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淮安市 2022~2023 学年度第二学期期末调研测试
高一数学参考答案
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
1.C 2.A 3.D 4.B 5.A 6.D 7.D 8.B
二、选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求。全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分。
9.ACD 10.BCD 11.AC 12.BCD
三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
3 1 3
13. 30 14. 15. 3 16. ；
4 2 4
四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1） z1 z2 = (2 + ai)(1 i) = 2 + a + (a 2)i ， … 2 分
z1 z2 为纯虚数， 2 + a = 0， a 2 0， a = 2 . … 5 分
（2） z1 + 2z2 = 2 + ai + 2 2i ，由 z1 + 2z2 为实数知a 2 = 0， a = 2， … 7 分
z | z | 2 2
此时 z1 = 2 + 2i . |
1 |= 1 = = 2 . … 10 分
z2 | z2 | 2
z1 z1
（若计算 = 2i 后求得 | |= 2，参照给分）
z2 z2
18．
（1） 底面 ABCD为正方形， BD ⊥ AC . PA⊥平面 ABCD， BD 平面 ABCD，
PA⊥ BD . … 3 分
又 BD ⊥ AC , PA AC = A , PA 平面 PAC ， AC 平面PAC ，
BD ⊥平面 PAC . … 6 分
（2） BC / / , BC 平面 PBC ，平面 平面 PBC = EF ， BC / /EF . … 9 分
同理有 BC / /GH ， EF / /GH . … 12 分
12
19．（1） , cos = 1 sin
2 = ， … 2 分
2 13
2 7 2 7 2
cos( ) = (cos + sin ) = = = … 4 分
4 2 13 2 26
3 3
（2）由题意 + ( , )，则有 cos( + ) = 1 sin2 ( + ) = . … 8 分
2 2 5
2 17 2
sin( ) = (sin cos ) = . … 10 分
4 2 26
第 1 页
{#{QQABAYIUgggIABAAAAACQwGACAOQkhGCAAgGRFAQsEAByBFABAA=}#}

cos( + ) = cos(( + ) ( )) = cos( + ) cos( ) + sin( + ) sin( )
4 4 4 4
3 7 2 4 17 2 89 2
= ( ) + = … 12 分
5 26 5 26 130
20．
（1）根据频率直方图可估计平均数 x 为：
x = (5 0.02 +15 0.02 + 25 0.03+ 35 0.02+ 45 0.01) 10 = 23． … 3 分
0.1 70
根据频率直方图可估计中位数为： 20 + 10 = … 5 分
0.3 3
（2）由频率直方图知：未存活龙虾苗重量在 (30,40 的养殖户有4个，记为 A, B,C, D ；
未存活龙虾苗重量在 (40,50 的养殖户有2个，记为 a,b； … 8 分
从“重点帮扶养殖户”中随机抽取两个，则有 AB ， AC ， AD ， Aa ， Ab， BC ，BD，
Ba ， Bb ，CD，Ca ，Cb ， Da， Db， ab，共15种情况；
其中有且仅有一个“重点帮扶养殖户”在 (40,50 的情况有 Aa ， Ab， Ba ， Bb ，Ca ，
Cb ， Da， Db，共8种情况；
8
所以所求概率 P = . … 12 分
15
21．（1）取 AD 中点O，连接 BO,CO, PO .由侧面 PAD 为正三角形知PO ⊥ AD ，又 平
面 PAD ⊥平面 ABCD， PO 平面PAD ，平面 PAD 平面 ABCD = AD ， PO ⊥平面
ABCD . BC 平面 ABCD , PO ⊥ BC . … 3 分
1
在底面 ABCD中，OD = AD =1,CD = 3, OC = 10 .同理有 P
2
OB = 5 .易知BC = 5 .由勾股定理知OB2 + BC2 = OC2 ，即 D C
BC ⊥OB .又 PO ⊥ BC, PO 平面POB,OB 平面 POB
O
PO OB =O， BC ⊥平面 POB ，
A B
PB 平面 POB, BC ⊥ PB . … 6 分
（2）在 POB 中， PO = 3,OB = 5, PB = PO2 +OB2 = 2 2 ，BC = 5 ， S PBC
1 1 1 1
= PB BC = 5 2 2 = 10 . S BCD = CD AD = 2 3 = 3 . … 9 分
2 2 2 2
1 1
VP BCD = PO S BCD = 3 3 = 3.设 D 到平面PBC 距离为 d ，
3 3
1 3 30
VP BCD =VD PBC = d S PBC ， d = .
3 10
第 2 页
{#{QQABAYIUgggIABAAAAACQwGACAOQkhGCAAgGRFAQsEAByBFABAA=}#}
d 30
设CD与平面 PBC 所成角为 ，则 sin = = . … 12 分
CD 10
2 2 2 6
22．（1）由正弦定理知 5c2 5a2 = 6bc 5b2 ，即 b + c a = bc ，由余弦定理知
5
b2 + c2 2
6 3
a = 2bccos A = bc cos A = … 2 分
5 5

（2）在锐角 ABC 中，有C ， B = A C ，则C A，
2 2 2
3
tan C tan( A) = … 4 分
2 4
b sinB sin(A +C) sin A 4 3 5
= = = + cos A = +
c sin C sin C tan C 5tan C 5 3
b 3 b 3 5
tanC 0， ， ( , ) … 6 分
c 5 c 5 3
a2 + b2 2b2 + c2 2bccos A 5 b c 3
= = (2 + )
2S bcsin A 4 c b 2
b 3 5 2b2 + c2 b c 1 5 3
设 = x ，则 x ( , ) 则 = 2 + = 2x + ， x ( , ) ， … 8 分
c 5 3 bc c b x 3 5
1 3 5 3 2 2 5
令 f (x) = 2x + ， x ( , ) . f (x) 在 ( , ) 上单调递减，在 ( , ) 上单调递增.
x 5 3 5 2 2 3
2 3 5 3 43 5 59
f (x) = f ( ) = 2 2 ， f (x)max = max f ( ), f ( ) f ( ) = , f ( ) =min ， 又 ，
2 5 3 5 15 3 15
59 a2 + b2 5 2 3 41
f (x) [2 2, ) ，故 [ , ) … 12 分
15 2S 2 12
第 3 页
{#{QQABAYIUgggIABAAAAACQwGACAOQkhGCAAgGRFAQsEAByBFABAA=}#}淮安市 2022~2023 学年度第二学期期末调研测试
高一数学试题 2023.06
注 意 事 项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1．本试卷共 4 页，共 150 分。考试时间 120 分钟。考试结束后，只要将答题卡交回。
2．答题前，请务必将自己的学校、姓名、考 试号用 0.5 毫米黑色签字笔填写在答题卡上，
并用 2B 铅笔将答题卡上考试号对应数字框涂黑，如需改动，请用橡皮擦干净后，再
正确填涂。
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、考试证号与你本人的是否相符。
4．所有试题的答案全部在答题卡上作答。
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
1． 若复数Z 满足方程 2Z +1= 0（ i 是虚数单位），则Z =
A．1 B． i C． i D． i
2． 今年全国两会上，“大兴调查研究之风”写入政府工作报告.某地为实现乡村生态振兴，
走乡村绿色发展之路，决定采用分层抽样的方式从甲村、乙村、丙村抽取部分村民参
与环保调查研究.已知甲村、乙村、丙村人数之比是 5:2:3，被抽到的参与环保调查研
究的村民中，甲村的人数为 40 人，则参加调查研究的总人数是
A．80 B．800 C．100 D．60
3．下列各组向量中，可以作为基底的是
1 3
A． e1 = (0,0)， e2 = (1,2) B． e1 = (2, 3) ， e2 = ( , ) 2 4
C． e1 = (3,4) ， e2 = ( 6, 8) D． e1 = ( 2,1)， e2 = (1,2)
4． 随着网络技术的发达，电子支付变得愈发普遍.已知某群体的成员，只用现金支付的概
率为 0.05，既用现金支付也用非现金支付的概率为 0.1，则不用现金支付的概率为
A．0.9 B．0.85 C．0.95 D．0.8
5． 在 ABC 中，边长 c = 6, A =105 , B = 45 ，则 ABC 的外接圆的面积是
A． 6 B． 24 C． 2 6 D． 4 6
6． 已知一个古典概型，其样本空间中共有 12 个样本点，其中事件 A 有 6 个样本点，事
件 B 有 4 个样本点，事件 A+ B 有 8 个样本点，则下列说法正确的是
1
A．事件 A与事件 B 互斥 B． P(B) =
3
C． P(AB) P(AB) D．事件 A与事件 B 相互独立
7． 若 sin = 2cos10 cos(20 )， (0 ,180 ) ，则 =
A． 50 B． 60 C． 70 D．80
高一数学试题（第 1 页 共 4 页）
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2 1
8． 在正四棱锥 P ABCD中，若PE = PB, PF = PC ，平面 AEF 与棱 PD交于点G ，则
3 3
四棱锥 P AEFG 与四棱锥 P ABCD的体积比为
7 8 7 4
A． B． C． D．
46 45 45 45
二、选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求。全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分。
9． 下列结论中正确的有
A．为了检验某种产品的质量，决定从 1001 件产品中抽取 10 件进行检查，用随机数
法抽取样本的过程中，所编的号码的位数最少是 4 位
B．若数据 k1,k2 , ,k8 的平均数为 2，方差为 3，则数据 2k1 + 3,2k2 + 3, ,2k8 + 3的平
均数为 7，方差为 6
C．在某频率直方图中，从左到右共有 9 个小矩形，若居中的那个小矩形的面积等于
1
其他 8 个小矩形的面积和的 ，且样本容量为 160，则居中的那组数据的频数为 16
9
D．已知一组数据 2,6,8,3,3,4,6,8，则这组数据众数为 3,6,8，中位数为 5
10． 在平行四边形 ABCD中，AB = 2BC = 2, DAB = 60 ，E 为 AB 中点，F 为CE 中点，
延长 DF 交 BC 于点 M ，则
3 1 3
A． DF = AB AD B． AC (EB + BM )
4 4 2
1 47
C． (2DF AB) ⊥ MC D． AF AM =
2 12
11．棱长为 2 的正方体 ABCD A1B1C1D1中，点 E, F ,G 分别是棱 A1D1, A1B1,CC1的中点.则下
列说法正确的有
A．CD1 ⊥平面 AB1D
B． A1D 与 AC1所成的角为 60
C．平面 EFG 截正方体 ABCD A1B1C1D1的截面形状是五边形
D．点 P 在平面 BB1C1C 内运动，且CP 平面 BEF ，则 BP 的最小值为 2
12． 在 ABC 中， D, E 为线段 BC 上的两点，且 BD = EC ,下列结论正确的是
A． AB AC AD AE
．若 2 2 2 2B AB + AD = AE + AC ，则 AB = AC
1
C．若 BD = DE = AD ， BAC = ，则 ACB =
2 3 6
3 3
D．若 BD = DE =1, BAD= EAC = ，则 ABC 的面积是
6 4
三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．已知淮安最近 10 天每天的最高气温（单位： C ）分别为 31，26，28，25，24，28，
26，30，27，30，则这 10 天平均气温的上四分位数为 ▲ C .
14．复数 2 + i 与复数1 3i 在复平面内对应的点分别为 A、B，若 O 为坐标原点，则钝角
AOB的大小为 ▲ .
高一数学试题（第 2 页 共 4 页）
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15．在古代数学中，把正四棱台叫做“方亭”，数学家刘徽用切割的方法巧妙地推导出了
1 2
“方亭”的体积公式V = (a + ab + b
2 )h，a 为方亭的下底面边长，b 为上底面边长，
3
h为高.某市为改善城市形象，决定开挖一条笔直的景观河道，该河道横截面为等腰梯
形，上底为 80 米，下底为 40 米，开挖深度 10 米，河道长度10.98千米.同时在沿岸修
葺 30 座亭台、楼阁，它们的地基都设计为同样大小的“方亭”结构，为了便于施工，
决定使用开挖河道产生土方的1% 修筑地基.已知设计“方亭”地基的下底面边长为30
米，上底面边长为 24米，则“方亭”地基的高为 ▲ 米.
tan A
16．在 ABC 中，角 A, B,C 的对边为 a,b,c , AB AC = 2BA BC ，则 = ▲ ，
tan B
a2
若 ABC 的面积为 ，则 B = ▲ .
4
四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．(10 分)
设复数 z1 = 2 + ai (a R) ， z2 =1 i ， i 为虚数单位.
（1）若 z a1 z2为纯虚数，求 的值；
z
（2）若 z + 2z 为实数，求 |
1 |
1 2 . z2
18．(12 分)
如图，四棱锥 P ABCD的底面 ABCD为正方形， PA⊥平面 ABCD .
（1）求证： BD ⊥平面 PAC ；
（2）平面 BC ，平面 交平面 PBC 于 EF ，交底面 ABCD于GH .求证： EF GH .
P
F
D C
G
E
A H B
19．(12 分) （第 18 题图）
5 4
已知 sin = ,sin( + ) = ,0 .
13 5 2

（1）求 cos( ) ；
4

（2）求 cos( + ) .
4
高一数学试题（第 3 页 共 4 页）
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20．(12 分)
为全面贯彻落实习近平总书记“把周总理的家乡建设好，很有象征意义”的殷切嘱托，
近年来，淮安加快建设稻米、小龙虾、规模畜禽、螃蟹、特色蔬菜五大产业集群，小龙虾
产业获批国家优势特色产业集群，创成以小龙虾为主导的国家现代农业产业园、特色农产
品优势区.为了进一步扩大产业规模，某村农业综合服务中心决定对 20 户养殖户进行技术
帮扶，每户配发同样重量的龙虾苗，经过一段时间的养殖后，根据这 20 户未存活的龙虾苗
重量（单位：公斤）绘制如下频率直方图，未存活重量超过 30 公斤的养殖户，列为“重点
帮扶养殖户”.
频率/组距
0.03
0.02
0.01
O 10 20 30 40 50 未存活虾苗重量（公斤）
(1)根据频率直方图估计这 20 户的未存活龙虾苗的平均数和中位数；
(2)现从“重点帮扶养殖户”中随机抽取两户调查其养殖情况，求抽出来的养殖户中恰有一
户未存活龙虾苗重量在(40，50]的概率.
21．(12 分)
如图，在四棱锥 P ABCD中，侧面 PAD 为正三角形，底面 ABCD为直角梯形，
AB = AD = 2,CD = 3， ADC = BAD = 90 ，平面 PAD ⊥平面 ABCD .
（1）求证： PB ⊥ BC ； P
（2）求CD与平面 PBC 所成角的正弦值.
D C
A B
（第 21 题图）
22．(12 分)
在 ABC 中，角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c ， ABC 的面积为 S ，且有
5csin C 5asin A = sin B(6c 5b) .
（1）求 cos A；
a2 + b2
（2）若 ABC 是锐角三角形,并求 的取值范围.
2S
高一数学试题（第 4 页 共 4 页）
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