资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
数学七年级下暑假培优专题训练
专题十二、二元一次方程组应用（二）
【专题导航】
目录
【考点六 同解方程】................................................1
【考点七 构造二元一次方程组求解】..................................2
【考点八 二元一次方程组中图形图表问题】............................3
【考点九 二元一次方程组中的数字年龄问题】..........................5
【考点十 二元一次方程组中的古代问题】..............................6
【聚焦考点6】
如果两个不同的方程式的解相同，那么这两个方程叫做同解方程。定义：如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程。又称“等值方程”、“等价方程”。如果两个方程的解集相等，则称它们为“同解方程”，或称这两个方程“同解”
【典例剖析6】
【考点六 同解方程】
【典例6-1】已知关于x，y的方程组与方程组的解相同，求的值．
【典例6-2】关于x，y的方程组与有相同的解．
(1)求出x和y的值；
(2)求多项式的值．
针对训练6
【变式6-1】已知关于，的方程组和方程组的解相同．
(1)这两个方程组的解；
(2)求的立方根．
【变式6-2】如果关于x，y的方程组与解相同，求的值．
【变式6-3】若方程组与方程组的解相同，求的值
【聚焦考点7】
【典例剖析7】
【考点七 构造二元一次方程组求解】
【典例7-1】若二元一次方程组的解也是二元一次方程 的解，求的值．
【典例7-2】请你根据下图中所给的内容，完成下列各小题．
我们定义一个关于非零常数a，b的新运算，规定：．例如：．
(1)如果，，求y的值；
(2)，，求x，y的值．
【典例7-3】已知关于x的方程的解比关于y的方程的解大2，求k的值．
针对训练7
【变式7-1】已知关于的方程组．
(1)当时，求的值；
(2)将方程①和方程②左右两边分别对应相加，得到一个新的方程，当每取一个值时，就有一个确定的方程，而这些方程总有一个公共解，求这个公共解．
【变式7-2】对于任意有理数， ， ， ，我们规定， 已知，同时，，求，的值．
【变式7-3】如图，，的角平分线的反向延长线和的角平分线交于点F，，则________．
【变式7-4】对于x，y定义一种新运算“*”：，其中a，b为常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知：，，那么_______
【聚焦考点8】
从图形图表中挖掘信息，寻找等量关系列方程.
【典例剖析8】
【考点八 二元一次方程组中图形图表问题】
【典例8-1】如图 A、B、C为数轴上三个点，其对应的都是整数，若点B对应的数是点A对应的数的2倍多7，那么点C对应的数是多少？
【典例8-2】如图：用8块相同的长方形拼成一个宽为48厘米的大长方形，每块小长方形的长和宽分别是多少？
解：设小长方形的长是x厘米，宽是y厘米，
题中的两个相等关系：
(1)小长方形的长____________大长方形的宽，可列方程为：____________；
(2)小长方形的长____________，可列方程为：____________．
【典例8-3】现有300张完全相同的矩形纸片．一张纸片若按图1所示方式裁剪后，可以围成一个无盖长方体，一张纸片若按图2的所示方式裁剪后，可以形成2个与前面无盖长方体搭配的盖子，现先按图2所示的方式裁剪矩形纸片x张，再按图1所示的方式裁剪剩余纸片，其中盖子的数量不大于无盖长方体的数量．
(1)直接写出搭配完后，剩余的无盖长方体的数量______．（用含有x的代数式表示）．
(2)把搭配完的无盖长方体和有盖长方体进行包装后，放到网格平台进行销售，其中无盖长方体每个售价m元，有盖长方体每个售价n元，完全售出后，满足如下数据：
x（张） 60 90
销售后的总利润y（元） 540 510
①求y与x之间的关系式，
②求y的最小值；
针对训练8
【变式8-1】如图，在大长方形ABCD中，放入8个小长方形，
(1)每个小长方形的长和宽分别是多少厘米？
(2)图中阴影部分面积为多少平方厘米？
【变式8-2】已知A、B两个边长不等的正方形纸片并排放置(如图所示)
(1)若m＝8，n＝3，则甲、乙两个正方形纸片的面积之和为: ______________
(2)用m、n表示甲、乙两个正方形纸片的面积之和为:___________________
(3)若A、B两个正方形纸片的面积之和为： ，且右下图中阴影部分的面积为：，则m=___________n=_______________________

【变式8-3】如图所示，3×3的方格中每个方格内均有一个单项式(图中只列出了部分单项式)，方格中每一行、每一列以及每一条对角线上的三个单项式的和均相等．求a的值．
【聚焦考点9】
数字问题
1.首先要正确掌握自然数、奇数、偶数等有关问题的概念、特征及其表示方法。
2.一个三位数，百位数是a，十位数是b, 个位数是c,则这个三位数可以表示为：
100a+10b+c。比如：568=100×5+10×6+8.
年龄问题
人与人的岁数是同时增长的.即年龄之差不变。
【典例剖析9】
【考点九 二元一次方程组中的数字年龄问题】
【典例9-1】山上牧童赶着一群羊，山下牧童也赶着一群羊，山下牧童对山上牧童说：“如果你的羊跑下来4只，那么我们二人的羊恰好相等．”山上牧童说：“如果你的羊跑上来4只，那么我的羊恰好是你的羊的3倍．”他们到底各赶多少只羊？
【典例9-2】根据小头爸爸与大头儿子的对话，求出大头儿子现在的年龄．
小头爸爸：儿子，现在我的年龄比你大23岁．
大头儿子：5年后，您的年龄比我的年龄的2倍还多8岁．
【典例9-3】若一个四位正整数的四个数位上的数字之和为18，则称这个四位正整数为“发财数”．
(1)直接写出最小的“发财数”和最大的“发财数”；
(2)设1≤x≤9，0≤y≤6，且x，y均为整数，A＝1010x+100y+305．若A是一个“发财数”，求y与x的数量关系，并写出x的所有可能取值．
针对训练9
【变式9-1】在大禹治水的时代，有一种神龟背负着一张神秘的图（如图1）浮出洛水，吉祥献瑞，后世称之为“洛书”，当后人将“洛书”上的数填在图2的表中时发现：每行、每列、每条对角线上的三个数字之和相等，像这样的数字方阵，称为“幻方”，如果图3也是一个“幻方”，则________．
【变式9-2】甲对乙说：“当我的岁数是你现在的岁数时，你才4岁．”乙对甲说：“当我的岁数是你现在的岁数时，你将61岁．”则甲、乙现在的年龄分别是______．
6．一家四口人的年龄加在一起是100岁，弟弟比姐姐小8岁，父亲比母亲大2岁，十年前他们全家人年龄的和是65岁，则父亲今年的年龄为__________岁
【聚焦考点10】
古代问题：认真理解题意，把古文翻译成现代文，寻找等量关系。
【典例剖析10】
【考点十 二元一次方程组中的古代问题】
【典例10-1】《九章算术》中记载这样一道问题．
原文：“今有五雀六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问燕、雀各重几何？”
译文：“今有5只雀、6只燕，分别聚集而且用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻．将1只雀、1只燕交换位置而放，重量相等．5只雀、6只燕的总重量为1斤，问雀、燕每只各重多少斤？”
请解答上述问题．
【典例10-2】大油瓶一瓶装4千克，小油瓶2瓶装1千克．现有100千克油装了共60个瓶子，问大、小油瓶各多少个？
【典例10-3】《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中方程术是重要的数学成就．书中有一个方程问题：“五只雀，六只燕，共重19两，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀、燕的重量各为多少两？
针对训练10
【变式10-1】我国古代数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊三，直金十二两．问牛、羊各直金几何？”题目大意是：5头牛、2只羊共19两银子；2头牛、3只羊共12两银子，求那时候每头牛、每只羊各多少两银子？
【变式10-2】在九章算术的“方程”一章中，一次方程组是由算筹布置而成的，已知图所示的算筹图表示的方程组为，请认真观察思考并完成如下任务：
(1)任务一：图所表示的方程组为______ ．
(2)任务二：请解你所列的方程组．
(3)任务三：请聪明的你尝试用不同的方法解你所列的方程组．
【变式10-3】中国古代数学著作《张丘建算经》中有“百钱买百鸡”问题，大意为：用100文钱购买了100只鸡，公鸡一只5文钱，母鸡一只3文钱，小鸡则一文钱3只．若公鸡买了8只，求母鸡、小鸡各买了多少只．请你解决上述问题．
【变式10-4】我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”译文：有若干只鸡与兔在同一个笼子里，从上面数有35个头，从下面数有94只脚，问笼中各有几只鸡和兔？根据以上译文，回答以下问题：笼中鸡、兔各有多少只？
数学七年级下暑假培优专题训练
专题十二、二元一次方程组应用（二）（解析版）
【考点六 同解方程】
【典例6-1】已知关于x，y的方程组与方程组的解相同，求的值．
【答案】
【分析】根据已知的两个方程组的解相同得到关于x、y的方程组，求出x、y的值，再将x、y的值代入含a、b的两个方程中，得到关于a、b的二元一次方程组求出a、b的值，代入所求代数式进行计算即可．
【详解】解：∵关于x，y的方程组和的解相同，
∴这两个方程组的解也是方程组的解，
①②得：，
解得：，
把代入①得：，
∴方程组的解为，
把别代入和，
得方程组，
解这个方程组得，
，
∴．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，解答此题的关键是根据两方程组有相同的解得到关于x、y的方程组，求出x、y的值，再将x、y的值代入含a、b的方程组即可求出a、b的值，即可求出代数式的值．
【典例6-2】关于x，y的方程组与有相同的解．
(1)求出x和y的值；
(2)求多项式的值．
【答案】(1)
(2)13
【分析】（1）因为两个方程组同解，所以将两个方程组的第一个方程联立，解方程组即可求解；
（2）将（1）所得相同的解代入原方程组，并将含参数a、b的两个方程联立可得方程组，解方程组即可求解．
【详解】（1）解：∵方程组与有相同的解，
∴与的解相同，
由题意可联立方程得，
解得，；
（2）将代入方程组，
∴，
解得，
∴．
【点睛】本题考查了同解方程组，加减消元法解二元一次方程组，二元一次方程组的解的定义，正确的计算是解题的关键．
针对训练6
【变式6-1】已知关于，的方程组和方程组的解相同．
(1)这两个方程组的解；
(2)求的立方根．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将两个方程组中的第一个方程联立可得一个二元一次方程组，求解即可；
（2）将两个方程组中的第二个方程联立，将（1）中求出的，代入即可求出，，即可求解．
【详解】（1）解：关于，的方程组和方程组的解相同，
，满足，
由可得：
，
，
，
将代入可得：
，
，
两个方程组的解为，
（2）将两个方程组中的第二个方程联立可得，
将代入可得，
由可得：
，
，
，
将代入可得：
，
，
．
的立方根是．
【点睛】本题考查二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握解二元一次方程组的解法．
【变式6-2】如果关于x，y的方程组与解相同，求的值．
【答案】
【分析】先解方程组得：，把代入和得求出,最后求出的值即可．
【详解】解：解关于x，y的方程组得：，
∵关于x，y的方程组与解相同，
∴是和的解，
∴，
解得：，
∴．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握解二元一次方程的一般方法，准确计算．
【变式6-3】若方程组与方程组的解相同，求的值
【答案】
【分析】根据题意可得方程组与方程组的解相同，再解出方程组，可得，然后把代入方程组，求出m，n的值，即可．
【详解】解：∵方程组与方程组的解相同，
∴方程组与方程组的解相同，
，
由得：，
解得：，
把代入得：，
解得：，
∴方程组的解为，
把代入得：
，
解得：，
∴．
【点睛】本题主要考查了同解方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．
【考点七 构造二元一次方程组求解】
【典例7-1】若二元一次方程组的解也是二元一次方程 的解，求的值．
【答案】
【分析】根据题意组成新的方程组，求出方程组的解，再把方程组的解代入方程中求出a的值即可．
【详解】解：∵二元一次方程组 的解也是二元一次方程 的解，
∴可建立方程组，
得：，解得，
把代入①得：，解得，
∴方程组的解为，
把代入中得：，解得．
【点睛】本题考查的是二元一次方程同解问题，掌握根据同解的含义构建新的方程组是解题的关键．
【典例7-2】请你根据下图中所给的内容，完成下列各小题．
我们定义一个关于非零常数a，b的新运算，规定：．例如：．
(1)如果，，求y的值；
(2)，，求x，y的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，得出方程组，解答即可；
（2）根据题意，得出方程组，解答即可．
【详解】（1）解：根据题意，得，
把代入，
得，
解得；
（2）解∶根据题意，得，
解得．
【点睛】此题主要考查了解二元一次方程组的方法，要熟练掌握，注意代入消元法和加减消元法的应用．理解新定义是解题的关键．
【典例7-3】已知关于x的方程的解比关于y的方程的解大2，求k的值．
【答案】
【分析】将代入，得到关于的二元一次方程，再根据两个方程的解的关系进行求解即可．
【详解】解：将k=代入得：，整理得：，
又∵，
∴，
∴，
∴．
∴．
解得：．
【点睛】本题考查根据方程的解得情况，求参数．熟练掌握代入消元法，是解题的关键．
针对训练7
【变式7-1】已知关于的方程组．
(1)当时，求的值；
(2)将方程①和方程②左右两边分别对应相加，得到一个新的方程，当每取一个值时，就有一个确定的方程，而这些方程总有一个公共解，求这个公共解．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）①加②式得到一个新方程，根据方程的特点即可求得的值；
（2））①加②式得到一个新方程根据题意列方程即可得到公共解．
【详解】（1）解：，
①②，得：，
整理得：，
∵，
∴，
∴将，代入①，得：，
（2）解：，
①②，得：，
整理得：，
根据题意，这些方程有一个公共解，与的取值无关，
∴，
解得：，
【点睛】本题考查了二元一次方程的解法及与解二元一次方程相关的知识点，掌握二元一次方程的解法是解题的关键．
【变式7-2】对于任意有理数， ， ， ，我们规定， 已知，同时，，求，的值．
【答案】，
【分析】已知等式利用题中的新定义化简得到方程组，求出方程组的解即可得到与的值．
【详解】解：∵，同时满足，，
∴，
①×3－②得：，
解得：，
将代入①得：，
解得：，
∴，．
【点睛】本题考查解二元一次方程组，以及有理数的混合运算．熟练掌握运算法则是解题的关键．
【变式7-3】如图，，的角平分线的反向延长线和的角平分线交于点F，，则________．
【答案】/94度
【分析】过F作，则，根据平行线的性质和角平分线的定义，可得，，进而可得，，利用四边形内角和为360度，可得，再结合即可求出的度数．
【详解】解：如图，过F作，
∵，
∴，
∵的角平分线的反向延长线和的角平分线交于点F，
∴可设，，
∴，，
∴四边形中，，
即，①
又∵，
∴，②
将①②联立，可得二元一次方程组，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题考平行线的性质，角平分线的定义，四边形内角和，解二元一次方程组等，解题的关键是综合运用上述知识点，通过等量代换得出与的关系
【变式7-4】对于x，y定义一种新运算“*”：，其中a，b为常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知：，，那么_______
【答案】13
【分析】已知等式利用题中的新定义化简，列出方程组，求出方程组的解得到与的值，即可求出所求．
【详解】解：根据题中的新定义得：，
①②得：，
解得：，
把代入①得：，
则，
故答案为：13．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，以及有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．
【考点八 二元一次方程组中图形图表问题】
【典例8-1】如图 A、B、C为数轴上三个点，其对应的都是整数，若点B对应的数是点A对应的数的2倍多7，那么点C对应的数是多少？
【答案】【答案】3
【分析】根据数轴可知：B-A=3，结合题意可得：2A+7=B，联立求解即可得出A和B的值，最后结合数轴求出C即可．
【详解】解：，解得：，
∴C=B+4=-1+4=3．
【点睛】本意主要考查了解二元一次方程组，结合题意和数轴得出各个点之间的数量关系是解题的关键．
【典例8-2】如图：用8块相同的长方形拼成一个宽为48厘米的大长方形，每块小长方形的长和宽分别是多少？
解：设小长方形的长是x厘米，宽是y厘米，
题中的两个相等关系：
(1)小长方形的长____________大长方形的宽，可列方程为：____________；
(2)小长方形的长____________，可列方程为：____________．
【答案】【答案】(1)小长方形的一个宽；；
(2)小长方形的宽；．
【分析】（1）观察图形可知，小长方形的长小长方形的一个宽大长方形的宽，即可列出方程；
（2）观察图形可知，小长方形的长小长方形的宽，即可列出方程．
【详解】（1）解：小长方形的长小长方形的一个宽大长方形的宽；
可列方程为：，
故答案为：小长方形的一个宽；；
（2）解：小长方形的长小长方形的宽，
可列方程为：，
故答案为：小长方形的宽；．
【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，从图形中找出等量关系是解题关键．
【典例8-3】现有300张完全相同的矩形纸片．一张纸片若按图1所示方式裁剪后，可以围成一个无盖长方体，一张纸片若按图2的所示方式裁剪后，可以形成2个与前面无盖长方体搭配的盖子，现先按图2所示的方式裁剪矩形纸片x张，再按图1所示的方式裁剪剩余纸片，其中盖子的数量不大于无盖长方体的数量．
(1)直接写出搭配完后，剩余的无盖长方体的数量______．（用含有x的代数式表示）．
(2)把搭配完的无盖长方体和有盖长方体进行包装后，放到网格平台进行销售，其中无盖长方体每个售价m元，有盖长方体每个售价n元，完全售出后，满足如下数据：
x（张） 60 90
销售后的总利润y（元） 540 510
①求y与x之间的关系式，
②求y的最小值；
【答案】(1)300-3x
(2)①y与x之间的关系式y=-x+600；②当x=100时，y有最小值，最小值是500．
【分析】（1）x张纸片可以剪2x个盖子，剩余的（300-x）张纸片可以剪（300-x）个盒子，一个盒子配一个盖子，且2x≤300-x，根据题意剩余的盒子为300-x-2x；
（2）①由题意得到y=（300-3x）m +n 2x，再由表中数据可以得到关于m，n的二元一次方程组，解方程组求出m，n的值即可得出结论；
②有函数的性质结合x的取值范围求函数最值．
【详解】（1）解：由题意得，x张纸片可以剪2x个盖子，剩余的（300-x）张纸片可以剪（300-x）个盒子，
∵一个盒子配一个盖子，且2x≤300-x，
∴剩余的无盖长方体的数量为300-3x，
故答案为：300-3x；
（2）解：①设y=m（300-3x）+n 2x，
依据题意得，
解得，
∴y=2（300-3x）+2.5 2x=-x+600，
∴y与x之间的关系式y=-x+600；
②∵2x≤300-x，
解得x≤100，
∵y=-x+600，-1＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x=100时，y有最小值，最小值是500．
【点睛】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用，根据题意列出函数解析式是解题关键．
针对训练8
【变式8-1】如图，在大长方形ABCD中，放入8个小长方形，
(1)每个小长方形的长和宽分别是多少厘米？
(2)图中阴影部分面积为多少平方厘米？
【答案】(1)7厘米和2厘米
(2)53平方厘米
【分析】（1）设小长方形宽为x厘米，长为y厘米，由图象列二元一次方程组，代入消元法求解即可．
（2）阴影面积为大长方形ABCD面积减去8个小长方形面积．
【详解】（1）设小长方形宽为x厘米，长为y厘米，则有
BC=4x+y=15，CD=2x+y，AB=9+x
∵AB=CD
∴2x+y =9+x
即x+y=9
故有二元一次方程组
将y=9-x代入4x+y=15有
4x+9-x =15
解得x=2
将x=2代入y=9-x
解得y=7
故小长方形的长和宽分别是7厘米和2厘米．
（2）由（1）问可知大长方形长ABCD为15cm，宽为11cm，则长方形面积为15×11=165cm2
小长方形的面积为2×7=14cm2
由题干知长方形中有8个小长方形
故
即
【点睛】本题考查了列二元一次方程组，列二元一次方程组解应用题的一般步骤，审：审题，明确各数量之间的关系，设：设未知数（一般求什么，就设什么），找：找出应用题中的相等关系，列：根据相等关系列出两个方程，组成方程组，解：解方程组，求出未知数的值，答：检验方程组的解是否符合题意，写出答案．
【变式8-2】已知A、B两个边长不等的正方形纸片并排放置(如图所示)
(1)若m＝8，n＝3，则甲、乙两个正方形纸片的面积之和为: ______________
(2)用m、n表示甲、乙两个正方形纸片的面积之和为:___________________
(3)若A、B两个正方形纸片的面积之和为： ，且右下图中阴影部分的面积为：，则m=___________n=_______________________

【答案】(1) 36.5； (2) ； (3) ，
【分析】（1）设A的边长为x，B的边长为y，列出等式组解得x、y的值，再根据面积公式计算即可.
（2）由题意列出m、n的关系式，根据不等式关系进行化简即可.
（3）根据题意，列出S阴影面积与A、B面积的关系式，进行化简求值即可.
【详解】(1)设A的边长为x，B的边长为y，则
①+②得：2x=11
x=5.5
即A和B的面积之和为36.5.
（2）
解得：x=, y=
A、B面积之和=
=
(3)=
由题意得：
解得：
【点睛】本题考查二元一次方程的运用，熟练掌握计算法则是解题关键.
【变式8-3】如图所示，3×3的方格中每个方格内均有一个单项式(图中只列出了部分单项式)，方格中每一行、每一列以及每一条对角线上的三个单项式的和均相等．求a的值．
【答案】a＝7.
【分析】先由条件建立二元一次方程组求出x、y的值，就可以求出每一行或每一列的数的和，就可以求出中间这列的最后一个数，再建立关于a的方程就可以求出结论．
【详解】由题意，得
解得
所以5－3x＋a＝5＋4＋3y，所以a＝7.
【点睛】本题考查学生是图标的能力的运用，列二元一次方程组解实际问题的运用，解答时建立方程组求出各行或各列的和是关键．
【考点九 二元一次方程组中的数字年龄问题】
【典例9-1】山上牧童赶着一群羊，山下牧童也赶着一群羊，山下牧童对山上牧童说：“如果你的羊跑下来4只，那么我们二人的羊恰好相等．”山上牧童说：“如果你的羊跑上来4只，那么我的羊恰好是你的羊的3倍．”他们到底各赶多少只羊？
【答案】山上本来有只羊，山下本来有只羊
【分析】设山上本来有x只羊，山下本来有y只羊，根据山上牧童说：“如果你的羊跑下来4只，那么我们二人的羊恰好相等．”山上牧童说：“如果你的羊跑上来4只，那么我的羊恰好是你的羊的3倍．”列方程组求解．
【详解】解：设山上本来有x只羊，山下本来有y只羊，
由题意得，，
解得：，
答：山上本来有只羊，山下本来有只羊．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解
【典例9-2】根据小头爸爸与大头儿子的对话，求出大头儿子现在的年龄．
小头爸爸：儿子，现在我的年龄比你大23岁．
大头儿子：5年后，您的年龄比我的年龄的2倍还多8岁．
【答案】大头儿子现在的年龄为10岁
【分析】设大头儿子现在的年龄是x岁，爸爸的年龄是y岁，根据题意列出二元一次方程组解得即可．
【详解】解：设大头儿子现在的年龄是x岁，爸爸的年龄是y岁，
由题意得：，
解得：，
答：大头儿子现在的年龄为10岁．
【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，解题的关键是根据题意列出二元一次方程组
【典例9-3】若一个四位正整数的四个数位上的数字之和为18，则称这个四位正整数为“发财数”．
(1)直接写出最小的“发财数”和最大的“发财数”；
(2)设1≤x≤9，0≤y≤6，且x，y均为整数，A＝1010x+100y+305．若A是一个“发财数”，求y与x的数量关系，并写出x的所有可能取值．
【答案】(1)1089；9900；
(2)2x+y=10；x的所有可能取值为2，3，4，5．
【分析】（1）根据“发财数”的定义，即可找出最小及最大的“发财数”；
（2）由A为“发财数”，即可得出关于x，y的二元一次方程，化简后即可得出y与x的数量关系，再结合x，y均为整数，且0≤y≤6，即可找出x的所有可能值．
【详解】（1）解：最小的四位数为1000，根据四个数位上的数字之和为18，
最小的“发财数”为1089；
最大的四位数为9999，根据四个数位上的数字之和为18，
最大的“发财数”为9900．
（2）∵A=1010x+100y+305，1≤x≤9，0≤y≤6，且x，y均为整数，
∴A的千位数字为x，百位数字为（y+3），十位数字为x，个位数字为5．
∵A为“发财数”，
∴x+y+3+x+5=18，
∴y与x的数量关系为2x+y=10，
又∵x，y均为整数，且0≤y≤6，
或或或，
∴x的所有可能取值为2，3，4，5．
【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
针对训练9
【变式9-1】在大禹治水的时代，有一种神龟背负着一张神秘的图（如图1）浮出洛水，吉祥献瑞，后世称之为“洛书”，当后人将“洛书”上的数填在图2的表中时发现：每行、每列、每条对角线上的三个数字之和相等，像这样的数字方阵，称为“幻方”，如果图3也是一个“幻方”，则________．
【答案】13
【分析】根据每行、每列、每条对角线上的三个数字之和相等列方程组解答．
【详解】解：∵每行、每列、每条对角线上的三个数字之和相等，
∴，
解得，
∴，
故答案为：13．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用，正确理解题意列得方程组是解题的关键．
【变式9-2】甲对乙说：“当我的岁数是你现在的岁数时，你才4岁．”乙对甲说：“当我的岁数是你现在的岁数时，你将61岁．”则甲、乙现在的年龄分别是______．
【答案】42岁，23岁
【分析】设甲现在x岁，乙现在y岁，根据甲、乙年龄之间的关系，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【详解】解：设甲现在x岁，乙现在y岁，
依题意，得：，
解得：．
答：甲现在42岁，乙现在23岁．
故答案为：42岁，23岁．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
6．一家四口人的年龄加在一起是100岁，弟弟比姐姐小8岁，父亲比母亲大2岁，十年前他们全家人年龄的和是65岁，则父亲今年的年龄为__________岁
【答案】42
【分析】由题意得：弟弟今年的年龄为5岁，姐姐今年的年龄为13岁，设母亲今年的年龄为x岁，父亲今年的年龄为y岁，再由题意：一家四口人的年龄加在一起是100岁，父亲比母亲大2岁，列出方程组，解方程组即可．
【详解】解：现在一家四口人的年龄之和应该比十年前全家人年龄之和多40岁，
但实际上100-65=35（岁），说明十年前弟弟没出生，
则弟弟的年龄为10-（40-35）=5（岁），姐姐的年龄为5+8=13（岁），
设母亲今年的年龄为x岁，父亲今年的年龄为y岁，
由题意得：，
解得：，
即父亲今年的年龄为42岁，
故答案为：42．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
【考点十 二元一次方程组中的古代问题】
【典例10-1】《九章算术》中记载这样一道问题．
原文：“今有五雀六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问燕、雀各重几何？”
译文：“今有5只雀、6只燕，分别聚集而且用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻．将1只雀、1只燕交换位置而放，重量相等．5只雀、6只燕的总重量为1斤，问雀、燕每只各重多少斤？”
请解答上述问题．
【答案】每只雀重斤，每只燕重斤
【分析】根据问题，设每只雀重斤，每只燕重斤，由“将1只雀、1只燕交换位置而放，重量相等；5只雀、6只燕的总重量为1斤”列方程组求解即可得到答案．
【详解】解：设每只雀重斤，每只燕重斤，
依题意得：，解得：，
答：每只雀重斤，每只燕重斤．
【点睛】本题考查古代数学问题，读懂题意，找准等量关系列方程求解是解决问题的关键
【典例10-2】大油瓶一瓶装4千克，小油瓶2瓶装1千克．现有100千克油装了共60个瓶子，问大、小油瓶各多少个？
【答案】大油瓶：20个；小油瓶：40个．
【分析】大油瓶一瓶装4千克，小油瓶2瓶装1千克，则小油瓶1瓶装（千克）.一个大油瓶比一个小油瓶多装（千克）.假设60个瓶子全部是大油瓶，则缺油（千克），由于每个小油瓶缺3.5千克，因此小油瓶的个数为
（个），再算出大油瓶的个数即可.
【详解】（千克），
小油瓶：（个），
大油瓶：（个），
答：大油瓶20个，小油瓶40个.
【点睛】本题属于鸡兔同笼问题，先计算出每个大油瓶比每个小油瓶多装的由的质量，再用假设法解题是解题的关键.
【典例10-3】《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中方程术是重要的数学成就．书中有一个方程问题：“五只雀，六只燕，共重19两，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀、燕的重量各为多少两？
【答案】每只雀、燕的重量分别为2两，两
【分析】设每只雀有x两，每只燕有y两，再根据：五只雀，六只燕，共重19两，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，建立方程组即可求解．
【详解】解：设每只雀有x两，每只燕有y两，
由题意得，，解得：．
答：每只雀、燕的重量分别为2两，两．
【点睛】本题考查的是二元一次方程组的应用，理解题意，确定相等关系是解本题的关键
针对训练10
【变式10-1】我国古代数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊三，直金十二两．问牛、羊各直金几何？”题目大意是：5头牛、2只羊共19两银子；2头牛、3只羊共12两银子，求那时候每头牛、每只羊各多少两银子？
【答案】每头牛3两银子，每头羊为2两银子
【分析】设每头牛x两银子，每头羊y两银子，然后根据5头牛、2只羊共19两银子；2头牛、3只羊共12两银子列出方程组求解即可．
【详解】解：设每头牛x两银子，每头羊y两银子，
由题意得，，
解得
答：每头牛3两银子，每头羊为2两银子．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键．
【变式10-2】在九章算术的“方程”一章中，一次方程组是由算筹布置而成的，已知图所示的算筹图表示的方程组为，请认真观察思考并完成如下任务：
(1)任务一：图所表示的方程组为______ ．
(2)任务二：请解你所列的方程组．
(3)任务三：请聪明的你尝试用不同的方法解你所列的方程组．
【答案】(1)
(2)
(3)见解析
【分析】（1）根据图所表示的方程组可得出图所表示的方程组；
（2）利用加减法解方程组即可；
（3）利用代入法求解即可．
【详解】（1）解：根据图所示的算筹的表示方法，可推出图所示的算筹的表示的方程组：
，
故答案为：；
（2）由（1）得：，
得，，
即，
把代入得，，
．
所以方程组的解为：；
（3）由（1）得：，
由得，，
将代入得，
解得，
把代入得，．
所以方程组的解为：．
【点睛】本题是古代问题，考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解二元一次方程组；观察图形，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
【变式10-3】中国古代数学著作《张丘建算经》中有“百钱买百鸡”问题，大意为：用100文钱购买了100只鸡，公鸡一只5文钱，母鸡一只3文钱，小鸡则一文钱3只．若公鸡买了8只，求母鸡、小鸡各买了多少只．请你解决上述问题．
【答案】母鸡11只，小鸡81只
【分析】设买母鸡x只，小鸡y只，根据题意即可列出二元一次方程组，解方程组，即可求解．
【详解】解：设买母鸡x只，小鸡y只，
根据题意得，
解得
答：买了母鸡11只，小鸡81只．
【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
【变式10-4】我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”译文：有若干只鸡与兔在同一个笼子里，从上面数有35个头，从下面数有94只脚，问笼中各有几只鸡和兔？根据以上译文，回答以下问题：笼中鸡、兔各有多少只？
【答案】见解析。
【解析】设笼中鸡有x只，兔有y只，
依题意得：，
解得：．
答：笼中鸡有23只，兔有12只．
【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑