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数学八年级下暑假培优专题训练
专题十一、正方形
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目录
【考点一 利用正方形的判定性质求角度】.....................................1
【考点二 利用正方形的判定性质求线段长度】.................................3
【考点三 利用正方形的判定性质求面积】.....................................5
【考点四 利用正方形的判定性质证明】.......................................6
【考点五 四边形中的最值问题】.............................................8
【聚焦考点】
1.正方形定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫正方形.
2.正方形的性质
正方形是特殊的平行四边形,也是特殊的矩形,也是特殊的菱形.所以矩形、菱形有的性质,正方形都有.
正方形性质：
①四个角都是直角;
②四条边都相等;
③对角线相等且互相垂直平分.
在正方形的条件下证明两条线段相等方法：通常连接对角线构造垂直平分的模型，利用垂直平分线性质，角平分线性质，等腰三角形等来说明
正方形的判定：
四边形ABCD是正方形.
【典例剖析1】
【考点一 利用正方形的判定性质求角度】
【典例1-1】已知：是的角平分线，点在边上，，过点作，交于点，连接．
(1)如图1，求证：四边形是菱形；
(2)如图2，当时，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中度数为的度数2倍的角．
【典例1-2】已知：四边形ABCD是正方形，，点E，F，G，H分别在边AB，BC，AD，DC上．
(1)如图1，若，，则的度数为________；
(2)如图2，若，点E，F分别是AB，BC上的动点，求的周长；
(3)如图3，若，GF和EH交于点O，且，求EH的长度．
针对训练1
【变式1-1】如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，CE∥BD．
(1)求证：四边形OCED是菱形；
(2)若AB=AD，求∠ADE的度数．
【变式1-2】四边形 ABCD 为正方形，点 E 为线段 AC 上一点，连接 DE，过点 E 作 EF ⊥DE，交射线 BC 于点 F，以 DE、EF 为邻边作矩形 DEFG，连接 CG．
(1)如图，求证：矩形 DEFG 是正方形；
(2)若 AB＝，CE＝2，求 CG 的长；
(3)当线段 DE 与正方形 ABCD 的某条边的夹角是 40°时，直接写出∠EFC 的度数．
【典例剖析2】
【考点二 利用正方形的判定性质求线段长度】
【典例2-1】如图①，正方形中，是的中点，，交正方形外角的角平分线于点，

(1)求证．
(2)当为延长线上一点，其余条件不变，请在图②中画出图形，猜想（1）中结论是否仍然成立？并说明理由．
【典例2-2】在平面直角坐标系中，四边形为矩形，在x轴正半轴上，在y轴正半轴上，且、．

(1)如图1，在矩形的边上取一点E，连接，将沿折叠，使点A恰好落在边上的F处，求的长．
(2)将矩形的边沿x轴负方向平移至(其它边保持不变)，M、N分别在边上且满足．如图2，P、Q分别为上一点．若，求证：．
针对训练2
【变式2-1】如图，平行四边形中，，，，点，分别以，为起点，的速度沿，边运动，设点，运动的时间为秒．

(1)求边上高的长度；
(2)连接，，当为何值时，四边形为菱形；
(3)作于，于，当为何值时，四边形为正方形．
【变式2-2】（1）【发现证明】如图1，四边形是正方形，点是上一点，连接，以为一边作正方形，连接，求证：；
（2）【类比探究】如图2，连接交于点，连接，试判断、、之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）【拓展应用】在（2）的条件下，若，点恰为中点，则的面积为______．
【典例剖析3】
【考点三 利用正方形的判定性质求面积】
【典例3-1】如图，在四边形中，且，对角线和相交于点O，且，过点B作，交于点E，连结．
(1)求证：；
(2)试探究四边形的形状，并说明理由；
(3)若，，，求四边形的面积．
【典例3-2】如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点叫做格点．
(1)在图1中，以格点为端点，画线段；
(2)在图2中，以格点为顶点，画正方形，使它的面积为10
针对训练3
【变式3-1】如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC边的中点，四边形ABDE是平行四边形，AC，DE相交于点O．
(1)求证：四边形ADCE是矩形．
(2)若∠AOE=90°，AE=2时，四边形AECD是什么四边形，并求ABCE的面积．
【变式3-2】如图1，正方形ABCD中，点E是BC延长线上一点，连接DE，过点B作BF⊥DE于点F，交CD于点G．
(1)求证：CG=CE；
(2)如图2，连接FC，AC．若BF平分∠DBE，求证：CF平分∠ACE；
(3)如图3，若G为DC中点，AB=2，求EF的长．
【典例剖析4】
【考点四 利用正方形的判定性质证明】
【典例4-1】如图，正方形中，，点E是对角线上的一点，连接．过点E作，交于点F，以、为邻边作矩形，连接，．

(1)求证：①；
②矩形是正方形；
(2)求的值．
【典例4-2】如图，已知四边形为正方形，E为对角线上一点，连接，过点E作，交延长线于点F，以，为邻边作矩形，连接．

(1)求证：矩形是正方形；
(2)求证：平分．
针对训练4
【变式4-1】如图，在菱形中，对角线、交于点．过作平行线，过作平行线，两平行线交于点．

(1)求证：四边形是矩形；
(2)若四边形为正方形时，请直接判断四边形的形状．
【变式4-2】如图，在正方形中，是边上的一点，连接，作于点，交正方形的外角的平分线于点
(1)若正方形的边长为，当是边上的中点时，求的长；
(2)求证：；
(3)如图，连接，交边于点，连接，探究线段、和之间的数量关系，并说明理由
【典例剖析5】
【考点五 四边形中的最值问题】
【典例5-1】如图，菱形的边长为8，，点E，F分别是，边上的动点，且，过点B作于点G，连接，则长的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【典例5-2】如图，直线平分正方形的面积，直线分别与、交于点、，直线于，连接，若，则长的最小值为___________．

针对训练5
【变式5-1】如图，在边长为4的正方形中，点E、F分别为边上的动点（不与端点重合），连接，点E、F在运动过程中，始终保持，连接．过点B作，垂足为H，连接，则的最小值为______．

【变式5-2】如图，在矩形中，，O为对角线的中点，点P在边上，且，点Q在边上，连接与，则的最大值为____________，的最小值为__________．
【变式5-3】如图所示，四边形为正方形，边长为6，点A、C分别在x轴，y轴的正半轴上，点D在上，且D点的坐标为，P是上的一个动点，试求和的最小值是__________．
数学八年级下暑假培优专题训练
专题十一、正方形（解析版）
【考点一 利用正方形的判定性质求角度】
【典例1-1】已知：是的角平分线，点在边上，，过点作，交于点，连接．
(1)如图1，求证：四边形是菱形；
(2)如图2，当时，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中度数为的度数2倍的角．
【答案】(1)见解析
(2)度数为的度数2倍的角有：,，，
【分析】（1）直接由得出，得出，．再由证明，得出．由得出，从而，根据等角对等边得出，从而，由菱形的判定可知四边形是菱形；
（2）如图2，利用正方形的性质可得，求得，再求得，然后利用三角形的外角性质求得，即可求解．
【详解】（1）证明：在和中，
，
∴；
∴，
同理，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
（2）解：由（1）知四边形是菱形，
又∵，
∴四边形是正方形．
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
由三角形的外角性质得：，
∴度数为的度数2倍的角有：,，，．
【点睛】本题主要考查了全等三角形、菱形的判定，正方形的性质，三角形的外角性质等知识．关键是由得出．
【典例1-2】已知：四边形ABCD是正方形，，点E，F，G，H分别在边AB，BC，AD，DC上．
(1)如图1，若，，则的度数为________；
(2)如图2，若，点E，F分别是AB，BC上的动点，求的周长；
(3)如图3，若，GF和EH交于点O，且，求EH的长度．
【答案】(1)67.5°
(2)40
(3)
【分析】（1）证明△ADE≌△CDF，得∠ADE=∠CDF= ×45°=22.5°，在Rt△DCF中可求出∠DFC的度数；
（2）延长BC到点K，使，连接DK，构造全等三角形，证明EF=AE+CF，即可求得△EBF的周长；
（3）过点D作DL∥EH，交AB于点L，作DM∥FG，交BC于点M，连接LM，运用（2）中的结论和勾股定理求出BL的长，再用勾股定理求出DL的长即可．
【详解】（1）解：如图1，∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD，∠A=∠C=∠ADC=90°，
∵AE=CF，
∴△ADE≌△CDF（SAS），
∴∠ADE=∠CDF，
∵∠EDF=45°，
∴∠ADE+∠CDF=90-45°=45°，
∴∠CDF+∠CDF=45°，
∴∠CDF=22.5°，
∴∠DFC=90°-22.5°=67.5°．
（2）如图2，延长BC到点K，使，连接DK，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
即的周长为40；
（3）如图3，作，交AB于点L，交FG于点P，作，交BC于点M，交EH于点Q，连接LM，
∵，，
∴四边形DLEH、四边形DGFM、四边形OPDQ都是平行四边形，
∴，，，
∴；
由（2）得，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等，解题关键是正确地作出辅助线构造全等三角形．
针对训练1
【变式1-1】如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，CE∥BD．
(1)求证：四边形OCED是菱形；
(2)若AB=AD，求∠ADE的度数．
【答案】(1)见解析
(2)135°
【分析】（1）先由两组对边平行证明四边形OCED是平行四边形，再由OD=OC证明四边形OCED是菱形；
（2）先证矩形ABCD是正方形，再由正方形的性质得∠BDC=∠ACD=，再由平行线的性质得∠EDC=∠ACD=45°，由此可解．
【详解】（1）证明：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED是平行四边形．
∵矩形ABCD对角线AC，BD相交于点O，
∴OD=OC．
∴四边形OCED是菱形．
（2）解：∵矩形ABCD中，AB=AD，
∴矩形ABCD是正方形，
∴∠ADC=∠BCD=90°，
∴∠BDC=∠ACD=．
∵DE∥AC，
∴∠EDC=∠ACD=45°，
∴∠ADE=90°+45°=135°．
【点睛】本题考查菱形的判定、正方形的判定与性质以及平行线的性质，由正方形的性质得出∠BDC=∠ACD=是解题的关键．
【变式1-2】四边形 ABCD 为正方形，点 E 为线段 AC 上一点，连接 DE，过点 E 作 EF ⊥DE，交射线 BC 于点 F，以 DE、EF 为邻边作矩形 DEFG，连接 CG．
(1)如图，求证：矩形 DEFG 是正方形；
(2)若 AB＝，CE＝2，求 CG 的长；
(3)当线段 DE 与正方形 ABCD 的某条边的夹角是 40°时，直接写出∠EFC 的度数．
【答案】．(1)见解析；
(2)；
(3)或
【分析】（1）作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，证明Rt△EQF≌Rt△EPD，得到EF＝ED，根据正方形的判定定理证明即可；
（2）通过计算发现E是AC中点，点F与C重合，△CDG是等腰直角三角形，由此即可解决问题．
（3）分两种情形结合正方形的性质解答即可．
【详解】（1）证明：如下图所示：
作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，
∵∠DCA＝∠BCA，
∴EQ＝EP，
∵∠QEF+∠FEC＝90°，∠PED+∠FEC＝90°，
∴∠QEF＝∠PED，
在Rt△EQF和Rt△EPD中，
，
∴Rt△EQF≌Rt△EPD（ASA），
∴EF＝ED，
∴矩形DEFG是正方形；
（2）如图2：
在Rt△ABC中AC＝AB＝，
∵EC＝2，
∴AE＝CE，
∴点F与C重合，此时△DCG是等腰直角三角形，
∴；
（3）①如图3：
当DE与AD的夹角为40°时，
∠DEC＝45°+40°＝85°，
∵∠DEF＝90°，
∴∠CEF＝5°，
∵∠ECF＝45°，
∴∠EFC＝130°，
②如图4：
当DE与DC的夹角为40°时，
∵∠DEF＝∠DCF＝90°，
∴∠EFC＝∠EDC＝40°，
综上所述，∠EFC＝130°或40°．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、勾股定理、正方形的判定与性质等相关知识点，根据条件结合图形去解题是关键.
【考点二 利用正方形的判定性质求线段长度】
【典例2-1】如图①，正方形中，是的中点，，交正方形外角的角平分线于点，

(1)求证．
(2)当为延长线上一点，其余条件不变，请在图②中画出图形，猜想（1）中结论是否仍然成立？并说明理由．
【答案】．(1)见解析
(2)作图见解析，仍然成立，理由见解析
【分析】（1）如图：取的中点M，点E是边的中点，根据已知条件利用判定即可证明结论；
（2）先根据题意画出图形，在延长线上截取，连接，则,，根据已知利用判定即可解答
【详解】（1）解：∵四边形正方形
∴，
如图：取的中点M，点E是边的中点，
∴,
∴，
∴，
∵平分，
∴,
∴
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴．

（2）解：当为延长线上一点，画出图形如下：

仍然成立，理由如下：
在延长线上截取，连接，则,
∵，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
在与中，，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，正确作出辅助线、构造三角形全等是解题关键．
【典例2-2】在平面直角坐标系中，四边形为矩形，在x轴正半轴上，在y轴正半轴上，且、．

(1)如图1，在矩形的边上取一点E，连接，将沿折叠，使点A恰好落在边上的F处，求的长．
(2)将矩形的边沿x轴负方向平移至(其它边保持不变)，M、N分别在边上且满足．如图2，P、Q分别为上一点．若，求证：．
【答案】(1)5
(2)见解析
【分析】（1）设，在中，根据勾股定理列方程解出即可；
（2）作辅助线，构建两个三角形全等，证明和，由，得出结论．
【详解】（1）解：如图，由题意得：，，
设，则，，
在中，，
，
，
，
由勾股定理得：，
，
；
（2）证明：如图，在的延长线上取一点，使，

，，
四边形是正方形，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了矩形、正方形、全等三角形等图形的性质与判定；知识点较多，综合性强，注意将矩形的边沿轴负方向平移至，得到正方形时，边长为；第（2）问中的两个问题思路一致：在正方形外构建与全等的三角形，可截取，也可以将绕点顺时针旋转得到，再证明另一对三角形全等，得出结论，是常考题型．
针对训练2
【变式2-1】如图，平行四边形中，，，，点，分别以，为起点，的速度沿，边运动，设点，运动的时间为秒．

(1)求边上高的长度；
(2)连接，，当为何值时，四边形为菱形；
(3)作于，于，当为何值时，四边形为正方形．
【答案】(1)；
(2)当t为时，四边形为菱形；
(3)当t为或时，四边形为正方形．
【分析】（1）先由平行四边形的性质得出．再解，即可求出的长度；
（2）先证明四边形为平行四边形，则当时，四边形为菱形．根据列出方程，解方程即可；
（3）先证明四边形为矩形，则当时，四边形为正方形．根据列出方程，解方程即可．
【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，
∴．
在中， ，
∴，
由勾股定理得，
∴；
（2）解：∵点M、N分别以A、C为起点，/秒的速度沿边运动，设点M、N运动的时间为t秒，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴当时，四边形为菱形．
∵，，
∴，
∴，
解得．
所以当t为时，四边形为菱形；
（3）解：∵于P，于Q，，
∴四边形为矩形，
∴当时，四边形为正方形．

∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得或．
所以当t为或秒时，四边形为正方形．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、解直角三角形、菱形的判定、正方形的判定，利用数形结合与方程思想是解题的关键．
【变式2-2】（1）【发现证明】如图1，四边形是正方形，点是上一点，连接，以为一边作正方形，连接，求证：；
（2）【类比探究】如图2，连接交于点，连接，试判断、、之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）【拓展应用】在（2）的条件下，若，点恰为中点，则的面积为______．
【答案】（1）证明见解析；（2），证明见解析；（3）6
【分析】（1）只需要利用证明即可证明；
（2）由全等三角形的性质得到由，先证明H，D，G三点共线，再证明，得到，即可证明；
（3）先求出，设，则，由（2）结论得到在中，由勾股定理建立方程解得，则，再根据三角形面积公式求解即可．
【详解】（1）证明：∵四边形和四边形都是正方形，
∴，
∴，即，
∴，
∴；
（2），证明如下：
由（1）知
∴，
∵，
∴，
∴H，D，G三点共线，
∵四边形是正方形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴；
（3）∵四边形是正方形，，
∴，
∵E恰为中点，
∴，
设，则，
由（2）知
在中，由勾股定理知，
∴
解得
∴
∴，
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定等等，本题综合性强，熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型
【考点三 利用正方形的判定性质求面积】
【典例3-1】如图，在四边形中，且，对角线和相交于点O，且，过点B作，交于点E，连结．
(1)求证：；
(2)试探究四边形的形状，并说明理由；
(3)若，，，求四边形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)矩形，理由见解析
(3)18
【分析】（1）由可知，，进而可证；
（2）由，可得，证明四边形是平行四边形，由，可证四边形是矩形；
（3）由且，可得，即，可证四边形是正方形，则，设，则，在中，由勾股定理得，即，求出满足要求的值，根据，求的值，根据，计算求解即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
在和中，
∵，
∴；
（2）解：四边形是矩形，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形；
（3）解：∵且，
∴，即，
∴四边形是正方形，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，即，
解得：，（舍去），
∴，
∴，
∴，
∴四边形的面积为18．
【点睛】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，勾股定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
【典例3-2】如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点叫做格点．
(1)在图1中，以格点为端点，画线段；
(2)在图2中，以格点为顶点，画正方形，使它的面积为10
【答案】(1)见详解
(2)见详解
【分析】（1）以5和2为直角边作出直角三角形，斜边即为所求；
（2）以3和1为直角边作出直角三角形，斜边为正方形的边长，如图②所示．
【详解】（1）解：如图①所示：
（2）解：如图②所示：
【点睛】此题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，正方形的性质与判定，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
针对训练3
【变式3-1】如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC边的中点，四边形ABDE是平行四边形，AC，DE相交于点O．
(1)求证：四边形ADCE是矩形．
(2)若∠AOE=90°，AE=2时，四边形AECD是什么四边形，并求ABCE的面积．
【答案】(1)见解析
(2)正方形，
【分析】（1）先根据三线合一定理得到∠ADC=90°，，再证明四边形ADCE是平行四边形，由∠ADC=90°，即可证明平行四边形ADCE是矩形；
（2）根据对角线互相垂直的矩形是正方形即可证明四边形AECD是正方形，再由进行求解即可．
【详解】（1）解：∵在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，即∠ADC=90°，，
又∵四边形ABDE是平行四边形，
∴，
∴，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∵∠ADC=90°，
∴平行四边形ADCE是矩形；
（2）解：∵四边形ADCE是矩形，∠AOE=90°，即AC⊥DE，
∴四边形ADCE是正方形，
∴
∴．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，矩形的判定，正方形的性质与判定，三线合一定理，熟知相关特殊四边形的性质与判定条件是解题的关键．
【变式3-2】如图1，正方形ABCD中，点E是BC延长线上一点，连接DE，过点B作BF⊥DE于点F，交CD于点G．
(1)求证：CG=CE；
(2)如图2，连接FC，AC．若BF平分∠DBE，求证：CF平分∠ACE；
(3)如图3，若G为DC中点，AB=2，求EF的长．
【答案】(1)证明见详解
(2)证明见详解
(3)
【分析】（1）由ASA证得△BCG≌△DCE，即可得出结论；
（2）由等腰三角形三线合一得出DF＝EF，由CF是Rt△DCE的中线，得出CF＝EF，则∠E＝∠FCE，由角平分线的性质得出∠FBE∠DBE＝22.5°，推出∠E＝67.5°，则∠FCE＝67.5°，∠ACF＝180°﹣∠FCE﹣∠ACB＝67.5°，即可得出结论；
（3）由正方形的性质得出∠BCG＝90°，AB＝BC＝CD＝2，BD，由G为DC中点，得CG＝1，在Rt△BCG中，由勾股定理得，设 ，在和中，由勾股定理得 ，解得x，求出DF，由（1）知△BCG≌△DCE，得BG＝DE，即可得出结果．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝DC，∠BCG＝∠DCE＝90°，
∵BF⊥DE，
∴∠DFG＝∠BCG＝90°，
∵∠DGF＝∠BGC，
∴∠GBC＝∠EDC，
在△BCG和△DCE中，
，
∴△BCG≌△DCE（ASA），
∴CG＝CE；
（2）证明：∵BF平分∠DBE，BF⊥DE，
∴DF＝EF，
∴CF是Rt△DCE的中线，
∴CF＝EF，
∴∠E＝∠FCE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DBE＝∠ACB＝45°，
∵BF平分∠DBE，
∴∠FBE∠DBE＝22.5°，
∴∠E＝90°﹣∠FBE＝90°﹣22.5°＝67.5°，
∴∠FCE＝67.5°，
∴∠ACF＝180°﹣∠FCE﹣∠ACB＝180°﹣67.5°﹣45°＝67.5°，
∴∠ACF＝∠FEC，
∴CF平分∠ACE；
（3）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCG＝90°，AB＝BC＝CD＝2，BD，
∵G为DC中点，
∴CG＝GDCD＝1，
在Rt△BCG中，由勾股定理得：BG，
设GF＝x，
在Rt△BDF和Rt△DFG中，由勾股定理得：BD2﹣BF2＝DF2，DG2﹣GF2＝DF2，
∴，
解得：x，
∴DF2＝12﹣（）2，
∴DF，
由（1）知：△BCG≌△DCE，
∴BG＝DE，
∴EF＝DE﹣DF．
方法2：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCG＝90°，AB＝BC＝CD＝2，BD，
∵G为DC中点，
∴CG＝GDCD＝1，
由（1）知：△BCG≌△DCE，
∴BG＝DE，
∵△BGD面积BC×DGDF×BG，
∴DF，
∴EF＝DE﹣DF．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质、角平分线的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质、直角三角形的性质等知识；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
【考点四 利用正方形的判定性质证明】
【典例4-1】如图，正方形中，，点E是对角线上的一点，连接．过点E作，交于点F，以、为邻边作矩形，连接，．

(1)求证：①；
②矩形是正方形；
(2)求的值．
【答案】(1)①见解析；②见解析
(2)
【分析】（1）①过E作于M，于N利用正方形的性质和角平分线的性质得到，进而得到，再证明四边形是矩形，又四边形是矩形和全等三角形的判定证明，得到，利用等腰三角形的性质可证得结论；②根据正方形的判定可得结论；
（2）根据正方形的性质和全等三角形的判定证明得到，进而得到即可求解．
【详解】（1）证明：过E作于M，于N，则，

∵四边形是正方形，
∴，，又，
∴，，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，又四边形是矩形，
∴，
∴，又，，
∴，则，
∴，则；
②∵四边形是矩形，，
∴四边形是正方形；
（2）解 ：∵四边形是正方形，四边形是正方形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了正方形的判定与性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质是解答的关键．
【典例4-2】如图，已知四边形为正方形，E为对角线上一点，连接，过点E作，交延长线于点F，以，为邻边作矩形，连接．

(1)求证：矩形是正方形；
(2)求证：平分．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）过点分别作于点，于点，先证出四边形为正方形，根据正方形的性质可得，，再根据矩形的性质可得，从而可得，然后根据定理证出，根据全等三角形的性质可得，最后根据正方形的判定即可得证；
（2）先根据正方形的性质可得，，再根据定理可得，根据全等三角形的性质可得，由此即可得证．
【详解】（1）证明：如图，过点分别作于点，于点，

∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴四边形为正方形，
∴，，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
，
在和中，，
∴，
∴，
∴矩形为正方形．
（2）证明：∵矩形为正方形，
，，
∵四边形是正方形，
，，，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴平分．
【点睛】本题考查了矩形的性质、正方形的判定与性质、三角形全等的判定与性质等知识点，熟练掌握正方形的判定与性质是解题关键．
针对训练4
【变式4-1】如图，在菱形中，对角线、交于点．过作平行线，过作平行线，两平行线交于点．

(1)求证：四边形是矩形；
(2)若四边形为正方形时，请直接判断四边形的形状．
【答案】(1)证明见解析
(2)四边形是正方形，理由见解析
【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再根据菱形对角线互相垂直得到，即可证明平行四边形是矩形；
（2）同理可证四边形是平行四边形，再根据正方形对角线互相垂直平分且相等得到，平行四边形是正方形．
【详解】（1）证明：∵，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是菱形，对角线、交于点
∴，
∴平行四边形是矩形；
（2）解：四边形是正方形，理由如下：
同理可证四边形是平行四边形，
∵四边形是正方形，对角线、交于点，
∴，
∴平行四边形是矩形，
∴矩形是正方形．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，矩形的性质与判定，正方形的判定，菱形的性质等等，熟知平行四边形，矩形，菱形，正方形等特殊平行四边形的性质和判定定理是解题的关键．
【变式4-2】如图，在正方形中，是边上的一点，连接，作于点，交正方形的外角的平分线于点
(1)若正方形的边长为，当是边上的中点时，求的长；
(2)求证：；
(3)如图，连接，交边于点，连接，探究线段、和之间的数量关系，并说明理由
【答案】(1)
(2)见解析
(3)，理由见解析
【分析】（1）由勾股定理可求解；
（2）由“”可证，可得；
（3）由“”可证，可得，，由“”可证，可得，即可求解．
【详解】（1）解：正方形的边长为，点是边上的中点，
，
；
（2）证明：如图，在边上截取，连接，
四边形是正方形，
，，
，
，，
，
平分，
，
，
，
，，
，
，
在和中，
，
，
；
（3）解：，理由如下：
如图，延长至，使，连接，
由（2）可知：，
，
，
，
，，，
，
，，
，
又．
，
，
．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键
【考点五 四边形中的最值问题】
【典例5-1】如图，菱形的边长为8，，点E，F分别是，边上的动点，且，过点B作于点G，连接，则长的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】连接与相交于O，判断出点O是菱形的中心，连接，取中点M，连接，，则，为定长，利用两点之间线段最短解决问题即可．
【详解】解：如图，连接与相交于O，
∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点O是菱形的中心，
连接，取中点M，连接，，则，为定长，
∵菱形的边长为8，，
∴，
由勾股定理可得：，
∵M是的中点，
∴，
在Rt中，，
在Rt中，，
∵，
当A，M，G三点共线时，最小为，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，等边三角形性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是求出，的值．
【典例5-2】如图，直线平分正方形的面积，直线分别与、交于点、，直线于，连接，若，则长的最小值为___________．

【答案】
【分析】连接交于，取中点，连接，作于，由正方形的性质得到是的中点，求出的长，得到，的长，由勾股定理求出的长，由三角形三边关系得到，于是即可求出长的最小值．
【详解】解：连接交于，取中点，连接，作于，

直线平分正方形的面积，
是的中点，
四边形是正方形，，
，
，
，
，
是的中点，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
可得当A，M，H三点共线时，．
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，中心对称，三角形的三边关系，求线段长的最小值，关键是通过作辅助线，由三角形的三边关系得到
针对训练5
【变式5-1】如图，在边长为4的正方形中，点E、F分别为边上的动点（不与端点重合），连接，点E、F在运动过程中，始终保持，连接．过点B作，垂足为H，连接，则的最小值为______．

【答案】
【分析】延长至G，使，连接，证明，推出，，再证明，推出，当B、H、D三点共线时，有最小值，据此求解即可．
【详解】解：延长至G，使，连接，

∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
当B、H、D三点共线时，有最小值，最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查正方形的性质，掌握正方形中的动点问题，把求的最小值问题转化成求的长是解题的关键．
【变式5-2】如图，在矩形中，，O为对角线的中点，点P在边上，且，点Q在边上，连接与，则的最大值为____________，的最小值为__________．
【答案】
【分析】①连接并延长交于点Q，则这个点Q满足使的值最大，最大值为的长度，证明四边形是矩形可得，，，再利用勾股定理进行计算即可；
②过点O作关于的对称点，连接交于点Q，的值最小，
的最小值为的长度，延长交于点G，根据对称的性质可得，再根据，点O是的中点，可得，从而求得，再利用勾股定理进行计算即可．
【详解】解：①连接并延长交于点Q，则这个点Q满足使的值最大，最大值为的长度，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵点O是的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
过点P作于点P，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴；
②过点O作关于的对称点，连接交于点Q，的值最小，
的最小值为的长度，延长交于点G，
∵，点O是的中点，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∴的最小值为：，
故答案为：；．
【点睛】本题考查矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及轴对称 最短路径，熟练掌握相关知识是解题的关键．
【变式5-3】如图所示，四边形为正方形，边长为6，点A、C分别在x轴，y轴的正半轴上，点D在上，且D点的坐标为，P是上的一个动点，试求和的最小值是__________．
【答案】
【分析】连接，当D，P，C三点共线时，的最小值就是的长．利用勾股定理进行计算即可求解．
【详解】解：连接，，
∵四边形为正方形，是对角线，
∴点A与点C关于对称，
∴，
∴，
∴，
当D，P，C三点共线时，的最小值就是的长．
∵D点的坐标为，四边形为正方形，，
∴，，
∴，
则和的最小值是．
故答案为：．
【点睛】本题考查正方形的性质以及最短路线问题，根据题意正确作出P的位置以及运用勾股定理进行计算是解题的关键．
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