资源简介

学习任务单
课程基本信息
学科 数学 年级 高二 学期 秋季
课题 2.3.3直线与圆的位置关系
教科书 书 名：普通高中教科书《数学》选择性必修第一册（B版） 出版社：人民教育出版社 出版日期：2021年1月
学生信息
姓名 学校 班级 学号
学习目标
1.能根据给定直线、圆的方程，掌握判断直线与圆的位置关系的两种方法； 2.了解求过圆上一点的切线问题和圆中弦长问题的方法； 3.初步理解坐标法解决几何问题的思路和代数运算策略的选择.
课前学习任务
1.复习回顾直线的方程和圆的方程； 2.复习点到直线的距离公式和两点间的距离公式； 3.复习直线与直线的位置关系的判断方法.
课上学习任务
【学习任务一】请同学们回顾一下，直线与圆有哪几种位置关系？ 问题1：如何判断直线与圆的位置关系？ 问题2：还有其他判断直线与圆的位置关系的方法吗？ 问题3：类比两条直线位置关系的研究方法，怎么通过直线与圆的方程来 研究直线与圆的位置关系？ 【学习任务二】判断直线与圆的位置关系，并说明理由； 问题1：直线与圆的方程联立组成的方程组，如何判断解的个数？ 问题2：判断直线与圆的位置关系还有其他方法吗？ 问题3：如何求圆心到直线的距离？ 问题4：你能归纳判断直线与圆位置关系的方法吗 问题5：利用坐标法研究几何问题的基本思路是什么？ 【学习任务三】已知直线，圆，分别求直线与圆相交、相切、相离时的取值范围. 问题1：解决这个问题有几种方法？分别是什么？ 问题2：你能给出这道题代数结论背后的几何解释吗？ 【学习任务四】已知直线与圆相交于两点，求线段的长. 问题：请尝试用不同的方法解决这个问题，并比较这几种方法的差异. 【学习任务五】已知是圆上一点，求圆的过点的切线方程. 问题1：过圆上一点作圆的切线，能做几条？ 问题2：直线方程选择什么形式？ 问题3：如何利用相切找到相应的约束条件？ 问题4：请尝试用不同的方法解决这个问题，并比较这几种方法的差异. 【学习任务六】浅谈学习收获（知识，思想和方法，核心素养等）.
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关于过圆外一点作圆的切线问题的方法探究 例题：过点作圆的切线，求切线方程. 问题1：过一点作圆的切线，能做出几条 从几何图形上分析，这首先涉及点与圆的位置关系，我们可以画图判断，显然点在圆外；当然，也可以把点的坐标代入圆的方程进行判断，点在圆外.则过圆外一点可以作圆的两条切线，对应的直线有两个方程. 问题2：如何用代数形式刻画直线与圆相切的位置关系？ 本节课我们一起分析处理了直线与圆的三种位置关系，从不同角度去刻画这三种位置关系，是解决这一问题的关键.相切问题可以转化为—直线与圆联立消元后的方程判别式等于零，或者圆心到直线的距离与半径相等这两个核心角度. 问题3：直线方程选择什么形式？ 已知直线过一定点，表达它还需要确定一个要素，要么补充直线的斜率，要么补充另一个点，都可确定直线的方程. 无论选择用哪种代数形式表示直线，都可以用以下两种思路： 思路1：将直线与圆的位置关系—相切，转化为由它们的方程组成的方程组只有一组解，，从而确定直线方程中的参数； 思路2：将直线与圆的位置关系—相切，转化为圆心到直线距离等于半径或者圆外一点与切点连线与过切点的半径垂直等几何特征，从而确定直线方程中的参数. 处理策略一：设切线的斜率，利用或的方法求出切线的斜率为，从而得到切线方程. 首先考虑切线斜率不存在的情况，易知直线与圆外离，因此切线斜率存在. 设切线斜率为，则切线方程为：. 解法1（判别式法）： 消元得：， 直线与圆相切， 方程有一个实数解，， 由解得：或， 切线的方程为：或. 利用一元二次方程判别式求解，此法不仅适用于求直线与圆的位置关系，也适用于求直线与其它圆锥 曲线的位置关系，更具一般性，但是运算量较大,对同学的数学运算的精细程度要求较高，同时需注意不能漏掉切线斜率不存在时的切线方程． 解法2（几何法）：直线与圆相切， 圆心到直线的距离等于圆的半径， 切线方程转化为一般式：， ，解得：或， 切线的方程为：或. 几何法是此题最基本的解法，也是最简便的解法．通过设所求切线的斜率，由于圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式而求解．但此法只适用于求直线与圆的位置关系，且容易漏掉切线斜率不存在时的切线方程． 处理策略二：设切点为，利用圆外一点与切点连线与过切点的半径垂直这一几何特征，建立方程求解. 解法3（几何法）：设切点，因为与圆O相切，则, 所以（或）. 所以得到， 即. 又因为切点在圆上，所以， 联立 解得：或， 即切点或， 切线的方程为：或. 以上就是解决过圆外一点作圆的切线问题的不同方法，或设斜率或设切点则为这一类问题的基本处理策略，在解决问题过程中对几何图形研究的深度决定了代数化过程中运算量的大小，在代数化运算过程中对运算策略的选择是尤为重要的，希望同学们能慢慢去体会.

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