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两角和与差的余弦
课题
借助于向量数量积的两种运算方法，理解两角差的余弦公式的证明过程；
借助于两角差的余弦公式与诱导公式，理解两角和的余弦公式的推导过程；
熟记两角和与差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行求值；
学习目标
)
(
课堂学习
学生
笔记
学案内容
【复习回顾】：
1
、任意角
的终边与单位圆的交点坐标用角
可以表示为
.
2
、平面内任意两个向量
，
的夹角
的范围是
.
3
、数量积定义式：
.
4
、已知
，
，则
.
5
、
.
.
.
.
【体验探究一】
、我们已经知道了
，
，
的正弦、余弦值，那么，由
，可能有人会猜测
，这样猜测，是否正确？为什么？回答完后请计算下面的式子
.
答：
请计算：
.
再计算：
.
)
(
学生笔记
) (
学案内容
)
(
图
3
图
4
) (
、根据（
1
）的分析，可知
与
不一定相等，根据上面的计算，你能猜测出
的表达式吗？
.
【体验探究二】
1
、问题
1
：在平面直角坐标系中，由转角的概念可知，当角的终边按逆时针旋转时，角如何变化？
2
、如图所示，用适当的角“
”与“
”表示
的大小
（
1
）、已知
，
（
2
）、已知
，
则
.
则
.
（
3
）、观察图
3
与图
4
，角
的终边是射线
，角
的终边为射线
，
由图
3
可得
.
由图
4
可得
.
进一步，
.
【体验探究三】
结合图
3
与图
4
，请运用向量数量积的定义和坐标运算，并结合【体验探究二】的学习，证明你在【体验探究一】（
2
）问的猜想，完成后面的填空。
证明：在平面直角坐标系
中，设
，
的终边与单位圆的交点分别为
,
，则点
，
因此，
，
，
)
(
学生笔记
) (
学案内容
) (
从而根据向量的坐标运算公式有：
.
另，由
2--
（
3
）的结论可知：
.
又因为
.
故由数量积的定义式可得：
.
请运用上面的公式，求
的值
思考：怎样求
的值呢？
结合上例的方法，请运用公式
与诱导公式证明
证明
：
【两角和与差的余弦公式】
)
(
记忆方法：
)
(
故
.
)
(
：
.
)
(
：
.
)
(
Eg1
利用
与
证明以下公式
.
（
1
）、
（
2
）
Eg2
、求
的值
【变式训练】：求
的值
)
(
课堂小结
) (
这节课你学到了什么？
)
(
【
巩固提高
】
1
、
的值为
. 3
、化简
的值为
. 4
、化简
)

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