资源简介

专题2 圆相关的概念及性质
（一）圆的定义
1.圆的描述概念
如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径. 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．　　　　
2.圆的集合概念
圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合.
注：
　 ①确定圆需要两个因素，一是圆心，二是半径。圆心确定位置，半径确定其大小。
　②圆是一条封闭曲线，曲线是圆周，而不能认为是圆面.
③“圆上的点”指圆周上的点。
（二）点与圆的位置关系
点和圆的位置关系有三种：点在圆内，点在圆上，点在圆外.
若⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，那么：
点P在圆内 d ＜ r ；
点P在圆上 d = r ；
点P在圆外 d ＞r.
说明：符号“”读作“等价于”，它表示从左端可以推出右端，从右端也可以推出左端.
注：点在圆上是指点在圆周上，而不是点在圆面上；
（三）与圆有关的概念
1.弦
弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.
　 　直径：经过圆心的弦叫做直径.
弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.
2.弧
弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”.
　　 半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；
　　 优弧：大于半圆的弧叫做优弧；
　 　劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.
注：①半圆是弧，而弧不一定是半圆；
　　 ②无特殊说明时，弧指的是劣弧.
3.等弧
　　 在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.
注：①等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视；
②圆中两平行弦所夹的弧相等.
4.同心圆与等圆
　　 圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.
　　 圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.
注：同圆或等圆的半径相等.
5.圆心角
顶点在圆心且角的两边与圆相交的角叫做圆心角.
注：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，反之也成立.
6.弧、弦、圆心角的关系
（1）圆心角与弧的关系：
　　 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
（2）圆心角、弧、弦的关系：
　　在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
注：一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征；
　　 注意关系中不能忽视“同圆或等圆”这一前提.
（四）确定圆的条件
（1）经过一个已知点能作无数个圆；
（2）经过两个已知点A、B能作无数个圆，这些圆的圆心在线段AB的垂直平分线上；
（3）不在同一直线上的三个点确定一个圆.
（4）经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形.
如图：⊙O是△ABC的外接圆， △ABC是⊙O的内接三角形，点O是△ABC的外心.
外心的性质：外心是△ABC三条边的垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等.
注：（1）不在同一直线上的三个点确定一个圆.“确定”的含义是“存在且唯一”.
（2）只有确定了圆心和圆的半径，这个圆的位置和大小才唯一确定.
（五）圆的对称性
圆是轴对称图形，过圆心的直线是它的对称轴。圆有无数条对称轴．
圆是中心对称图形，对称中心为圆心．
注：圆具有旋转不变的特性．即一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合。
（六）垂径定理
1.垂径定理
　　 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.
2.推论
　　 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.　　　　　
注：
(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即
　　
　 (2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.
（七）垂径定理的拓展
根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：
平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.
考点一：圆的相关概念
例1.1下列三个命题：①圆既是轴对称图形又是中心对称图形；②直径是弦；③半径相等的两个半圆是等弧；其中正确的是（　 ）
A.①② 　　 　B. ②③ 　　 C. ①③ 　　　 D. ①②③
例1.2过圆上一点可以作出圆的最长的弦有（ ）条.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
例1.3如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（ ）
A.点P B.点Q C.点R D.点M
例1.4以已知点O为圆心，已知线段a为半径作圆，可以作（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个
如图，△ABC中，∠A=50°，O是BC的中点，以O为圆心，OB长为半径画弧，分别交AB，AC于点D，E，连接OD，OE，测量∠DOE的度数是（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
考点二：垂径定理
例2.1AB为⊙O的弦，OC⊥AB，C为垂足，若OA＝2，OC＝l，则AB的长为( )．
A． B． C． D．
例2.2如图所示，矩形ABCD与⊙O相交于M、N、F、E，若AM=2，DE=1，EF=8，则MN的长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
例2.3已知⊙O的直径AB=12cm，P为OB中点，过P作弦CD与AB相交成30°角，则弦CD的长为（ ）．
A． B． C． D．
例2.4如图，⊙O的弦AB垂直半径OC于点D，∠CBA=30°，OC=3cm，则弦AB的长为（　　）
A．9cm B．3cm C．cm D．cm
例2.5如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC＝5cm，CD＝8cm，则AE＝（　　）
A．8cm B．5cm C．3cm D．2cm
例2.6如图所示，⊙O的直径AB和弦CD交于E，已知AE=6cm，EB=2cm，∠CEA＝30°，求CD的长.
考点三：弧，弦，圆心角之间的关系
例3.1在⊙O中，圆心O到弦AB的距离为AB长度的一半，则弦AB所对圆心角的大小为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
例3.2下列说法中正确的是（ ）
①圆心角是顶点在圆心的角；②两个圆心角相等，它们所对的弦相等；③两条弦相等，圆心到这两弦的距离相等；④在等圆中，圆心角不变，所对的弦也不变．
A．①③ B．②④ C．①④ D．②③
例3.3如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，∠BCD=25°，则下列结论错误的是（　　）
A．AE=BE B．OE=DE C．∠AOD=50° D．D是的中点
例3.4如图，以的边为直径的分别交于点，连结，若，则___________.
例3.5如图，点A、B、C、D都在⊙O上，OC⊥AB，∠ADC=30°．
（1）求∠BOC的度数；
（2）求证：四边形AOBC是菱形．
例3.6如图，AB、CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB=8，CD=6，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上的任意一点，则PA+PC的最小值为（　　）
练习
1.下列说法中，错误的是（ ）
经过点p的圆有无数个；以点p为圆心的圆有无数个；
半径为3cm且经过点p的圆有无数个；④以点p为圆心，3cm为半径的圆有无数个.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.以下命题：①半圆是弧，但弧不一定是半圆；②过圆上任意一点只能作一条弦，且这条弦是直径；③弦是直径；④直径是圆中最长的弦；⑤直径不是弦；⑥优弧大于劣弧；⑦以○为圆心可以画无数个圆.正确的个数为（ ）
A.1 B、2 C、3 D、4
3.若圆O所在平面内一点P到圆O上的一点的最大距离为a，最小距离为b（a＞b），则此圆的半径为（ ）
A. B. C.或 D.或
4.已知圆O的半径为3，一弦长为的一个根，则该弦所对的圆心角的度数为_________.
5.如图，以△ABC的边BC为直径的⊙O分别交AB、AC于点D、E，连结OD、OE，若∠A=65°，则∠DOE=_____．
6.在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3cm，AC=4cm，以点B为圆心，BC为半径作圆B，问:点A、C及AB、AC的中点D、E与圆B有怎样的位置关系？
7.如图所示，A、B、C、D、E、F是⊙O的六等分点。
（1）连结AB、AD、AF，求证：AB+AF=AD；
（2）若P是圆周上异于已知六等分点的动点，连结PB、PD、PF，写出这三条线段长度的数量关系。（不必说明理由）
8.如图，平面直角坐标系中，以点C为圆心，以2为半径的圆与x轴交于A，B两点．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）若二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A，B，试确定此二次函数的解析式．

展开更多......

收起↑