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河南省商丘市名校2022-2023学年高一下学期数学期末考试模拟试卷
一、单选题(共12题；共60分)
1．（5分）复数满足，则（　　）
A． B． C．1 D．2
2．（5分）四名同学各掷骰子5次，记录每次骰子出现的点数并分别对每位同学掷得的点数进行统计处理，在四名同学以下的统计结果中，可以判断出该同学所掷骰子一定没有出现点数1的是（　　）
A．平均数为4，中位数为5 B．平均数为5，方差为2.4
C．中位数为4，众数为5 D．中位数为4，方差为2.8
3．（5分）设复数z满足，则|z|=(　　)
A．1 B． C． D．2
4．（5分）已知空间直角坐标系中， 1， 、 ，点C满足 ，则C的坐标为 　　
A． B．
C． D．
5．（5分）设η为一个离散型随机变量，则下列选项中可以作为η的分布列中各项概率的是（　　）
A．，1，
B．0.1，0.2，0.3，0.4
C．，，…，，…
D．，，，，…，
6．（5分）两直线 与 是异面直线， ，则 、 的位置关系是（　　）
A．平行或相交 B．异面或平行
C．异面或相交 D．平行或异面或相交
7．（5分） 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， .若 ， ，则（　　）
A． B．
C． D． 与 的大小不能确定
8．（5分）若一个正三棱台的侧梭长为5，上、下底面边长分别为4和10，则其斜高等于（　　）
A．3 B．4 C． D．
9．（5分）某次数学竞赛中有甲、乙、丙三个方阵，其人数之比为2∶3∶5．现用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个容量为50的样本，其中方阵乙被抽取的人数为（　　）
A．10 B．15 C．20 D．25
10．（5分）从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是(　　)
A．至少有一个红球与都是红球
B．至少有一个红球与都是白球
C．至少有一个红球与至少有一个白球
D．恰有一个红球与恰有二个红球
11．（5分）已知正三棱锥的底面边长为4，高为2，则该三棱锥的表面积是（　　）
A． B． C． D．
12．（5分）已知平面向量 ， ， ，则 （　　）
A．4 B． C． D．5
二、填空题(共4题；共20分)
13．（5分）i是虚数单位，则 　 　.
14．（5分）已知随机事件 ， 互斥，且 ， ，则 　 　.
15．（5分）棱长为2的正方体的顶点都在一个球的球面上，则该球的体积为　 　(注：球的体积 ，其中R为球的半径)
16．（5分）在 中，若 ，则 　 　．
三、解答题(共6题；共70分)
17．（10分）已知向量 ，O为坐标原点．
（1）（5分）若 求实数m的值；
（2）（5分）在（1）的条件下，求△ABC的面积．
18．（12分）某校高二（2）班的一次化学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如下图：
（1）（4分）求全班人数及全班分数的中位数；
（2）（4分）根据频率分布直方图估计该班本次测试的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.
（3）（4分）若从分数在及的答题卡中采用分层抽样的方式抽取了5份答题卡，再从抽取的这5份答题卡中随机抽取2份答题卡了解学生失分情况，求这2份答题卡至少有一份分数在的概率.
19．（12分）如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点.
（1）（6分）证明：MN∥平面C1DE；
（2）（6分）求点C到平面C1DE的距离．
20．（12分）为了了解中学生的视力情况，某机构调查了某高中1000名学生，其中有200名学生裸眼视力在0.6以下，有450名学生裸眼视力在内，其余的在1.0及以上．
（1）（6分）估计这个学校的学生需要配镜或治疗（裸眼视力不足1.0）的概率是多少
（2）（6分）估计这个学校的学生裸眼视力达到1.0及以上的概率为多少．
21．（12分）在 中， ， ， 分别是角 ， ， 所对的边，满足 .
（1）（6分）求B；
（2）（6分）若 是 边上的中点， ， ，求 的面积.
22．（12分）在四棱锥 中， 平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，其中 ， ， ，E为BC的中点，设Q为PC上一点．
（1）（6分）求证： ；
（2）（6分）若直线EQ与平面PAC所成的角的正切值为 ，求二面角 的余弦值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】复数代数形式的混合运算；复数求模
【解析】【解答】因为，
所以，
所以，
故答案为：B
【分析】由复数代数形式的运算性质整理化简，再由复数模的定义即可得出答案。
2．【答案】B
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】对于选项A，1，2，5，6，6符合条件，故A错，
对于选项B，若平均数为5且出现点数1，则只能为1，6，6，6，6，此时方差为 ，故B对，
对于选项C，1，2，4，5，5符合条件，故C错，
对于选项D，1，4，4，5，6，平均数为 ，方差 ，符合条件，故D错，
故答案为：B．
【分析】利用已知条件结合中位数的公式、平均数公式和方差公式以及众数的定义，从而找出可以判断出该同学所掷骰子一定没有出现点数1的选项。
3．【答案】A
【知识点】复数代数形式的混合运算；复数求模
【解析】【解答】由得，，故|z|=1。
【分析】本题将方程思想与复数的运算和复数的模结合起来分析，试题设计思路新颖，本题解题思路为利用方程思想和负数的运算法则求出复数z，再利用复数的模公式求出|z|，本题属于基础题，注意运算的准确性。
4．【答案】A
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】设 ，故 ，根据 得 ，解得 ，故 ，
故答案为：A.
【分析】利用向量相等的坐标表示求出点C的坐标。
5．【答案】B
【知识点】离散型随机变量及其分布列
【解析】【解答】选项A，因为数列 ，1， 中含有负数，所以不能作为分布列的概率．选项B，0.1，0.2，0.3，0.4均为正数且其和为1，可以作为分布列的概率．选项C，因为 ，所以不能作为分布列的概率．选项D，因为 ，所以不能作为分布列的概率．
故答案为：B
【分析】根据A项中含有负数，可判定A不符合题意；根据选项B中均为正数且其和为1，可判定B符合题意；根据 ，结合分布列的性质，可判定C不符合题意；根据D中所有数据的和不等于1，可判定D不符合题意.
6．【答案】C
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】【解答】由题可得, a、c的位置关系可以是异面或相交.
故答案为：C
【分析】直观想象分析即可.
7．【答案】C
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】在 中，由余弦定理可得： ，
因为 ，
所以 ，即 .
两边同时除以 ，得 ，解得： ，
故 ，
故答案为：C.
【分析】利用余弦定理可得，再由求根公式得，从而可得答案。
8．【答案】B
【知识点】棱台的结构特征
【解析】【解答】解：如图所示，正三棱台的侧棱长AD=5，上、下底面边长分别为DE=4，AB=10，
连接上下底面的中心MN，则MN是棱台的高，
取EF的中点H，BC的中点P，连接PH，则PH是斜高；
∴DH=DE=2，AP=AB=5，
∴DM= ，
∴MN=；
又MH= ，
∴HP= =4；即斜高为4．
故选：B．
【分析】M、N分别为上下底面的中心，取上下底面边的中点H和P，则HP为侧面的斜高，根据图求出斜高的值．
9．【答案】B
【知识点】分层抽样方法
【解析】【解答】由题意可知：方阵乙被抽取的人数为，
故答案为：B
【分析】根据已知条件结合分层抽样的定义，可求出答案.
10．【答案】D
【知识点】互斥事件与对立事件
【解析】【解答】解析：对于A，两事件是包含关系；对于B，两事件是对立事件；对于C，两事件可能同时发生．答案：D
【分析】解决的关键是理解互斥事件与对立事件的关系，对立事件一定是互斥事件，属于基础题。
11．【答案】D
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
【解析】【解答】如图，正三棱锥中，
，取的中点，连接，
则在上，且，
又，所以，
所以，则，
所以，
故三棱锥的表面积为.
故答案为：D
【分析】已知条件做出辅助线结合三角形中的几何计算关系，由勾股定理计算出边的大小，然后由三角形的面积公式，结合三棱锥的表面积公式代入数值计算出结果即可。
12．【答案】D
【知识点】平面向量的坐标运算
【解析】【解答】解：由题意得
又
则
解得m=-4
则
则
故答案为：D
【分析】根据向量运算的坐标表示，结合向量的求模公式求解即可.
13．【答案】
【知识点】复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】解： ，
故答案为：
【分析】首先由复数代数形式的运算性质整理即可得出答案。
14．【答案】0.5
【知识点】互斥事件的概率加法公式
【解析】【解答】 随机事件 ， 互斥，
，
.
故答案为：0.5.
【分析】 利用互斥事件概率加法公式直接求解．
15．【答案】
【知识点】球内接多面体
【解析】【解答】根据结论：球的内接正方体的体对角线是球的直径，设球半径为R，则有,于是V球＝.
【分析】根据结论：球的内接正方体的体对角线是球的直径,求出球半径。
16．【答案】2
【知识点】正弦定理的应用
【解析】【解答】解：由得，又
∴，
∴，
∴AB=AC=2
故答案为：2
【分析】根据正弦定理求解即可.
17．【答案】（1）解：因为向量 ，
所以向量 ，
又因为 ，
所以 ，
解得 .
（2）解：由（1）知： ，
所以 ，
所以
【知识点】平面向量的坐标运算
【解析】【分析】(1) 首先求出向量的坐标再由向量垂直的坐标公式代入数值计算出m的结果即可。
(2)由(1)的结论结合向量模的定义计算出代入到三角形的面积公式即可得出答案。
18．【答案】（1）解：由茎叶图可知，分数在内的频数为3，
由频率分布直方图可知，分数在内的频率为，
所以， 全班人数为人，
因为分数在内的频数为11，分数在内的频数为16，
所以，全班分数的中位数.
（2）解：由茎叶图知，分数在内的频数为3，在内的频数为11，分数在内的频数为16，在内的频数为8，
所以，分数在内的频数为，
所以，该班本次测试的平均成绩为.
（3）解：因为分数在内的频数为，在内的频数为8，
所以，由分层抽样抽取了5份答题卡中，分数在内的有份，分别记为，
分数在内的有份，分别记为，
所以，从抽取的这5份答题卡中随机抽取2份答题卡的所有情况有：，，，共10种，
其中，这2份答题卡至少有一份分数在内的情况有：，，，共7种，
所以，这2份答题卡至少有一份分数在的概率为.
【知识点】分层抽样方法；频率分布直方图；众数、中位数、平均数；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合茎叶图中的数据和频率分布直方图中各小组的矩形的面积等于各小组的频率，再利用频率等于频数除以样本容量，进而得出全班的人数；再利用频率分布直方图求中位数的方法，进而估计出全班分数的中位数。
（2）利用已知条件结合频率分布直方图求平均数的方法，进而估计出该班本次测试的平均成绩。
（3）利用已知条件结合分层抽样的方法和古典概型求概率公式，进而得出这2份答题卡至少有一份分数在的概率。
19．【答案】（1）连接 ，
， 分别为 ， 中点 为 的中位线
且
又 为 中点，且 且
四边形 为平行四边形
，又 平面 ， 平面
平面
（2）在菱形 中， 为 中点，所以 ，
根据题意有 ， ，
因为棱柱为直棱柱，所以有 平面 ，
所以 ，所以 ，
设点C到平面 的距离为 ，
根据题意有 ，则有 ，
解得 ，
所以点C到平面 的距离为 .
【知识点】直线与平面平行的判定；点、线、面间的距离计算
【解析】【分析】（1） 连接 ， ，推导出四边形MNDE为平行四边形，MN// ED，由此能证明 MN∥平面C1DE；
（2） 设点C到平面 的距离为 ，由 ，即可求出点C到平面 的距离。
20．【答案】（1）解：记事件为“裸眼视力在0.6以下”，事件为“裸眼视力在内”，事件为“裸眼视力不足1.0”．
用频率估计概率，因为、为互斥事件，且，
所以．
所以这个学校的学生需要配镜或治疗的概率约为0.65．
（2）解：记事件为“裸眼视力达到1.0及以上”，则事件与事件D为对立事件，
所以．
所以这个学校的学生裸眼视力达到1.0及以上的概率约为0.35．
【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式
【解析】【分析】（1）根据题意先判断事件A，B是互斥事件，再利用互斥事件的概率加法公式可求得所求事件的概率；
（2）根据题意先判断事件C，D是互斥事件，再利用对立事件的概率公式可求得所求事件的概率.
21．【答案】（1）解：根据正弦定理，由 得: ，
即 ，
所以 ，又 ，所以 ；
（2）解：在 中，由余弦定理得 ，
解得 ，所以 ，由三角形的面积公式得 .
【知识点】正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】(1)首先由正弦定理以及两角和的正弦公式整理得出，由此求出从而求出角的大小。
(2)结合已知条件由余弦定理代入数值计算出边的大小再把数值代入到三角形的面积公式计算出答案即可。
22．【答案】（1）证明：由题意得四边形 是正方形， ，又 平面ABCD，∴ ．
又 ，∴ 平面PAC，∴ ．
（2）解：设 ，连接OQ，由（1）得： 平面PAC，
∴ 为EQ与平面PAC所成的角，
∴ ，∵ ，∴ ，
∴Q为PC的中点
以A为原点，AE，AD，AP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
∴ ， ， ， ， ， ，
设平面AEQ的一个法向量为 ，
∴ ，∴ ，
令 ，∴ ， ，∴
易得平面ACQ的一个法向量为 ，
∴ ，
∴二面角 的余弦值为 ．
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】（1）要证明线线垂直，转化为证明线面垂直，即证明 平面PAC；
（2）首先利用线面角求得 Q为PC的中点 ，再以A为原点，AE，AD，AP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， 用向量坐标法求二面角 的余弦值 。

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