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第三单元第1讲 导数的概念及运算
讲
讲知识 讲方法
练
练题型 练真题
题型一：求已知函数的导数
题型二：求抽象函数的导数值
题型三：导数与函数图象
题型四：求切线方程
题型五：求切点坐标
题型六：求参数的值(范围)
题型七：两曲线的公切线
测
测基础 测能力
单选4题 单选4题
多选2题 多选2题
填空2题 填空2题
解答3题 解答3题
一、【讲】
【讲知识】
1．导数的概念
(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数记作f′(x0)或.
f′(x0)＝ ＝ .
(2)函数y＝f(x)的导函数
f′(x)＝ .
2．导数的几何意义
函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，相应的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
3．基本初等函数的导数公式
基本初等函数 导函数
f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0
f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0) f′(x)＝αxα－1
f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x
f(x)＝cos x f′(x)＝－sin_x
f(x)＝ax(a>0，且a≠1) f′(x)＝axln_a
f(x)＝ex f′(x)＝ex
f(x)＝logax(a>0，且a≠1) f′(x)＝
f(x)＝ln x f′(x)＝
4.导数的运算法则
若f′(x)，g′(x)存在，则有
[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
′＝(g(x)≠0)；
[cf(x)]′＝cf′(x)．
5．复合函数的定义及其导数
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
【讲方法】
1.求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导．
2.抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解．
3.复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元．
4.处理与切线有关的参数问题，关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：
①切点处的导数是切线的斜率；
②切点在切线上；
③切点在曲线上．
5.注意区分“在点P处的切线”与“过点P处的切线”．
6.公切线问题，应根据两个函数在切点处的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组求解．或者分别求出两函数的切线，利用两切线重合列方程组求解．
二、【练】
【练题型】
【题型一】求已知函数的导数
【典例1】(多选)下列求导运算正确的是(　　)
A．(sin a)′＝cos a(a为常数)
B．(sin 2x)′＝2cos 2x
C．()′＝
D．(ex－ln x＋2x2)′＝ex－＋4x
【解析】∵a为常数，∴sin a为常数，
∴(sin a)′＝0，故A错误．由导数公式及运算法则知B，C，D正确.
故选BCD.
【典例2】已知函数f(x)＝＋，则f′(x)＝ .
【解析】f′(x)＝＋(x－2)′＝＋(－2)x－3＝－.
【典例3】求下列各函数的导数：
（1）y＝x；（2）y＝tan x；（3）y＝2sin2－1.
【解析】（1）先变形：y＝x，再求导：y′＝（x）′＝x.
（2）先变形：y＝，再求导：y′＝′＝＝.
（3）先变形：y＝－cos x，再求导：y′＝－（cos x）′＝－（－sin x）＝sin x.
【题型二】求抽象函数的导数值
【典例1】已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足关系式f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x，则f′(2)＝________．
【解析】因为f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x，所以f′(x)＝2x＋3f′(2)＋，所以f′(2)＝4＋3f′(2)＋＝3f′(2)＋，所以f′(2)＝－.
【典例2】已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝3x2＋2x·f′(2)，则f′(5)＝(　　)
A．2　　 　　B．4　 　　　C．6　 　　　D．8
【解析】由已知得，f′(x)＝6x＋2f′(2)，
令x＝2，得f′(2)＝－12.
再令x＝5，得f′(5)＝6×5＋2f′(2)＝30－24＝6.
故选C.
【典例3】已知函数f（x）＝exln x，f′（x）为f（x）的导函数，则f′（1）的值为　　　　.
【解析】由题意得f′（x）＝exln x＋ex·，则f′（1）＝e.
【题型三】导数与函数图象
【典例1】已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则该函数的图象是(　　)
【解析】由y＝f′(x)的图象是先上升后下降可知，函数y＝f(x)图象的切线的斜率先增大后减小.
故选B.
【典例2】已知y＝f(x)是可导函数，如图，直线y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝ .
【解析】由题图可知曲线y＝f(x)在x＝3处切线的斜率等于－，∴f′(3)＝－.
∵g(x)＝xf(x)，∴g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，
∴g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，
又由题图可知f(3)＝1，
∴g′(3)＝1＋3×＝0.
【题型四】求切线方程
【典例1】函数f(x)＝x4－2x3的图象在点(1，f(1))处的切线方程为(　　)
A．y＝－2x－1 B．y＝－2x＋1
C．y＝2x－3 D．y＝2x＋1
【解析】f(1)＝1－2＝－1，切点坐标为(1，－1)，
f′(x)＝4x3－6x2，
所以切线的斜率为k＝f′(1)＝4×13－6×12＝－2，
切线方程为y＋1＝－2(x－1)，即y＝－2x＋1.
故选B.
【典例2】已知函数f(x)＝xln x，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的方程为 ．
【解析】∵点(0，－1)不在曲线f(x)＝xln x上，
∴设切点为(x0，y0)．又∵f′(x)＝1＋ln x，
∴直线l的方程为y＋1＝(1＋ln x0)x.
∴由解得x0＝1，y0＝0.
∴直线l的方程为y＝x－1，即x－y－1＝0.
【题型五】求切点坐标
【典例1】若曲线y＝xln x上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标是________．
【解析】设切点P的坐标为(x0，y0)，因为y′＝ln x＋1，
所以切线的斜率k＝ln x0＋1，
由题意知k＝2，得x0＝e，代入曲线方程得y0＝e.
故点P的坐标是(e，e)．
【典例2】若曲线y＝xln x上点P处的切线与直线x＋y＋1＝0垂直，则该切线的方程为____________．
【解析】设切点P的坐标为(x0，y0)，
因为y′＝ln x＋1，由题意得ln x0＋1＝1，
所以ln x0＝0，x0＝1，所以y0＝0，即点P(1，0)，
所以切线方程为y＝x－1，即x－y－1＝0.
【题型六】求参数的值(范围)
【典例1】已知曲线y＝aex＋xln x在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，则(　　)
A．a＝e，b＝－1 B．a＝e，b＝1
C．a＝e－1，b＝1 D．a＝e－1，b＝－1
【解析】因为y′＝aex＋ln x＋1，所以y′|x＝1＝ae＋1，
所以曲线在点(1，ae)处的切线方程为y－ae＝(ae＋1)(x－1)，即y＝(ae＋1)x－1，
所以解得
故选D.
【典例2】若函数f(x)＝ln x＋2x2－ax的图象上存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是 ．
【解析】直线2x－y＝0的斜率k＝2，
又曲线f(x)上存在与直线2x－y＝0平行的切线，
∴f′(x)＝＋4x－a＝2在(0，＋∞)内有解，
则a＝4x＋－2，x>0.
又4x＋≥2＝4，当且仅当x＝时取“＝”．
∴a≥4－2＝2.
∴a的取值范围是[2，＋∞)．
【典例3】已知曲线f(x)＝e2x－2ex＋ax－1存在两条斜率为3的切线，则实数a的取值范围是(　　)
A. B．(3，＋∞)
C. D．(0,3)
【解析】f′(x)＝2e2x－2ex＋a，
依题意知f′(x)＝3有两个实数解，
即2e2x－2ex＋a＝3有两个实数解，
即a＝－2e2x＋2ex＋3有两个实数解，
令t＝ex，∴t>0，
∴a＝－2t2＋2t＋3(t>0)有两个实数解，
∴y＝a与φ(t)＝－2t2＋2t＋3(t>0)的图象有两个交点，
φ(t)＝－2t2＋2t＋3＝－22＋，
∵t>0，∴φ(t)max＝φ＝，
又φ(0)＝3，
故3故选A.
【题型七】两曲线的公切线
【典例1】已知曲线y＝x＋ln x在点(1,1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a＝ .
【解析】方法一　因为y＝x＋ln x，所以y′＝1＋，y′|x＝1＝2.
所以曲线y＝x＋ln x在点(1,1)处的切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.
因为y＝2x－1与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，
所以a≠0(当a＝0时曲线变为y＝2x＋1与已知直线平行)．
由消去y，得ax2＋ax＋2＝0.
由Δ＝a2－8a＝0，解得a＝8.
方法二　同方法一得切线方程为y＝2x－1.
设y＝2x－1与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切于点(x0，ax＋(a＋2)x0＋1)．因为y′＝2ax＋(a＋2)，
所以＝2ax0＋(a＋2)．
由解得
【典例2】已知f(x)＝ex(e为自然对数的底数)，g(x)＝ln x＋2，直线l是f(x)与g(x)的公切线，则直线l的方程为 ．
【解析】设l与f(x)＝ex的切点为(x1，y1)，
则y1＝，
f′(x)＝ex，
∴f′(x1)＝，
∴切点为(x1，)，
切线斜率k＝，
∴切线方程为y－＝ (x－x1)，
即y＝，①
同理设l与g(x)＝ln x＋2的切点为(x2，y2)，
∴y2＝ln x2＋2，
g′(x)＝，
∴g′(x2)＝，
切点为(x2，ln x2＋2)，
切线斜率k＝，
∴切线方程为y－(ln x2＋2)＝(x－x2)，
即y＝·x＋ln x2＋1，②
由题意知，①与②相同，
∴
把③代入④有＝－x1＋1，
即(1－x1)(－1)＝0，
解得x1＝1或x1＝0，
当x1＝1时，切线方程为y＝ex；
当x1＝0时，切线方程为y＝x＋1，
综上，直线l的方程为y＝ex或y＝x＋1.
【典例3】已知曲线f(x)＝ln x＋1与g(x)＝x2－x＋a有公共切线，求实数a的取值范围．
【解析】设切线与f(x)＝ln x＋1相切于点P(x0，ln x0＋1)，
f′(x0)＝，
∴切线方程为y－(ln x0＋1)＝(x－x0)，
即y＝x＋ln x0，
联立得x2－x＋a－ln x0＝0，
∴Δ＝2－4(a－ln x0)＝0，
即＋＋1－4a＋4ln x0＝0，
即4a＝＋＋1＋4ln x0有解，
令φ(x)＝＋＋1＋4ln x(x>0)，
φ′(x)＝－－＋
＝
＝，
当x∈(0,1)时，φ′(x)<0，当x∈(1，＋∞)时，φ′(x)>0，
∴φ(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
∴φ(x)min＝φ(1)＝4，
又x→＋∞时，φ(x)→＋∞，
故φ(x)的值域为[4，＋∞)，
所以4a≥4，即a≥1，
故实数a的取值范围是[1，＋∞)．
【练真题】
【真题1】（2019·全国卷Ⅰ）曲线y＝3（x2＋x）ex在点（0,0）处的切线方程为　　　　.
【解析】∵y′＝3（x2＋3x＋1）ex，∴曲线在点（0,0）处的切线斜率k＝y′|x＝0＝3，∴曲线在点（0,0）处的切线方程为y＝3x.
【真题2】（2019·全国卷Ⅲ）已知曲线y＝aex＋xln x在点（1，ae）处的切线方程为y＝2x＋b，则（　　）
A.a＝e，b＝－1　　　 B.a＝e，b＝1
C.a＝e－1，b＝1 D.a＝e－1，b＝－1
【解析】∵y′＝aex＋ln x＋1，∴y′|x＝1＝ae＋1，∴2＝ae＋1，∴a＝e－1.∴切点为（1,1），
将（1,1）代入y＝2x＋b，得1＝2＋b，
∴b＝－1.
故选D.
【真题3】（2020·高考全国卷Ⅰ）函数f(x)＝x4－2x3的图象在点(1，f(1))处的切线方程为(　　)
A．y＝－2x－1
B．y＝－2x＋1
C．y＝2x－3
D．y＝2x＋1
【解析】因为f(x)＝x4－2x3，所以f′(x)＝4x3－6x2，f′(1)＝－2，所以切线的斜率为－2，排除C，D.又f(1)＝1－2＝－1，所以切线过点(1，－1)，排除A.
故选B.
【真题4】（2020·高考全国卷Ⅰ）曲线y＝ln x＋x＋1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为____________．
【解析】设切点坐标为(x0，ln x0＋x0＋1)．由题意得y′＝＋1，则该切线的斜率k＝|x＝x0＝＋1＝2，解得x0＝1，所以切点坐标为(1，2)，所以该切线的方程为y－2＝2(x－1)，即y＝2x.
【真题5】（2019·高考全国卷Ⅱ）曲线y＝2sin x＋cos x在点(π，－1)处的切线方程为(　　)
A．x－y－π－1＝0 B．2x－y－2π－1＝0
C．2x＋y－2π＋1＝0 D．x＋y－π＋1＝0
【解析】依题意得y′＝2cos x－sin x，y′|x＝π＝(2cos x－sin x)|x＝π＝2cos π－sin π＝－2，因此所求的切线方程为y＋1＝－2(x－π)，即2x＋y－2π＋1＝0。
故选C．
【真题6】（2021·新高考全国Ⅰ）若过点(a，b)可以作曲线y＝ex的两条切线，则(　　)
A．ebC．0【解析】方法一　设切点(x0，y0)，y0>0，
则切线方程为y－b＝ (x－a)，
由
得 (1－x0＋a)＝b，则由题意知关于x0的方程 (1－x0＋a)＝b有两个不同的解．
设f(x)＝ex(1－x＋a)，
则f′(x)＝ex(1－x＋a)－ex＝－ex(x－a)，
由f′(x)＝0得x＝a，
所以当x0，f(x)单调递增，
当x>a时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
所以f(x)max＝f(a)＝ea(1－a＋a)＝ea，
当x0，
所以f(x)>0，当x→－∞时，f(x)→0，
当x→＋∞时，f(x)→－∞，
函数f(x)＝ex(1－x＋a)的大致图象如图所示，
因为f(x)的图象与直线y＝b有两个交点，所以0方法二　(用图估算法)过点(a，b)可以作曲线y＝ex的两条切线 ，则点(a，b)在曲线y＝ex的下方且在x轴的上方，
得0三、【测】
【测基础】
【单选题】
1. 下列函数的求导正确的是(　　)
A．(x－2)′＝－2x
B．(xcos x)′＝cos x－xsin x
C．(ln 10)′＝
D．(e2x)′＝2ex
【解析】(x－2)′＝－2x－3，∴A错；
(xcos x)′＝cos x－xsin x，∴B对；
(ln 10)′＝0，∴C错；
(e2x)′＝2e2x，∴D错．
故选B.
2. 曲线y＝2cos x＋sin x在(π，－2)处的切线方程为(　　)
A．x－y＋π－2＝0 B．x－y－π＋2＝0
C．x＋y＋π－2＝0 D．x＋y－π＋2＝0
【解析】y′＝－2sin x＋cos x，
当x＝π时，k＝－2sin π＋cos π＝－1，所以在点(π，－2)处的切线方程，由点斜式可得y＋2＝－1×(x－π)，化简可得x＋y－π＋2＝0.
故选D.
3. 已知点A是函数f(x)＝x2－ln x＋2图象上的点，点B是直线y＝x上的点，则|AB|的最小值为(　　)
A. B．2
C. D.
【解析】当与直线y＝x平行的直线与f(x)的图象相切时，切点到直线y＝x的距离为|AB|的最小值．f′(x)＝2x－＝1，
解得x＝1或x＝－(舍去)，
又f(1)＝3，
所以切点C(1,3)到直线y＝x的距离即为|AB|的最小值，即|AB|min＝＝.
故选A.
4. 设曲线f(x)＝aex＋b和曲线g(x)＝cos ＋c在它们的公共点M(0,2)处有相同的切线，则b＋c－a的值为(　　)
A．0 B．π C．－2 D．3
【解析】∵f′(x)＝aex，g′(x)＝－sin ，
∴f′(0)＝a，g′(0)＝0，∴a＝0，
又M(0,2)为f(x)与g(x)的公共点，
∴f(0)＝b＝2，g(0)＝1＋c＝2，解得c＝1，
∴b＋c－a＝2＋1－0＝3.
故选D.
【多选题】
5. 下列求导数运算正确的有(　　)
A．(sin x)′＝cos x　　　　　 B．′＝
C．(log3x)′＝ D．(ln x)′＝
【解析】因为(sin x)′＝cos x，′＝－，(log3x)′＝，(ln x)′＝，所以AD正确．
故选AD.
6. 已知函数f(x)及其导数f′(x)，若存在x0使得f(x0)＝f′(x0)，则称x0是f(x)的一个“巧值点”．给出下列四个函数，其中有“巧值点”的函数是(　　)
A．f(x)＝x2 B．f(x)＝e－x
C．f(x)＝ln x D．f(x)＝tan x
【解析】对于A，若f(x)＝x2，则f′(x)＝2x，令x2＝2x，这个方程显然有解，得x＝0或x＝2，故A符合要求；对于B，若f(x)＝e－x，则f′(x)＝－e－x，即e－x＝－e－x，此方程无解，B不符合要求；对于C，若f(x)＝ln x，则f′(x)＝，若ln x＝，利用数形结合法可知该方程存在实数解，C符合要求；对于D，若f(x)＝tan x，则f′(x)＝′＝，令f(x)＝f′(x)，即sin xcos x＝1，变形可得sin 2x＝2，无解，D不符合要求．
故选AC.
【填空题】
7. 已知函数y＝f(x)的图象在x＝2处的切线方程是y＝3x＋1，则f(2)＋f′(2)＝ .
【解析】切点坐标为(2，f(2))，
∵切点在切线上，
∴f(2)＝3×2＋1＝7，
又k＝f′(2)＝3，
∴f(2)＋f′(2)＝10.
8. 已知函数f(x)＝＋excos x，若f′(0)＝－1，则a＝ .
【解析】f′(x)＝＋excos x－exsin x
＝＋excos x－exsin x，
∴f′(0)＝－a＋1＝－1，则a＝2.
【解答题】
9. 求下列函数的导数．
(1)y＝(1－)；
(2)y＝x·tan x；
(3)y＝.
【解析】(1)因为y＝(1－)＝－＝x－－x，
所以y′＝(x－)′－(x)′＝－x－－x－.
(2)y′＝(x·tan x)′＝x′tan x＋x(tan x)′
＝tan x＋x·′＝tan x＋x·
＝tan x＋.
(3)y′＝′＝
＝－.
10. 已知曲线y＝x3＋x－2在点P0处的切线l1平行于直线4x－y－1＝0，且点P0在第三象限．
(1)求点P0的坐标；
(2)若直线l⊥l1，且l也过切点P0，求直线l的方程．
【解析】(1)由y＝x3＋x－2，得y′＝3x2＋1.
令3x2＋1＝4，解得x＝±1.
当x＝1时，y＝0；当x＝－1时，y＝－4.
又点P0在第三象限，
所以切点P0的坐标为(－1，－4)．
(2)因为直线l⊥l1，l1的斜率为4，
所以直线l的斜率为－.
因为l过切点P0，点P0的坐标为(－1，－4)，
所以直线l的方程为y＋4＝－(x＋1)，即x＋4y＋17＝0.
【测能力】
【单选题】
1. 拉格朗日中值定理又称拉氏定理，是微积分学中的基本定理之一，它反映了函数在闭区间上的整体平均变化率与区间某点的局部变化率的关系，其具体内容如下：若f(x)在[a，b]上满足以下条件：①在[a，b]上图象连续，②在(a，b)内导数存在，则在(a，b)内至少存在一点c，使得f(b)－f(a)＝f′(c)(b－a)(f′(x)为f(x)的导函数)．则函数f(x)＝xex－1在[0,1]上这样的c点的个数为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】函数f(x)＝xex－1，
则f′(x)＝(x＋1)ex－1，
由题意可知，存在点c∈[0,1]，
使得f′(c)＝＝1，
即(1＋c)ec－1＝1，
所以ec－1＝，c∈[0,1]，作出函数y＝ec－1和y＝的图象，如图所示，
由图象可知，函数y＝ec－1和y＝的图象只有一个交点，
所以ec－1＝，c∈[0,1]只有一个解，即函数f(x)＝xex－1在[0,1]上c点的个数为1.
故选A.
2. 已知f1(x)＝sin x＋cos x，fn＋1(x)是fn(x)的导函数，即f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N*，则f2 022(x)等于(　　)
A．－sin x－cos x B．sin x－cos x
C．－sin x＋cos x D．sin x＋cos x
【解析】∵f1(x)＝sin x＋cos x，
∴f2(x)＝f1′(x)＝cos x－sin x，
f3(x)＝f2′(x)＝－sin x－cos x，
f4(x)＝f3′(x)＝－cos x＋sin x，
f5(x)＝f4′(x)＝sin x＋cos x，
∴fn(x)的解析式以4为周期重复出现，
∵2 022＝4×505＋2，
∴f2 022(x)＝f2(x)＝cos x－sin x.
故选C.
3. 已知函数f(x)在R上可导，其部分图象如图所示，设＝a，则下列不等式正确的是(　　)
A．f′(1)C．f′(2)【解析】由题图可知，在(0，＋∞)上，函数f(x)为增函数，且曲线切线的斜率越来越大，因为＝a，所以易知f′(1)故选B.
4. 已知函数f(x)＝x，曲线y＝f(x)上存在两个不同点，使得曲线在这两点处的切线都与y轴垂直，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－e2，＋∞) B．(－e2,0)
C. D.
【解析】∵曲线y＝f(x)上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与y轴垂直，∴f′(x)＝a＋(x－1)e－x＝0有两个不同的解，即a＝(1－x)e－x有两个不同的解．设y＝(1－x)e－x，则y′＝(x－2)e－x，∴当x<2时，y′<0，当x>2时，y′>0，则y＝(1－x)e－x在(－∞，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，∴x＝2时，函数y取得极小值－e－2.又∵当x>2时总有y＝(1－x)e－x<0且f(0)＝1>0，∴可得实数a的取值范围是.
故选D.
【多选题】
5. 已知函数f(x)及其导数f′(x)，若存在x0使得f(x0)＝f′(x0)，则称x0是f(x)的一个“巧值点”．给出下列四个函数，其中有“巧值点”的函数是(　　)
A．f(x)＝x2 B．f(x)＝e－x
C．f(x)＝ln x D．f(x)＝tan x
【解析】对于A，若f(x)＝x2，则f′(x)＝2x，令x2＝2x，这个方程显然有解，得x＝0或x＝2，故A符合要求；对于B，若f(x)＝e－x，则f′(x)＝－e－x，即e－x＝－e－x，此方程无解，B不符合要求；对于C，若f(x)＝ln x，则f′(x)＝，若ln x＝，利用数形结合法可知该方程存在实数解，C符合要求；对于D，若f(x)＝tan x，则f′(x)＝′＝，令f(x)＝f′(x)，即sin xcos x＝1，变形可得sin 2x＝2，无解，D不符合要求．
故选AC.
6. 若函数f(x)在D上可导，即f′(x)存在，且导函数f′(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记f″(x)＝[f′(x)]′.若f″(x)<0在D上恒成立，则称f(x)在D上为凸函数．以下四个函数在上是凸函数的是(　　)
A．f(x)＝－x3＋3x＋4
B．f(x)＝ln x＋2x
C．f(x)＝sin x＋cos x
D．f(x)＝xex
【解析】对A，f(x)＝－x3＋3x＋4，
f′(x)＝－3x2＋3，
f″(x)＝－6x，
当x∈时，f″(x)<0，故A为凸函数；
对B，f(x)＝ln x＋2x，f′(x)＝＋2，
f″(x)＝－，
当x∈时，f″(x)<0，故B为凸函数；
对C，f(x)＝sin x＋cos x，
f′(x)＝cos x－sin x，
f″(x)＝－sin x－cos x＝－sin，
当x∈时，f″(x)<0，故C为凸函数；
对D，f(x)＝xex，f′(x)＝(x＋1)ex，
f″(x)＝(x＋2)ex，
当x∈时，f″(x)>0，故D不是凸函数．
故选ABC.
【填空题】
7. 我国魏晋时期的科学家刘徽创立了“割圆术”，实施“以直代曲”的近似计算，用正n边形进行“内外夹逼”的办法求出了圆周率π的精度较高的近似值，这是我国最优秀的传统科学文化之一．借用“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图象的切线近似代替在切点附近的曲线来近似计算．设f(x)＝，则f′(x)＝________，其在点(0,1)处的切线方程为________．
【解析】∵f(x)＝，
故f′(x)＝(x2)′＝，
则f′(0)＝0.故曲线y＝f(x)在点(0,1)处的切线方程为y＝1.
8. 已知函数f(x)＝x3－ax2＋x(a∈R)，若曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，则a的取值范围为____________________．
【解析】因为f(x)＝x3－ax2＋x(a∈R)，
所以f′(x)＝3x2－2ax＋a＋1，因为曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，
所以关于x的方程f′(x)＝3x2－2ax＋a＋1＝0有两个不等的实根，
则Δ＝4a2－12>0，即a2－2a－3>0，
解得a＞3或a＜－1，
所以a的取值范围是(－∞，－1)∪(3，＋∞)．
【解答题】
9. 已知函数f(x)＝x3－2x2＋3x(x∈R)的图象为曲线C.
(1)求在曲线C上任意一点切线斜率的取值范围；
(2)若在曲线C上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围．
【解析】(1)由题意得f′(x)＝x2－4x＋3，则f′(x)＝(x－2)2－1≥－1，即曲线C上任意一点处的切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)．
(2)设曲线C的其中一条切线的斜率为k(k≠0)，
则由题意并结合(1)中结论可知，解得－1≤k<0或k≥1，则－1≤x2－4x＋3<0或x2－4x＋3≥1，解得x∈(－∞，2－]∪(1,3)∪[2＋，＋∞)．
10. 已知抛物线C：y＝－x2＋x－4，过原点O作C的切线y＝kx，使切点P在第一象限．
(1)求k的值；
(2)过点P作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q的坐标．
【解析】(1)设点P的坐标为(x1，y1)，
则y1＝kx1，①
y1＝－x＋x1－4，②
将①代入②得x＋x1＋4＝0.
因为P为切点，
所以Δ＝－16＝0，得k＝或k＝.
当k＝时，x1＝－2，y1＝－17.当k＝时，x1＝2，y1＝1.
因为P在第一象限，
所以k＝.
(2)过P点作切线的垂线，
其方程为y＝－2x＋5.③
将③代入抛物线方程得，
x2－x＋9＝0.
设Q点的坐标为(x2，y2)，则2x2＝9，
所以x2＝，y2＝－4.
所以Q点的坐标为.
11. 已知函数f(x)＝x2－ln x.
(1)求曲线f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)在函数f(x)＝x2－ln x的图象上是否存在两点，使以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间上？若存在，求出这两点的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】(1)由题意可得f(1)＝1，且f′(x)＝2x－，所以f′(1)＝2－1＝1，则所求切线方程为y－1＝1×(x－1)，即y＝x.
(2)存在．假设存在两点满足题意，设切点坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1，x2∈，不妨设x1又函数f′(x)＝2x－在区间上单调递增，函数的值域为[－1，1]，
故－1≤2x1－＜2x2－≤1，
据此有
解得x1＝，x2＝1，
故存在两点，(1，1)满足题意．
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第三单元第1讲 导数的概念及运算
讲
讲知识 讲方法
练
练题型 练真题
题型一：求已知函数的导数
题型二：求抽象函数的导数值
题型三：导数与函数图象
题型四：求切线方程
题型五：求切点坐标
题型六：求参数的值(范围)
题型七：两曲线的公切线
测
测基础 测能力
单选4题 单选4题
多选2题 多选2题
填空2题 填空2题
解答3题 解答3题
一、【讲】
【讲知识】
1．导数的概念
(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数记作f′(x0)或.
f′(x0)＝ ＝ .
(2)函数y＝f(x)的导函数
f′(x)＝ .
2．导数的几何意义
函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，相应的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
3．基本初等函数的导数公式
基本初等函数 导函数
f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0
f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0) f′(x)＝αxα－1
f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x
f(x)＝cos x f′(x)＝－sin_x
f(x)＝ax(a>0，且a≠1) f′(x)＝axln_a
f(x)＝ex f′(x)＝ex
f(x)＝logax(a>0，且a≠1) f′(x)＝
f(x)＝ln x f′(x)＝
4.导数的运算法则
若f′(x)，g′(x)存在，则有
[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
′＝(g(x)≠0)；
[cf(x)]′＝cf′(x)．
5．复合函数的定义及其导数
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
【讲方法】
1.求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导．
2.抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解．
3.复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元．
4.处理与切线有关的参数问题，关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：
①切点处的导数是切线的斜率；
②切点在切线上；
③切点在曲线上．
5.注意区分“在点P处的切线”与“过点P处的切线”．
6.公切线问题，应根据两个函数在切点处的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组求解．或者分别求出两函数的切线，利用两切线重合列方程组求解．
二、【练】
【练题型】
【题型一】求已知函数的导数
【典例1】(多选)下列求导运算正确的是(　　)
A．(sin a)′＝cos a(a为常数)
B．(sin 2x)′＝2cos 2x
C．()′＝
D．(ex－ln x＋2x2)′＝ex－＋4x
【典例2】已知函数f(x)＝＋，则f′(x)＝ .
【典例3】求下列各函数的导数：
（1）y＝x；（2）y＝tan x；（3）y＝2sin2－1.
【题型二】求抽象函数的导数值
【典例1】已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足关系式f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x，则f′(2)＝________．
【典例2】已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝3x2＋2x·f′(2)，则f′(5)＝(　　)
A．2　　 　　B．4　 　　　C．6　 　　　D．8
【典例3】已知函数f（x）＝exln x，f′（x）为f（x）的导函数，则f′（1）的值为　　　　.
【题型三】导数与函数图象
【典例1】已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则该函数的图象是(　　)
【典例2】已知y＝f(x)是可导函数，如图，直线y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝ .
【题型四】求切线方程
【典例1】函数f(x)＝x4－2x3的图象在点(1，f(1))处的切线方程为(　　)
A．y＝－2x－1 B．y＝－2x＋1
C．y＝2x－3 D．y＝2x＋1
【典例2】已知函数f(x)＝xln x，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的方程为 ．
【题型五】求切点坐标
【典例1】若曲线y＝xln x上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标是________．
【典例2】若曲线y＝xln x上点P处的切线与直线x＋y＋1＝0垂直，则该切线的方程为____________．
【题型六】求参数的值(范围)
【典例1】已知曲线y＝aex＋xln x在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，则(　　)
A．a＝e，b＝－1 B．a＝e，b＝1
C．a＝e－1，b＝1 D．a＝e－1，b＝－1
【典例2】若函数f(x)＝ln x＋2x2－ax的图象上存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是 ．
【典例3】已知曲线f(x)＝e2x－2ex＋ax－1存在两条斜率为3的切线，则实数a的取值范围是(　　)
A. B．(3，＋∞)
C. D．(0,3)
【题型七】两曲线的公切线
【典例1】已知曲线y＝x＋ln x在点(1,1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a＝ .
【典例2】已知f(x)＝ex(e为自然对数的底数)，g(x)＝ln x＋2，直线l是f(x)与g(x)的公切线，则直线l的方程为 ．
【典例3】已知曲线f(x)＝ln x＋1与g(x)＝x2－x＋a有公共切线，求实数a的取值范围．
【练真题】
【真题1】（2019·全国卷Ⅰ）曲线y＝3（x2＋x）ex在点（0,0）处的切线方程为　　　　.
【真题2】（2019·全国卷Ⅲ）已知曲线y＝aex＋xln x在点（1，ae）处的切线方程为y＝2x＋b，则（　　）
A.a＝e，b＝－1　　　 B.a＝e，b＝1
C.a＝e－1，b＝1 D.a＝e－1，b＝－1
【真题3】（2020·高考全国卷Ⅰ）函数f(x)＝x4－2x3的图象在点(1，f(1))处的切线方程为(　　)
A．y＝－2x－1
B．y＝－2x＋1
C．y＝2x－3
D．y＝2x＋1
【真题4】（2020·高考全国卷Ⅰ）曲线y＝ln x＋x＋1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为____________．
【真题5】（2019·高考全国卷Ⅱ）曲线y＝2sin x＋cos x在点(π，－1)处的切线方程为(　　)
A．x－y－π－1＝0 B．2x－y－2π－1＝0
C．2x＋y－2π＋1＝0 D．x＋y－π＋1＝0
【真题6】（2021·新高考全国Ⅰ）若过点(a，b)可以作曲线y＝ex的两条切线，则(　　)
A．ebC．0三、【测】
【测基础】
【单选题】
1. 下列函数的求导正确的是(　　)
A．(x－2)′＝－2x
B．(xcos x)′＝cos x－xsin x
C．(ln 10)′＝
D．(e2x)′＝2ex
2. 曲线y＝2cos x＋sin x在(π，－2)处的切线方程为(　　)
A．x－y＋π－2＝0 B．x－y－π＋2＝0
C．x＋y＋π－2＝0 D．x＋y－π＋2＝0
3. 已知点A是函数f(x)＝x2－ln x＋2图象上的点，点B是直线y＝x上的点，则|AB|的最小值为(　　)
A. B．2
C. D.
4. 设曲线f(x)＝aex＋b和曲线g(x)＝cos ＋c在它们的公共点M(0,2)处有相同的切线，则b＋c－a的值为(　　)
A．0 B．π C．－2 D．3
【多选题】
5. 下列求导数运算正确的有(　　)
A．(sin x)′＝cos x　　　　　 B．′＝
C．(log3x)′＝ D．(ln x)′＝
6. 已知函数f(x)及其导数f′(x)，若存在x0使得f(x0)＝f′(x0)，则称x0是f(x)的一个“巧值点”．给出下列四个函数，其中有“巧值点”的函数是(　　)
A．f(x)＝x2 B．f(x)＝e－x
C．f(x)＝ln x D．f(x)＝tan x
【填空题】
7. 已知函数y＝f(x)的图象在x＝2处的切线方程是y＝3x＋1，则f(2)＋f′(2)＝ .
8. 已知函数f(x)＝＋excos x，若f′(0)＝－1，则a＝ .
【解答题】
9. 求下列函数的导数．
(1)y＝(1－)；
(2)y＝x·tan x；
(3)y＝.
10. 已知曲线y＝x3＋x－2在点P0处的切线l1平行于直线4x－y－1＝0，且点P0在第三象限．
(1)求点P0的坐标；
(2)若直线l⊥l1，且l也过切点P0，求直线l的方程．
【测能力】
【单选题】
1. 拉格朗日中值定理又称拉氏定理，是微积分学中的基本定理之一，它反映了函数在闭区间上的整体平均变化率与区间某点的局部变化率的关系，其具体内容如下：若f(x)在[a，b]上满足以下条件：①在[a，b]上图象连续，②在(a，b)内导数存在，则在(a，b)内至少存在一点c，使得f(b)－f(a)＝f′(c)(b－a)(f′(x)为f(x)的导函数)．则函数f(x)＝xex－1在[0,1]上这样的c点的个数为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
2. 已知f1(x)＝sin x＋cos x，fn＋1(x)是fn(x)的导函数，即f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N*，则f2 022(x)等于(　　)
A．－sin x－cos x B．sin x－cos x
C．－sin x＋cos x D．sin x＋cos x
3. 已知函数f(x)在R上可导，其部分图象如图所示，设＝a，则下列不等式正确的是(　　)
A．f′(1)C．f′(2)4. 已知函数f(x)＝x，曲线y＝f(x)上存在两个不同点，使得曲线在这两点处的切线都与y轴垂直，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－e2，＋∞) B．(－e2,0)
C. D.
【多选题】
5. 已知函数f(x)及其导数f′(x)，若存在x0使得f(x0)＝f′(x0)，则称x0是f(x)的一个“巧值点”．给出下列四个函数，其中有“巧值点”的函数是(　　)
A．f(x)＝x2 B．f(x)＝e－x
C．f(x)＝ln x D．f(x)＝tan x
6. 若函数f(x)在D上可导，即f′(x)存在，且导函数f′(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记f″(x)＝[f′(x)]′.若f″(x)<0在D上恒成立，则称f(x)在D上为凸函数．以下四个函数在上是凸函数的是(　　)
A．f(x)＝－x3＋3x＋4
B．f(x)＝ln x＋2x
C．f(x)＝sin x＋cos x
D．f(x)＝xex
【填空题】
7. 我国魏晋时期的科学家刘徽创立了“割圆术”，实施“以直代曲”的近似计算，用正n边形进行“内外夹逼”的办法求出了圆周率π的精度较高的近似值，这是我国最优秀的传统科学文化之一．借用“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图象的切线近似代替在切点附近的曲线来近似计算．设f(x)＝，则f′(x)＝________，其在点(0,1)处的切线方程为________．
8. 已知函数f(x)＝x3－ax2＋x(a∈R)，若曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，则a的取值范围为____________________．
【解答题】
9. 已知函数f(x)＝x3－2x2＋3x(x∈R)的图象为曲线C.
(1)求在曲线C上任意一点切线斜率的取值范围；
(2)若在曲线C上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围．
10. 已知抛物线C：y＝－x2＋x－4，过原点O作C的切线y＝kx，使切点P在第一象限．
(1)求k的值；
(2)过点P作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q的坐标．
11. 已知函数f(x)＝x2－ln x.
(1)求曲线f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)在函数f(x)＝x2－ln x的图象上是否存在两点，使以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间上？若存在，求出这两点的坐标；若不存在，请说明理由．
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