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数学七年级下暑假培优专题训练
专题十、二元一次方程组
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目录
【考点一 二元一次方程的定义】........................................1
【考点二 二元一次方程的解】..........................................2
【考点三 二元一次方程组的解法】......................................4
【考点四 二元一次方程组的特殊解法】..................................7
【考点五 由二元一次方程的解求参数】..................................10
【聚焦考点1】
二元一次方程：含有两个未知数，并且含有未知数次数都是1的整式方程。
注意判断方程是二元一次方程，必须满足以下条件：（1）含有两个未知数；（2）所含未知数的次数都是1；（3）整式方程（未知数不能在分母）。
【典例剖析1】
【考点一 二元一次方程的定义】
【典例1-1】若方程是关于x，y的二元一次方程，则______．
【典例1-2】已知某二元一次方程的部分解如下表所示，请写出这个二元一次方程____________．
x … 85 90 100 …
y … 115 110 100 …
【典例1-3】如果关于、的方程是二元一次方程，那么______ ．
针对训练1
【变式1-1】等腰三角形中，，，周长为．
(1)列出关于、的二元一次方程：________；
(2)求该方程的所有整数解．
【变式1-2】七年级（1）班为了奖励优秀学生，购买钢笔和笔记本共花60元，每支钢笔的价格为5元，每本笔记本的价格为3元．设买钢笔x支、笔记本y本．
(1)列出关于x、y的方程；
(2)用列表格的方式，列出所买的钢笔支数、笔记本本数的所有可能情况．
【变式1-3】已知是二元一次方程的解．
(1)求的值；
(2)解是的二元一次方程唯一吗？如果唯一，请直接回答，如果不唯一，请再写出另一个二元一次方程；
(3)你在（2）中写的二元一次方程只有这一个解吗？如果是，直接回答：如果不是，请再写出它的另一个解
【聚焦考点2】
二元一次方程的解：使二元一次方程左右两边的值相等的两个未知数的值叫做二元一次方程的解（通常情况下有无数组解）。书写形式：
特定情形有有限的解.
【典例剖析2】
【考点二 二元一次方程的解】
【典例2-1】如图，这是一架天平，天平左盘放有一个物体，质量为克，右盘放有一些砝码，每个砝码的质量为克，当右盘放有个相同的砝码时，天平处于平衡状态．
(1)若，求天平处于平衡状态时的值．
(2)若一个二元一次方程的解，都是正整数，我们把，称为该方程的正整数解，如：方程的正整数解为，求天平处于平衡状态下的，的正整数值．
(3)期中考试后，老师计划购买笔记本和圆珠笔给表现优秀的同学作为奖品，笔记本和圆珠笔的单价均为正整数．若购买本笔记本，支圆珠笔，共需要元，求购买本笔记本和支圆珠笔的费用．
【典例2-2】已知方程是关于x，y的二元一次方程．
(1)求m，n的值：
(2)求时，y的值．
【典例2-3】某班组织20名同学去春游，同时租用两种型号的客车，分别为8座客车、4座客车（不含司机座位），要求租用的车辆不留空座，也不能超载，有多少种租车方案？
针对训练2
【变式2-1】阅读下列材料，解答下面的问题：
我们知道方程有无数个解，但在实际生活中我们往往只需求出其正整数解．
例：由，得：根据x、y为正整数，运用尝试法可以知道方程的正整数解为．
问题：
(1)请你直接写出方程的一组正整数解_________．
(2)若为自然数，求满足条件的正整数x的值．
(3)2020-2021学年七年级某班为了奖励学生学习的进步，购买单价为3元的笔记本与单价为5元的钢笔两种奖品，共花费48元，问有哪几种购买方案？
【变式2-2】某中学为了改造劳动实践基地，需要和两种规格的钢管．从建材市场购回一根长的钢管，将其截成长段，长段．
(1)列出关于，的二元一次方程；
(2)应该怎么样截这一根钢管更好？
【变式2-3】已知是二元一次方程的解．
(1)求的值；
(2)解是的二元一次方程唯一吗？如果唯一，请直接回答，如果不唯一，请再写出另一个二元一次方程；
(3)你在（2）中写的二元一次方程只有这一个解吗？如果是，直接回答：如果不是，请再写出它的另一个解.
【聚焦考点3】
二元一次方程组：有两个未知数，含每个未知数的项的次数都是1，并且一共有两个整式方程。
注意判断一组方程是二元一次方程组，必须满足以下条件：（1）共含有两个未知数；（2）两个一次整式方程所组成的。
二元一次方程组的解：二元一次方程组中两个方程的公共解叫做二元一次方程组的解。也就是说二元一次方程组的解必须同时满足两个方程。书写形式：
二元一次方程组解的情况：若二元一次方程的一般式为，则（1）若≠有唯一解；（2）若＝＝有无数组解；（3）若＝≠有无数组解；
用某个字母表示另一个字母：即把第一个字母看成已知数，第二个字母看成未知数（即求第二个字母）。
如：2＋＝1，如用表示，则＝。
解二元一次方程组的方程通常有：（1）代入消元法；（2）加减消元法。
【典例剖析3】
【考点三 二元一次方程组的解法】
【典例3-1】解二元一次方程组
(1)
(2)；
【典例3-2】问题情境：在数学活动课上，老师给出了两个二元一次方程：和．
问题解决：（1）试用含x的代数式分别表示______，______；当时，求x的值．
问题探究：（2）若有理数a，b满足等式，求a，b的值．
问题拓展：（3）在（2）的条件下，如图，小明家A到学校C有两段公路，，其中B处有一图书馆，公路长2400米，公路长1800米，小明骑自行车从A出发以米/分的速度匀速沿公路，向C处行驶，小康跑步从C处出发以米/分的速度匀速沿公路，向A处行进．若小明从A处出发5分钟后，小康从C处出发．那么小明出发多少分钟后两人在行进路线上相距120米？
【典例3-3】下面是某同学解方程组的过程：
解方程组
解：由②得③ 第一步
把③代入②，得 第二步
解这个方程，得 第三步
把代入③，得 第四步
所以原方程组的解为
(1)已知上述解法是错误的，开始出现错误的步骤是______．
(2)请给出正确的解题过程．
针对训练3
【变式3-1】（1）若方程与方程的解相同，求m的值．
（2）在（1）的条件下，求关于x、y的方程组的解．
（3）善于研究的小明同学发现，无论m取何值，（2）中方程组的解x与y之间都满足一个关系式是______．
【变式3-2】下面是王斌同学解方程组的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解：，
由得，……第一步，
把代入，得，……第二步
整理得，……第三步
解得，即．……第四步
把代入，得，
则方程组的解为．……第五步
任务一：填空：
以上求解过程中，王斌用了______消元法；（填“代入”或“加减”）
第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______；
任务二：直接写出该方程组求解后的正确结果．
【变式3-3】某中学七年级数学兴趣小组在一次活动中，遇到这样一个问题：
已知x、y满足x+2y＝5，且，求m的值．
小璐同学说：先解关于x、y的方程组，再求m的值．
小明同学观察后说：方程组中含有字母，解方程组可能比较麻烦．但x+2y＝5中不含母……请你用一利比较简单的方法，求出m的值．
【变式3-4】在解决“已知实数x、y、z满足方程组，求4x+13y﹣9z的值”时，小华是这样分析与解答的．
解：由①×a得：2ax+3ay﹣az＝5a③，由②×b得：bx﹣2by+3bz＝b④，
③+④得：(2a+b)x+(3a﹣2b)y+(﹣a+3b)z＝5a+b⑤，
当(2a+b)x+(3a﹣2b)y+(﹣a+3b)z＝4x+13y﹣9z时，即：，解得：．
∴4x+13y﹣9z＝5a+b＝13
请你根据小华的分析过程，解决如下问题：
(1)已知二元一次方程组，则x﹣y＝_________，x+y＝_________；
(2)若实数a、b满足(3x+4y+2z)×a+(x+6y+5z)×b＝12x+2y﹣5z，则a＝_________，b＝_________；
(3)母亲节将至，小新准备给妈妈购买一束组合鲜花，若购买2枝红花、3枝黄花、1枝粉花共需18元；购买3枝红花、5枝黄花、2枝粉花共需28元；则购买1枝红花、3枝黄花、2枝粉花共需多少元？
【变式3-5】下面是小强同学解方程组过程的框图表示，请你帮他补充完整：
其中，①为___________，②为___________．
【聚焦考点4】
整体代入：数学中所谓“整体”是从问题的性质出发，寻找问题体现的共同特点，突出对问题的整体结构的分析和改造，抓住整体特征，建立并把握它们之间的关系，进行有目的、有意识的整体处理的数学思想。整体思想需要用"集成"的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的、有意识的整体处理。
（1）整体代入（2）整体设元（3）换元
【典例剖析4】
【考点四 二元一次方程组的特殊解法】
【典例4-1】已知m、n满足，求的值．
【典例4-2】若关于x，y的方程组的解满足，求的值．
【典例4-3】阅读理解，并根据所得规律答题解二元一次方程组的基本方法有“代入法”、“加减法”两种消元策略，有一种方程组，不是二元一次方程组，但结构类似，如，我们分析，，可以采用“换元法”来解：设，，原方程组转化为，解得，∴，，由倒数定义得，原方程组的解为．
(1)直接写出满足方程的一个解______；
(2)解方程组．
【典例4-4】解下方程组
(1)
(2)
【典例4-5】解方程组
(1)
(2)先阅读（a）小题的解答，然后解答（b）小题：
（a）解方程组
解：由①得③
将③代入②得，即
将代入③得，
所以
（b）解方程组
针对训练4
【变式4-1】阅读材料，解答问题：
材料：解方程组，我们可以设，，则原方程组可以变形为，解得，将、转化为，再解这个方程组得．这种解方程的过程，就是把某个式子看作一个整体，用一个字母代替他，这种解方程组得方法叫做换元法．
请用换元法解方程组：．
【变式4-2】．阅读材料，善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法：
解：将方程变形：，
即，
把方程代入得：，
，
把代入得，
方程组的解为
请你解决以下问题：
(1)模仿小军的“整体代换”法解方程组
(2)已知满足方程组
求的值；
求的值．
【变式4-3】．【阅读材料】
善于思考的小明在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法：
解：将方程②变形：，即，把方程①代入③得：，所以，将代入①得，所以原方程组的解为．
【解决问题】
(1)请模仿小明的“整体代换”法解方程组；
(2)已知x，y满足方程组，求的值．
【变式4-4】．对于有理数x，y，定义新运算：，，其中a，b是常数．已知．
(1)求a，b的值；
(2)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求m的值；
(3)若关于x，y的方程组的解为，求关于x，y的方程组的解．
【变式4-5】．对于有理数x，y，定义新运算：，其中a，b是常数．已知．
(1)求a，b的值；
(2)若关于x，y的方程组 的解也满足方程，求m的值；
(3)若关于x，y的方程组的解为，求关于x，y的方程组的解
【聚焦考点5】
【典例剖析5】
【考点五 由二元一次方程的解求参数】
【典例5-1】下面是老师布置的数学作业：
已知是方程组的解，求的值．
小明同学想了很久也没有想出所以然，于是他看了一下答案中的提示部分“将式子可求出的值，进而可求的值”．
(1)根据答案提示部分的方法，请求出的值．
(2)该方法所体现出来的数学思想方法是______（填选项即可）．
A．分类思想 B．整体思想 C．数形结合思想
【典例5-2】若方程是关于，的二元一次方程，求的值．
【典例5-3】已知方程组，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为；乙看错了②中的b，得到方程组的解为．
(1)求a、b的值；
(2)乙看错了②中的b，他把b看成了哪个数？
针对训练5
【变式5-1】阅读下列材料，解答下面的问题：
我们知道方程有无数个解，但在实际生活中我们往往只需求出其正整数解．
例：由，得：根据x、y为正整数，运用尝试法可以知道方程的正整数解为．
问题：
(1)请你直接写出方程的一组正整数解_________．
(2)若为自然数，求满足条件的正整数x的值．
(3)2020-2021学年七年级某班为了奖励学生学习的进步，购买单价为3元的笔记本与单价为5元的钢笔两种奖品，共花费48元，问有哪几种购买方案？
【变式5-2】．定义：若点满足，则称点P为二元一次方程的坐标点．
(1)若点为方程的坐标点，则______；
(2)若为方程的坐标点，且b，c为正整数，求b，c的值．
【变式5-3】学校七年级举行数学说题比赛，计划购买笔记本作为奖品．根据比赛设奖情况，需购买笔记本共30本．已知A笔记本的单价是12元，B笔记本的单价是8元．
(1)若学校购买A，B两种笔记本作为奖品．设购买A种笔记本x本．
①根据信息填表（用x的代数式表示）．
型号 单价（元/本） 数量（本） 费用（元）
A笔记本 12 x
B笔记本 8 ________ ________
②若购买笔记本的总费用为340元，则购买A，B笔记本各多少本？
为缩减经费，学校最终花费186元购买A，B，C三种笔记本作为奖品．若C笔记本的单价为5元，则购买A笔记本的数量是________本，B笔记本的数量是________本，C笔记本的数量是________本（请直接写出答案）．
数学七年级下暑假培优专题训练
专题十、二元一次方程组（解析版）
【典例剖析1】
【考点一 二元一次方程的定义】
【典例1-1】若方程是关于x，y的二元一次方程，则______．
【答案】
【分析】根据二元一次方程的定义：含有两个未知数且未知数的次数都为1的等式，据此解答即可．
【详解】解：∵方程是关于x，y的二元一次方程，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二元一次方程的定义，熟记相关定义是解本题的关键．
【典例1-2】已知某二元一次方程的部分解如下表所示，请写出这个二元一次方程____________．
x … 85 90 100 …
y … 115 110 100 …
【答案】
【分析】设该二元一次方程为，将x与y的两组对应值代入求出k与b的值即可．
【详解】解：设该二元一次方程为．
则，解得，
所以该二元一次方程为，即．
故答案为．
【点睛】此题考查了求二元一次方程，正确理解二元一次方程的定义是解题的关键
【典例1-3】如果关于、的方程是二元一次方程，那么______ ．
【答案】
【分析】根据二元一次方程的定义，从二元一次方程的未知数的个数和次数方面确定的取值．
【详解】解：根据二元一次方程的定义，得：
且，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查绝对值，二元一次方程的定义，二元一次方程必须符合以下三个条件：方程中只含有个未知数；含未知数项的最高次数为一次；方程是整式方程．
针对训练1
【变式1-1】等腰三角形中，，，周长为．
(1)列出关于、的二元一次方程：________；
(2)求该方程的所有整数解．
【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）根据三边相加等于周长列出方程即可；
（2）将看作已知数求出，确定出整数解即可．
【详解】（1）解：根据题意得：；
故答案为：；
（2）解：方程变形得：，且，，为正整数，
当时，，不能构成三角形，舍去；
当时，，不能构成三角形，舍去；
当时，，不能构成三角形，舍去；
当时，，符合题意；
当时，，符合题意；
当时，，不合题意，
则该方程的整数解为，．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是弄清题意列出相应的方程．
【变式1-2】七年级（1）班为了奖励优秀学生，购买钢笔和笔记本共花60元，每支钢笔的价格为5元，每本笔记本的价格为3元．设买钢笔x支、笔记本y本．
(1)列出关于x、y的方程；
(2)用列表格的方式，列出所买的钢笔支数、笔记本本数的所有可能情况．
【答案】(1)
(2)，，
【分析】（1）根据买钢笔的钱买笔记本的钱列二元一次方程即可；
（2）根据、的值均为正整数，即可确定满足条件的、的值．
【详解】（1）解：根据题意，得；
（2）满足条件的、的值如下表所示：
3 6 9
15 10 5
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程，理解题意是解题的关键．
【变式1-3】已知是二元一次方程的解．
(1)求的值；
(2)解是的二元一次方程唯一吗？如果唯一，请直接回答，如果不唯一，请再写出另一个二元一次方程；
(3)你在（2）中写的二元一次方程只有这一个解吗？如果是，直接回答：如果不是，请再写出它的另一个解
【答案】(1)4；
(2)不唯一，例如；
(3)不是，．
【分析】（1）把方程的解代入方程得到，即可求出的值；
（2）二元一次方程的解有无数个，不唯一，根据二元一次方程的定义写出符合题意的二元一次方程即可；
（3）二元一次方程的解有无数个，根据二元一次方程写出其他解即可；
【详解】（1）解：是二元一次方程的解，
，
；
（2）解：不唯一，例如；
（3）解：不是，例如．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解，一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．
【考点二 二元一次方程的解】
【典例2-1】如图，这是一架天平，天平左盘放有一个物体，质量为克，右盘放有一些砝码，每个砝码的质量为克，当右盘放有个相同的砝码时，天平处于平衡状态．
(1)若，求天平处于平衡状态时的值．
(2)若一个二元一次方程的解，都是正整数，我们把，称为该方程的正整数解，如：方程的正整数解为，求天平处于平衡状态下的，的正整数值．
(3)期中考试后，老师计划购买笔记本和圆珠笔给表现优秀的同学作为奖品，笔记本和圆珠笔的单价均为正整数．若购买本笔记本，支圆珠笔，共需要元，求购买本笔记本和支圆珠笔的费用．
【答案】(1)
(2)
(3)元或元
【分析】（1）根据题意可得，当时，求解即可；
（2）根据（1）中所得方程，求出合适的，的值即可；
（3）设每本笔记本为元，每支圆珠笔为元，根据“购买本笔记本，支圆珠笔，共需要元”建立方程，求出合适的，的值，然后再求出购买本笔记本和支圆珠笔的费用即可．
【详解】（1）解：当天平平衡时，则：，
即：，
当时，得：，
解得：，
答：天平处于平衡状态时的值为．
（2）依题意，得：，
正整数解为，
天平处于平衡状态下的，的正整数值是．
（3）设每本笔记本为元，每支圆珠笔为元，
依题意，得：（和都是正整数），
它的正整数解为：，，
当，时，购买本笔记本和支圆珠笔的费用：（元），
当，时，购买本笔记本和支圆珠笔的费用：（元），
∴购买本笔记本和支圆珠笔的费用为元或元．
【点睛】本题考查二元一次方程的应用．解答本题的关键是根据题意列出方程，找出所有合适未知数的值．
【典例2-2】已知方程是关于x，y的二元一次方程．
(1)求m，n的值：
(2)求时，y的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据二元一次方程的定义进行求解即可；
（2）根据（1）所求可得原方程为，把代入该方程求出y的值即可．
【详解】（1）解：∵方程是关于x，y的二元一次方程，
∴，
解得；
（2）解：由（1）得，原方程为，
当时，则，
解得．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程的定义，二元一次方程的解，解题的关键在于熟知形如（a、b、c为常数且）的方程叫做二元一次方程，二元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值．
【典例2-3】某班组织20名同学去春游，同时租用两种型号的客车，分别为8座客车、4座客车（不含司机座位），要求租用的车辆不留空座，也不能超载，有多少种租车方案？
【答案】两种
【分析】设租用8座客车辆，4座客车辆，根据车座位数等于学生的人数列出二元一次方程，再根据，都是正整数求解即可．
【详解】设租用8座客车辆，4座客车辆，根据题意，得
，
，
，都是正整数，
当时，；
当时，．
有两种租车方案．
【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，注意到车辆数都是正整数是解本题的关键．
针对训练2
【变式2-1】阅读下列材料，解答下面的问题：
我们知道方程有无数个解，但在实际生活中我们往往只需求出其正整数解．
例：由，得：根据x、y为正整数，运用尝试法可以知道方程的正整数解为．
问题：
(1)请你直接写出方程的一组正整数解_________．
(2)若为自然数，求满足条件的正整数x的值．
(3)2020-2021学年七年级某班为了奖励学生学习的进步，购买单价为3元的笔记本与单价为5元的钢笔两种奖品，共花费48元，问有哪几种购买方案？
【答案】(1)（答案不唯一）
(2)4、5、6、7、9、15
(3)有3种购买方案：方案1：购买笔记本11个，钢笔3支；方案2：购买笔记本6个，钢笔6支；方案3：购买笔记本1个，钢笔9支
【分析】（1）根据题意得出，即可求解；
（2）根据为自然数，可得能被12整除，即可求解；
（3）设购买了m个笔记本，n支钢笔，则，，求出其正整数解即可．
【详解】（1）解：由得：，
当时，，
故答案为：（答案不唯一）；
（2）解：∵为自然数，
∴能被12整除，
∴、2、3、4、6、12；
解得：、5、6、7、9、15；
（3）解：设购买了m个笔记本，n支钢笔，
，
∴①时，；②时，；③时，；
∴有3种购买方案：
方案1：购买笔记本11个，钢笔3支；
方案2：购买笔记本6个，钢笔6支；
方案3：购买笔记本1个，钢笔9支．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程的实际应用，解题的关键是熟练掌握解二元一次方程的方法，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
【变式2-2】某中学为了改造劳动实践基地，需要和两种规格的钢管．从建材市场购回一根长的钢管，将其截成长段，长段．
(1)列出关于，的二元一次方程；
(2)应该怎么样截这一根钢管更好？
【答案】(1)
(2)，，
【分析】（1）根据长和长的钢管的总长度等于，即可求解；
（2）根据，都是正整数，分别把，2，3，4，5，6，7代入（1）中方程，即可求解．
【详解】（1）解：长段，长段，根据题意得：
；
（2）解：∵，都是正整数，
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意；
当时，，不符合题意；
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意；
当时，，不符合题意；
当时，，符合题意；
∴符合条件的解为：，，．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程的应用，明确题意，准确列出方程是解题的关键．
【变式2-3】已知是二元一次方程的解．
(1)求的值；
(2)解是的二元一次方程唯一吗？如果唯一，请直接回答，如果不唯一，请再写出另一个二元一次方程；
(3)你在（2）中写的二元一次方程只有这一个解吗？如果是，直接回答：如果不是，请再写出它的另一个解.
【答案】(1)4；
(2)不唯一，例如；
(3)不是，．
【分析】（1）把方程的解代入方程得到，即可求出的值；
（2）二元一次方程的解有无数个，不唯一，根据二元一次方程的定义写出符合题意的二元一次方程即可；
（3）二元一次方程的解有无数个，根据二元一次方程写出其他解即可；
【详解】（1）解：是二元一次方程的解，
，
；
（2）解：不唯一，例如；
（3）解：不是，例如．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解，一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．
【考点三 二元一次方程组的解法】
【典例3-1】解二元一次方程组
(1)
(2)；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用代入消元法，即可求解；
（2）利用加减消元法，即可求解．
【详解】（1）解：，
把①代入②得：，
解得
把代入①得：
∴方程组的解为：；
（2）解：，
①×2得：③，
③-②得：，解得：，
把代入①得：，
解得：
∴方程组的解为：．
【点睛】本题主要考查解二元一次方程组，掌握代入消元法和加减消元法，是解题的关键．
【典例3-2】问题情境：在数学活动课上，老师给出了两个二元一次方程：和．
问题解决：（1）试用含x的代数式分别表示______，______；当时，求x的值．
问题探究：（2）若有理数a，b满足等式，求a，b的值．
问题拓展：（3）在（2）的条件下，如图，小明家A到学校C有两段公路，，其中B处有一图书馆，公路长2400米，公路长1800米，小明骑自行车从A出发以米/分的速度匀速沿公路，向C处行驶，小康跑步从C处出发以米/分的速度匀速沿公路，向A处行进．若小明从A处出发5分钟后，小康从C处出发．那么小明出发多少分钟后两人在行进路线上相距120米？
【答案】（1）；；；（2）；（3）小明出发14分钟或14.75分钟后两人在行进路线上相距120米
【分析】（1）根据和，用含x的代数式分别表示，即可；根据列出关于x的方程解方程即可；
（2）根据绝对值和二次方的非负性，列出关于a、b的方程组，解方程组即可；
（3）先求出两人的速度，再分两种情况讨论，相遇前两人相距120米时，相遇后两人相距120米时，分别求出时间即可．
【详解】解：（1）∵和，
∴，；
∵，
∴，
解得：．
故答案为：；；．
（2）∵，
∴，
解得：．
（3）设小明出发x分钟后两人在行进路线上相距120米，
小明的速度为（米/分），
小康的速度为（米/分），
相遇前两人相距120米时，，
解得：；
相遇后两人相距120米时，，
解得：；
答：小明出发14分钟或14.75分钟后两人在行进路线上相距120米．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次方程的应用，绝对值和二次方的非负性，解题的关键是根据题意列出方程或方程组．
【典例3-3】下面是某同学解方程组的过程：
解方程组
解：由②得③ 第一步
把③代入②，得 第二步
解这个方程，得 第三步
把代入③，得 第四步
所以原方程组的解为
(1)已知上述解法是错误的，开始出现错误的步骤是______．
(2)请给出正确的解题过程．
【答案】(1)第一步
(2)见解析
【分析】（1）观察可知在第一步移项的时候，求解错误，正确的结果应该是；
（2）利用代入消元法求解即可．
【详解】（1）解：由题意可知，在第一步的移项的时候，应该得到的结果为，而不是，
∴开始出现错误的步骤是第一步，
故答案为：第一步；
（2）解：解方程组
解：由②得③，
把③代入①，得，
解这个方程，得，
把代入③，得，
∴方程组的解为．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，熟知代入消元法是解题的关键．
针对训练3
【变式3-1】（1）若方程与方程的解相同，求m的值．
（2）在（1）的条件下，求关于x、y的方程组的解．
（3）善于研究的小明同学发现，无论m取何值，（2）中方程组的解x与y之间都满足一个关系式是______．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）先解方程，得出x的值，然后将方程的解代入，再解关于m的方程即可；
（2）把m的值代入方程组，然后再解方程组即可；
（3）由①得：，把③代入②消去m即可得出答案．
【详解】解：（1）方程得：，
∵方程与方程的解相同，
∴把代入得：，
解得：．
（2）把代入方程组得：，
即，
得：，
解得：，
把代入②得：，解得：，
∴原方程组的解为．
（3），
由①得：，
把③代入②得：，
整理得：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程和二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程和二元一次方程组的一般步骤，准确计算．
【变式3-2】下面是王斌同学解方程组的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解：，
由得，……第一步，
把代入，得，……第二步
整理得，……第三步
解得，即．……第四步
把代入，得，
则方程组的解为．……第五步
任务一：填空：
以上求解过程中，王斌用了______消元法；（填“代入”或“加减”）
第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______；
任务二：直接写出该方程组求解后的正确结果．
【答案】代入 ，三 ，去括号错误 ；
【分析】任务一：用代入消元法解方程组；注意去括号变号；
任务二：用代入消元法解二元一次方程组即可．
【详解】解：任务一：方程组用代入消元法解方程组，
故答案为：代入；
第三步出现错误，去括号时没有变号，
故答案为：三，去括号错误；
任务二： ，
由得 ，
把代入，得，
整理得，
解得，即，
把代入，得，
则方程组的解为．
【点睛】本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．
【变式3-3】某中学七年级数学兴趣小组在一次活动中，遇到这样一个问题：
已知x、y满足x+2y＝5，且，求m的值．
小璐同学说：先解关于x、y的方程组，再求m的值．
小明同学观察后说：方程组中含有字母，解方程组可能比较麻烦．但x+2y＝5中不含母……请你用一利比较简单的方法，求出m的值．
【答案】m的值为4
【分析】先由不含m的两个方程组成的方程组解得x、y的值，再把x、y的值代入包含x、y、m的方程，即可得到m的值．
【详解】解：解方程组：
由②得③
代入①得
解得
代入③中得
∴方程组的解为
把代入中
得
解得
∴m的值为4
【点睛】本题考查二元一次方程组和一元一次方程的综合应用，熟练掌握二元一次方程组和一元一次方程的解法是解题关键．
【变式3-4】在解决“已知实数x、y、z满足方程组，求4x+13y﹣9z的值”时，小华是这样分析与解答的．
解：由①×a得：2ax+3ay﹣az＝5a③，由②×b得：bx﹣2by+3bz＝b④，
③+④得：(2a+b)x+(3a﹣2b)y+(﹣a+3b)z＝5a+b⑤，
当(2a+b)x+(3a﹣2b)y+(﹣a+3b)z＝4x+13y﹣9z时，即：，解得：．
∴4x+13y﹣9z＝5a+b＝13
请你根据小华的分析过程，解决如下问题：
(1)已知二元一次方程组，则x﹣y＝_________，x+y＝_________；
(2)若实数a、b满足(3x+4y+2z)×a+(x+6y+5z)×b＝12x+2y﹣5z，则a＝_________，b＝_________；
(3)母亲节将至，小新准备给妈妈购买一束组合鲜花，若购买2枝红花、3枝黄花、1枝粉花共需18元；购买3枝红花、5枝黄花、2枝粉花共需28元；则购买1枝红花、3枝黄花、2枝粉花共需多少元？
【答案】(1)-8，4；
(2)5，-3；
(3)购买1枝红花、3枝黄花、2枝粉花共需12元
【分析】（1）观察方程组的特点，通过①﹣②可以直接得x﹣y的值，通过①+②再化简可得x+y的值．
（2）先化简等号左边，再将等号左边化简的结果合并同类项，利用等式两边相同字母的系数相同得到关于和的二元一次方程组，解方程组即可得到答案．
（3）设1枝红花x元，1枝黄花y元、1枝粉花z元，根据题意得到和购买1枝红花、3枝黄花、2枝粉花共需（）元，再根据题干中的解答步骤解答即可．
【详解】（1）解：
由①﹣②得：，
由①+②得：，等式两边同时除以5得：．
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
解得．
（3）解：设1枝红花x元，1枝黄花y元、1枝粉花z元．
由题意得：， 购买1枝红花、3枝黄花、2枝粉花共需（）元，
由①得：，由 ②得：，
由③+④得：，
当时，
即，解得：，
∴．
答：购买1枝红花、3枝黄花、2枝粉花共需12元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，要熟练掌握解方程组的方法：加减消元法，代入法；读懂题干中的材料是解答本题的关键．
【变式3-5】下面是小强同学解方程组过程的框图表示，请你帮他补充完整：
其中，①为___________，②为___________．
【答案】 代入 消去y
【分析】利用代入法求解二元一次方程组的一般步骤，即可得出答案．
【详解】解：由代入法求解二元一次方程组的步骤可知：
①为代入，②为消去y，
故答案为：代入，消去y．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，掌握代入法求解二元一次方程组的一般步骤是解此题的关键．
【考点四 二元一次方程组的特殊解法】
【典例4-1】已知m、n满足，求的值．
【答案】．
【分析】两式相加，求出的值，两式相减，求出的值，即可求出的值．
【详解】解：，
得，即；
得，即；
∴．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组问题，要熟练掌握，注意整体思想的应用．
【典例4-2】若关于x，y的方程组的解满足，求的值．
【答案】
【分析】两方程相减消去m，再与组成新方程组求得x、y的值，再求得m的值，代入计算即可求解．
【详解】解：，
由①②，得，③
又，④
由③④，得．
把代入④，得．
把，代入②，得．
故．
【点睛】本题考查是解二元一次方程组和代数式求值，用加减法或代入法来解答是关键．
【典例4-3】阅读理解，并根据所得规律答题解二元一次方程组的基本方法有“代入法”、“加减法”两种消元策略，有一种方程组，不是二元一次方程组，但结构类似，如，我们分析，，可以采用“换元法”来解：设，，原方程组转化为，解得，∴，，由倒数定义得，原方程组的解为．
(1)直接写出满足方程的一个解______；
(2)解方程组．
【答案】(1)（答案不确定，满足方程即可）
(2)
【分析】（1）根据方程解的定义，先假定x等于一个数，再求出对应的y即可；
（2）仿照例题，设，，，则原方程组可变形为关于m、n的方程组，求出m，n的值，进而求出方程组的解．
【详解】（1）解：当时，方程成立，
故方程的解可以是：，
故答案为：（答案不确定，满足方程即可）
（2）设，，原方程组转化为，
解得，
∴，由倒数定义得，原方程组的解为．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组等知识点的理解和掌握，能把二元一次方程组转化成关于m，n的方程组是解此题的关键．
【典例4-4】解下方程组
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）消去y求解即可得到答案；
（2）先根据即可得到x，y的关系，再代入消元求解即可得到答案；
【详解】（1）解：得，
，
解得，
将代入①得，
，
解得，
∴原方程组的解为：；
（2）解：得，
，
∴③，
将③代入②得，
，
解得：，
将代入③得，
，
∴原方程组的解为：；
【点睛】本题考查解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握两种消元法，消元解一元一次方程．
【典例4-5】解方程组
(1)
(2)先阅读（a）小题的解答，然后解答（b）小题：
（a）解方程组
解：由①得③
将③代入②得，即
将代入③得，
所以
（b）解方程组
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）运用加减法求解即可；
（2）运用代入法求解即可
【详解】（1）
，得：，
解得，，
把代入②，得：，
解得，，
所以，方程组的解为
（2）
把①代入②，得：，解得，
将代入①，得：，
所以．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
针对训练4
【变式4-1】阅读材料，解答问题：
材料：解方程组，我们可以设，，则原方程组可以变形为，解得，将、转化为，再解这个方程组得．这种解方程的过程，就是把某个式子看作一个整体，用一个字母代替他，这种解方程组得方法叫做换元法．
请用换元法解方程组：．
【答案】．
【分析】设，，则原方程组可以变形为，用加减消元法解得，再解方程组，即可求解．
【详解】解：设，，则原方程组可以变形为，
用加减消元法解得，
再将、转化为，
解得．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法以及换元法；熟练掌握加减消元法和换元法是解题的关键．
【变式4-2】．阅读材料，善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法：
解：将方程变形：，
即，
把方程代入得：，
，
把代入得，
方程组的解为
请你解决以下问题：
(1)模仿小军的“整体代换”法解方程组
(2)已知满足方程组
求的值；
求的值．
【答案】(1)
(2)18；
【分析】（1）方程组中第二个方程变形后，将第一个方程代入求出的值，进而求出的值，得到方程组的解；
（2）方程组第一个方程变形表示出，第二个方程变形后代入求出的值，进而求出的值；
利用完全平方公式及平方根定义求出的值，再由的值，即可求出所求式子的值．
【详解】（1）解：由得：，即，
把代入得：，即，
把代入得：，
则方程组的解为；
（2）解：由得：，即，
由得：，即，
整理得：，
，
，
，
即，
则原式．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【变式4-3】．【阅读材料】
善于思考的小明在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法：
解：将方程②变形：，即，把方程①代入③得：，所以，将代入①得，所以原方程组的解为．
【解决问题】
(1)请模仿小明的“整体代换”法解方程组；
(2)已知x，y满足方程组，求的值．
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）根据题意，利用整体的思想进行解方程组，即可得到答案；
（2）根据题意，利用整体的思想进行解方程组，求得，再整体代入即可得到答案．
【详解】（1）解：，
将方程变形得：，
把方程代入得：，
所以，
将代入得，
所以原方程组的解为；
（2）解：，
把方程变形，得到，
然后把代入，得，
∴，
∴.
【点睛】本题考查了方程组的“整体代入”的解法．整体代入法，就是变形组中的一个方程，使该方程左边变形为另一个方程的左边的倍数加一个未知数的形式，整体代入，求出一个未知数，再代入求出另一个未知数．
【变式4-4】．对于有理数x，y，定义新运算：，，其中a，b是常数．已知．
(1)求a，b的值；
(2)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求m的值；
(3)若关于x，y的方程组的解为，求关于x，y的方程组的解．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据定义新运算得出关于a、b的二元一次方程组，再解方程组即可；
（2）根据题意得出关于x、y的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程求解即可；
（3）根据定义新运算得出相关方程组，根据方程组的解的定义，利用整体代入的方法解答即可．
【详解】（1）解：（1）由题意得，
解得：；
（2）解：依题意得，
解得：，
∵，
∴，
解得：；
（3）解：由题意得：的解为，
由方程组得：，
∴，
解得：．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，根据新定义列出二元一次方程组，利用方程组的解列出二元一次方程组是解题的关键．
【变式4-5】．对于有理数x，y，定义新运算：，其中a，b是常数．已知．
(1)求a，b的值；
(2)若关于x，y的方程组 的解也满足方程，求m的值；
(3)若关于x，y的方程组的解为，求关于x，y的方程组的解
【答案】(1)
(2)m
(3)
【分析】（1）根据定义新运算得出关于a、b的二元一次方程组，再解方程组即可；
（2）根据题意得出关于x、y的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程求解即可；
（3）根据定义新运算得出相关方程组，根据方程组的解的定义，利用整体代入的方法解答即可．
【详解】（1）解：由题意得，
解得：；
（2）解：依题意得，
解得：，
∵，
∴，
解得：；
（3）解：由题意得： 方程组的解为，
∴由方程组得方程组，
∴方程组的解满足，
解得．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解、定义新运算、“整体思想”等知识；熟练掌握“整体思想”，找出等量关系列出方程组是解题的关键．
【考点五 由二元一次方程的解求参数】
【典例5-1】下面是老师布置的数学作业：
已知是方程组的解，求的值．
小明同学想了很久也没有想出所以然，于是他看了一下答案中的提示部分“将式子可求出的值，进而可求的值”．
(1)根据答案提示部分的方法，请求出的值．
(2)该方法所体现出来的数学思想方法是______（填选项即可）．
A．分类思想 B．整体思想 C．数形结合思想
【答案】【答案】(1)1
(2)B
【分析】（1）根据提示进行运算即可；
（2）体现的数学思想方法是整体思想．
【详解】（1）解：，
得：，
即，
∵是方程组的解，
∴；
（2）解：该方法所体现出来的数学思想方法是整体思想，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程的解，整体思想的应用，解题的关键是根据方程组得出．
【典例5-2】若方程是关于，的二元一次方程，求的值．
【答案】5
【分析】根据二元一次方程的定义，列出关于，的方程或不等式，求出，的值，代入所求代数式进行计算即可．
【详解】根据题意，得
，
．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程的定义，根据二元一次方程的定义列出关于，的方程或不等式是解本题的关键．
【典例5-3】已知方程组，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为；乙看错了②中的b，得到方程组的解为．
(1)求a、b的值；
(2)乙看错了②中的b，他把b看成了哪个数？
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将甲得到的方程组的解代入第二个方程，将乙得到方程组的解代入第一个方程，联立两个方程求出a，b；
（2）设把b看成了m，代入②，求出方程的解即可得到b．
【详解】（1）解：将代入方程组中的第二个方程得：①，
将代入方程组中的第一个方程得：②，
联立①②
解得：；
（2）设把b看成了m，
把，代入方程，
得
【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．
针对训练5
【变式5-1】阅读下列材料，解答下面的问题：
我们知道方程有无数个解，但在实际生活中我们往往只需求出其正整数解．
例：由，得：根据x、y为正整数，运用尝试法可以知道方程的正整数解为．
问题：
(1)请你直接写出方程的一组正整数解_________．
(2)若为自然数，求满足条件的正整数x的值．
(3)2020-2021学年七年级某班为了奖励学生学习的进步，购买单价为3元的笔记本与单价为5元的钢笔两种奖品，共花费48元，问有哪几种购买方案？
【答案】(1)（答案不唯一）
(2)4、5、6、7、9、15
(3)有3种购买方案：方案1：购买笔记本11个，钢笔3支；方案2：购买笔记本6个，钢笔6支；方案3：购买笔记本1个，钢笔9支
【分析】（1）根据题意得出，即可求解；
（2）根据为自然数，可得能被12整除，即可求解；
（3）设购买了m个笔记本，n支钢笔，则，，求出其正整数解即可．
【详解】（1）解：由得：，
当时，，
故答案为：（答案不唯一）；
（2）解：∵为自然数，
∴能被12整除，
∴、2、3、4、6、12；
解得：、5、6、7、9、15；
（3）解：设购买了m个笔记本，n支钢笔，
，
∴①时，；②时，；③时，；
∴有3种购买方案：
方案1：购买笔记本11个，钢笔3支；
方案2：购买笔记本6个，钢笔6支；
方案3：购买笔记本1个，钢笔9支．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程的实际应用，解题的关键是熟练掌握解二元一次方程的方法，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
【变式5-2】．定义：若点满足，则称点P为二元一次方程的坐标点．
(1)若点为方程的坐标点，则______；
(2)若为方程的坐标点，且b，c为正整数，求b，c的值．
【答案】(1)5
(2)或
【分析】（1）将点代入方程，即可解答．
（2）将点代入方程，得再代入，即可解答．
【详解】（1）将点代入方程，得，
解得．
（2）由题意得：，，b，c为正整数，
∴或．
【点睛】本题考查了解二元一次方程参数，熟练掌握解二元一次方程是解题的关键
【变式5-3】学校七年级举行数学说题比赛，计划购买笔记本作为奖品．根据比赛设奖情况，需购买笔记本共30本．已知A笔记本的单价是12元，B笔记本的单价是8元．
(1)若学校购买A，B两种笔记本作为奖品．设购买A种笔记本x本．
①根据信息填表（用x的代数式表示）．
型号 单价（元/本） 数量（本） 费用（元）
A笔记本 12 x
B笔记本 8 ________ ________
②若购买笔记本的总费用为340元，则购买A，B笔记本各多少本？
(2)为缩减经费，学校最终花费186元购买A，B，C三种笔记本作为奖品．若C笔记本的单价为5元，则购买A笔记本的数量是________本，B笔记本的数量是________本，C笔记本的数量是________本（请直接写出答案）．
【答案】(1)①；或；②购买A笔记本25本，B笔记本5本
(2)3，5，22
【分析】（1）设买A种笔记本x本，则B种笔记本的数量为本，购买A种笔记本的费用为元，B种笔记本的费用为元，就可以得出结论；②根据购买笔记本的总费用为340元建立方程式求出其解即可得出结论；
（2）设买A种笔记本m本，B种笔记本n本，则C种笔记本的数量为本，根据学校最终花费186元列出二元一次方程，根据m，n为整数可得结论．
【详解】（1）①由题意，得：
型号 单价（元/本） 数量（本） 费用（元）
A笔记本 12 x
B笔记本 8
②根据题意得：
解得：
∴
答：购买A笔记本25本，B笔记本5本．
（2）设买A种笔记本m本，B种笔记本n本，则C种笔记本的数量为本，根据题意得：
整理得，
∴
∵均为整数，
∴
∴C种笔记本的数量为
故答案为：3，5，22
【点睛】本题考查了列一元一次方程式和二元一次方程解实际问题的运用，解答本题的关键是明确题意，找出相应的数量关系．
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