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人教九上数学同步精品课件
人教版九年级上册
21.2.1 配方法（第2课时）
学习目标
1.理解配方法的概念.
2.掌握用配方法解一元二次方程及解决有关问题.
3.探索直接开平方法和配方法之间的区别和联系.
复习引入
用直接开平方法解下列方程：
(1)2x2-50=22 (2)(x+1)2=25
解：(1)2x2=72
x2=36
x=±6
x1=6，x2=-6.
(2)(x+1)2=25
x+1=±5
x1=4,x2=-6.
a2+2ab+b2=_________；
a2-2ab+b2=_________.
复习引入
完全平方公式：
(a+b)2
(a-b)2
填上适当的数或式,使下列各等式成立.
(1)x2+6x+___=(x+3)2
(2)x2+8x+___=(x+4)2
(3)x2-4x+___=(x____)2
32
42
22
-2
互动新授
探究 怎样解方程 x2+6x+4=0
【思考】能否将方程x2+6x+4=0转化为可以用直接开平方法(降次)的形式再求解呢？
x2+6x+4=0
x2+6x=-4
移项
x2+6x+9=-4+9
两边都加上9（即 ）
(x+3)2=5
为什么在方程x2+6x=-4的两边加9？加其他数行吗？
左边写成完全平方形式
利用直接开平方法（降次）即可求解
可以验证， 是方程x2+6x+4=0的两个根.
(x+3)2=5
降次
解一次方程
互动新授
像上面那样，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法.
配方法：
小结归纳
配方法的基本思路
把方程通过配方化为（x+n)2=p的形式，将一元二次方程降次，转化为一元一次方程求解．
在方程两边都加上一次项系数一半的平方.注意是在二次项系数为1的前提下进行的.
方程配方的方法
典例精析
例1 解下列一元二次方程:
（1）x2-8x+1=0 （2）2x2+1=3x （3）3x2-6x+4=0
分析：(1)方程的二次项系数为1，直接运用配方法.
(2)先移项，将方程化为一般式，再将二次项系数化为1，然后用配方法解方程.
(3)与(2)类似，将二次项系数化为1后再配方.
（2）移项，得:
系数化为1，得:
2x2﹣3x=﹣1
x2﹣x=-
配方，得:
x2﹣x+=-
由此可得:
（x﹣)2=
解：（1）移项，得:
配方，得:
x2﹣8x=﹣1
x2﹣8x+42=﹣1+42
（x﹣4)2=15
整理，得:
由此可得:
∴ x1=4+ ，x2=4- .
x﹣4=
（1）x2-8x+1=0 （2）2x2+1=3x
x﹣=±
x1=1，x2=.
典例精析
（3）移项，得:
系数化为1，得:
3x2﹣6x=﹣4
x2﹣x=-
配方，得:
x2﹣2x+=-
整理，得:
（x﹣)2=-
（3）3x2-6x+4=0
因为实数的平方不会是负数，所以x取任何实数时，(x﹣1)2都是非负数，上式都不成立，即原方程无实数根.
典例精析
小结归纳
一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成
(x＋n)2＝p (Ⅱ)
的形式，那么就有：
(1) 当p＞0时，方程(Ⅱ)有两个不等的实数根
(2) 当p＝0时，方程(Ⅱ)有两个相等的实数根
x1=x2=-n；
(3) 当p＜0时，因为对任意实数x，都有(x＋n)2≥0，所以方程(Ⅱ)无实数根.
例2 应用配方法求最值.
(1)x2-10x+5的最小值； (2)-x2-2x+2的最大值.
解:(1)原式=(x-5)2-20
∵(x-5)2 ≥0
∴ (x-5)2-20 ≥-20
即，当x=5时有最小值-20.
(2)原式=-(x+1)2+3
∵(x+1)2 ≥0
∴ -(x+1)2 ≤0
∴-(x+1)2+3 ≤3
即，当x=-1时有最大值3.
典例精析
1.填空：
(1)x2+10x+_____=(x+___)2
(2)x2-12x+_____=(x-___)2
(3)x2+5x+_____ =(x+____)2
(4)x2– x+_____ =(x-___)2
52
5
62
6
小试牛刀
2.利用配方法解一元二次方程时，将方程配方为，则、的值分别为（ ）
A．， B．，n=-2
C．， D．，
3.用配方法将方程变形为，则m的值是( )
A．4 B．5 C．6 D．7
D
C
小试牛刀
1.若把方程x2-4x-1=0化为=n的形式，则的值是（ ）
A．5 B．2 C．-2 D．-5
2.一元二次方程(x+1)(x-3)=2(x-3)+1根的情况是（ 　）
A．无实数根
B．有一个正根，一个负根
C．有两个正根，且都小于3
D．有两个正根，且有一根大于3
A
D
课堂检测
3.解下列方程：
(1)x2+10x+9=0 (2)x2+4x-9=2x-11
(x+5)2=16
解(1)x2+10x=-9
x2+10x+52=-9+52
x+5=±4
x1=-1，x2=-9
(2)x2+2x+2=0
x2+2x=-2
x2+2x+12=-2+12
(x+1)2=-1
因为(x+1)2 ≥0，而–1＜0，即方程无实数根.
课堂检测
1.已知m2+n2-6m+10n+34=0,求2m-3n的值．
解：m2-6m+9+n2+10n+25=0,
(m-3)2+(n+5)2=0,
m-3=0,n+5=0,
m=3,n=-5,
∴2m-3n=21.
拓展训练
2.应用配方法求最值.
(1)2x2-4x+5的最小值； (2)-3x2+5x+1的最大值.
解：(1)原式=2(x-1)2+3
当x=1时有最小值3
(2)原式=-3(x-2)2-4
当x=2时有最大值-4
拓展训练
用配方法解一元二次方程的一般步骤：
(1)将一元二次方程化为一般形式；
(2)把常数项移到方程的右边；
(3)在方程两边同除以二次项系数，将二次项系数化为1；
(4)在方程两边都加上一次项系数一半的平方，然后将方程左边化为一个完全平方式，右边为一个常数；
(5)当方程右边为一个非负数时，用直接开平方法解这个一元二次方程；当方程右边是负数时，原方程无实数根.
课堂小结
D
1.用配方法解一元二次方程x2+6x+2=0，变形后的结果正确的是（ ）
A．=-2 B． =2
C． =7 D． =7
2.用配方法解方程2x2-12x=5时，先把二次项系数化为1，然后方程的两边都应加上（ ）
A．4 B．9 C．25 D．36
B
课后作业
3.用配方法解下列方程:
(1)x2-6x+5=0
(2)x2+4x+3=0
(3)x2+2x-3=0
(4)x(x+4)=8x+12
x1=1,x2=5
x1=-1,x2=-3
x1=1,x2=-3
x1=6,x2=-2；
课后作业
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人教九上数学同步精品课件
人教版九年级上册
21.2.1 配方法
（第1课时直接开平方法）
学习目标
1.会把一元二次方程降次转化为两个一元一次方程.
2.运用开平方法解形如x2=p或(x+n)2=p (p≥0)的方程.
1.什么是平方根？一个数的平方根怎样表示？
一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根. a(a≥0)的平方根记作： .
x2=a(a≥0)，则根据平方根的定义知，x= .
复习引入
复习引入
1.16的平方根是______.
2.x2=25，x=_______.
3.判断：任何数都有平方根吗？_____.
4.一个正数有______个平方根.
5.a2+2ab+b2=_________；
a2–2ab+b2=_________.
±4
±5
×
非负数有平方根
2
(a+b)2
(a-b)2
互动新授
问题1 一桶油漆可刷的面积为1500 dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？
设其中一个盒子的棱长为xdm，
则这个盒子的表面积为_____dm2，
根据一桶油漆可刷的面积列出方程：____________，
整理，得_________，
根据平方根的意义，得x=____，即x1=___，x2=___，
因为棱长不能是负值，所以盒子的棱长为___dm.
10×6x2=1500
6x2
x2=25
±5
5
–5
5
–5
5
可以验证，_____和____是方程的根，
解:(1)根据平方根的意义，得x1=3, x2=-3.
(2)根据平方根的意义，得x1=x2=0.
(3)根据平方根的意义，得x2=-4,
因为负数没有平方根，所以原方程无解.
解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流.
(1)x2=9 (2)x2=0 (3)x2+4=0
合作探究
一般的，对于可化为方程x2=p, (I)
(1)(1)当p>0时，根据平方根的意义，方程(I)有两个不等的实数根:
(2)当p=0时，方程(I)有两个相等的实数根：
(3)当p<0时,因为任何实数x，都有x2≥0 ，所以方程(I)无实数根.
小结归纳
【定义】利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的根的方法叫直接开平方法.
探究
对照上面解方程(I)的过程，你认为应怎样解方程(x+3)2=5？
互动新授
在解方程(I)时，由方程x2=25得x=±5.
由此想到：由方程(x+3)2=5 ②
得
即 ③
于是方程(x+3)2=5的两个根为
上面的解法中，由方程②得到③，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样就把方程②转化为我们会解的方程了.
典例精析
例 用直接开平方法解下列方程：
(1)2x2-50=0 (2)(x+1)2=4
解：(1)2x2=50
x2=25
x=±5
x1=5，x2=-5.
(2)(x+1)2=2
x+1=±2
x1=1,x2=-3.
1.方程3x2+9=0的根为（ ）
A．3 B．－3 C．±3 D．无实数根
2.方程9x2=16的解是（　　）
A． B． C． D．
D
C
小试牛刀
3.解方程(x+m)2=n，正确的结论是( )
A.有两个解x=±
B.当n≥0时，有两个解x=±-m
C.当n≥0时，有两个解=±
D.当n≤0时，无实数解
B
小试牛刀
1.一元二次方程(x+6)2=16可转化为两个一元一次方程,其中 一个一元一次方程是x+6=4，则另一个一元一次方程是( )
A.x-6=-4 B.x-6=4 C.x+6=4 D.x+6=-4
2.若(x+1)2-1=0，则x的值为( )
A.±1 B.±2 C.0或-2 D.0或2
3.已知关于x的一元二次方程(x+1)2-m=O有两个实数根,则m的取值范围是( )
A.m≥0 B.m≥1 C.m≥2 D.m≥-
D
C
A
课堂检测
4.解下列方程：
⑴(x+1)2=16； (2)2(x-3)2-50=0；
解：(1)(x+1)2=16
x1=3,x2=-5
x+1=±4
(2)(x-3)2=25
x1=8,x2=-2
x-3=±5
课堂检测
1.若(a+b﹣1)(a+b+1)﹣4=0，则a+b的值为(　　)
A．2 B．±2 C． D．±
2.有下列方程：① (x-1)2-9=0 ；②9x2-25=0；③(2x-1)2=1；④．其中能用直接开平方法做的是( )
A．①②③ B．②③ C．②③④ D． ①②③④
D
D
拓展训练
形如x2=p的方程的根的情况
p的范围 根的个数
p＞0
p=0
p＜0
两个不等的实数根：
两个相等的实数根：x1=x2= 0.
无实数根.
课堂小结
1.利用直接开平方法解下列方程:
（3）x2-10x+25=1 （4）8x2-8x+2=-6
解：4x2-4x+1=-3
(2x-1)2=-3
∵ (2x-1)2≥0
∴ (2x-1)2≠-3
∴此方程无实数根.
解：(x-5)2=1
x-5=±1
x1=6,x2=4.
课后作业
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21.2.1《配方法》
分层练习
考查题型一 利用直接开平方法解方程
1．（2023春·重庆长寿·九年级重庆市长寿中学校校考期中）解方程：
【答案】或
【分析】利用直接开平方法解一元二次方程即可．
【详解】解：
∴，
∴，即 ，
∴，，
∴或．
【点睛】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
2．（2023·广东广州·统考一模）解方程．
【答案】，；
【分析】直接开平方求解即可得到答案；
【详解】解：两边开平方可得，
，
即，
∴，，
∴方程的解为：，；
【点睛】本题考查直接开平方法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解法及选择适当的解法求解．
3．解方程：．
【答案】
【分析】将方程整理为，再利用直接开平方法求出方程的解．
【详解】解：∵，
∴ ，
∴．
【点睛】本题考查一元二次方程的解法，掌握直接开平方法是本题的关键．
4．解关于x的方程：
【答案】，
【分析】先移项，把移到等号的右边，再两边同时除以，最后两边直接开平方即可得出答案．
【详解】解：
移项，得
两边同时除以，得
两边直接开平方，得
方程的解为：，．
【点睛】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，解这类方程时要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移到等号的右边，化成的形式，利用数的开方直接求解．
5．解方程．
【答案】，
【分析】直接利用开平方法即可求出答案．
【详解】解：，
或，
解得：或．
【点睛】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，能够根据方程特点选择不同的解法是解题关键．
6．（2023·安徽合肥·统考模拟预测）解方程：．
【答案】
【分析】利用直接开平方法求解即可．
【详解】解：，
，
，
．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
考查题型二 利用配方法解方程
1．（2023·江苏徐州·校考二模）解方程：；
【答案】，；
【分析】利用配方法解一元二次方程即可得；
【详解】解：，
移项得，
配方得，即，
解得，
则，
即；
【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握方程的解法是解题关键．
2．（2022秋·吉林长春·九年级校考阶段练习）解方程：
【答案】
【分析】运用配方法进行计算即可.
【详解】
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的解法是解答本题关键.
3．（2023·江苏徐州·统考一模）解方程：
【答案】，；（2）
【分析】利用配方法求解即可；
【详解】解：
配方得：；
开方得：
，；
【点睛】本题考查了解一元二次方程，能正确配方是解题的关键．
4．用配方法解．
【答案】
【分析】利用配方法解一元二次方程即可．
【详解】解：，
移项得，
二次项系数化成1得，
配方得，即
∴，
解得，．
【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
5．解方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)，
(2)，
【分析】（1）利用配方法解一元二次方程即可得；
（2）先去括号，再利用配方法解一元二次方程即可得．
【详解】（1）解：，
，
，
，即，
，
，
所以方程的解为，．
（2）解：，
，
，
，
，即，
，
，
所以方程的解为，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的常用方法（直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法、换元法等）是解题关键．
6．（2023·辽宁大连·统考一模）解方程：．
【答案】
【分析】根据单项式乘多项式的运算法则把原方程变形，利用配方法解出方程．
【详解】解：原方程变形为：，
∴，即，
，
，．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握配方法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．
考查题型三 配方法的应用
1．（2022秋·河南许昌·九年级校考阶段练习）阅读下面的材料并解答后面的问题：
小力：能求出的最小值吗？如果能，其最小值是多少？
小强：能，求解过程如下：
因为
，
而，
所以的最小值是．
问题：你能否求出的最小值？如果能，请仿照上例写出你的求解过程．
【答案】的最小值为，过程见解析
【分析】仿照题意利用配方法求解即可
【详解】解：
，
∵，
∴，
∴的最小值为．
【点睛】本题主要考查了配方法的应用，正确理解题意是解题的关键．
2．（2022秋·河南开封·九年级校考阶段练习）用配方法求解下列问题．
(1)求代数式的最小值．
(2)求代数式的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用配方法进行求解即可；
（2）利用配方法进行求解即可．
【详解】（1）解：原式
；
∵，
∴，
∴代数式的最小值为；
（2）解：原式
；
∵，
∴
∴，
∴代数式的最大值为．
【点睛】本题考查配方法的应用．熟练掌握配方法，是解题的关键．
3．（2022春·广东深圳·八年级校考阶段练习）配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用十分非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它．下面我们就求函数的极值，介绍一下配方法．
例：已知代数式，当　 　时，它有最小值，是　 　．
解：
因为，所以．
所以当时，它有最小值，是．
参考例题，试求：
(1)填空：当　 　时，代数式有最小值，是　 　．
(2)已知代数式，当为何值时，它有最小值，是多少？
【答案】(1)
(2)当为时，有最小值，是
【分析】（1）根据平方的非负性，可知当时，取最小值0，所以当时，有最小值，易求此值；
（2）先运用配方法变形，得出最小时，即，然后得出答案．
【详解】（1）解：，
，
∴当时，它有最小值，是．
故答案为：；
（2）解：，
∴当，即时，最小，
∴当为时，有最小值，是．
【点睛】本题主要考查了非负数的性质和配方法的应用，注意任意数的偶次方的最小值是0，（2）中运用配方法将变形为是解题关键．
4．（2023·广东韶关·八年级校考期末）阅读下面的解答过程：
求的最小值
解：
，即的最小值为0，
的最小值为4．
即的最小值是4．
根据上面的解答过程，回答下列问题：
(1)式子有最______值（填“大”或“小”），此最值为______（填具体数值）．
(2)求的最小值．
(3)求的最大值．
【答案】(1)小，1
(2)
(3)5
【分析】（1）原式配方后，利用非负数的性质确定出最小值即可；
（2）原式配方后，利用非负数的性质确定出最小值即可；
（3）原式变形后，利用完全平方公式配方，再利用非负数的性质确定出最大值即可．
【详解】（1）式子，有最小值，此最值为1；
故答案为：小，1；
（2）原式，
当，即时，原式有最小值，最小值为；
（3）原式，
当，即时，原式有最大值，最大值为5．
【点睛】本题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方式是解题的关键．
5．（2022秋·辽宁沈阳·九年级沈阳市第四十三中学校考期中）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．
例如：求代数式的最小值．解答过程如下：
解：
∵
∴
∴当时，有最小值，是1
(1)仿照上述方法，求代数式的最小值；
(2)有最______（直接填“大”或“小”）值，是_______（直接填空）．
【答案】(1)3
(2)大；15
【分析】（1）利用配方法把原式变形，根据偶次方的非负性解答即可；
（2）利用配方法把原式变形，根据偶次方的非负性解答即可；
【详解】（1），
，
，
∵，
∴，
∴当时，代数式的最小值是3．
（2）,
，
，
∵，
∴，
∴，
∴当时，代数式的最小值是15．
故答案为：大，15．
【点睛】本题主要考查了配方法，非负数的性质，掌握配方法的一般步骤和偶次方的非负性是解题的关键．
6．（2022秋·广西柳州·九年级统考期中）阅读材料
数学课上，韦老师在求代数式的最小值时，利用公式，对式子作如下变形∶，
∵，
∴当时，，
∴当时，有最小值1，即的最小值为1．通过阅读，解决下列问题∶
(1)当___________时，代数式有最小值为___________
(2)代数式 的最小值为___________
(3)当x取何值时，代数式的有最大或最小值，并求出最大或最小值．
【答案】(1)5，4
(2)0
(3)当时，有最大值，最大值是12
【分析】（1）由可得，从而判断它在时取最小值；
（2）配方可得，根据，即可得出结论；
（3）提取，然后配方得，根据可得结论．
【详解】（1）解：（1），
，
当时，取到等号，
当时，有最小值，最小值为：4；
故答案为5，4；
（2）解：，
当时，有最小值，最小值为：0；
故答案为0；
（3）解：
，
，
，
当时，取到等号，
当时，有最大值，最大值为12．
【点睛】此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
1．综合题
阅读下列材料：
配方法是初中数学中经常用到的一个重要方法，学好配方法对我们学习数学有很大的帮助，所谓配方就是将某一个多项式变形为一个完全平方式，变形一定要是恒等的，例如解方程，则，∴
求、．则有，∴．解得，．则有，∴．解得或，根据以上材料解答下列各题：
若．求的值．
．求的值．
若．求的值．
若，，表示的三边，且，试判断的形状，并说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）为等边三角形．理由见解析
【分析】（1）运用完全平方公式将+=0变形为，即可求出a的值，（2）将分成两个完全平方式的形式，根据非负数的性质求出x、y的值，再代入 即可解答，（3）先把左边配成完全平方式，右边化为常数，即可求解，（4）先将已知等式利用配方法变形，再利用非负数的性质解题即可.
【详解】∵，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，，
∴；
移项得，，
两边同时加上得，，
配方得，，
，
解得，；
为等边三角形．理由如下：
∵，
∴，
即，
∴，
∴，，，
∴，
∴为等边三角形．
【点睛】本题考查解一元二次方程，熟练掌握配方法及利用非负数的性质及一元二次方程是解题关键.
2．（2022秋·四川南充·九年级四川省营山中学校校考阶段练习）阅读材料:若，求m、n的值.
解:，
，
，
.
根据你的观察，探究下面的问题:
（1）已知，求的值.
（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足，求边c的最大值.
（3）若已知，求的值.
【答案】（1）2（2）6（3）7
【分析】（1）将多项式第三项分项后，结合并利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0求出x与y的值，即可求出x﹣y的值；
（2）将已知等式25分为9+16，重新结合后，利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0求出a与b的值，根据边长为正整数且三角形三边关系即可求出c的长；
（3）由a﹣b=4，得到a=b+4，代入已知的等式中重新结合后，利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0求出b与c的值，进而求出a的值，即可求出a﹣b+c的值．
【详解】（1）∵x2+2xy+2y2+2y+1=0
∴（x2+2xy+y2）+（y2+2y+1）=0
∴（x+y）2+（y+1）2=0
∴x+y=0y+1=0
解得：x=1，y=﹣1
∴x﹣y=2；
（2）∵a2+b2﹣6a﹣8b+25=0
∴（a2﹣6a+9）+（b2﹣8b+16）=0
∴（a﹣3）2+（b﹣4）2=0
∴a﹣3=0，b﹣4=0
解得：a=3，b=4
∵三角形两边之和＞第三边
∴c＜a+b，c＜3+4，∴c＜7．又∵c是正整数，∴△ABC的最大边c的值为4，5，6，∴c的最大值为6；
（3）∵a﹣b=4，即a=b+4，代入得：（b+4）b+c2﹣6c+13=0，整理得：（b2+4b+4）+（c2﹣6c+9）=（b+2）2+（c﹣3）2=0，∴b+2=0，且c﹣3=0，即b=﹣2，c=3，a=2，则a﹣b+c=2﹣（﹣2）+3=7．
故答案为7．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键．
3．阅读材料：把形如ax2+bx+c的二次三项式或(其一部分)配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2+2ab+b2=(a+b)2配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛应用．
例如：
①我们可以将代数式a2+6a+10进行变形，其过程如下 a2+6a+10=(a2+6a)+10=(a2+6a+9)+10-9=(a+3)2+1
∵(a+3)2≥0
∴(a+3)+1≥1，
因此，该式有最小值1
②已知：a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=0将其变形， a22ab+2ac+b2++2bc+c2=0 a2+2a(b+c)+(b+c)2= 可得(a+b+c)2=0
(1)按照上述方法，将代数式x2+8x+20变形为a(x+h)2+k的形式；
(2)若p=-x2+2x+5，求p的最大值；
(3)已知a、b、c是△ABC的三边，且满足a2+2b2+c2-2b(a+c)=0，试判断此三角形的形状并说明理由；
(4)已知：a=2020x+2019， b=2020x+2020，c=2020x+2021，直接写出a2+b2+c2-ab-bc-ac的值．
【答案】(1)； (2)6；（3）等边三角形；（4）3
【分析】（1）根据材料步骤配方即可；
（2）配方后即可求最大值；
（3）先配方成几个平方的和为0的形式即可解题；
（4）扩大两倍后平方即可.
【详解】(1) x2+8x+2=( x2+8x)+20=( x2+8x+16)+20-16=
(2)p=-x2+2x+5=
∵(x-1)2≥0
∴
因此，该式有最大值6
(3)
∴
∴
∴三角形是等边三角形
(4) 原式
∵a=2020x+2019， b=2020x+2020，c=2020x+2021
∴a-b=-1,a-c=-2,b-c=-1
∴原式=3
【点睛】本题考查完全平方公式的运用，熟读阅读材料并理解运用是解题的关键.
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21.2.1《配方法》
分层练习
考查题型一 利用直接开平方法解方程
1．（2023春·重庆长寿·九年级重庆市长寿中学校校考期中）解方程：
2．（2023·广东广州·统考一模）解方程．
3．解方程：．
4．解关于x的方程：
5．解方程．
6．（2023·安徽合肥·统考模拟预测）解方程：．
考查题型二 利用配方法解方程
1．（2023·江苏徐州·校考二模）解方程：；
2．（2022秋·吉林长春·九年级校考阶段练习）解方程：
3．（2023·江苏徐州·统考一模）解方程：
4．用配方法解．
5．解方程：
(1)；
(2)．
6．（2023·辽宁大连·统考一模）解方程：．
考查题型三 配方法的应用
1．（2022秋·河南许昌·九年级校考阶段练习）阅读下面的材料并解答后面的问题：
小力：能求出的最小值吗？如果能，其最小值是多少？
小强：能，求解过程如下：
因为
，
而，
所以的最小值是．
问题：你能否求出的最小值？如果能，请仿照上例写出你的求解过程．
2．（2022秋·河南开封·九年级校考阶段练习）用配方法求解下列问题．
(1)求代数式的最小值．
(2)求代数式的最大值．
3．（2022春·广东深圳·八年级校考阶段练习）配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用十分非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它．下面我们就求函数的极值，介绍一下配方法．
例：已知代数式，当　 　时，它有最小值，是　 　．
解：
因为，所以．
所以当时，它有最小值，是．
参考例题，试求：
(1)填空：当　 　时，代数式有最小值，是　 　．
(2)已知代数式，当为何值时，它有最小值，是多少？
4．（2023·广东韶关·八年级校考期末）阅读下面的解答过程：
求的最小值
解：
，即的最小值为0，
的最小值为4．
即的最小值是4．
根据上面的解答过程，回答下列问题：
(1)式子有最______值（填“大”或“小”），此最值为______（填具体数值）．
(2)求的最小值．
(3)求的最大值．
5．（2022秋·辽宁沈阳·九年级沈阳市第四十三中学校考期中）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．
例如：求代数式的最小值．解答过程如下：
解：
∵
∴
∴当时，有最小值，是1
(1)仿照上述方法，求代数式的最小值；
(2)有最______（直接填“大”或“小”）值，是_______（直接填空）．
6．（2022秋·广西柳州·九年级统考期中）阅读材料
数学课上，韦老师在求代数式的最小值时，利用公式，对式子作如下变形∶，
∵，
∴当时，，
∴当时，有最小值1，即的最小值为1．通过阅读，解决下列问题∶
(1)当___________时，代数式有最小值为___________
(2)代数式 的最小值为___________
(3)当x取何值时，代数式的有最大或最小值，并求出最大或最小值．
1．综合题
阅读下列材料：
配方法是初中数学中经常用到的一个重要方法，学好配方法对我们学习数学有很大的帮助，所谓配方就是将某一个多项式变形为一个完全平方式，变形一定要是恒等的，例如解方程，则，∴
求、．则有，∴．解得，．则有，∴．解得或，根据以上材料解答下列各题：
若．求的值．
．求的值．
若．求的值．
若，，表示的三边，且，试判断的形状，并说明理由．
2．（2022秋·四川南充·九年级四川省营山中学校校考阶段练习）阅读材料:若，求m、n的值.
解:，
，
，
.
根据你的观察，探究下面的问题:
（1）已知，求的值.
（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足，求边c的最大值.
（3）若已知，求的值.
3．阅读材料：把形如ax2+bx+c的二次三项式或(其一部分)配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2+2ab+b2=(a+b)2配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛应用．
例如：
①我们可以将代数式a2+6a+10进行变形，其过程如下 a2+6a+10=(a2+6a)+10=(a2+6a+9)+10-9=(a+3)2+1
∵(a+3)2≥0
∴(a+3)+1≥1，
因此，该式有最小值1
②已知：a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=0将其变形， a22ab+2ac+b2++2bc+c2=0 a2+2a(b+c)+(b+c)2= 可得(a+b+c)2=0
(1)按照上述方法，将代数式x2+8x+20变形为a(x+h)2+k的形式；
(2)若p=-x2+2x+5，求p的最大值；
(3)已知a、b、c是△ABC的三边，且满足a2+2b2+c2-2b(a+c)=0，试判断此三角形的形状并说明理由；
(4)已知：a=2020x+2019， b=2020x+2020，c=2020x+2021，直接写出a2+b2+c2-ab-bc-ac的值．
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