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第九章 静电场及其应用
10.5.2带电粒子在复合场或交变电场中的运动
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contents
带电粒子在复合场中的运动
01
02
带电粒子在交变电场中的运动
新课导入
带电粒子在复合场中的运动
01
| 带电粒子(带电体)在复合场的运动
题型
　　带电粒子在复合场中的运动指带电粒子在运动过程中同时受到几个场力作用而做的运动。常见的是带电粒子同时受到重力和静电力的作用。研究时,常用以下两种方法:
1.力和运动的关系分析法
　　根据带电粒子受到的合外力,用牛顿第二定律求出加速度,结合运动学公式确定带电粒子的速度、位移等。这条线索通常适用于恒力作用下带电粒子做匀变速运动的情况。分析时具体有以下两种方法:
(1)正交分解法
　　处理这种运动的基本思想与处理偏转运动的思想类似,将复杂的运动分解为两个互相正交的比较简单的直线运动,然后按运动合成的观点去求解复杂运动的有关物理量。
(2)等效“重力”法
所谓等效“重力”法是指:将重力与静电力进行合成,如图甲所示,则F合为“等效重力场”中的“重力”,a=? 为“等效重力加速度”,F合的方向等效为“重力”的方向,即在“等效重力场”中的“竖直向下”方向。
??????
　　带电粒子在匀强电场与重力场组成的复合场中做圆周运动的问题是一类重要而典型的题型。对于这类问题,常采用等效“重力”法求解。如在“等效重力场”中做圆周运动的带电小球,能维持圆周运动的条件是能过“最高点”,在“最高点”有F合=? 。注意这里的“最高点”不一定是几何最高点,而是物理最高点(如图乙)。
2.功能关系分析法
　　从功能观点出发分析带电粒子的运动问题时,在对带电粒子受力情况和运动情况进行分析的基础上,考虑运用恰当的规律解题。对受变力作用的带电体的运动,必须借助能量的观点来处理。
(1)如果选用动能定理解题,要分清有几个力做功,做正功还是负功,是恒力做功还是变力做功,以及初、末状态的动能。分析时注意静电力做功与路径无关。
(2)如果选用能量守恒定律解题,要分清有多少种形式的能参与转化,哪种能量增加,哪种能量减少,且增加量等于减少量。
【例题】如图,水平地面上固定有一倾角为θ=37°的绝缘光滑斜面,在地面上方的空间中有一方向水平向左的匀强电场。另有一半径为R=0.6 m的四分之三绝缘光滑圆弧轨道竖直固定在匀强电场中,其最高点为A。一质量为m=0.4 kg、电荷量大小为q=2.0×10-4 C且可视为质点的小球从斜面底端以初速度v0=2.4 m/s沿斜面向上做匀速直线运动【1】,小球离开斜面后运动到最高点时【2】,恰好从圆弧轨道的最高点A进入圆弧轨道内侧运动而不脱离轨道。重力加速度g=10 m/s2,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,不计空气阻力。求:
(1)匀强电场的场强大小;
(2)小球离开斜面后上升到最高点时的速度大小;
(3)小球在圆弧轨道内侧运动时对轨道的最大压力的大小。
信息提取
【1】小球所受合力为零,结合匀强电场的方向可判断出小球所受电场力水平向右,可知小球带负电。
【2】离开斜面后小球做斜上抛运动,运动到最高点时小球竖直方向的分速度等于零。
思路点拨????解答本题要抓住三个过程:
第一个过程:小球在斜面上做匀速直线运动,结合平衡条件【3】得出电场力的大小,进而计算出场强的大小。
第二个过程:离开斜面后至上升到最高点,利用运动的合成与分解【4】,分别对小球在水平和竖直方向的运动进行分析。
第三个过程:小球在圆弧轨道内运动,分析电场力与重力的合力方向(等效“重力”方向),当小球到达等效最低点时,速度最大,对轨道的压力最大。利用动能定理【5】求出小球在等效最低点的速度,根据牛顿第二定律【6】计算出轨道对小球的最大支持力。
解析????(1)小球沿斜面向上匀速运动时,受力如图甲所示(由【1】得到)
电场力F=mg tan θ(由【3】得到)
故场强大小E=?=?=1.5×104 N/C
??????
(2)小球离开斜面后,在竖直方向上以初速度vy做竖直上抛运动,在水平方向上以初速度vx做
匀加速运动,如图乙。(由【4】得到)
小球离开斜面后,上升到最高点时竖直分速度为0,有0-vy=0-v0 sin θ=-gt(由【2】得到)
水平方向有qE=ma
在最高点时水平速度v=vx+at=v0 cos θ+at
解得小球在最高点时的速度大小v=3 m/s
(3)小球从A点进入圆弧轨道后,运动到等效最低点B时速度最大,从A点运动到B点的过程,有
mgR(1+cos θ)+qER sin θ=?m?-?mv2(由【5】得到)
解得vm=6 m/s
?
小球经过等效最低点B时对轨道压力最大,有N-mg cos θ-qE sin θ=m?(由【6】得到)
代入数据,求得N=29 N
由牛顿第三定律可得,小球对轨道的最大压力大小Fm=N=29 N
答案????(1)1.5×104 N/C????(2)3 m/s????(3)29 N
素养解读????本题以小球在重力场和电场组成的复合场中的运动为素材,考查小球多过程运
动问题,涉及直线运动、斜抛运动、圆周运动等,解题的关键是建立小球的运动学模型,选
择恰当的物理规律,体现科学思维核心素养。
直线运动
BD
A.此液滴带正电
B.液滴做加速度大小为 2g 的匀加速直线运动
C.合外力对液滴做的总功等于零
D.液滴的电势能减少
?
【例题】 （多选）如图所示，一带电液滴（重力不能忽略）在水平向左的匀强电场中，从静止开始由 b 点沿直线运动到 d 点，且 bd 与竖直方向所夹的锐角为 45? ，重力加速度为 g .下列结论正确的是( )
?
a=Fm=2g ，做匀加速直线运动，B正确；由于液滴从静止开始做加速运动，故合力的方向与运动的方向相同，合外力对液滴做正功，C错误；电场力所做的功为 W电=Eqxbdcos?45?>0 ，故电场力对液滴做正功，液滴的电势能减少，D正确.
?
&1解析:带电液滴沿直线由 b 点运动到 d 点，则带电液滴所受重力与电场力的合力一定与其运动方向在同一直线上，液滴受力情况如图所示，则电场力方向水平向右，与场强方向相反，所以此液滴带负电，A错误；由图可得，液滴所受合力 F=2mg ，故液滴的加速度大小
?
【例题】 如图所示，空间中存在水平向左的匀强电场，电场强度为 E ，现有一质量为 m 、电荷量为 q 的带正电小球以初速度 v0 竖直向上抛出，当途经最高点时小球的速度大小也为 v0 ，不计空气阻力，重力加速度大小为 g ，下列说法正确的是( )
?
D
A.该电场强度大小 E=mg2q
B.该运动过程所用的时间为 2v0g
C.小球在运动过程中的最小速度为 v02
D.小球再次到达与初始位置等高的点时前进的位移大小为 2v02g
?
类抛体运动(类平抛、类斜抛)
&6& 解析：小球在水平方向上做初速度为零、加速度大小为 qEm 的匀加速运动，竖直方向上做初速度为 v0 、加速度大小为 g 的匀减速运动（竖直上抛运动），到达最高点时，竖直方向速度减为零，有 t=v0g ，故B错误；至最高点时水平速度为 v0 ，有 vx=v0=qEmt ，解得 E=mgq ，故A错误；由于 qE=mg ，小球水平方向加速度大小也为 g ，则小球合速度 v=vx2+vy2 ，整理可得 v2=v02?2v0gt+2g2t2 ，当 t=v02g 时，有 vmin2=12v02 ，可得 vmin=22v0 ，故C错误；小球到达与初位置等高点时，所用时间 t′=2t=2v0g ，此时水平位移为 x=12axt′2=2v02g ，故D正确.
?
带电粒子在交变电场中的运动
02
1.交变电场
在两个相互平行的金属板间加交变电压,两板之间便可出现交变电场。此类电场从空间上看是匀强电场,即同一时刻电场中各个位置的电场强度的大小、方向都相同;从时间上看是变化的电场,即电场强度的方向随时间变化。常见的产生交变电场的电压波形有方形波、锯齿波、正弦波等。(当带电粒子通过电场的时间远远小于电场变化的周期时，可认为电场强度的大小、方向都不变。)
2.常见的模型特点
(1)粒子做单向或往返直线运动
　　带电粒子在交变电场中的直线运动,一般是加速、减速交替出现的多过程运动。解决的方法是分析清楚其中一个完整的过程,有时也可借助v-t图像进行运动过程分析,找出各个过程中的重要物理量间的关系,进行归纳、推理,从而发现其运动规律,再进行分段处理求解。要注意释放位置的不同造成的运动状态的差异。
| 带电粒子在变化电场中的运动
定点
　　如图甲,若带正电的粒子静止在M、N两板正中位置,在t=0时刻加上图乙所示的电场,则0~?时间内,粒子向右做匀加速运动;?~?时间内向右做匀减速运动;?~?时间内向左做匀加速运动,? ~T时间内向左做匀减速运动,运动过程中加速度大小均相等,T时刻粒子回到原位置。粒子将做往复运动。若在?时刻加上电场,粒子将一直向左运动。
(2)粒子做偏转运动
一般根据交变电场特点分段研究。解决的方法是应用运动的合成与分解知识,把曲线运动分解为两个方向的直线运动,再分别利用直线运动的规律加以解决。
3.一般方法
(1)带电粒子在交变电场中的运动涉及力学和电学知识,由于不同时段粒子的受力不同,运动状态不同,处理起来较为复杂,但实际仍可从力学角度分析。解决该类问题需要进行受力分析和运动状态分析,应用力学和电学的基本规律定性、定量分析和求解。
(2)对于一个复杂的运动,可以将其看成是几个分运动合成的。某一方向的分运动不会因其他分运动的存在而受到影响。?
t/×10-2s
【例题】如图甲所示，在两块相距d=50 cm的平行金属板A、B间接上U=100 V的矩形交变电压（如图乙）。在t=0时刻，A板电压刚好为正，此时正好有质量m=10-17 kg，电量q=10-16 C的带正电微粒从A板由静止开始向B板运动，不计微粒重力，求在t=0.04 s时，微粒离A板的水平距离是多少？
0
t/s
v
0.04
0.02
【例题】有一个电子原来静止于平行板电容器的中间，设两板的距离足够大，今在t=0开始在两板间加一个交变电压，使得该电子在开始一段时间内的运动的v—t图线如图甲所示，则该交变电压可能是图乙中的哪些（ ）
图甲
A
【例题】如图所示，A、B两导体板平行放置，在t＝0时将电子从A板附近由静止释放(电子的重力忽略不计).分别在A、B两板间加四种电压，它们的UAB－t图线如下列四图所示. 能使电子到达B板的是( 　　)
ACD
【例题】如图所示，在P板附近有一电子由静止开始向Q板运动，则关于电子在两板间的运动情况，下列叙述正确的是：( )
A.两板间距越大，加速的时间越长
B.两板间距离越小，加速度就越大， 则电子到达Q板时的速度就越大
C.电子到达Q板时的速度与板间距离无关，仅与加速电压有关
D.电子的加速度和末速度都与板间距离无关
U
P
Q
F
AC
【例题】如图所示,水平放置的A、B两平行金属板相距为d,现有质量为m,电量为-q的小球,从距A板高h处自由下落,通过小孔C进入电场,但没能到达B板,求AB间电势差的最小值.
解：对全过程应用动能定理，
得 mg(h+d)-qUmin=0
解得：Umin=
【例题】如图所示，A、B为平行金属板，两板相距d，分别与电源两极相连，两板的中央各有一个小孔M、N。今有一带电质点，自A板上方相距为d的P点由静止自由下落（P、M、N在同一竖直线上），空气阻力不计，到达N孔时速度恰好为零，然后沿原路返回，若保持两板板间的电压不变，则（ ）
A、把A板向上平移一小段距离，质点自P点自由下落仍能返回
B、把A板向下平移一小段距离，质点自P点自由下落后将穿过N孔继续下落
C、把B板向上平移一小段距离，质点自P点自由下落仍能返回
D、把B板向下平移一小段距离，质点自P点自由下落后将穿过N孔继续下落
P
M
N
A
B
d
d
ACD
P
M
N
A
B
d
d
mg
Eq
mg
从P到N的过程中
由动能定理得：
mg2d-Eqd=0
mg2d-Uq=0
当A板下移，从P到N的过程中，同理
质点到N点时，速度刚好为零。
B、把A板向下平移一小段距离，质点自P点自由下落后将穿过N孔继续下落
所以，仍能返回
P
M
N
A
B
d
d
从P到N的过程中由动能定理得：
h
mg(2d+h)
mvN2
1
2
-Uq
=
-0
vN＞0
将穿过N孔继续下落
D、把B板向下平移一小段距离，质点自P点自由下落后将穿过N孔继续下落
答案：ACD
感谢您的耐心聆听
I'd like to finish by saying how grateful I am for your attention.

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