资源简介

上饶市2022-2023学年度下学期期末教学质量测试
高一数学试卷
注意事项：
1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答第I卷时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，与在本试卷上无效.
3.回答第II卷时，将答案写在答题卡上，答在本试卷上无效.
4.本试卷共22题，总分150分，考试时间120分钟.
第I卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，是虚数单位，若与互为共轭复数，则（ ）
A.1 B. C.3 D.
2.已知角的始边在轴的非负半轴上，终边经过点，则（ ）
A. B. C. D.
3.设是直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）
A.若，，则 B.若，，则
C.若，，则 D.若，，则
4.已知，则（ ）
A. B. C. D.
5.双塔公园，位于上饶市信州区信江北岸.“双塔”指五桂塔和奎文塔，始建于明清年间，是上饶市历史文化遗存的宝贵财富。某校开展数学建模活动，有建模课题组的学生选择测量五桂塔的高度，为此，他们设计了测量方案.如图，五桂塔垂直于水平面，他们选取了与王桂塔底部在同一水平面上的，两点，测得米，在，两点观察塔顶点，仰角分别为和，，则五桂塔的高度是（ ）
A.10米 B.17米 C.25米 D.34米
6.函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C.的图象关于点对称 D.的图象关于直线对称
7.如图，已知棱长为的正方体中，点在正方体的棱、、上运动，平面，垂足为，则点形成图形中的各线段长度之和是（ ）
A.2 B. C. D.
8.已知函数在上单调，而函数有最大值1，则下列数值可作为取值的是（ ）
A. B. C.1 D.2
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.
9.复数，是虚数单位，则以下结论正确的是（ ）
A. B.
C.的虚部为2 D.在复平面内对应点位于第一象限
10.如图，点在正方体的面对角线上运动，则下列四个结论一定正确的有（ ）
A. B.平面
C.平面 D.三棱锥的体积为恒定值
11.已知函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，函数为偶函数，则的值可以是（ ）
A. B. C. D.
12.在平面直角坐标系中，已知，，则下列结论正确的是（ ）
A.的取值范围是
B.当时，在方向上的投影数量的取值范围是
C.的最大值是
D.若，且，则最大值为2
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，，则该平面图形的高为______.
14.已知，，则______.
15.如图，长方体中，，则四面体的外接球的体积为______.
16.已知是边长为2的等边三角形.如图，将的顶点与原点重合，在轴上，然后将三角形沿着轴正方向滚动，每当顶点再次回落到轴上时，将相邻两个点之间的距离称为“一个周期”，则完成“一个周期”时，顶点的路径长度为______.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知，，.
（1）若，求实数的值；
（2）若，求实数的值.
18.设的内角，，所对的边分别为，，，已知.
（1）求角；
（2）已知，，点是边上的点，求线段的最小值.
19.如图，正四棱台中，，，.
（1）证明：平面；
（2）若，求异面直线与所成的角的余弦值.
20.如图，四棱锥中，平面，四边形为菱形，且，，，是棱上的一点，.
（1）证明：平面；
（2）求三棱锥的体积.
21.筒车是我国古代发明的一种灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用（图1）.如图2，现有一个半径为4米的筒车按逆时针方向每分钟匀速旋转1圈，筒车的轴心距离水面的高度为2米，若以盛水筒刚浮出水面在点处时为初始时刻，设经过秒后盛水筒到水面的距离为（单位：米）（在水面下则为负数）.筒车上均匀分布着12个盛水筒，假设盛水筒在最高处时把水倾倒到水槽上。
（1）求函数的表达式；
（2）求第一筒水倾倒的时刻和相邻两个盛水筒倾倒的时间差；
（3）若某一稻田灌溉需水量为100立方米，一个盛水筒倾倒到水槽的水约为0.01立方米，求需要多少小时才能完成该稻田的浇灌。（精确到0.1小时）
图1 图2
22.已知函数.
（1）求函数的单调递增区间；
（2）若，存在，对任意，有恒成立，求的最小值；
（3）若函数在内恰有2023个零点，求与的值.
参考答案及评分标准
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C D A B B A C D
1.解：因为与互为共轭复数，所以，，所以.故选C.
2.解：由已知得，.故选D.
3.解：根据线面垂直的性质可知A正确.故选A.
4.解：因为，∴，
即，∴，∴.故选B.
5.解：设，在中，，，则，在中，，，则，因为，所以由余弦定理得：，整理得：，解得.故选B.
6.解：由图象可得，，可知A正确.故选A.
（亦可不求解析式直接根据周期性及对称中心和对称轴的特征看图直选）.
7.解：点形成图形是棱、、在平面上的射影线段构成的，由于平行线段在同一平面内的射影长度是相等的，所以、、在平面上的射影线段长度分别等于棱、、在平面上的射影线段长度.∵正方体棱长为，∴是边长为2的等边三角形，∴（是的中心）.故选C.
8.解：由余弦函数的性质可知，当在上单调时，
，得，
则
由于选项中取，，1，2，其区间端点的前缀分别是，，，，区间角的终边呈周期性变化，因此只需考虑存在，使得，则取非负整数，且，，的取值区间是，选项中只有适合，故选D.
备注：①本题亦可采用逐个检验法；②解答中所求出的的取值范围并非的全部取值.
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.
题号 9 10 11 12
答案 ACD BCD CD ACD
9.解：由复数的有关概念可知，ACD正确.故选ACD.
10.解：显然A错误，B正确；平面与平面是同一个平面，C正确；三棱锥换底成三棱锥，则底面积为定值，而因为平面，可知到平面的距离也是定值，D正确.故选BCD.
11.解：由已知得，又函数为偶函数，则，，，，CD正确，故选CD.
12.解：，A正确；设，（为坐标原点），由于，的坐标满足，则点在以为圆心的单位圆上运动，点在线段上运动，由投影数量的几何意义可知其取值范围是，B错误；结合的几何意义或利用可知C正确；
，D正确.故选ACD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.； 14.； 15.； 16.
13.解：该平面图形是直角梯形，其高为.
14.解：由得，，，
又∵，则，
，
.
15.解：，，，四面体的外接球与长方体的外接球是同一个球，其半径为，其体积为.
16.解：顶点先以2为半径绕点顺时针旋转弧度，再以2为半径绕点顺时针旋转弧度，其路径长度为
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）解：（1）由已知得，，
∵，∴，
∴
（2）由已知得，，
∵，∴
∴
18.（12分）解：（1）由得，
∵，∴
∴
又由正弦定理，得，即
，
∴，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴.
（2）由已知及余弦定理可得，，.
∵边为最大边，∴角为最大角，
而，∴为锐角三角形，
∴最小时为边上的高，
∵
∴，
∴的最小值为.
备注：①第（1）小题在基础上亦可化成边的式子求解，同等给分；②第（2）小题不证边上的高的垂足在线段上必须扣2分.
19.（12分）（1）证明：∵正四棱台中，，
∴，又∵
∴，∴四边形为平行四边形
∴，又∵平面，平面，
∴平面
∵，平面，平面，
∴平面
又∵，平面，平面，
∴平面平面
∵平面
∴平面
备注：亦可证或用向量法证明，同等给分.
（2）解：在等腰梯形中作交于点，由（1）知，
∴，
∴就是异面直线与所成的角，
∵，，
∴中，，，
∴，
∴异面直线与所成的角的余弦值为.
备注：由于正棱台的侧面全等，，所以转化为求的余弦也是可以的.
20.（12分）（1）证明：连接交于点，取中点，连接，，
∵平面，平面，
∴，
∵四边形是菱形，∴，
又∵，、平面，
∴平面，
∴
∵，，
∴
∵，，∴
∵且为中点，∴为中点，
又∵，
∴
∵、平面，，
∴平面；
备注：本小题如果通过三角形中的计算去证明，也是可以的，同等给分.
（2）
21.（12分）解：（1）由已知可得，
∵盛水筒运动的角速度，
∴秒后盛水筒转过的角度为，
此时可得以为终边的角
∴
图2
备注：未写出定义域扣1分.
（2）当第一筒水到达最高位置时，是第一次取得最大值，此时，得（秒），
相邻两个盛水筒倾倒的时间差为（秒），
（3）完成该稻田的浇灌需倾倒筒水，所需时间为秒，约为13.9小时.
答：第一筒水倾倒的时刻为20秒，相邻两个盛水筒倾倒的时间差为5秒，约13.9小时可完成该稻田的浇灌.
22.（12分）解：（1）
令，得
∴函数的单调递增区间为.
（2）
令，则
可得，当即时，；
当即时，
∵存在，对任意，有恒成立，
∴为的最小值，为的最大值，
∴，，
∴，
∴.
备注：本小题化为再换元亦可，同等给分.
（3）令，方程可化为，
令，则，
当时，，，此时函数在上有个零点，
∴，适合题意；
当时，在内有一解，
在或内有一取值，则此时函数在上有个零点，不适合题意；
当时，，此时函数在上有个零点，
∴，适合题意；
当时，或，或，则此时函数在上有个零点，不适合题意；
当时，在和内各有一解，在和内各有一取值，则此时函数在上有个零点，不适合题意；
当时，，，则此时函数在上有个零点，不适合题意.
综上所述，，，或，.

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