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数学七年级下暑假培优专题训练
专题八、平面直角坐标系（三）
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目录
【考点十 平面直角坐标系中的新定义问题】............................1
【考点十一 平面直角坐标系性质的综合问题】..........................4
【考点十二 平面直角坐标系中几何图形综合题】........................5
【聚焦考点10】
通过阅读理解新定义，模拟提供材料中所述的过程方法，去解决类似的相关问题；
重点是阅读,难点是理解,关键是应用
【典例剖析10】
【考点十 平面直角坐标系中的新定义问题】
【典例10-1】在平面直角坐标系中，对于点和点，给出下列定义：若，则称点为点的限变点，例如：点的限变点的坐标是，点的限变点的坐标是，如果一个点的限变点的坐标是，那个这个点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【典例10-2】在平面直角坐标系中，已知点 ，点 （其中为常数，且 ），则称是点的“族衍生点”．例如：点 的“族衍生点”的坐标为，即．
（1）点的“族衍生点”的坐标为 ；
（2）若点的“族衍生点”的坐标是 ，则点的坐标为 ；
（3）若点（其中），点的“族衍生点”为点，且，求的值．
【典例10-3】在平面直角坐标系中，对于任意两点与，我们重新定义这两点的“距离”：
①当时，为点与点的“远距离”，即；
当时，为点与点的“远距离”，即．
②点与点的“总距离”为与的和，即．
根据以上材料，解决下列问题：
(1)已知点，则______．
(2)若点在第一象限，且．求点B的坐标．
(3)①若点，且，所有满足条件的点C组成了图形G，请在图1中画出图形G；
②已知点，，若在线段上存在点E，使得点E满足且，请直接写出m的取值范围．
针对训练10
【变式10-1】在平面直角坐标系中，任意两点，定义：A，B的绝对距离是．
例如：如图1，，则的绝对距离，即线段与的和．
（1）已知：点，则P，Q的绝对距离_________．
（2）已知：点，若点满足，则在图2中画出所有符合这一条件的点X组成的图形．
（3）已知：，若点满足，则在图3中画出所有符合这一条件的点Y组成的图形．
（4）已知：，若点满足，则点Z的坐标为________．
【变式10-2】如图，对于平面直角坐标系xOy中的任意两点A(xA，yA)，B(xB，yB)，它们之间的曼哈顿距离定义如下：|AB|1＝|xA﹣xB|+|yA﹣yB|．已知O为坐标原点，点P(4，﹣5)，Q(﹣2，4)．
（1）|OP|1＝　 　，|PQ|1＝　 　．
（2）已知点T(t，1)，其中t为任意实数．
①若|TP|1＝10，求t的值．
②若P、Q、T三点在曼哈顿距离下是等腰三角形，请直接写出t的值．
【聚焦考点11】
【考点十一 平面直角坐标系性质的综合问题】
【典例11-1】已知点．
(1)若点P在y轴上，求点P的坐标．
(2)直线轴，且经过y轴上的点且，求点Q的坐标．
【典例11-2】在平面直角坐标系中，将线段平移得到的线段记为线段．
(1)如果点A，B，的坐标分别为，，，直接写出点的坐标___________；
(2)已知点A，B，，的坐标分别为，，，，m和n之间满足怎样的数量关系？说明理由；
(3)已知点A，B，，的坐标分别为，，，，求点A，B的坐标．
针对训练11
【变式11-1】已知点．
(1)点P的纵坐标比横坐标大3，求P点的坐标；
(2)点P在过点，且与x轴平行的直线上，求P点的坐标；
(3)若P点在第二象限，求m的取值范围．
【变式11-2】在平面直角坐标系中，点．
(1)若点在轴上，求的值；
(2)若点，且直线轴，求线段的长．
(3)若点在第四象限，且它到轴的距离比到轴的距离大4，求点的坐标．
【典例剖析12】
【考点十二 平面直角坐标系中几何图形综合题】
【典例12-1】如图，在平面直苴角坐标系中，点，且a，b满足，将线段向右平移至线段，A与B对应，O与C对应，其中点B落在y轴正半轴上．

(1)求出点B、C的坐标；
(2)若与互补，若．
①求证：；
②求点D的坐标；
(3)在（2）的条件下，动点P从点B出发，以的速度沿射线方向运动；同时，动点Q从点C出发，以的速度沿射线方向运动．是否存在某一个时刻t，使得，若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
【典例12-2】在平面直角坐标系中，为轴上一点，为轴上的一点，且，满足，的平分线交轴于点．

(1)求，两点的坐标；
(2)如图1所示，为线段上的一个动点，过点作的垂线交轴于点，为垂足，的平分线交直线于点，当点运动时，的度数是否改变？若不变，请你求出的度数；若改变，请说明理由；
(3)如图2所示，若过点作的平行线交轴于点，的平分线交直线于点，当点运动时，的度数是否改变？若不变，请求出的度数，若改变，请说明理由．
【典例12-3】如图，点A，B分别在x轴和y轴上，己知，，点C在第四象限且到两坐标轴的距离都为2．

(1)直接填写点A，B，C的坐标：A( ， )，B( ， )，C( ， )；
(2)求三角形的面积；
(3)点D为与x轴的交点，运用（2）中的结论求点D的坐标．
针对训练12
【变式12-1】在平面直角坐标系中，点，，，且．

(1)若，求点，点的坐标；
(2)如图，在（1）的条件下，过点作平行轴，交于点，求点的坐标；
【变式12-2】如图，在平面直角坐标系中，点，，且是方程的解．
(1)求点和点的坐标；
(2)点在第一象限，轴，将线段进行适当的平移得到线段，点的对应点为点，点的对应点为点，连接，若的面积为12，求线段的长；
(3)在（2）的条件下，连接，为轴上一个动点，若使的面积等于面积的一半，请直接写出点的坐标。
【变式12-3】如图，平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，且满足，现同时将点，分别向上平移4个单位长度，再向右平移2个单位长度，分别得到点，的对应点，，连接，，．
(1)求四边形的面积．
(2)在轴上存在一点，使三角形的面积等于四边形的面积，求出点的坐标．
(3)点是线段上一个动点，连接，，当点在上移动时（不与点，重合）的值是否发生变化？并说明理由。
数学七年级下暑假培优专题训练
专题八、平面直角坐标系（三）（解析版）
【考点十 平面直角坐标系中的新定义问题】
【典例10-1】在平面直角坐标系中，对于点和点，给出下列定义：若，则称点为点的限变点，例如：点的限变点的坐标是，点的限变点的坐标是，如果一个点的限变点的坐标是，那个这个点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据新定义的叙述可知：这个点和限变点的横坐标不变，当横坐标a≥1时，这个点和限变点的纵坐标不变；当横坐标a＜1时，纵坐标是互为相反数；据此可做出判断．
【详解】
∵＞1
∴这个点的坐标为（，-1）
故选：C．
【点睛】
此题考查点的坐标，解题关键在于准确找出这个点与限变点的横、纵坐标与a的关系即可．
【典例10-2】在平面直角坐标系中，已知点 ，点 （其中为常数，且 ），则称是点的“族衍生点”．例如：点 的“族衍生点”的坐标为，即．
（1）点的“族衍生点”的坐标为 ；
（2）若点的“族衍生点”的坐标是 ，则点的坐标为 ；
（3）若点（其中），点的“族衍生点”为点，且，求的值．
【答案】（1） ；（2）；（3）
【分析】
（1）利用“m族衍生点”的定义可求解；
（2）设点A坐标为（x，y），利用“m族衍生点”的定义列出方程组，即可求解；
（3）先求出点A的“m族衍生点“为点B（x，mx），由AB＝OA，可求解．
【详解】
解：（1）点的“族衍生点”的坐标为 ，即 ，
故答案为：；
（2）设点坐标为 ，
由题意可得：
，
点坐标为 ，
故答案为：．
（3）点，
点的“族衍生点”为点，
，
，
，
．
【点睛】
本题主要考查新定义问题，平面直角坐标系中关于y轴对称的点的坐标特征，二元一次方程组的解法，准确根据题意解题是关键．
【典例10-3】在平面直角坐标系中，对于任意两点与，我们重新定义这两点的“距离”：
①当时，为点与点的“远距离”，即；
当时，为点与点的“远距离”，即．
②点与点的“总距离”为与的和，即．
根据以上材料，解决下列问题：
(1)已知点，则______．
(2)若点在第一象限，且．求点B的坐标．
(3)①若点，且，所有满足条件的点C组成了图形G，请在图1中画出图形G；
②已知点，，若在线段上存在点E，使得点E满足且，请直接写出m的取值范围．
【答案】(1)8
(2)或
(3)或
【分析】（1）根据的定义，进行计算即可；
（2）根据的定义，分或两种情况讨论求解即可；
（3）①根据，得到，得出图形G是连接和的线段；②分和两种情况讨论求解即可．
【详解】（1）∵，，
∴，
故答案是8；
（2）∵，
∴或，
∵点在第一象限，
∴或，
即点B的坐标或；
（3）①∵，且，
∴，
∴所有满足条件的点C组成了图形G是连接和的线段，如图所示，
②∵，，
∴当，即时，点M、N都在x轴上方，
当时，点M在，N在时，线段上恰好有点，满足且，
线段再向下平移时，不存在任何满足且的点E，
当时，点M在，N在时，线段上恰好有点，满足且，
线段再向上平移时，不存在任何满足且的点E，
∴；
∴当，即时，
当时，点M在，N在时，线段上恰好有点，满足且，
线段再向上平移时，不存在任何满足且的点E，
当时，点M在，N在时，线段上恰好有点，满足且，
线段再向下平移时，不存在任何满足且的点E，
∴；
故答案是或．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形，理解并掌握和的定义是解题的关键.
针对训练10
【变式10-1】在平面直角坐标系中，任意两点，定义：A，B的绝对距离是．
例如：如图1，，则的绝对距离，即线段与的和．
（1）已知：点，则P，Q的绝对距离_________．
（2）已知：点，若点满足，则在图2中画出所有符合这一条件的点X组成的图形．
（3）已知：，若点满足，则在图3中画出所有符合这一条件的点Y组成的图形．
（4）已知：，若点满足，则点Z的坐标为________．
【答案】（1）17；（2）见解析；（3）见解析；（4）（1，-2）
【分析】
（1）根据绝对距离的定义，解决问题即可．
（2）根据绝对距离的定义得到，可判断所有符合这一条件的点X组成的图形是直线MN（线段PQ的垂直平分线）．
（3）根据绝对距离的定义得到，分情况去绝对值得到结果，则折线PM→MN→NQ即为所求作．
（4）根据要求画出图形即可．
【详解】
解：（1）由题意，P，Q的绝对距离dPQ=|-3-1|+|7-（-6）|=17，
故答案为：17．
（2）∵，，
∴，
即，
即，
∴如图2中，所有符合这一条件的点X组成的图形是直线MN（线段PQ的垂直平分线）．
（3）∵，，
∴，
即，
分，，；
，，共9种情况，
当，时，
，
化简得：；
同理：
当，时，有；
当，时，有；
∴如图3中，折线PM→MN→NQ即为所求作，
其中M，N，PM∥NQ∥y轴．
（4）如图，满足条件的点R（1，-2）．
故答案为：（1，-2）．
【点睛】
本题属于三角形综合题，考查了绝对距离的定义，解题的关键是理解题意，学会利用图象法解决问题，属于中考常考题型．
【变式10-2】如图，对于平面直角坐标系xOy中的任意两点A(xA，yA)，B(xB，yB)，它们之间的曼哈顿距离定义如下：|AB|1＝|xA﹣xB|+|yA﹣yB|．已知O为坐标原点，点P(4，﹣5)，Q(﹣2，4)．
（1）|OP|1＝　 　，|PQ|1＝　 　．
（2）已知点T(t，1)，其中t为任意实数．
①若|TP|1＝10，求t的值．
②若P、Q、T三点在曼哈顿距离下是等腰三角形，请直接写出t的值．
【答案】（1）9，15；（2）①8或0；②-5或13或10或-14或2.5
【分析】
（1）根据曼哈顿距离的定义求解即可．
（2）①根据曼哈顿距离的定义构建方程求解即可．
②由题意，|TP|1=|PQ|1或|TQ|1=|PQ|1或|TP|1=|TQ|1，分这3种情况得到关于t的方程，解方程即可．
【详解】
解：（1）由题意，|OP|1=|4-0|+|-5-0|=9，|PQ|1=|4+2|+|-5-4|=15．
故答案为9，15．
（2）①由题意：|t-4|+|1+5|=10，
当t＞4时，t=8，
当t＜4时，t=0，
综上所述，t的值为8或0．
②由题意，|TP|1=|PQ|1或|TQ|1=|PQ|1或|TP|1=|TQ|1，
当|TP|1=|PQ|1时，|t-4|+|1+5|=15，
解得t=-5或13；
当|TQ|1=|PQ|1时，|t+2|+|1-4|=15，
解得t=10或-14，
|TP|1=|TQ|1时，|t-4|+|1+5|=|t+2|+|1-4|，
解得t=2.5，
综上所述，t的值为-5或13或10或-14或2.5．
【点睛】本题考查了新定义，绝对值方程，分类讨论是解题的关键．
【考点十一 平面直角坐标系性质的综合问题】
【典例11-1】已知点．
(1)若点P在y轴上，求点P的坐标．
(2)直线轴，且经过y轴上的点且，求点Q的坐标．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）由点在y轴上，可知P点的横坐标为0，可得，据此可得a的值，进而得出点P的坐标；
（2）平行于x轴的直线上的点的纵坐标相等，据此可得a的值，再根据解答即可．
【详解】（1）解：∵点在y轴上，
．
，
，
∴点的坐标为；
（2）解：∵直线轴，且经过y轴上的点，
，
，
．
∴点的坐标为．
∵，
∴点的坐标为或．
【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系内点的坐标特点，分别考查了坐标轴上点的坐标特点、平行于坐标轴的直线上的点的坐标的特点，熟练掌握和运用点的坐标特点是解决本题的关键．
【典例11-2】在平面直角坐标系中，将线段平移得到的线段记为线段．
(1)如果点A，B，的坐标分别为，，，直接写出点的坐标___________；
(2)已知点A，B，，的坐标分别为，，，，m和n之间满足怎样的数量关系？说明理由；
(3)已知点A，B，，的坐标分别为，，，，求点A，B的坐标．
【答案】(1)
(2)，见解析
(3)，
【分析】（1）根据点A到确定出平移规律，再根据平移规律列式计算即可得到点的坐标；
（2）根据题意列方程，解方程即可得到结论；
（3）根据题意列方程组，解方程组，即可得到结论．
【详解】（1）解：∵平移后得到点的坐标为，
∴向上平移了2个单位，向右平移了4个单位，
∴的对应点B'的坐标为，
即．
故答案为：；
（2）解：，
理由：∵将线段平移得到的线段记为线段，，，，，
∴，
∴；
（3）解：∵将线段平移得到的线段记为线段，点A，B，，的坐标分别为，，，，
∴，，
解得，，
∴点A的坐标为，点B的坐标为．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，解二元一次方程组，熟练掌握点的平移规律是解题的关键 。
针对训练11
【变式11-1】已知点．
(1)点P的纵坐标比横坐标大3，求P点的坐标；
(2)点P在过点，且与x轴平行的直线上，求P点的坐标；
(3)若P点在第二象限，求m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）令纵坐标横坐标得的值，代入点的坐标即可求解；
（2）令纵坐标为求得的值，代入点的坐标即可求解
（3）根据第二象限内的点，横坐标小于0，纵坐标大于0，列出不等式组，解之即可．
【详解】（1）解：由题意可得：
，
解得：，
∴；
（2）令，
∴，
∴；
（3）∵P点在第二象限，
∴，
解得：．
【点睛】本题考查了点的坐标，用到的知识点为：轴上的点的横坐标为0；平行于轴的直线上的点的纵坐标相等，第二象限内的点，横坐标小于0，纵坐标大于0．
【变式11-2】在平面直角坐标系中，点．
(1)若点在轴上，求的值；
(2)若点，且直线轴，求线段的长．
(3)若点在第四象限，且它到轴的距离比到轴的距离大4，求点的坐标．
【答案】(1)；
(2)；
(3)．
【分析】（1）根据点在y轴上横坐标为0求解；
（2）根据平行y轴的横坐标相等求解；
（3）根据点的横坐标的绝对值是点到y轴的距离，点的纵坐标的绝对值是点到x轴的距离，根据点与x轴与y轴的关系，可得方程，根据解方程，可得答案．
【详解】（1）解：由题意得：，
解得：；
（2）解：∵点，且直线轴，
∴，
解得．
∴，
∴；
（3）解：点在第四象限，它到轴的距离比到轴的距离大4，得
，
解得，，，
∴．
【点睛】本题考查了点的坐标，坐标轴上的点的特征，利用了点到坐标轴的距离：点的横坐标的绝对值是点到y轴的距离，点的纵坐标的绝对值是点到x轴的距离．
【考点十二 平面直角坐标系中几何图形综合题】
【典例12-1】如图，在平面直苴角坐标系中，点，且a，b满足，将线段向右平移至线段，A与B对应，O与C对应，其中点B落在y轴正半轴上．

(1)求出点B、C的坐标；
(2)若与互补，若．
①求证：；
②求点D的坐标；
(3)在（2）的条件下，动点P从点B出发，以的速度沿射线方向运动；同时，动点Q从点C出发，以的速度沿射线方向运动．是否存在某一个时刻t，使得，若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)①见解析；②
(3)存在，或
【分析】（1）根据非负数性质求出a、b值，从而得点A坐标，再由平移性质求解即可．
（2）①先证明，再由，可证明，从而得结论；
②根据，即，求出，即可求解．
（3）过点O作于E，于F，分两种情况：当点P在线段上时，点Q在线段上时；当点P在线段延长线上时，点Q在线段延长线上时；分别求解即可．
【详解】（1）解：
，
，，
由平移的性质可得：
，．
（2）解：①与互补 ，
，
，
，
，
，
②由①得：，
解得：，
．
（3）解：过点O作于E，于F，如图，

∵，
∴，，
∴，
∵，即，
∴，
同理可求得，，．
分两种情况：当点P在线段BC上时，点Q在线段CD上时，
当时，即
∴，
解得：；
当点P在线段BC延长线上时，点Q在线段CD延长线上时，如图，

当时，即
∴，
解得：；
综上，存在，当使得时，t的值为或．
【点睛】本题考查非负数性质，平移的性质，勾股定理，三角形的面积．熟练掌握平移的性质和非负数性质是解题的关键．注意分类讨论思想的运用．
【典例12-2】在平面直角坐标系中，为轴上一点，为轴上的一点，且，满足，的平分线交轴于点．

(1)求，两点的坐标；
(2)如图1所示，为线段上的一个动点，过点作的垂线交轴于点，为垂足，的平分线交直线于点，当点运动时，的度数是否改变？若不变，请你求出的度数；若改变，请说明理由；
(3)如图2所示，若过点作的平行线交轴于点，的平分线交直线于点，当点运动时，的度数是否改变？若不变，请求出的度数，若改变，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)不变，
(3)不变，
【分析】（1）由非负性可求，，即可求解；
（2）由余角的性质可得，由角平分线的性质可得，由三角形内角和定理可求解；
（3）由余角的性质可得，由角平分线的性质，，即可求解．
【详解】（1）解： ，
，，
，；
（2）解：不变，
，
，
，
，
平分，平分，
，，
，
又，
；
（3）解：不变，设与交于点，

，
，
平分，
，
，
，，
平分，
，
，
．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了角平分线的性质，非负性，平行线的性质，三角形内角和定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
【典例12-3】如图，点A，B分别在x轴和y轴上，己知，，点C在第四象限且到两坐标轴的距离都为2．

(1)直接填写点A，B，C的坐标：A( ， )，B( ， )，C( ， )；
(2)求三角形的面积；
(3)点D为与x轴的交点，运用（2）中的结论求点D的坐标．
【答案】(1)4，0，0，3，2，
(2)7
(3)
【分析】（1）直接根据图像可得结果；
（2）利用割补法计算即可；
（3）利用三角形的面积，得到，从而求出，结合点A坐标即可得解．
【详解】（1）解：由图可知：，，；
（2）三角形的面积为：；
（3）∵三角形的面积为7，
∴，
即，
解得：，
∴，即点D的坐标为．
【点睛】本题考查了坐标与图形，三角形的面积，解题的关键是掌握坐标系中三角形面积的多种求法．
针对训练12
【变式12-1】在平面直角坐标系中，点，，，且．

(1)若，求点，点的坐标；
(2)如图，在（1）的条件下，过点作平行轴，交于点，求点的坐标；
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）由非负性质得出，，得出，，即可得出答案；
（2）延长交于，由题意得出点的横坐标为，可得点是的中点，即可得出答案．
【详解】（1）解：，
，且，
，，
点，；
（2）解：延长交于，如图所示：
，
轴，
，点的横坐标为，
，，
点是的中点，
．
【点睛】本题考查了偶次方和算术平方根的非负性质、坐标与图形等知识，熟练掌握非负数的性质是解题的关键．
【变式12-2】如图，在平面直角坐标系中，点，，且是方程的解．
(1)求点和点的坐标；
(2)点在第一象限，轴，将线段进行适当的平移得到线段，点的对应点为点，点的对应点为点，连接，若的面积为12，求线段的长；
(3)在（2）的条件下，连接，为轴上一个动点，若使的面积等于面积的一半，请直接写出点的坐标
【答案】(1)，
(2)
(3)或
【分析】（1）解方程求出即可解决问题；
（2）先求出点到的距离为，由三角形面积公式可求解；
（3）由平移的性质可求点坐标，由三角形的面积公式可求解．
【详解】（1）由，解得，，
，；
（2）轴，，
点的纵坐标为3，
点的对应点为点，点的纵坐标为，
点纵坐标与点纵坐标的差为4，
点纵坐标与点纵坐标的差为4，
轴，
点到的距离为，
，
；
（3），
点，
将线段进行适当的平移得到线段，
点，
的面积等于的面积的一半，
，
，
点，
或．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了解一元一次方程，平面直角坐标系，平移的性质，三角形面积公式，坐标的平移等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键。
【变式12-3】如图，平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，且满足，现同时将点，分别向上平移4个单位长度，再向右平移2个单位长度，分别得到点，的对应点，，连接，，．
(1)求四边形的面积．
(2)在轴上存在一点，使三角形的面积等于四边形的面积，求出点的坐标．
(3)点是线段上一个动点，连接，，当点在上移动时（不与点，重合）的值是否发生变化？并说明理由．
【答案】(1)20
(2)或
(3)的值不变，恒为1，理由见解析
【分析】（1）根据非负数的性质求出a，b值，再根据平移的性质求出点的坐标，根据平行四边形的面积公式求得面积；
（2）先假设P点存在并设出点P的坐标，再根据三角形的面积公式列出对应的计算式，与四边形面积相等建立关系求解．
（3）作，根据平行线的性质找出对应角的关系进而找出的变化规律．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
，，
解得：，，
∴，，
∴，
∵将点，分别向上平移4个单位长度，再向右平移2个单位长度，分别得到点，的对应点，，
∴，，
∴，
四边形的面积为
（2）解：设点P的坐标为，则根据三角形面积公式有，即
解得．
P的坐标为或时，三角形的面积等于四边形的面积．
（3）解：的值不变，恒为1，理由如下：
如图所示，作交于F，
，
，
，
当点E在上移动时，的值不发生变化．
【点睛】本题考查非负数的性质、平行线的性质、坐标与图形，坐标与图形变化——平移等等，掌握各性质并对各知识点综合应用是解决本题的关键．
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