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2023年广西中考数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 若零下摄氏度记为，则零上摄氏度记为( )
A. B. C. D.
2. 下列数学经典图形中，是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
3. 若分式有意义，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
4. 如图，点，，，在上，则的度数是( )
A.
B.
C.
D.
5. 在数轴上表示正确的是( )
A.
B.
C.
D.
6. 甲、乙、丙、丁四名同学参加竞定跳远训练，他们成绩的平均数相同，方差如下：，，，，则成绩最稳定的是( )
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
7. 如图，一条公路两次转弯后又回到与原来相同的方向，，那么的度数是( )
A. B. C. D.
8. 下列计算正确的是( )
A. B. C. D.
9. 将抛物线先向右平移个单位，再向上平移个单位，得到的抛物线是( )
A. B. C. D.
10. 赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为，拱高约为，则赵州桥主桥拱半径约为( )
A. B. C. D.
11. 据国家统计局发布的年国民经济和社会发展统计公报显示，年和年全国居民人均可支配收入分别为万元和万元设年至年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为，依题意可列方程为( )
A. B.
C. D.
12. 如图，过的图象上点，分别作轴，轴的平行线交的图象于，两点，以，为邻边的矩形被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为，，，，若，则的值为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共6小题，共12.0分）
13. ______ ．
14. 分解因式： ______ ．
15. 函数的图象经过点，则 ______ ．
16. 某班开展“梦想未来、青春有我”主题班会，第一小组有位男同学和位女同学，现从中随机抽取位同学分享个人感悟，则抽到男同学的概率是______ ．
17. 如图，焊接一个钢架，包括底角为的等腰三角形外框和高的支柱，则共需钢材约______ 结果取整数参考数据：，，
18. 如图，在边长为的正方形中，，分别是，上的动点，，分别是，的中点，则的最大值为______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. 本小题分
计算：．
20. 本小题分
解分式方程：．
21. 本小题分
如图，在中，，．
在斜边上求作线段，使，连接；要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母
若，求的长．
22. 本小题分
月日是中国航天日，为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，航阳中学开展了“航空航天”知识问答系列活动，为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取名学生的成绩进行统计分析分及分以上为合格数据整理如图表：
学生成绩统计表
七年级 八年级
平均数
中位数
众数
合格率
根据以上信息，解答下列问题：
写出统计表中，，的值；
若该校八年级有名学生，请估计该校八年级学生成绩合格的人数；
从中位数和众数中任选其一，说明其在本题中的实际意义．
23. 本小题分
如图，平分，与相切于点，延长交于点，过点作，垂足为．
求证：是的切线；
若的半径为，，求的长．
24. 本小题分
如图，是边长为的等边三角形，点，，分别在边，，上运动，满足．
求证：≌；
设的长为，的面积为，求关于的函数解析式；
结合所得的函数，描述的面积随的增大如何变化．
25. 本小题分
【综合与实践】：有言道：“杆秤一头称起人间生计，一头称起天地良心”，某兴趣小组将利用物理学中杠杆原理制作简易杆秤，小组先设计方案，然后动手制作，再结合实际进行调试，请完成下列方案设计中的任务，
【知识背景】：如图，称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡，根据杠杆原理推导得：，其中秤盘质量克，重物质量克，秤砣质量克，秤纽与秤盘的水平距离为厘米，秤组与零刻线的水平距离为厘米，秤砣与零刻线的水平距离为厘米．
【方案设计】：目标：设计简易杆秤设定，，最大可称重物质量为克，零刻线与末刻线的距离定为厘米．
任务一：确定和的值．
当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡，请列出关于，的方程；
当秤盘放入质量为克的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时，杆秤平衡，请列出关于，的方程；
根据和所列方程，求出和的值；
任务二：确定刻线的位置．
根据任务一，求关于的函数解析式；
从零刻线开始，每隔克在秤杆上找到对应刻线，请写出相邻刻线间的距离．
26. 本小题分
【探究与证明】折纸，操作简单，富有数学趣味，我们可以通过折纸开展数学探究，探索数学奥秘．
【动手操作】如图，将矩形纸片对折，使与重合，展平纸片，得到折痕：折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，点，的对应点分别为展平纸片，连接，，请完成：
观察图中，和，试猜想这三个角的大小关系；
证明中的猜想；
【类比操作】如图，为矩形纸片的边上的一点，连接，在上取一点，折叠纸片，使，两点重合，展平纸片，得到折痕；折叠纸片，使点，分别落在，上，得到折痕，点，的对应点分别为，，展平纸片，连接，请完成：
证明是的一条三等分线．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由零下摄氏度记为可知，零下记为““，零上记为“”，
零上摄氏度记为：．
故选：．
根据数的正负意义即可得出结论．
本题考查了有理数的正负意义，是比较基础的题型．
2.【答案】
【解析】解：、图形是中心对称图形，符合题意；
B、图形不是中心对称图形，不符合题意；
C、图形不是中心对称图形，不符合题意；
D、图形不是中心对称图形，不符合题意．
故选：．
根据中心对称图形的概念解答即可．
本题考查的是中心对称图形，熟知把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形是解题的关键．
3.【答案】
【解析】解：分式有意义，
，
解得．
故选：．
根据分式有意义的条件解答即可．
本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：，，
．
故选：．
由圆周角定理即可得到答案．
本题考查圆周角定理，关键是掌握圆周角定理．
5.【答案】
【解析】解：在数轴上表示为：
故选：．
先在数轴上找到点，再确定实心点还是空心点，根据大于往右画，小于往左画得结论．
本题考查了数轴上表示解集，掌握表示解集的方法是解决本题的关键．
6.【答案】
【解析】解：，，，，
丁的方差最小，
成绩最稳定的是丁，
故选：．
根据方差的意义求解即可．
本题主要考查方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
7.【答案】
【解析】解：公路两次转弯后又回到与原来相同的方向，
，
．
故选：．
由平行线的性质，即可得到．
本题考查平行线的性质，关键是由题意得到．
8.【答案】
【解析】解：、与不是同类项，不能合并，原计算错误，不符合题意；
B、，正确，符合题意；
C、，原计算错误，不符合题意；
D、，原计算错误，不符合题意．
故选：．
分别根据合并同类项的法则、同底数幂的乘除法则、幂的乘方与积的乘方法则对各选项进行逐一判断即可．
本题考查的是同底数幂的乘除法，合并同类项，幂的乘方与积的乘方法则，熟知以上知识是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：将抛物线先向右平移个单位，再向上平移个单位，得到的抛物线是
．
故选：．
根据“左加右减，上加下减”的法则进行解得即可．
本题主要考查了二次函数的图象与几何变换，熟记“左加右减，上加下减”的法则是解决问题的关键．
10.【答案】
【解析】解：由题意可知，，，
设主桥拱半径为，
，
是半径，，
，
在中，，
，
解得．
故选：．
设主桥拱半径，根据垂径定理得到，再利用勾股定理列方程求解，即可得到答案．
本题主要考查垂径定理的应用，涉及勾股定理，解题的关键是用勾股定理列出关于的方程解决问题．
11.【答案】
【解析】解：由题意得：，
故选：．
根据年的人均可支配收入年平均增长率年的人均可支配收入，列出一元二次方程即可．
此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：设，
在中，令得，令得，
，，
，
，，
，
，
解得，
经检验，是方程的解，符合题意，
故选：．
设，在中，令得，令得，可得，，即得，故，，根据，得，解方程并检验可得答案．
本题考查了反比例函数的性质，矩形的面积公式等，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：，
．
故答案为：．
根据算术平方根的意义即可得出结论．
本题考查了算术平方根的知识，能正确区分算术平方根和平方根是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：公有因式为，
原式，
故答案为：．
由提公因式，可直接得出结论．
本题考查了因式分解的提公因式，能快速找出公有因式是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：将点代入中，得，
解得，
故答案为：．
将点代入函数关系式，计算可求解．
本题主要考查一次函数图象上点的特征，将点的坐标代入关系式进行计算是解题的关键．
16.【答案】
【解析】解：抽到男同学的概率是，
故答案为：．
根据概率公式即可得到结论．
本题考查了概率公式，熟练掌握概率公式是解题的关键．
17.【答案】
【解析】解：，，
，
在中，，，
，，
，，
共需钢材约，
故答案为：．
根据等腰三角形的三线合一性质可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出，的长，从而求出的长，最后进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，等腰三角形的性质，熟练掌握锐角三角函数的定义，以及等腰三角形的性质是解题的关键．
18.【答案】
【解析】解：如图所示，连接，
，分别是，的中点，
是的中位线，
，
四边形是正方形，，
，
当最大时，最大，此时最大，
点是上的动点，
当点和点重合时，最大，即的长度，
此时，
，
的最大值为．
故答案为：．
首先证明出是的中位线，得出，然后由正方形的性质和勾股定理得到，证明出当最大时，最大，此时最大，进而得到当点和点重合时，最大，即的长度，最后代入求解即可．
本题考查了正方形的性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
19.【答案】解：原式
．
【解析】先算括号里面的，再算乘方，乘除，最后算加减即可．
本题考查的是有理数的混合运算，熟知有理数混合运算的顺序是解题的关键．
20.【答案】解：，
方程两边同乘得：，
移项解得：．
将代入，
是原分式方程的解．
【解析】将分式方程两边同乘转化为一元一次方程即可得出结论．
本题考查了分式方程的解法，其中确定最简公分母是解题关键．
21.【答案】解：所作线段如图所示：
，，
，
，
，
，即点为的中点，
，
，
，
．
【解析】以为圆心，长为半径画弧，交于点，则问题可求解；
根据含度直角三角形的性质可得，则有，进而问题可求解．
本题主要考查含度直角三角形的性质、直角三角形斜边中线定理及勾股定理，熟练掌握含度直角三角形的性质、直角三角形斜边中线定理及勾股定理是解题的关键．
22.【答案】解：由扇形统计图可得，
，，
由频数分布直方图可得，
八年级成绩中分有人，分有人，分有人，分有人，分有人，分有人，
故中位数是，
由上可得，，，；
人，
答：估计该校八年级学生成绩合格的人数大约为人；
根据中位数的特征可知七、八年级学生成绩的集中趋势一样答案不唯一．
【解析】根据统计图中的数据，可以写出的值，计算出、的值；
根据八年级抽取的人数的合格率进行求解即可；
根据中位数、众数的的意义解答即可．
本题考查频数分布直方图，平均数、中位数、扇形统计图，掌握平均数、中位数的计算方法是正确解答的前提．
23.【答案】证明：与相切于点，且是的半径，
，
平分，于点，于点，
，
点在上，
是的半径，且，
是的切线．
解：，，
，
，
，
，
，
，
的长是．
【解析】由切线的性质得，而平分，，所以，则点在上，即可证明是的切线；
由，，得，，由，得，所以的长是．
此题重点考查切线的性质定理、角平分线的性质、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，根据角平分线的性质证明是解题的关键．
24.【答案】证明：是等边三角形，
，，
，
，
在和中，
，
≌；
解：分别过点、作，，垂足分别为点、，
在等边中，，，
，．
的长为，则，，
，
，
由可知≌，
同理可证，≌，
，
的面积为，
；
由可知：，
，对称轴为直线，
当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，
即当时，的面积随的增大而增大，当时，的面积随的增大而减小．
【解析】由题意易得，，然后根据可进行求证；
分别过点，作，，垂足分别为点、，根据题意可得，，然后可得，由易得≌≌，则有，进而问题可求解；
由和二次函数的性质可进行求解．
本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，二次函数的性质等知识，解题的关键是学会利用分割法求三角形面积，学会利用二次函数的性质解决问题．
25.【答案】解：由题意得：，，
，，
，
；
由题意得：，，
，
；
由可得：，
解得：；
由可知：，，
，
；
由可知：，
当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；
相邻刻线间的距离为厘米．
【解析】根据题意可直接进行求解；
根据题意可直接代值求解；
由可建立二元一次方程组进行求解；
根据可进行求解；
分别把，，，，，，，，，，代入求解，以此即可求解．
本题主要考查一次函数的应用、解二元一次方程组，读懂题意，根据题干的描述正确列出等式是解题关键．
26.【答案】解：；
证明：如图，
设，交于点，
由题意得：是的垂直平分线，是的垂直平分线，，
，，
，为外心，
，
，
四边形是矩形，
，
，
；
证明：如图，
同理得：，，
，，
，
，
，
是的一条三等分线．
【解析】猜想；
可推出点是等边三角形的外心，从而得出，进一步得出结论；
同理可得，，从而，，根据得出，进一步得出结论．
本题考查了轴对称的性质，矩形的性质，等边三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握轴对称的性质．
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