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第三单元第2讲 导数与函数的单调性
讲
讲知识 讲方法
练
练题型 练真题
题型一：不含参的函数的单调性
题型二：含参函数的单调性
题型三：利用单调性比较大小或解不等式
题型四：根据函数的单调性求参数
题型五：构造函数问题
测
测基础 测能力
单选4题 单选4题
多选2题 多选2题
填空2题 填空2题
解答3题 解答3题
一、【讲】
【讲知识】
1．函数的单调性与导数的关系
条件 恒有 结论
函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导 f′(x)>0 f(x)在区间(a，b)上单调递增
f′(x)<0 f(x)在区间(a，b)上单调递减
f′(x)＝0 f(x)在区间(a，b)上是常数函数
2.利用导数判断函数单调性的步骤
第1步，确定函数的定义域；
第2步，求出导数f′(x)的零点；
第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性．
【讲方法】
1.确定不含参的函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤即可，但应注意一是不能漏掉求函数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开．
2.研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．
3. 划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点．
4.根据函数单调性求参数的一般思路
(1)利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集．
(2)f(x)为增(减)函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)，且在(a，b)内的任一非空子区间上，f′(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解．
(3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题．
5.导数关系构造函数的一些常见结构
（1）.对于不等式f′(x)＋g′(x)>0，构造函数F(x)＝f(x)＋g(x).
（2）.对于不等式f′(x)－g′(x)>0，构造函数F(x)＝f(x)－g(x).
特别地，对于不等式f′(x)>k，构造函数F(x)＝f(x)－kx.
（3）.对于不等式f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，构造函数F(x)＝f(x)·g(x).
（4）.对于不等式f′(x)g(x)－f(x)g′(x)>0，构造函数F(x)＝.
（5）.对于不等式xf′(x)＋nf(x)>0，构造函数F(x)＝xn·f(x).
（6）.对于不等式f′(x)＋f(x)>0，构造函数F(x)＝ex·f(x).
（7）.对于不等式f′(x)＋kf(x)>0，构造函数F(x)＝ekx·f(x).
二、【练】
【练题型】
【题型一】不含参的函数的单调性
【典例1】函数f(x)＝x2－2ln x的单调递减区间是(　　)
A．(0,1) B．(1，＋∞)
C．(－∞，1) D．(－1,1)
【解析】∵f′(x)＝2x－＝(x>0)，
令f′(x)＝0，得x＝1，
∴当x∈(0,1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增．
故选A.
【典例2】函数f(x)＝x＋2的单调递增区间是(　　)
A．(0,1) B．(－∞，1)
C．(－∞，0) D．(0，＋∞)
【解析】f(x)的定义域为(－∞，1]，
f′(x)＝1－，令f′(x)＝0，得x＝0.
当00.
∴f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为(0,1)．
故选C.
【典例3】已知定义在区间(0，π)上的函数f(x)＝x＋2cos x，则f(x)的单调递增区间为________．
【解析】f′(x)＝1－2sin x，x∈(0，π)．
令f′(x)＝0，得x＝或x＝，
当00，
当当0，
∴f(x)在和上单调递增，在上单调递减．
【题型二】含参函数的单调性
【典例1】已知函数f(x)＝ax2－(a＋1)x＋ln x，a>0，试讨论函数y＝f(x)的单调性.
【解析】函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝ax－(a＋1)＋
＝＝.
①当01，
∴x∈(0，1)和时，f′(x)>0；
x∈时，f′(x)<0，
∴函数f(x)在(0，1)和上单调递增，在上单调递减；
②当a＝1时，＝1，
∴f′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立，
∴函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
③当a>1时，0<<1，
∴x∈和(1，＋∞)时，f′(x)>0；
x∈时，f′(x)<0，
∴函数f(x)在和(1，＋∞)上单调递增，在上单调递减.
综上，当0当a＝1时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
当a>1时，函数f(x)在和(1，＋∞)上单调递增，在上单调递减.
【典例2】讨论函数f(x)＝－x＋aln x的单调性.
【解析】f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝－－1＋＝－.
设y＝x2－ax＋1，其图象过定点(0，1)，开口向上，对称轴为x＝，
①当≤0，即a≤0时，f′(x)≤0，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递减；
②当＞0，即a＞0时，
令x2－ax＋1＝0，Δ＝a2－4，
(ⅰ)当Δ≤0，即0＜a≤2时，f′(x)≤0，f(x)在(0，＋∞)上是减函数.
故a≤2时，f(x)在(0，＋∞)上是减函数.
(ⅱ)当Δ＞0，即a＞2时，令f′(x)＝0，得
x＝或x＝.
当x∈∪时，f′(x)<0；
当x∈时，f′(x)>0.
所以f(x)在，
上单调递减，
在上单调递增.
【题型三】 利用单调性比较大小或解不等式
【典例1】已知函数f(x)＝xsin x，x∈R，则f ，f(1)，f 的大小关系为(　　)
A．f >f(1)>f
B．f(1)>f >f
C．f >f(1)>f
D．f >f >f(1)
【解析】因为f(x)＝xsin x，所以f(－x)＝(－x)·sin(－x)＝xsin x＝f(x)，所以函数f(x)是偶函数，所以f ＝f .又当x∈时，f′(x)＝sin x＋xcos x>0，所以函数f(x)在上是增函数，所以f f(1)>f .
故选A.
【典例2】已知函数f′(x)是函数f(x)的导函数，f(1)＝，对任意实数都有f(x)－f′(x)>0，设F(x)＝，则不等式F(x)<的解集为(　　)
A．(－∞，1) B．(1，＋∞)
C．(1，e) D．(e，＋∞)
【解析】F′(x)＝＝，
又f(x)－f′(x)>0，知F′(x)<0，
所以F(x)在R上单调递减．
由F(x)<＝F(1)，得x>1，
所以不等式F(x)<的解集为(1，＋∞)．
故选B.
【典例3】在R上可导的函数f(x)的图象如图所示，则关于x的不等式xf′(x)<0的解集为(　　)
A．(－∞，－1)∪(0，1)
B．(－1，0)∪(1，＋∞)
C．(－2，－1)∪(1，2)
D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
【解析】在(－∞，－1)和(1，＋∞)上，f(x)单调递增，所以f′(x)>0，使xf′(x)<0的范围为(－∞，－1)；
在(－1，1)上，f(x)单调递减，所以f′(x)<0，使xf′(x)<0的范围为(0，1)．
综上所述，关于x的不等式xf′(x)<0的解集为(－∞，－1)∪(0，1)．
故选A.
【题型四】根据函数的单调性求参数
【典例1】若函数f(x)＝ax3＋x恰有3个单调区间，则a的取值范围为________．
【解析】由f(x)＝ax3＋x，得f′(x)＝3ax2＋1.
若a≥0，则f′(x)>0恒成立，此时f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数，不满足题意；
若a<0，由f′(x)>0得
－由f′(x)<0，得x<－或x>，
即当a<0时，f(x)的单调递增区间为，
单调递减区间为，，满足题意．
【典例2】已知函数f(x)＝ln x－ax2－2x(a≠0)在[1,4]上单调递减，则a的取值范围是________．
【解析】因为f(x)在[1,4]上单调递减，所以当x∈[1,4]时，f′(x)＝－ax－2≤0恒成立，即a≥－恒成立．
设G(x)＝－，x∈[1,4]，
所以a≥G(x)max，而G(x)＝2－1，
因为x∈[1,4]，所以∈，
所以G(x)max＝－(此时x＝4)，
所以a≥－，又因为a≠0，
所以a的取值范围是∪(0，＋∞)．
【典例3】已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝ax2＋2x(a≠0)．
(1)若函数h(x)＝f(x)－g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围；
(2)若函数h(x)＝f(x)－g(x)在[1，4]上单调递减，求a的取值范围．
【解析】(1)h(x)＝ln x－ax2－2x，x∈(0，＋∞)，
所以h′(x)＝－ax－2，由于h(x)在(0，＋∞)上存在单调递减区间，
所以当x∈(0，＋∞)时，－ax－2<0有解．
即a＞－有解，
设G(x)＝－，
所以只要a＞G(x)min即可．
而G(x)＝－1，所以G(x)min＝－1.
所以a＞－1，即a的取值范围是(－1，＋∞)．
(2)由h(x)在[1，4]上单调递减得，
当x∈[1，4]时，h′(x)＝－ax－2≤0恒成立，
即a≥－恒成立．
所以a≥G(x)max，而G(x)＝－1，
因为x∈[1，4]，所以∈，
所以G(x)max＝－(此时x＝4)，
所以a≥－，
即a的取值范围是.
【题型五】构造函数问题
【典例1】f(x)为定义在R上的可导函数，且f′(x)＞f(x)，对任意正实数a，下列式子一定成立的是(　　)
A.f(a)＜eaf(0) B.f(a)＞eaf(0)
C.f(a)＜ D.f(a)＞
【解析】令g(x)＝，则g′(x)＝＝＞0.
∴g(x)在R上为增函数，又a＞0，
∴g(a)＞g(0)，即＞.
故f(a)＞eaf(0).
故选B.
【典例2】已知偶函数f(x)(x≠0)的导函数为f′(x)，且满足f(－1)＝0，当x＞0时，2f(x)＞xf′(x)，则使得f(x)＞0成立的x的取值范围是________.
【解析】构造F(x)＝，则F′(x)＝，当x＞0时，xf′(x)－2f(x)＜0，可以推出当x＞0时，F′(x)＜0，F(x)在(0，＋∞)上单调递减.∵f(x)为偶函数，x2为偶函数，∴F(x)为偶函数，∴F(x)在(－∞，0)上单调递增.根据f(－1)＝0可得F(－1)＝0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图象(图略)，根据图象可知f(x)＞0的解集为(－1，0)∪(0，1).
【典例3】(多选)已知定义在上的函数f(x)，f′(x)是f(x)的导函数，且恒有cos xf′(x)＋sin xf(x)＜0成立，则(　　)
A.f＞f
B.f＞f
C.f＞f
D.f＞f
【解析】根据题意，令g(x)＝，x∈，则其导数g′(x)＝，又由x∈，且恒有cos xf′(x)＋sin xf(x)＜0，则有g′(x)＜0，即函数g(x)为减函数.由＜，则有g＞g，即＞，分析可得f＞f；又由＜，则有g＞g，即＞，分析可得f＞f.
故选CD.
【练真题】
【真题1】（2019·高考全国卷Ⅲ）已知函数f(x)＝2x3－ax2＋2.讨论f(x)的单调性．
【解析】f′(x)＝6x2－2ax＝2x(3x－a)．
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝.
若a>0，则当x∈(－∞，0)∪时，f′(x)>0；当x∈时，f′(x)<0.故f(x)在(－∞，0)，
单调递增，在单调递减．
若a＝0，则f(x)在(－∞，＋∞)单调递增．
若a<0，则当x∈∪(0，＋∞)时，f′(x)>0；当x∈时，f′(x)<0.故f(x)在，(0，＋∞)单调递增，在单调递减．
【真题2】（2021·新高考全国Ⅱ）写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x)：________.
①f(x1x2)＝f(x1)f(x2)；
②当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0；
③f′(x)是奇函数．
【解析】取f(x)＝x4，则f(x1x2)＝(x1x2)4＝xx＝f(x1)f(x2)，满足①，
f′(x)＝4x3，x>0时有f′(x)>0，满足②，
f′(x)＝4x3的定义域为R，
又f′(－x)＝－4x3＝－f′(x)，故f′(x)是奇函数，满足③.
(答案不唯一，f(x)＝x2n(n∈N*)均满足)
【真题3】（2023·山师附中质检）若幂函数f(x)的图象过点，则函数g(x)＝的单调递增区间为(　　)
A．(0,2)
B．(－∞，0)∪(2，＋∞)
C．(－2,0)
D．(－∞，－2)∪(0，＋∞)
【解析】设f(x)＝xα，代入点，
则α＝，解得α＝2，
∴g(x)＝，
则g′(x)＝＝，
令g′(x)>0，解得0∴函数g(x)的单调递增区间为(0,2)．
故选A.
【真题4】（2023·安徽省泗县第一中学质检）函数f(x)＝在(a，a＋1)上单调递增，则实数a的取值范围为________．
【解析】由函数f(x)＝，
得f′(x)＝(x>0)，
由f′(x)>0得0e.
所以f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，
又函数f(x)＝在(a，a＋1)上单调递增，
则(a，a＋1) (0，e)，则
解得0≤a≤e－1.
【真题5】（2020·深圳调研）设函数f(x)＝x2－9ln x在区间[a－1，a＋1]上单调递减，则实数a的取值范围是________．
【解析】易知f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝x－.
又x>0，由f′(x)＝x－≤0，得0因为函数f(x)在区间[a－1，a＋1]上单调递减，
所以
解得1【真题6】（八省联考）已知a<5且ae5＝5ea，b<4且be4＝4eb，c<3且ce3＝3ec，则(　　)
A．cC．a【解析】方法一　由已知＝，＝，＝，
设f(x)＝，则f′(x)＝，
所以f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
所以f(3)所以a方法二　设ex＝x，①
ex＝x，②
ex＝x，③
a，b，c依次为方程①②③的根，结合图象，方程的根可以看作两个图象的交点的横坐标，
∵>>，
由图可知a【真题7】（2022·石家庄一模）若ln x－ln y＜－(x＞1，y＞1)，则(　　)
A.ey－x＞1 B.ey－x＜1
C.ey－x－1＞1 D.ey－x－1＜1
【解析】依题意，ln x－＜ln y－，令f(t)＝t－(t≠0).则f′(t)＝1＋＞0，所以f(t)在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递增；又x＞1，y＞1，得ln x＞0，ln y＞0，又ln x－＜ln y－.则f(ln x)＜f(ln y).又f(t)在(0，＋∞)上单调递增.则ln x＜ln y，∴1＜x＜y，即y－x＞0，所以ey－x＞e0＝1，A正确，B不正确；又y－x－1无法确定与0的关系，故C、D不正确.
故选A.
【真题8】（2021·东北三校第一次联考）已知函数f(x)＝(x＋1)ln(x＋1)－ax2－x(a∈R)．设f′(x)为函数f(x)的导函数，求函数f′(x)的单调区间．
【解析】由已知得，f(x)的定义域为(－1，＋∞)，f′(x)＝ln(x＋1)－ax.
令h(x)＝f′(x)＝ln(x＋1)－ax，则h′(x)＝－a.
当a≤0时，h′(x)>0，
所以f′(x)的单调递增区间为(－1，＋∞)，无单调递减区间．
当a>0时，令h′(x)>0，得－1－1，
所以f′(x)的单调递增区间为，单调递减区间为.
三、【测】
【测基础】
【单选题】
1. 函数f(x)＝xln x＋1的单调递减区间是(　　)
A. B.
C. D．(e，＋∞)
【解析】f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝1＋ln x，
令f′(x)<0，得0所以f(x)的单调递减区间为.
故选C.
2. 已知函数f(x)＝x(ex－e－x)，则f(x)(　　)
A．是奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减
B．是奇函数，且在(0，＋∞)上单调递增
C．是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减
D．是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增
【解析】因为f(x)＝x(ex－e－x)，x∈R，定义域关于原点对称，且f(－x)＝－x(e－x－ex)＝x(ex－e－x)＝f(x)，所以f(x)是偶函数，
当x>0时，f′(x)＝ex－e－x＋x(ex＋e－x)>0，
所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
故选D.
3. 已知函数y＝xf′(x)的图象如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)．下面四个图象中y＝f(x)的图象大致是(　　)
【解析】列表如下：
x (－∞，－1) (－1,0) (0,1) (1，＋∞)
xf′(x) － ＋ － ＋
f′(x) ＋ － － ＋
f(x) 单调递增 单调递减 单调递减 单调递增
故函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)，单调递减区间为(－1,1)．
故函数f(x)的图象是C选项中的图象．
故选C.
4. 若函数f(x)＝－x2＋4x＋bln x在区间(0，＋∞)上是减函数，则实数b的取值范围是(　　)
A．[－1，＋∞) B．(－∞，－1]
C．(－∞，－2] D．[－2，＋∞)
【解析】∵f(x)＝－x2＋4x＋bln x在(0，＋∞)上是减函数，
∴f′(x)≤0在(0，＋∞)上恒成立，
即f′(x)＝－2x＋4＋≤0，
即b≤2x2－4x，
∵2x2－4x＝2(x－1)2－2≥－2，∴b≤－2.
故选C.
【多选题】
5. 如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，则下列判断正确的是(　　)
A．在区间(－2，1)上f(x)是增函数
B．在区间(2，3)上f(x)是减函数
C．在区间(4，5)上f(x)是增函数
D．在区间(3，5)上f(x)是增函数
【解析】在(4，5)上f′(x)>0恒成立，所以f(x)是增函数．在(2，3)上f′(x)<0恒成立，所以f(x)是减函数．
故选BC.
6. 如果函数f(x)对定义域内的任意两实数x1，x2(x1≠x2)都有>0，则称函数y＝f(x)为“F函数”．下列函数不是“F函数”的是(　　)
A．f(x)＝ex B．f(x)＝x2
C．f(x)＝ln x D．f(x)＝sin x
【解析】依题意，函数g(x)＝xf(x)为定义域上的增函数．
对于A，g(x)＝xex，g′(x)＝(x＋1)ex，
当x∈(－∞，－1)时，g′(x)<0，
∴g(x)在(－∞，－1)上单调递减，故A中函数不是“F函数”；
对于B，g(x)＝x3在R上单调递增，故B中函数为“F函数”；
对于C，g(x)＝xln x，g′(x)＝1＋ln x，
当x∈时，g′(x)<0，
故C中函数不是“F函数”；
对于D，g(x)＝xsin x，g′(x)＝sin x＋xcos x，
当x∈时，g′(x)<0，
故D中函数不是“F函数”．
故选ACD.
【填空题】
7. 若函数f(x)＝ln x＋ex－sin x，则不等式f(x－1)≤f(1)的解集为________．
【解析】f(x)的定义域为(0，＋∞)，
∴f′(x)＝＋ex－cos x.
∵x>0，∴ex>1，∴f′(x)>0，
∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
又f(x－1)≤f(1)，
∴0即1原不等式的解集为(1,2]．
8. 若函数f(x)＝－x3＋x2＋2ax在上存在单调递增区间，则a的取值范围是________．
【解析】对f(x)求导，得f′(x)＝－x2＋x＋2a
＝－2＋＋2a.
由题意知，f′(x)>0在上有解，
当x∈时，f′(x)的最大值为f′＝＋2a.
令＋2a>0，解得a>－，
所以a的取值范围是.
【解答题】
9. 函数f(x)＝(x2＋ax＋b)e－x，若f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为6x－y－5＝0.
(1)求a，b的值；
(2)求函数f(x)的单调区间．
【解析】(1)f′(x)＝(2x＋a)e－x－(x2＋ax＋b)·e－x＝[－x2＋(2－a)x＋a－b]e－x，
∴f′(0)＝a－b，
又f(0)＝b，
∴f(x)在(0，f(0))处的切线方程为y－b＝(a－b)x，
即(a－b)x－y＋b＝0，
∴解得
(2)∵f(x)＝(x2＋x－5)e－x，x∈R，
∴f′(x)＝(－x2＋x＋6)e－x
＝－(x＋2)(x－3)e－x，
当x<－2或x>3时，f′(x)<0；
当－20，
故f(x)的单调递增区间是(－2,3)，
单调递减区间是(－∞，－2)，(3，＋∞)．
10. 讨论函数f(x)＝(a－1)ln x＋ax2＋1的单调性．
【解析】f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝＋2ax＝.
①当a≥1时，f′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
②当a≤0时，f′(x)<0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递减；
③当0则当x∈时，f′(x)<0；
当x∈时，f′(x)>0，
故f(x)在上单调递减，
在上单调递增．
综上，当a≥1时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递减；当011. 已知函数f(x)＝x3＋x2.讨论函数y＝f(x)ex的单调性．
【解析】令g(x)＝f(x)ex＝ex，
所以g′(x)＝ex＋ex
＝x(x＋1)(x＋4)ex.
令g′(x)＝0，解得x＝0，x＝－1或x＝－4，
当x≤－4时，g′(x)<0，g(x)单调递减；
当－40，g(x)单调递增；
当－1当x>0时，g′(x)>0，g(x)单调递增．
综上可知，g(x)在(－∞，－4)和(－1，0)上单调递减，在(－4，－1)和(0，＋∞)上单调递增．
【测能力】
【单选题】
1. 已知a，b∈(0，3)，且4ln a＝aln 4，4ln b＝bln 2，c＝log0.30.06，则(　　)
A.c＜b＜a B.a＜c＜b
C.b＜a＜c D.b＜c＜a
【解析】由已知得＝＝，＝＝，可以构造函数f(x)＝，则f′(x)＝，当x∈(0，e)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；当x∈(e，＋∞)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，又f(a)＝f(2)＝f(4)＞f(b)＝f(16)，结合a，b∈(0，3)，所以b＜a＝2，又c＝log0.30.06＝log0.3(0.2×0.3)＝log0.30.2＋1＞1＋log0.30.3＝2，所以b＜a＜c.
故选C.
2. 若函数h(x)＝ln x－ax2－2x在[1,4]上存在单调递减区间，则实数a的取值范围为(　　)
A. B．(－1，＋∞)
C．[－1，＋∞) D.
【解析】因为h(x)在[1,4]上存在单调递减区间，
所以h′(x)＝－ax－2<0在[1,4]上有解，
所以当x∈[1,4]时，a>－有解，
而当x∈[1,4]时，－＝2－1，
min＝－1(此时x＝1)，
所以a>－1，所以a的取值范围是(－1，＋∞)．
故选B.
3. 设函数f(x)＝cos x＋x2，若a＝f()，b＝f(log52)，c＝f(e0.2)，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．bC．b【解析】由题意可知，
f(－x)＝cos(－x)＋(－x)2
＝cos x＋x2＝f(x)，
所以函数f(x)为偶函数，
所以a＝f()＝f(－log32)＝f(log32)，
又f′(x)＝－sin x＋x，
当x∈时，f′(x)>0，
即f(x)在上单调递增，
因为01＝e0所以由单调性可得b故选A.
4. 已知函数f(x)＝x3＋2x＋sin x，若f(a)＋f(1－2a)>0，则实数a的取值范围是(　　)
A．(1，＋∞) B．(－∞，1)
C． D．
【解析】因为函数f(x)的定义域为R，f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．又f′(x)＝3x2＋2＋cos x>0，所以f(x)在R上单调递增，所以f(a)>f(2a－1)，即a>2a－1，解得a<1.故选B.
【多选题】
5. 若0A．x1＋ln x2>x2＋ln x1 B．x1＋ln x2C． D．
【解析】令f(x)＝x－ln x，
∴f′(x)＝1－＝，
当0∴f(x)在(0,1)上单调递减．
∵0∴f(x2)即x2－ln x2即x1＋ln x2>x2＋ln x1.
设g(x)＝，
则g′(x)＝＝.
当0即g(x)在(0,1)上单调递减，
∵0即，
∴.
故选AC.
6. 下列不等式成立的是(　　)
A．2ln C．5ln 4<4ln 5 D．π>eln π
【解析】设f(x)＝(x>0)，
则f′(x)＝，
所以当00，函数f(x)单调递增；
当x>e时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减．
因为<2所以f 即2ln 因为<所以f()即ln >ln ，故选项B不正确；
因为e<4<5，
所以f(4)>f(5)，即5ln 4>4ln 5，
故选项C不正确；
因为e<π，
所以f(e)>f(π)，即π>eln π，故选项D正确．
故选AD.
【填空题】
7. 函数f(x)＝2sin x－cos 2x，x∈[－π，0]的单调递增区间为________________．
【解析】因为f(x)＝2sin x－cos 2x，x∈[－π，0]，
所以f′(x)＝2cos x＋2sin 2x＝2cos x(1＋2sin x)．
令f′(x)>0，
则或
所以－8. 设函数f(x)＝ln(x＋a)＋x2.若f(x)为定义域上的单调函数，则实数a的取值范围为________．
【解析】∵f(x)为定义域上的单调函数，
∴f′(x)≥0恒成立或f′(x)≤0恒成立，
又f(x)＝ln(x＋a)＋x2的定义域为(－a，＋∞)
且f′(x)＝＋2x，
∴f′(x)≥0恒成立，
即f′(x)＝＋2x≥0在(－a，＋∞)上恒成立，
即[f′(x)]min≥0.
又＋2x＝＋2(x＋a)－2a
≥2－2a＝2－2a，
当且仅当x＝－a＋时，等号成立，
∴2－2a≥0，解得a≤.
【解答题】
9. 已知函数f(x)＝aln x－ax－3(a∈R)．
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)若函数y＝f(x)的图象在点(2，f(2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1,2]，函数g(x)＝x3＋x2·在区间(t,3)上总不是单调函数，求实数m的取值范围．
【解析】(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝，
当a>0时，f(x)的递增区间为(0,1)，递减区间为(1，＋∞)；
当a<0时，f(x)的递增区间为(1，＋∞)，递减区间为(0,1)；
当a＝0时，f(x)为常函数，无单调区间.
(2)由(1)及题意得f′(2)＝－＝1，即a＝－2，
∴f(x)＝－2ln x＋2x－3，f′(x)＝(x>0)．
∴g(x)＝x3＋x2－2x，
∴g′(x)＝3x2＋(m＋4)x－2.
∵g(x)在区间(t,3)上总不是单调函数，
即g′(x)在区间(t,3)上有变号零点．
由于g′(0)＝－2，∴
当g′(t)<0时，即3t2＋(m＋4)t－2<0对任意t∈[1,2]恒成立，
由于g′(0)<0，故只要g′(1)<0且g′(2)<0，
即m<－5且m<－9，即m<－9，
又g′(3)>0，即m>－.
∴－即实数m的取值范围是.
10. 设函数f(x)＝x3－x2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1.
(1)求b，c的值；
(2)若a＞0，求函数f(x)的单调区间；
(3)设函数g(x)＝f(x)＋2x，且g(x)在区间(－2，－1)内存在单调递减区间，求实数a的取值范围．
【解析】(1)f′(x)＝x2－ax＋b，
由题意得即
故b＝0，c＝1.
(2)由(1)得，f′(x)＝x2－ax＝x(x－a)(a＞0)，
当x∈(－∞，0)时，f′(x)＞0；
当x∈(0，a)时，f′(x)＜0；
当x∈(a，＋∞)时，f′(x)＞0，
所以函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，(a，＋∞)，单调递减区间为(0，a)．
(3)g′(x)＝x2－ax＋2，依题意，存在x∈(－2，－1)，使不等式g′(x)＝x2－ax＋2<0成立．
则存在x∈(－2，－1)使－a>－x－成立，
即－a>.
因为x∈(－2，－1)，所以－x∈(1，2)，
则－x－≥2＝2，
当且仅当－x＝－，即x＝－时等号成立，
所以－a>2，则a<－2.
所以实数a的取值范围为(－∞，－2)．
11. 已知二次函数h(x)＝ax2＋bx＋2，其导函数y＝h′(x)的图象如图所示，f(x)＝6ln x＋h(x)．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若函数f(x)在区间上是单调函数，求实数m的取值范围．
【解析】(1)由已知，h′(x)＝2ax＋b，其图象为直线，且过(0，－8)，(4，0)两点，把两点坐标代入h′(x)＝2ax＋b，得解得所以h(x)＝x2－8x＋2，f(x)＝6ln x＋x2－8x＋2.
(2)由(1)得f′(x)＝＋2x－8＝.
因为x>0，所以当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表所示．
x (0，1) 1 (1，3) 3 (3，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) 单调递增 单调递减 单调递增
所以f(x)的单调递增区间为(0，1)和(3，＋∞)，单调递减区间为(1，3)，要使函数f(x)在区间上是单调函数，则解得21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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第三单元第2讲 导数与函数的单调性
讲
讲知识 讲方法
练
练题型 练真题
题型一：不含参的函数的单调性
题型二：含参函数的单调性
题型三：利用单调性比较大小或解不等式
题型四：根据函数的单调性求参数
题型五：构造函数问题
测
测基础 测能力
单选4题 单选4题
多选2题 多选2题
填空2题 填空2题
解答3题 解答3题
一、【讲】
【讲知识】
1．函数的单调性与导数的关系
条件 恒有 结论
函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导 f′(x)>0 f(x)在区间(a，b)上单调递增
f′(x)<0 f(x)在区间(a，b)上单调递减
f′(x)＝0 f(x)在区间(a，b)上是常数函数
2.利用导数判断函数单调性的步骤
第1步，确定函数的定义域；
第2步，求出导数f′(x)的零点；
第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性．
【讲方法】
1.确定不含参的函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤即可，但应注意一是不能漏掉求函数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开．
2.研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．
3. 划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点．
4.根据函数单调性求参数的一般思路
(1)利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集．
(2)f(x)为增(减)函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)，且在(a，b)内的任一非空子区间上，f′(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解．
(3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题．
5.导数关系构造函数的一些常见结构
（1）.对于不等式f′(x)＋g′(x)>0，构造函数F(x)＝f(x)＋g(x).
（2）.对于不等式f′(x)－g′(x)>0，构造函数F(x)＝f(x)－g(x).
特别地，对于不等式f′(x)>k，构造函数F(x)＝f(x)－kx.
（3）.对于不等式f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，构造函数F(x)＝f(x)·g(x).
（4）.对于不等式f′(x)g(x)－f(x)g′(x)>0，构造函数F(x)＝.
（5）.对于不等式xf′(x)＋nf(x)>0，构造函数F(x)＝xn·f(x).
（6）.对于不等式f′(x)＋f(x)>0，构造函数F(x)＝ex·f(x).
（7）.对于不等式f′(x)＋kf(x)>0，构造函数F(x)＝ekx·f(x).
二、【练】
【练题型】
【题型一】不含参的函数的单调性
【典例1】函数f(x)＝x2－2ln x的单调递减区间是(　　)
A．(0,1) B．(1，＋∞)
C．(－∞，1) D．(－1,1)
【典例2】函数f(x)＝x＋2的单调递增区间是(　　)
A．(0,1) B．(－∞，1)
C．(－∞，0) D．(0，＋∞)
【典例3】已知定义在区间(0，π)上的函数f(x)＝x＋2cos x，则f(x)的单调递增区间为________．
【题型二】含参函数的单调性
【典例1】已知函数f(x)＝ax2－(a＋1)x＋ln x，a>0，试讨论函数y＝f(x)的单调性.
【典例2】讨论函数f(x)＝－x＋aln x的单调性.
【题型三】 利用单调性比较大小或解不等式
【典例1】已知函数f(x)＝xsin x，x∈R，则f ，f(1)，f 的大小关系为(　　)
A．f >f(1)>f
B．f(1)>f >f
C．f >f(1)>f
D．f >f >f(1)
【典例2】已知函数f′(x)是函数f(x)的导函数，f(1)＝，对任意实数都有f(x)－f′(x)>0，设F(x)＝，则不等式F(x)<的解集为(　　)
A．(－∞，1) B．(1，＋∞)
C．(1，e) D．(e，＋∞)
【典例3】在R上可导的函数f(x)的图象如图所示，则关于x的不等式xf′(x)<0的解集为(　　)
A．(－∞，－1)∪(0，1)
B．(－1，0)∪(1，＋∞)
C．(－2，－1)∪(1，2)
D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
【题型四】根据函数的单调性求参数
【典例1】若函数f(x)＝ax3＋x恰有3个单调区间，则a的取值范围为________．
【典例2】已知函数f(x)＝ln x－ax2－2x(a≠0)在[1,4]上单调递减，则a的取值范围是________．
【典例3】已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝ax2＋2x(a≠0)．
(1)若函数h(x)＝f(x)－g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围；
(2)若函数h(x)＝f(x)－g(x)在[1，4]上单调递减，求a的取值范围．
【题型五】构造函数问题
【典例1】f(x)为定义在R上的可导函数，且f′(x)＞f(x)，对任意正实数a，下列式子一定成立的是(　　)
A.f(a)＜eaf(0) B.f(a)＞eaf(0)
C.f(a)＜ D.f(a)＞
【典例2】已知偶函数f(x)(x≠0)的导函数为f′(x)，且满足f(－1)＝0，当x＞0时，2f(x)＞xf′(x)，则使得f(x)＞0成立的x的取值范围是________.
【典例3】(多选)已知定义在上的函数f(x)，f′(x)是f(x)的导函数，且恒有cos xf′(x)＋sin xf(x)＜0成立，则(　　)
A.f＞f
B.f＞f
C.f＞f
D.f＞f
【练真题】
【真题1】（2019·高考全国卷Ⅲ）已知函数f(x)＝2x3－ax2＋2.讨论f(x)的单调性．
【真题2】（2021·新高考全国Ⅱ）写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x)：________.
①f(x1x2)＝f(x1)f(x2)；
②当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0；
③f′(x)是奇函数．
【真题3】（2023·山师附中质检）若幂函数f(x)的图象过点，则函数g(x)＝的单调递增区间为(　　)
A．(0,2)
B．(－∞，0)∪(2，＋∞)
C．(－2,0)
D．(－∞，－2)∪(0，＋∞)
【真题4】（2023·安徽省泗县第一中学质检）函数f(x)＝在(a，a＋1)上单调递增，则实数a的取值范围为________．
【真题5】（2020·深圳调研）设函数f(x)＝x2－9ln x在区间[a－1，a＋1]上单调递减，则实数a的取值范围是________．
【真题6】（八省联考）已知a<5且ae5＝5ea，b<4且be4＝4eb，c<3且ce3＝3ec，则(　　)
A．cC．a【真题7】（2022·石家庄一模）若ln x－ln y＜－(x＞1，y＞1)，则(　　)
A.ey－x＞1 B.ey－x＜1
C.ey－x－1＞1 D.ey－x－1＜1
【真题8】（2021·东北三校第一次联考）已知函数f(x)＝(x＋1)ln(x＋1)－ax2－x(a∈R)．设f′(x)为函数f(x)的导函数，求函数f′(x)的单调区间．
三、【测】
【测基础】
【单选题】
1. 函数f(x)＝xln x＋1的单调递减区间是(　　)
A. B.
C. D．(e，＋∞)
2. 已知函数f(x)＝x(ex－e－x)，则f(x)(　　)
A．是奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减
B．是奇函数，且在(0，＋∞)上单调递增
C．是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减
D．是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增
3. 已知函数y＝xf′(x)的图象如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)．下面四个图象中y＝f(x)的图象大致是(　　)
4. 若函数f(x)＝－x2＋4x＋bln x在区间(0，＋∞)上是减函数，则实数b的取值范围是(　　)
A．[－1，＋∞) B．(－∞，－1]
C．(－∞，－2] D．[－2，＋∞)
【多选题】
5. 如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，则下列判断正确的是(　　)
A．在区间(－2，1)上f(x)是增函数
B．在区间(2，3)上f(x)是减函数
C．在区间(4，5)上f(x)是增函数
D．在区间(3，5)上f(x)是增函数
6. 如果函数f(x)对定义域内的任意两实数x1，x2(x1≠x2)都有>0，则称函数y＝f(x)为“F函数”．下列函数不是“F函数”的是(　　)
A．f(x)＝ex B．f(x)＝x2
C．f(x)＝ln x D．f(x)＝sin x
【填空题】
7. 若函数f(x)＝ln x＋ex－sin x，则不等式f(x－1)≤f(1)的解集为________．
8. 若函数f(x)＝－x3＋x2＋2ax在上存在单调递增区间，则a的取值范围是________．
【解答题】
9. 函数f(x)＝(x2＋ax＋b)e－x，若f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为6x－y－5＝0.
(1)求a，b的值；
(2)求函数f(x)的单调区间．
10. 讨论函数f(x)＝(a－1)ln x＋ax2＋1的单调性．
11. 已知函数f(x)＝x3＋x2.讨论函数y＝f(x)ex的单调性．
【测能力】
【单选题】
1. 已知a，b∈(0，3)，且4ln a＝aln 4，4ln b＝bln 2，c＝log0.30.06，则(　　)
A.c＜b＜a B.a＜c＜b
C.b＜a＜c D.b＜c＜a
2. 若函数h(x)＝ln x－ax2－2x在[1,4]上存在单调递减区间，则实数a的取值范围为(　　)
A. B．(－1，＋∞)
C．[－1，＋∞) D.
3. 设函数f(x)＝cos x＋x2，若a＝f()，b＝f(log52)，c＝f(e0.2)，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．bC．b4. 已知函数f(x)＝x3＋2x＋sin x，若f(a)＋f(1－2a)>0，则实数a的取值范围是(　　)
A．(1，＋∞) B．(－∞，1)
C． D．
【多选题】
5. 若0A．x1＋ln x2>x2＋ln x1 B．x1＋ln x2C． D．
6. 下列不等式成立的是(　　)
A．2ln C．5ln 4<4ln 5 D．π>eln π
【填空题】
7. 函数f(x)＝2sin x－cos 2x，x∈[－π，0]的单调递增区间为________________．
8. 设函数f(x)＝ln(x＋a)＋x2.若f(x)为定义域上的单调函数，则实数a的取值范围为________．
【解答题】
9. 已知函数f(x)＝aln x－ax－3(a∈R)．
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)若函数y＝f(x)的图象在点(2，f(2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1,2]，函数g(x)＝x3＋x2·在区间(t,3)上总不是单调函数，求实数m的取值范围．
10. 设函数f(x)＝x3－x2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1.
(1)求b，c的值；
(2)若a＞0，求函数f(x)的单调区间；
(3)设函数g(x)＝f(x)＋2x，且g(x)在区间(－2，－1)内存在单调递减区间，求实数a的取值范围．
11. 已知二次函数h(x)＝ax2＋bx＋2，其导函数y＝h′(x)的图象如图所示，f(x)＝6ln x＋h(x)．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若函数f(x)在区间上是单调函数，求实数m的取值范围．
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