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一题多解与培养学生的发散思维
前言
新课程改革标准，更加强调学生德智体美劳全面发展，并要求注重培养学生的逻辑思维能力与创新思维能力，不能拘泥于课本的“标准答案”与基本解题思路，数学教师应向学生展示一题多解，引导学生知识迁移，让学生学会从不同角度分析和解决问题，促进学生思维的广阔性与灵活性，发展学生求异思维，提高学生的发散思维，促进思维的飞跃，同时能够积极迎接信息时代，适应未来生活所应具备的能力。
目录
一题多解对培养发散思维的重要性
发散思维在教学过程中的培养途径
总结
一题多解对培养发散思维的重要性
一题多解促进知识迁移
在学习新知识点的同时，往往可以运用过去的知识来突破新内容，发现解题的新方法，做到一题多解。在这个过程中，不仅有利于加深对新知识的学习理解夯实基础，而且可以重温旧知识，反复检验自己的掌握情况。所以一题多解可以加强新知识与旧知识之间的联系，有效加强知识积累，而且可以从中找到求解新知识题型的最佳方法，有效提高学习效率。
例1：求一元二次方程的解。
方法一（公式法）：先判断，
∵，
∴原方程的解有两个为：，
则，。
评价：这种方法是最早学习的方法，也是所有一元二次方程求解的通用方法。
方法二（配方法）：
移项，，
系数化为1，，
左边配出的形式，，
左边化为完全平方形式，，
所以原方程的解为：，。
评价：配方法更讲究的是学生对完全平方公式的灵活转换。
一题多解促进知识迁移
方法三（直接开方法）：
形如“”一元二次方程可以直接开平方，求解。
评价：此法只有在这种特殊的一元二次方程才可以使用。
方法四（因式分解法）：
将一元二次方程化为，则可直接求得，或。
评价：这种方法较为快捷方便，清晰明白，是学生使用最多的方法，若解为较为麻烦的无理数时才会考虑用方法一。
一题多解促进知识迁移
知识虽然很多，但是如果学生学不会灵活运用，那么学生只会把自己囚禁在知识的圈套里，只会套路化、模式化地使用知识，永远无法提高自己的创新能力与发散思维能力。想要培养学生用发散思维去思考解题方法，那么在平时解题过程中就不能拘泥于课本单一的方法，教师应该多多以一题多解和一题多变去训练学生发散思维能力，让学生做题时能从多个角度和维度去思考问题，勇于探索，大胆猜想，敢于标新立异，并积极表达自己的观点与方法。从而避免常规化、模式化的定势思维。当然，教师需要引导学生积极地把所学知识灵活运用到生活实际中，使知识成为学生解决生活实际问题的重要途径，让学生实实在在感受到知识的魅力与好处，提高学生发散思考的积极性。
一题多解促进思维灵活性
例2：已知如下图1，直线AB//CD，点P是AB和CD之间的一点，试说明∠ABP+∠PDC=∠BPD。
方法一：证明：如图2，过点P向右作PE//AB，则有∠ABP=∠BPE，
又∵AB//CD，
∴PE//CD，
∴∠EPD=∠PDC，
因此，∠ABP+∠PDC=∠BPE+∠EPD=∠BPD。
一题多解促进思维灵活性
A
B
C
D
P
图1
方法二：证明：如图3，过点P向左作PE//AB，则有
∠ABP+∠BPE=180°，
又∵AB//CD，
∴ PE//CD，
∴∠EPD+∠PDC=180°，
则有∠ABP+∠PDC+∠BPE+∠EPD=360°，
又∵∠BPE+∠EPD+∠BPD=360°，
∴∠ABP+∠PDC =∠BPD。
A
B
C
D
P
图2
A
B
C
D
P
图3
方法四：证明：如图5，过点P作直线EF，分别交AB、CD于点E、F。
则∠EPB+∠BPD=∠EPD=∠PFD+∠PDC，
又∵AB//CD，
∴∠PFD=∠AEF=∠ABP+∠EPB，
∴∠EPB+∠BPD=∠ABP+∠EPB+∠PDC，
∴∠ABP+∠PDC=∠BPD。
方法三：证明：如图4，延长BP，交CD于点E，则∠BPD=∠PED+∠PDC，
∵AB//CD，
∴∠ABP=∠PED，
∴∠ABP+∠PDC=∠BPD。
一题多解促进思维灵活性
A
B
C
D
P
E
图4
A
B
C
D
P
E
F
图5
一道题或许有多种解题方法，但不同的解法会给老师不同的印象，同时老师也能从不一样的解题方法看出学生对某个知识或者某种题型的掌握情况和学生逻辑思维能力。因为解题方法和过程往往与学生思维的开阔性、敏捷性有关，而适当地结合课本改学生进行一题多解训练，就能很好地培养学生发散思维的灵活性与求异性，使得学生的思维有一定程度上的飞跃，同时达到对课本知识点的融会贯通。
一题多解促进思维的飞跃
例5：已知数列满足，，试比较与的大小。
方法1（作差法）：将前后项相减，来判断两项的大小。
∵，
∴。
方法2（作商法）：将前后两项作商，判断二者的大小。
∵，
∴，
∴。
方法3（利用单调性）：
∵，可得关于单调递增，
∴。
一题多解促进思维的飞跃
发散思维在教学过程中的培养途径
在教学过程中教师需要做到以下四点[8]：
一、创设合理教学情境，调动学生的非智力因素，吸引学生的注意力，从而激起学生的主观能动性。
二、教师应不断引导学生知识迁移与发散思考，培养学生发现问题、分析问题和解决问题的能力。
三、对于学生的奇想、怪法无论是否准确，都先给予积极表达的表扬，再与学生们一起探讨这个奇想，不能对于学生的怪法置之不理。
四、鼓励学生打破砂锅问到底，主动与老师同学探讨想法，且最后要得到自己想要的答案才可以结束。
创设动手交流的教学情境
例如在讲解三角形全等的判定方法时，提出问题：是否为三角形全等的判定方法，你又是怎么验证的呢？然后让学生拿出草稿纸尝试给定两条边和一个角的大小，再画一画、剪一剪，小组成员可相互交流自己的想法。此时若只是自己思考会有部分学生无法发现问题所在，从而认为是判断方法，导致错误。但若是几位学生一起探讨，可先规定两边一角大小，然后让学生画出自己的三角形，再小组成员之间相互进行对比，可以发现大家画的三角形是不一样的，这样就能够轻易知道不是判定方法，最后组织学生做到问题所在。
创设动手交流的教学情境
由于学生是与同学一起动手合作发现的结果，学生情绪会十分兴奋且对此次探究印象深刻，有关知识也能够更快地被他们接受，对于学生学习新知识非常有效，同时增强了学生对学习数学的兴趣和信心，学生发散思维得以培养。数学的学习是不断探索的过程，而如果探索过程与结果的发现，发生在学生自己亲身经历上，那可以引发他们高涨的学习情绪，并留下深刻印象。
创设动手交流的教学情境
给学生一道题，让学生尽可能地写出多个解题办法，多种题型从多个角度去思考问题，做到随机应变。鼓励学生发现新的解题方法，积极与老师、同学探讨新方法的准确性和实用性。同时老师要把学生的思路想法板书下来，与学生一起探究，这样不仅尊重了学生的思考，让学生感受的了老师的认真对待，而且有利于增加学生对学习数学的热情，提高学生学习数学的信心。让学生通过思维的纵横发展，知识的串联，学会举一反三去解题，有利于提高学生的解题技巧。通过一题多解的训练，使学生能根据题目中的具体情况，迅速想到新设想和解题新方法，不局限于老套解题方法。
组织一题多解教学
所谓发散思维的深刻性，是指在数学活动中对问题做出更为深刻的思考，能够透过表面抓住问题的本质，能够通过一些简单的问题解决其他复杂问题的一种思维品质。在教学中，对于学生刚刚掌握的知识，作恰当的拓展延伸，让学生进入新的探究中。可以从一些已有的命题入手，通过改变命题的条件和结论，即一题多变，让学生在一个新创设的情景中寻求解题方法，使他们从已有的原理和方法去探索并发现学习新的知识。这种训练既有利于拓展学生的知识结构，又可以培养他们发散思维的灵活性和深刻性。
一题多变，培养发散思维的深刻性
例10：一个圆锥的母线与底面所成的角是，求证: 。
证明： 。
在证明此题后，把该题进行变形后再让学生继续分析探究。
变题1：把命题中的圆锥改为圆台后，可探究出什么结果？
解： 。
变题2：你能通过前面两道题推导出棱锥和棱台的侧面积与底面积的关系吗？其中所有的侧面与底面所成的二面角都等于。（，）
一题多变，培养发散思维的深刻性
例10：一个圆锥的母线与底面所成的角是，求证: 。
证明： 。
在证明此题后，把该题进行变形后再让学生继续分析探究。
变题1：把命题中的圆锥改为圆台后，可探究出什么结果？
解： 。
变题2：你能通过前面两道题推导出棱锥和棱台的侧面积与底面积的关系吗？其中所有的侧面与底面所成的二面角都等于。（，）
一题多变，培养发散思维的深刻性
总结
数学学习过程中,学生的个体差异主要表现在认知方式与思维能力的不同,以及认知水平与学习能力的区别，教师要充分了解学生个体差异,并以此因材施教，做到尊重学生，教会学生们根据自己的实际情况使用不同的学习方法。教学过程中鼓励学生主观能动性，以获得解决问题方法的多样化，尊重学生在解决问题过程中表现出来的不同水平与差异。
总而言之，教师要将一题多解的训练渗透到日常教学中，多多鼓励学生敢于设想，不要过于关注“标准答案”，走出“标准答案”的禁锢，拓宽自己的视野。一题多解不仅可以培养学生的发散思维和创新思维，还有利于学生积累解题经验，丰富解题方法，提高应试能力，可见一题多解教学对当今中国教育的发展至关重要。
总结
谢谢观看

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