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数学七年级下暑假培优专题训练
专题十三、二元一次方程组应用（三）
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目录
【考点十一 二元一次方程组中的利润问题】.................................1
【考点十二 二元一次方程中的盈不足问题】.................................3
【考点十三 二元一次方程组中的开放问题】.................................4
【考点十四 三元一次方程组中的实际问题】.................................5
【聚焦考点11】
商品销售利润问题
1.打x折后价格=打折前价格×x/10
2.利润=售价-进价
3.利润率=（售价-进价）/进价×100％。
【典例剖析11】
【考点十一 二元一次方程组中的利润问题】
【典例11-1】根据经营情况，公司对某商品在甲、乙两地的销售单价进行了如下调整：甲地上涨，乙地降价元，已知销售单价调整前甲地比乙地少元，调整后甲地比乙地少元，求调整前甲、乙两地该商品的销售单价．
【典例11-2】小明在某商店购买商品共三次，只有一次购买时，商品同时打折，其余两次均按标价购买，三次购买商品的数量和费用如表：
购买商品的数量（个） 购买商品的数量（个） 购买商品的数量（个）
第一次购物 6 5 1140
第二次购物 3 7 1110
第三次购物 9 8 1062
(1)求商品的标价；
(2)若商品的折扣相同，问商店是打几折出售这两种商品的？
【典例11-3】在学校开展“劳动创造美好生活”主题系列活动中，八年级班负责校园某绿化角的设计、种植与养护同学们约定每人养护一盆绿植，计划购买绿萝和吊兰两种绿植共盆已知绿萝每盆元，吊兰每盆元采购组计划将预算经费元全部用于购买绿萝和吊兰，求可购买绿萝和吊兰各多少盆．
针对训练11
【变式11-1】某校为了丰富学生的课余生活，决定购买一定数量的乒乓球拍和羽毛球拍．某商店的乒乓球拍和羽毛球拍的销售方案如下表所示：
不足30副 30副及以上
乒乓球拍 按标价出售 每副优惠5元
羽毛球拍 按标价出售 按标价的8折出售
已知购买10副乒乓球拍和10副羽毛球拍需要1000元，购买15副乒乓球拍和5副羽毛球拍需要900元．若张老师购买40副乒乓球拍，50副羽毛球拍，则需花费多少元？
【变式11-2】某公司，要从大连购买一批每吨2000元的原料运到沈阳加工厂进行加工，加工完的产品运到哈尔滨以每吨7000元的价格进行销售，在运输途中选择铁路和公路两种方式如下表：
铁路路程 公路路程
大连到沈阳 280km 70km
沈阳到哈尔滨 410km 140km
已知一吨原料从大连到沈阳的运费为560元，一吨产品从沈阳到哈尔滨的运费为895元．
(1)求铁路运价为多少元，公路运价为多少元？
(2)若这两次运输共支出铁路运费559500元，公路运费224000元．求这个公司买原料多少吨？加工完的产品多少吨？
(3)在（2）的条件下，求这批产品完全售出后共获利多少元？
【变式11-3】小丽到水果店购买2个单价相同的椰子和10个单价相同的柠檬，按原价需要100元．小丽觉得贵了，老板说：柠檬给你九折，你给我95元就行．求原来椰子和柠檬的单价各是多少？（注：打九折即原价的）
【聚焦考点12】
根据不变量找相等关系列方程
【典例剖析12】
【考点十二 二元一次方程中的盈不足问题】
【典例12-1】我校举办“新时代好少年，强国有我”的读书节活动，推动全校读书风潮，七年级（1）班借此开展借书共享活动，甲对乙说：“若你的藏书给我一本，我的藏书数量是你藏书数量的2倍”，乙对甲说：“若你的藏书给我一本，你我藏书的数量就相同了”，设甲藏书x本，乙藏书y本，根据题意可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【典例12-2】《算法统宗》中记载着一首饮酒数学诗：“肆中饮客乱纷纷，薄酒名酶厚酒醇，醇酒一瓢醉三客，薄酒三瓶醉一人，共同饮了一十九，三十三客醉颜生，试问高明能算士，几多酶酒几多醇？”其意思是：醇酒1瓶，可以醉倒3位客人，薄酒3瓶，可以醉倒1位客人，如果33位客人醉倒了，那么他们总共饮下了19瓶酒，问饮下醇酒，薄酒分别多少瓶？
针对训练12
【变式12-1】某快递配送站现有若干个包裹需要快递员派送，若每个快递员派送115个包裹，则还剩10个包裹；若每个快递员派送120个包裹，则有1个快递员少派送35个包裹．求该快递派送站共有快递员的数量和共需要派送包裹的数量．
【变式12-1】小明与小白是好朋友．小明说：“你将你的钱给我一半，我的钱数是100元．”小白说：“你将你的钱给我，我的钱数也是100．”请你计算小明与小白原来各有多少元？
【变式12-3】《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：
今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？
意思是：几个人一起去购买某物品，如果每人出8钱，则多了3钱；如果每人出7钱，则少了4钱．问有多少人，物品的价值是多少？该问题中物品的价值是 　　钱．
【聚焦考点13】
【典例剖析13】
【考点十三 二元一次方程组中的开放问题】
【典例13-1】小虎、大壮和明明三人玩飞镖游戏，各投5支镖，规定在同一环内得分相同，中靶和得分情况如图，则大壮的得分是（ ）
A．20 B．22 C．23 D．25
【典例13-2】由大小两种货车，3辆大车与4辆小车一次可以运货22吨，2辆大车与6辆小车一次可以运货23吨．请根据以上信息，提出一个能用二元一次方程组解决的问题，并写出这个问题的解答过程．
针对训练13
【变式13-1】已知关于x，y的方程组
(1)请直接写出方程x＋2y－6＝0的所有正整数解；
(2)若方程组的解满足x＋y＝0，求m的值；
(3)无论实数m取何值时，方程x－2y＋mx＋5＝0总有一个固定的解，求出这个解．
(4)若方程组的解中x恰为整数，m也为整数，求m的值．
【变式13-1】在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），若点Q的坐标为（ax+y，x+ay），则称点Q是点P的“a阶派生点”（其中a为常数，且a≠0）．例如：点P（1，4）的“2阶派生点”为点Q（2×1+4，1+2×4），即点Q（6，9）．
（1）若点P的坐标为（﹣1，5），则它的“3阶派生点”的坐标为 　 　；
（2）若点P的“5阶派生点”的坐标为（﹣9，3），求点P的坐标；
（3）若点P（c+1，2c﹣1）先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到了点P1．点P1的“﹣4阶派生点”P2位于坐标轴上，求点P2的坐标．
【聚焦考点14】
用三元一次方程组解决实际问题的步骤：
(1)审题：弄清题意和题目中的数量关系；
(2)设元：用字母表示题目中的三个未知数；
(3)列方程组：根据3个等量关系列出方程组；
(4)解方程组：利用代入消元法或加减消元法解出未知数的值；
(5)检验并答：检验所求的解是否符合实际意义，然后作答.
【典例剖析14】
【考点十四 三元一次方程组中的实际问题】
【典例14-1】根据以下素材，探索完成任务
如何设计购买方案？
素材1 某校40名同学要去参观航天展览馆，已知展览馆分为A，B，C三个场馆，且购买1张A场馆门票和1张B场馆门票共需90元，购买3张A场馆门票和2张B场馆门票共需230元．C场馆门票为每张15元．
素材2 由于场地原因，要求到A场馆参观的人数要少于到B场馆参观的人数，且每位同学只能选择一个场馆参观．参观当天刚好有优惠活动：每购买1张A场馆门票就赠送1张C场馆门票．
问题解决
任务1 确定场馆门票价格 求A场馆和B场馆的门票价格．
任务2 探究经费的使用 若购买A场馆的门票赠送的C场馆门票刚好够参观C场馆的同学使用，求此次购买门票所需总金额的最小值．
任务3 拟定购买方案 若购买门票总预算为1100元，在不超额的前提下，要让去A场馆的人数尽量的多，请你设计一种购买方案．购买方案门票类型ABC购买数量
【典例14-2】根据以下素材，探索完成任务．
如何合理搭配消费券？
素材一 温州市人民政府决定，发放2023年“春暖瓯越 温享生活”消费券（如图），一人可领取的消费券有：A型消费券（满25减10元）2张，B型消费券（满58减20元）2张，C型消费券（满168减60元）1张．
素材二 在此次活动中，小明一家5人都领到了消费券．某日小明一家在超市使用消费券共减了380元，请完成以下任务．
任务一 若小明一家用了2张A型消费券，6张B型的消费券，则用了 　 　张C型的消费券，此时实际消费的最少为 　 　元．
任务二 若小明一家用12张A、B、C型的消费券消费，已知A型比C型的消费券多1张，求A、B、C型的消费券各多少张？
任务三 若小明一家仅用两种不同类型的消费券消费，请问如何搭配使用消费券，使得使用消费券张数最少，并求出此时消费券的搭配方案．
【典例14-3】某企业A，B，C三个部门计划在甲，乙商家购买一批口罩和消毒液，口罩30元/盒，消毒液10元/瓶．甲，乙商家的销售优惠方式如下：
①甲商家：口罩和消毒液都是按8折销售；
②乙商家：买一盒口罩可送一瓶消毒液．
（1）A部门有10人，计划每人配置1盒口罩和2瓶消毒液．若A部门选择甲商家购买，则需要花费 　 　元．
（2）B部门选择了乙商家，共花费500元，已知购买消毒液的数量是口罩数量的2倍多2．请问B部门购买了多少盒口罩．
（3）C部门要购买15盒口罩和消毒液若干（超过15瓶），如果你是该部门负责人，且只能在甲，乙商家选其中一家购买，应该选择哪家才会更加划算，请说明理由．
针对训练14
【变式14-1】阅读感悟：
有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：
已知实数x、y满足3x﹣y＝5①，2x+3y＝7②，求x﹣4y和7x+5y的值．
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①﹣②可得x﹣4y＝﹣2，由①+②×2可得7x+5y＝19．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
解决问题：
（1）已知二元一次方程组，则x﹣y＝　 　；
（2）某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需 　 　元．
（3）对于实数x、y，定义新运算：x*y＝ax+by+c，其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知3*5＝15，4*7＝28，那么1*1＝　 　．
【变式14-2】小明到某服装商场进行社会调查，了解到该商场为了激励营业员的工作积极性，实行“月总收入＝基本工资+计件奖金”的方法，并获得如下信息：
营业员 小丽 小华
月销售件数（件） 200 150
月总收入（元） 1400 1250
假设营业员的月基本工资为x元，销售每件服装奖励y元．
（1）求x、y的值；
（2）如果在商场购买甲3件，乙2件，丙1件共需315元；如果购买甲1件，乙2件，丙3件共需285元．某顾客想购买甲、乙、丙各一件共需多少元？
【变式14-3】合肥市某中学学生张强到某服装商场进行社会调查，了解到该商场为了激励营业员的工作积极性，实行“月总收入＝基本工资+计件奖金”的方法（即营业员月总收入由基本工资和计件金两部分构成），并获得如下信息：
营业员A：月销售件数200件，月总收入4500元；
营业员B：月销售件数300件，月总收入5000元．
假设营业员的月基本工资为x元，销售每件服装奖励y元．
（1）求x、y的值；
（2）商场为了多销售服装，对顾客推荐一种购买方式：如果购买甲服装3件，乙服装2件，丙服装1件共需1500元；如果购买甲服装1件，乙服装2件，丙服装3件共需1620元．某顾客想购买甲、乙、丙服装各一件，共需多少元？
数学七年级下暑假培优专题训练
专题十三、二元一次方程组应用（三）（解析版）
【考点十一 二元一次方程组中的利润问题】
【典例11-1】根据经营情况，公司对某商品在甲、乙两地的销售单价进行了如下调整：甲地上涨，乙地降价元，已知销售单价调整前甲地比乙地少元，调整后甲地比乙地少元，求调整前甲、乙两地该商品的销售单价．
【答案】调整前甲、乙两地该商品的销售单价分别为元
【分析】设调整前甲、乙两地该商品的销售单价分别为元，根据题意，列出二元一次方程组，解方程组即可求解．
【详解】解：设调整前甲、乙两地该商品的销售单价分别为元，根据题意得，
解得：
答：调整前甲、乙两地该商品的销售单价分别为元
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出二元一次方程组是解题的关键．
【典例11-2】小明在某商店购买商品共三次，只有一次购买时，商品同时打折，其余两次均按标价购买，三次购买商品的数量和费用如表：
购买商品的数量（个） 购买商品的数量（个） 购买商品的数量（个）
第一次购物 6 5 1140
第二次购物 3 7 1110
第三次购物 9 8 1062
(1)求商品的标价；
(2)若商品的折扣相同，问商店是打几折出售这两种商品的？
【答案】(1)商品的标价为90元，商品的标价为120元
(2)商店是打6折出售这两种商品的
【分析】（1）设商品的标价元，商品的标价为元，由表中数据列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设商店是打折出售这两种商品的，由打折之后购买9个商品和8个商品共花费1062元，列出一元一次方程，解方程即可．
【详解】（1）由表中数据可知，小明以折扣价购买商品是第三次购物．
设商品的标价为元，商品的标价为元，
由题意得：，
解得：，
答：商品的标价为90元，商品的标价为120元；
（2）解：设商店是打折出售这两种商品的，
由题意得：，
解得：，
答：商店是打6折出售这两种商品的．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．
【典例11-3】在学校开展“劳动创造美好生活”主题系列活动中，八年级班负责校园某绿化角的设计、种植与养护同学们约定每人养护一盆绿植，计划购买绿萝和吊兰两种绿植共盆已知绿萝每盆元，吊兰每盆元采购组计划将预算经费元全部用于购买绿萝和吊兰，求可购买绿萝和吊兰各多少盆．
【答案】可购买绿萝盆，吊兰盆
【分析】设可购买绿萝盆，吊兰盆，根据计划购买绿萝和吊兰两种绿植共盆和预算经费元全部用于购买绿萝和吊兰，即可得到二元一次方程组，解方程组即可得到答案．
【详解】解：设可购买绿萝盆，吊兰盆，
依题意得：，
解得：，
答：可购买绿萝盆，吊兰盆．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用，读懂题意，正确列出方程组是解题的关键．
针对训练11
【变式11-1】某校为了丰富学生的课余生活，决定购买一定数量的乒乓球拍和羽毛球拍．某商店的乒乓球拍和羽毛球拍的销售方案如下表所示：
不足30副 30副及以上
乒乓球拍 按标价出售 每副优惠5元
羽毛球拍 按标价出售 按标价的8折出售
已知购买10副乒乓球拍和10副羽毛球拍需要1000元，购买15副乒乓球拍和5副羽毛球拍需要900元．若张老师购买40副乒乓球拍，50副羽毛球拍，则需花费多少元？
【答案】40副乒乓球拍，50副羽毛球拍共需花费3800元
【分析】先列二元一次方程组求出乒乓球拍和羽毛球拍的标价，再按照销售方案计算即可．
【详解】解：设每副乒乓球拍标价x元，每副羽毛球拍标价y元，
，
解得，
（元）．
答：40副乒乓球拍，50副羽毛球拍共需花费3800元．
【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，解题的关键是正确列出二元一次方程组，求出乒乓球拍和羽毛球拍的标价．
【变式11-2】某公司，要从大连购买一批每吨2000元的原料运到沈阳加工厂进行加工，加工完的产品运到哈尔滨以每吨7000元的价格进行销售，在运输途中选择铁路和公路两种方式如下表：
铁路路程 公路路程
大连到沈阳 280km 70km
沈阳到哈尔滨 410km 140km
已知一吨原料从大连到沈阳的运费为560元，一吨产品从沈阳到哈尔滨的运费为895元．
(1)求铁路运价为多少元，公路运价为多少元？
(2)若这两次运输共支出铁路运费559500元，公路运费224000元．求这个公司买原料多少吨？加工完的产品多少吨？
(3)在（2）的条件下，求这批产品完全售出后共获利多少元？
【答案】(1)铁路运价为元，公路运价为2元；
(2)公司买原料600吨，加工完的产品500吨；
(3)这批产品完全售出后共获利元．
【分析】（1）设铁路运价为x元，公路运价为y元，根据题意列出二元一次方程组，即可求解；
（2）设公司买原料a吨，加工完的产品b吨，根据题意列出二元一次方程组，即可求解；
（3）根据“利润销售收入成本运费”，即可求得结论．
【详解】（1）解：设铁路运价为x元，公路运价为y元，
依题意得，，
解得，
答：铁路运价为元，公路运价为2元；
（2）解：设公司买原料a吨，加工完的产品b吨，
依题意得，，
解得，
答：公司买原料600吨，加工完的产品500吨；
（3）解：(元)．
答：这批产品完全售出后共获利元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（3）根据根据“利润销售收入成本运费”，列式计算．
【变式11-3】小丽到水果店购买2个单价相同的椰子和10个单价相同的柠檬，按原价需要100元．小丽觉得贵了，老板说：柠檬给你九折，你给我95元就行．求原来椰子和柠檬的单价各是多少？（注：打九折即原价的）
【答案】椰子的单价为25元，柠檬的单价为5元
【分析】设椰子和柠檬的单价各是元和元，由题意，得，计算求解即可．
【详解】解：设椰子和柠檬的单价各是元和元，
由题意，得，
解得，
答：椰子的单价为25元，柠檬的单价为5元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用．解题的关键在于根据题意正确的列二元一次方程组．
【考点十二 二元一次方程中的盈不足问题】
【典例12-1】我校举办“新时代好少年，强国有我”的读书节活动，推动全校读书风潮，七年级（1）班借此开展借书共享活动，甲对乙说：“若你的藏书给我一本，我的藏书数量是你藏书数量的2倍”，乙对甲说：“若你的藏书给我一本，你我藏书的数量就相同了”，设甲藏书x本，乙藏书y本，根据题意可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】设甲藏书x本，乙藏书y本，根据甲对乙说的话得到方程“x+1＝2（y﹣1）”，根据乙对甲说的话得到方程“x﹣1＝y+1”，联立方程组即可．
【解答】解：由题意得，
，
故选：B．
【点评】本题考查根据实际问题抽象出二元一次方程组，解决问题的关键是确定满足条件的等量关系，列出相应的方程组．
【典例12-2】《算法统宗》中记载着一首饮酒数学诗：“肆中饮客乱纷纷，薄酒名酶厚酒醇，醇酒一瓢醉三客，薄酒三瓶醉一人，共同饮了一十九，三十三客醉颜生，试问高明能算士，几多酶酒几多醇？”其意思是：醇酒1瓶，可以醉倒3位客人，薄酒3瓶，可以醉倒1位客人，如果33位客人醉倒了，那么他们总共饮下了19瓶酒，问饮下醇酒，薄酒分别多少瓶？
【答案】醇酒有10瓶，薄酒有9瓶
【分析】设醇酒有x瓶，则薄酒有（19﹣x）瓶，根据“醇酒1瓶醉了3位客人，薄酒3瓶醉了1位客人，且共醉了33位客人”，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可求出醇酒的瓶数，再将其代入（19﹣x）中即可求出薄酒的瓶数．
【解答】解：设醇酒有x瓶，则薄酒有（19﹣x）瓶，
依题意得：，
解得：x＝10，
∴19﹣x＝19﹣10＝9，
答：醇酒有10瓶，薄酒有9瓶．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
针对训练12
【变式12-1】某快递配送站现有若干个包裹需要快递员派送，若每个快递员派送115个包裹，则还剩10个包裹；若每个快递员派送120个包裹，则有1个快递员少派送35个包裹．求该快递派送站共有快递员的数量和共需要派送包裹的数量．
【答案】该快递派送站共有快递员9人，共需要派送包裹1045个．
【分析】设该快递派送站共有快递员x人，共需要派送包裹y个，由题意：若每个快递员派送115个包裹，则还剩10个包裹；若每个快递员派送120个包裹，则有1个快递员少派送35个包裹．列出二元一次方程组，解方程组即可．
【解答】解：设该快递派送站共有快递员x人，共需要派送包裹y个，
由题意得：，
解得：，
答：该快递派送站共有快递员9人，共需要派送包裹1045个．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
【变式12-2】小明与小白是好朋友．小明说：“你将你的钱给我一半，我的钱数是100元．”小白说：“你将你的钱给我，我的钱数也是100．”请你计算小明与小白原来各有多少元？
【答案】小明、小白两人各带的钱数为75元和50元
【分析】设小明原有的钱数为x，小白原有的钱数为y，根据你将“你的钱给我一半，我的钱数是100元”和“你将你的钱给我，我的钱数也是100”列方程即可得到结论．
【解答】解：设小明原有的钱数为x，小白原有的钱数为y，
，
解得，
答：小明、小白两人各带的钱数为75元和50元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，正确地理解题意是解题的关键。
【变式12-3】《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：
今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？
意思是：几个人一起去购买某物品，如果每人出8钱，则多了3钱；如果每人出7钱，则少了4钱．问有多少人，物品的价值是多少？该问题中物品的价值是 　　钱．
【答案】53
【解析】设有x人，物品的价值为y钱，由题意：几个人一起去购买某物品，如果每人出8钱，则多了3钱；如果每人出7钱，则少了4钱．列出方程组，解方程组即可．
解：设有x人，物品的价值为y钱，
依题意，得：，
解得：，
即该问题中物品的价值是53钱．
【考点十三 二元一次方程组中的开放问题】
【典例13-1】小虎、大壮和明明三人玩飞镖游戏，各投5支镖，规定在同一环内得分相同，中靶和得分情况如图，则大壮的得分是（ ）
A．20 B．22 C．23 D．25
【答案】C
【分析】设投掷中外环区、内区一次的得分分别为x，y分，根据等量关系列出方程组，解方程组即可；
【详解】设投掷中外环区、内区一次的得分分别为x，y分，
依题意得：，
∴解这个方程组为：，
∴大壮的得分为：．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，准确计算是解题的关键．
【典例13-2】由大小两种货车，3辆大车与4辆小车一次可以运货22吨，2辆大车与6辆小车一次可以运货23吨．请根据以上信息，提出一个能用二元一次方程组解决的问题，并写出这个问题的解答过程．
【答案】问题：1辆大车与1辆小车一次可以运货多少吨 ( 本题的答案不唯一)，答案：6.5吨.
【分析】1辆大车与1辆小车一次可以运货多少吨？根据题意可知，本题中的等量关系是“3辆大车与4辆小车一次可以运货22吨”和“2辆大车与6辆小车一次可以运货23吨”，列方程组求解即可．
【详解】解：问题：1辆大车与1辆小车一次可以运货多少吨 ( 本题的答案不唯一)
设1辆大车一次运货x吨，1辆小车一次运货y吨．
根据题意,得，
解得.
则x+y=4+2.5=6.5(吨).
答：1辆大车与1辆小车一次可以运货6.5吨．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，准确计算是解题的关键
针对训练13
【变式13-1】已知关于x，y的方程组
(1)请直接写出方程x＋2y－6＝0的所有正整数解；
(2)若方程组的解满足x＋y＝0，求m的值；
(3)无论实数m取何值时，方程x－2y＋mx＋5＝0总有一个固定的解，求出这个解．
(4)若方程组的解中x恰为整数，m也为整数，求m的值．
【答案】（1）， （2）m=（3）（4）
【分析】（1）先对方程变形为x=6-2y，然后可带入数值求解；
（2）把已知的x+y=0和方程x+2y-6=0组合成方程组，求解方程组的解，然后代入方程x-2y+mx+5=0即可求m的值；
（3）方程整理后，根据无论m如何变化，二元一次方程组总有一个固定的解，列出方程组，解方程组即可；
（4）先把m当做已知求出x、y的值，然后再根据整数解进行判断即可.
【详解】（1）
（2） 解得
把代入，解得m=
（3）
（4）
①+②得：
解得，
∵x恰为整数，m也为整数，
∴2+m=1或2+m=-1,
解得
【变式13-1】在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），若点Q的坐标为（ax+y，x+ay），则称点Q是点P的“a阶派生点”（其中a为常数，且a≠0）．例如：点P（1，4）的“2阶派生点”为点Q（2×1+4，1+2×4），即点Q（6，9）．
（1）若点P的坐标为（﹣1，5），则它的“3阶派生点”的坐标为 　 　；
（2）若点P的“5阶派生点”的坐标为（﹣9，3），求点P的坐标；
（3）若点P（c+1，2c﹣1）先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到了点P1．点P1的“﹣4阶派生点”P2位于坐标轴上，求点P2的坐标．
【答案】（1）（2，14）；（2）点P的坐标为（﹣2，1）；（3）点P2的坐标为（，0）或（0，﹣15）．
【分析】（1）根据派生点的定义，结合点的坐标计算后即可得出结论；
（2）设点P的坐标为（a，b），根据“派生点”的定义，结合点的坐标列出方程组，求解后即可得出结论；
（3）先根据点的平移特点得出点P1的坐标为（c﹣1，2c），再由派生点的定义和点P1的“﹣4级派生点” P2位于坐标轴上，即可求出P2的坐标．
【详解】解：（1）3×（﹣1）+5＝2，﹣1+3×5＝14，
∴若点P的坐标为（﹣1，5），则它的“3阶派生点”的坐标为（2，14）．
故答案为：（2，14）；
（2）设点P的坐标为（a，b），点P的“5阶派生点”的坐标为（﹣9，3），
由题意可知 ，
解得：，
∴点P的坐标为（﹣2，1）；
（3）∵点P（c+1，2c﹣1）先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到了点P1，
∴点P1的坐标为（c﹣1，2c），
∴﹣4（c﹣1）+2c＝﹣2c＋4，（c﹣1）+（﹣4）×2c＝﹣7c﹣1，
∴点P1的“﹣4级派生点” P2为（﹣2c＋4，﹣7c﹣1）
∴①当点P2在x轴上时，﹣7c﹣1＝0，
解得：，
∴，
∴P2（，0）．
②当点P2在y轴上时，﹣2c＋4＝0，，
解得：c＝2，
∴﹣7c﹣1＝﹣15，
∴P2（0，﹣15）．
综上所述，点P2的坐标为（，0）或（0，﹣15）．
【点睛】本题考查了新定义下求点的坐标、二元一次方程组的应用等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
【考点十四 三元一次方程组中的实际问题】
【典例14-1】根据以下素材，探索完成任务
如何设计购买方案？
素材1 某校40名同学要去参观航天展览馆，已知展览馆分为A，B，C三个场馆，且购买1张A场馆门票和1张B场馆门票共需90元，购买3张A场馆门票和2张B场馆门票共需230元．C场馆门票为每张15元．
素材2 由于场地原因，要求到A场馆参观的人数要少于到B场馆参观的人数，且每位同学只能选择一个场馆参观．参观当天刚好有优惠活动：每购买1张A场馆门票就赠送1张C场馆门票．
问题解决
任务1 确定场馆门票价格 求A场馆和B场馆的门票价格．
任务2 探究经费的使用 若购买A场馆的门票赠送的C场馆门票刚好够参观C场馆的同学使用，求此次购买门票所需总金额的最小值．
任务3 拟定购买方案 若购买门票总预算为1100元，在不超额的前提下，要让去A场馆的人数尽量的多，请你设计一种购买方案．购买方案门票类型ABC购买数量
【答案】购买10张A场馆门票，12张B场馆门票，8张C场馆门票
【分析】（1）设A场馆门票为x元，B场馆门票为y元，再根据文中数量关系列出等量关系式即可得出结论．
（2）购买A场馆门票a张，则购买B场馆门票（40﹣2a）张，依题意得：α＜40﹣2a求出a的取值范围，再设此次购买门票所需总金额为w元，则有w＝50a+40（40﹣2a）＝﹣30a+1600，最后根据函数系数a的性质确定最值问题．
（3）设购买A场馆门票m张，C场馆门票n张，则购买B场馆门票（40﹣2m﹣n），根据文中数量关系列出50m+40（40﹣2m﹣n）+15n＝1100，则n＝20﹣，根据m、n为正整数这一条件判断m、n的值即可得出结论，最后要记得检验是否符合题意．
【解答】（1）解：设A场馆门票为x元，B场馆门票为y元，
，解得．
答：A场馆门票的单价为50元，B场馆门票的单价我i40元．
（2）设购买A场馆门票a张，则购买B场馆门票（40﹣2a）张，
依题意得：α＜40﹣2a，解得：a＜．
设此次购买门票所需总金额为w元，则
w＝50a+40（40﹣2a）＝﹣30a+1600，
∵﹣30＜0，
∴w随a的增大而减小．
∵a＜，且a为整数，
∴当a＝13时，w取得最小值，最小值＝﹣30×13+1600＝1210．
答：此次购买门票所需总金额的最小值为1210元．
（3）设购买A场馆门票m张，C场馆门票n张，则购买B场馆门票（40﹣2m﹣n），
依题意得：
50m+40（40﹣2m﹣n）+15n＝1100，
∴n＝20﹣．
又∵m，n均为正整数，
∴或或．
当m＝5，n＝14时，40﹣2m﹣n＝40﹣2×5﹣14＝16＞5，符合题意．
当m＝10，n＝8时，40﹣2m﹣n＝40﹣2×10﹣8＝12＞10，符合题意．
当m＝15，n＝2时，40﹣2m﹣n＝40﹣2×15﹣2＝8＜15，符合题意，舍去；
∴共有2种购买方案，
方案1：购买5张A场馆门票，16张B场馆门票，14张C场馆门票；
方案2：购买10张A场馆门票，12张B场馆门票，8张C场馆门票．
又∵在不超额的前提下，要让去A场馆的人数尽量的多，
∴选择方案2，
即购买10张A场馆门票，12张B场馆门票，8张C场馆门票．
【点评】本题考查了二元一次方程组，不等式的应用以及最值问题，对学生的综合能力要求较高．
【典例14-2】根据以下素材，探索完成任务．
如何合理搭配消费券？
素材一 温州市人民政府决定，发放2023年“春暖瓯越 温享生活”消费券（如图），一人可领取的消费券有：A型消费券（满25减10元）2张，B型消费券（满58减20元）2张，C型消费券（满168减60元）1张．
素材二 在此次活动中，小明一家5人都领到了消费券．某日小明一家在超市使用消费券共减了380元，请完成以下任务．
任务一 若小明一家用了2张A型消费券，6张B型的消费券，则用了 　 　张C型的消费券，此时实际消费的最少为 　 　元．
任务二 若小明一家用12张A、B、C型的消费券消费，已知A型比C型的消费券多1张，求A、B、C型的消费券各多少张？
任务三 若小明一家仅用两种不同类型的消费券消费，请问如何搭配使用消费券，使得使用消费券张数最少，并求出此时消费券的搭配方案．
【答案】4张B，5张C使得使用消费券张数最少
【分析】任务一：根据“小明一家在超市使用消费券共减了380元“计算即可；
任务二：设型的消费券x张，B型的消费券y张，则C型的消费券（x﹣1）张，根据题意列方程计算即可；
任务3：根据”小明一家在超市使用消费券共减了380元”列出二元一次方程，求出正整数解即可，注意分类讨论．
【解答】解：任务一：用C型的消费券数量为：（380﹣2×10﹣20×6）÷60＝4，满减前至少消费2×25+58×6+168×4＝1070（元），
∴实际消费最少为1070﹣380＝690（元）．
故答案为：4：690；
任务二：设A型的消费券x张，B型的消费券y张，则C型的消费券（x﹣1）张，
由题意可得，解得．
∴C型的消费券5张．
答：A型的消费券6张，B型的消费券1张，则c型的消费券5张；
任务三：设小明一家共使用A型的消费券a张，B型的消费券b张，C型的消费券c张，则a，b，都是正整数，a≤10，b≤10，c≤5，
①A、B型：10a+20b＝380．
∴a+2b＝38，
∵a，b都是正整数，a≤10，b≤10，c≤5，
∴无解；
②B、C型：20h+60c＝380，
∴b+3c＝19，
∵a，b，c都是正整数，a≤10，b≤10．c≤5，
∴或．
③A、C型：10a+60c＝380，
∴a+6c＝38，
∵a，b，c都是正整数，a≤10，b≤10、c≤5，
∴．
所以综上所述，4张B，5张C使得使用消费券张数最少．
【点评】本题主要考查了二元一次方程的应用，解题的关键是根据等量关系，列出方程，准确解方程，求出正整数解
【典例14-3】某企业A，B，C三个部门计划在甲，乙商家购买一批口罩和消毒液，口罩30元/盒，消毒液10元/瓶．甲，乙商家的销售优惠方式如下：
①甲商家：口罩和消毒液都是按8折销售；
②乙商家：买一盒口罩可送一瓶消毒液．
（1）A部门有10人，计划每人配置1盒口罩和2瓶消毒液．若A部门选择甲商家购买，则需要花费 　 　元．
（2）B部门选择了乙商家，共花费500元，已知购买消毒液的数量是口罩数量的2倍多2．请问B部门购买了多少盒口罩．
（3）C部门要购买15盒口罩和消毒液若干（超过15瓶），如果你是该部门负责人，且只能在甲，乙商家选其中一家购买，应该选择哪家才会更加划算，请说明理由．
【答案】当15＜y＜30时，选乙；当y＝30时均可；当y＞30时，选甲
【分析】（1）10盒口罩10瓶消毒液的钱数乘以80%即可；
（2）设B部门买了x盒口罩，消毒液为（2x+2）瓶，列方程，解方程即可；
（3）分别表示出在两个商场中花费的钱数，借助不等式选择商场．
【解答】解：（1）（10×30+2×10×10）×80%
＝500×80%
＝400（元），
故答案为：400；
（2）设B部门买了x盒口罩，消毒液为（2x+2）瓶，
30x+10（2x+2﹣x）＝500，
解方程得：x＝12，
答：B部门购买了12盒口罩；
（3）设消毒液为y瓶，
甲商场：（30×15+10y）×80%，
乙商场：30×15+10（y﹣15），
当（30×15+10y）×80%＜30×15+10（y﹣15）时，选甲商场，
解不等式得：y＞30，
当30y+10（y﹣15）＜（30×15+10y）×80%时，选乙商场，
解不等式得：15＜y＜30，
当30y+10（y﹣15）＝（30×15+10y）×80%时，甲乙都可，
解方程得x＝30，
答：当15＜y＜30时，选乙；当y＝30时均可；当y＞30时，选甲．
【点评】本题考查的是三元一次方程组的应用，解题的关键是表示出在甲乙两个商场中花费的钱数．
针对训练14
【变式14-1】阅读感悟：
有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：
已知实数x、y满足3x﹣y＝5①，2x+3y＝7②，求x﹣4y和7x+5y的值．
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①﹣②可得x﹣4y＝﹣2，由①+②×2可得7x+5y＝19．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
解决问题：
（1）已知二元一次方程组，则x﹣y＝　 　；
（2）某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需 　 　元．
（3）对于实数x、y，定义新运算：x*y＝ax+by+c，其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知3*5＝15，4*7＝28，那么1*1＝　 　．
【答案】﹣11．
【分析】（1）利用①﹣②可求出x﹣y的值；
（2）设铅笔的单价为m元，橡皮的单价为n元，日记本的单价为p元，根据“买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元”，即可得出关于m，n，p的三元一次方程组，利用①×10﹣②×5，即可求出结论；
（3）根据“3*5＝15，4*7＝28”，即可得出关于a，b，c的三元一次方程组，利用①×3﹣②×2，即可求出1*1的值．
【解答】解：（1），
由①﹣②可得x﹣y＝﹣1．
故答案为：﹣1．
（2）设铅笔的单价为m元，橡皮的单价为n元，日记本的单价为p元，
依题意得：，
由①×10﹣②×5可得5m+5n+5p＝30，
即购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元．
故答案为：30．
（3）依题意得：，
由①×3﹣②×2可得a+b+c＝﹣11，
即1*1＝﹣11．
故答案为：﹣11．
【点评】本题考查了三元一次方程组的应用以及解二元一次方程组，解题的关键是：（1）利用整体思想，求出x﹣y的值；（2）（3）找准等量关系，正确列出三元一次方程组
【变式14-2】小明到某服装商场进行社会调查，了解到该商场为了激励营业员的工作积极性，实行“月总收入＝基本工资+计件奖金”的方法，并获得如下信息：
营业员 小丽 小华
月销售件数（件） 200 150
月总收入（元） 1400 1250
假设营业员的月基本工资为x元，销售每件服装奖励y元．
（1）求x、y的值；
（2）如果在商场购买甲3件，乙2件，丙1件共需315元；如果购买甲1件，乙2件，丙3件共需285元．某顾客想购买甲、乙、丙各一件共需多少元？
【答案】购买一件甲、一件乙、一件丙共需150元
【分析】（1）通过理解题意可知此题存在两个等量关系，即小丽的基本工资+提成＝1400元，小华的基本工资+提成＝1250元，列方程组求解即可；
（2）理解题意可知，计算出甲、乙、丙各购买4件共多少钱，即可求解．
【解答】解：（1）设营业员的基本工资为x元，买一件的奖励为y元．
由题意得，
解得，
即x的值为800，y的值为3；
（2）设一件甲为x元，一件乙为y元，一件丙为z元．
则可列方程组：，
将两等式相加得4x+4y+4z＝600，则x+y+z＝150，
答：购买一件甲、一件乙、一件丙共需150元．
【点评】本题考查三元一次方程组的应用，二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．
【变式14-3】合肥市某中学学生张强到某服装商场进行社会调查，了解到该商场为了激励营业员的工作积极性，实行“月总收入＝基本工资+计件奖金”的方法（即营业员月总收入由基本工资和计件金两部分构成），并获得如下信息：
营业员A：月销售件数200件，月总收入4500元；
营业员B：月销售件数300件，月总收入5000元．
假设营业员的月基本工资为x元，销售每件服装奖励y元．
（1）求x、y的值；
（2）商场为了多销售服装，对顾客推荐一种购买方式：如果购买甲服装3件，乙服装2件，丙服装1件共需1500元；如果购买甲服装1件，乙服装2件，丙服装3件共需1620元．某顾客想购买甲、乙、丙服装各一件，共需多少元？
【答案】购买甲、乙、丙服装各一件共需780元
【分析】（1）根据“月销售件数200件，月总收入4500元，月销售件数300件，月总收入5000元”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买一件甲服装需要a元，购买一件乙服装需要b元，购买一件丙服装需要c元，根据“购买甲服装3件，乙服装2件，丙服装1件共需1500元；购买甲服装1件，乙服装2件，丙服装3件共需16200元”，即可得出关于a、b、c的三元一次方程组，利用（①+②）÷4即可求出购买甲、乙、丙服装各一件的总费用．
【解答】解：（1）根据题意得：，
，
（2）设购买一件甲服装需要a元，购买一件乙服装需要b元，购买一件丙服装需要c元，
根据题意得：，
（①+②）÷4，得：a+b+c＝780．
答：购买甲、乙、丙服装各一件共需780元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及三元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出三元一次方程组．
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