆角很小的情况下才能视单摆的运动为简谐运动，选项D错误。
ABC
4.下列关于单摆的说法正确的是(　　)
A. 单摆摆球从平衡位置运动到正向最大位移处时的位移为A(A为振幅)，
从正向最大位移处运动到平衡位置时的位移为-A
B. 单摆摆球的回复力等于摆球所受的合外力
C. 单摆摆球的回复力等于摆球重力沿圆弧切线方向的分力
D. 单摆摆球经过平衡位置时加速度为零
解析：简谐运动中的位移是以平衡位置作为起点，摆球在正向最大位移处时位移为A，在平衡位置时位移应为零；摆球的回复力由重力沿圆弧切线方向的分力提供，线的拉力与重力沿摆线方向的分力的合力提供向心力；摆球经最低点(振动的平衡位置)时回复力为零，但向心力不为零，所以合外力不为零，加速度不为零。
C
5.将秒摆(周期为2 s的单摆)的周期变为4 s，下面哪些措施是正确的(　　)
A.只将摆球质量变为原来的
B.只将振幅变为原来的2倍
C.只将摆长变为原来的4倍
D.只将摆长变为原来的16倍
C　
解析：单摆的周期与摆球的质量和振幅均无关，选项A、B错误；对该秒摆，T0=2π=2 s，对周期为4 s的单摆，T=2π=4 s，故l=4l0，故选项C正确，D错误。
本节内容结束

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