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2023年6月湖南省普通高中学业水平合格性考试
数 学
本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共5页.时量90分钟.满分100分.
注意事项：
1. 答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号；
2. 必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效；
3. 答题时，请考生注意各题题号后面的答题提示；
4. 请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁.
一、选择题：本大题共18小题，每小题3分，共54分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 命题“，”的否定是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3. 某中学高二年级从甲、乙两个红色教育基地和丙、丁两个劳动实践基地中选择一个进行研学，则选择红色教育基地的概率是（ ）
A. B. C. D.
4. 函数的定义域是（ ）
A. B. C. D.
5. 已知i为虚数单位，则（ ）
A. B. C. D.
6. 空间中垂直于同一个平面的两条直线（ ）
A. 平行 B. 异面 C. 相交 D. 垂直
7. 如图，在正方体中，异面直线AC与所成的角为（ ）
A. B. C. D.
8. 设角的终边与单位圆的交点坐标为，则（ ）
A. B. C. D. 1
9. 下列命题为真命题的是（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，，则 D. 若，，则
10. 下列函数中，最小正周期为的偶函数是（ ）
A. B. C. D.
11. 设p：四棱柱是正方体，q：四棱柱是长方体，则p是q的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
12. 已知，则的最大值为（ ）
A. B. 1 C. D. 2
13. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若，，，则（ ）
A. B. C. D.
14. 在中，D为BC的中点，设，，则（ ）
A. B. C. D.
15. 函数在一个周期内的大致图象是（ ）
A. B. C. D.
16. 某中学有男生600人，女生400人.为了调查学生身高情况，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法抽取一个容量为10的样本，样本按比例分配，得到男生、女生的平均身高分别为170cm和160cm.用样本估计总体，则该校学生的平均身高是（ ）
A. 162cm B. 164cm C. 166cm D. 168cm
17. 设，，，则（ ）
A. B. C. D.
18. 为了预防流感，某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒.已知在药熏过程中，室内每立方米空气中的含药量y（单位：mg）与时间t（单位：h）的关系如图所示，函数关系式为（a为常数）.据测定，当室内每立方米空气中的含药量降到0.25mg以下时，学生方可进教室.从药熏开始，至少经过小时后，学生才能回到教室，则（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.
19. 已知函数（，且）的图象过点，则______.
20. 已知向量，，则______.
21. 为了解中学生的体育锻炼情况，现从某学校随机抽取了部分学生，对他们每天的体育锻炼时间进行统计分析，得到如图所示的频率分布直方图，估计该校学生每天的体育锻炼时间的众数是______分钟.
22. 中国传统文化中很多内容体现了数学的对称美、和谐美，如图所示的太极图.定义：若函数的图象是一条连续不断的曲线，且该曲线同时平分圆的周长和面积，则称函数为该圆的“完美函数”.写出圆心在坐标原点的圆的一个“完美函数”______.
三、解答题：本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
23.（本小题满分10分）
如图，P为圆锥的顶点，O为底面圆的圆心，AC为底面圆的直径，B是底面圆周上不同于A，C的任意一点，点D，E分别为母线PB，PC的中点.
（1）求证：平面ABC；
（2）若，，求圆锥PO的体积.
24.（本小题满分10分）
自2018年国家实施乡村振兴战略以来，农村电商行业蓬勃发展，规模不断扩大.农村电商畅通了农产品进城渠道，加速推进了农业数字化.图6为我国2018年至2022年农村电商行业农产品网络零售额的变化情况，图7为A市2022年农产品网络零售量占比扇形图.
（1）请根据图6简要描述我国2018年至2022年农产品网络零售额的变化趋势；
（2）从A市2022年网络零售农产品中随机抽取一件，估计抽取的产品是粮油或茶叶的概率；
（3）已知某农产品带货主播每天零售额超过1万元的概率为0.6，假定每天的销售情况互不影响，求该主播任意两天中至少有一天零售额超过1万元的概率.
25.（本小题满分10分）
已知函数，.
（1）写出函数的单调区间；
（2）求函数的最大值；
（3）求证：方程有唯一实根，且.机密★启用前
2023年6月湖南省普通高中学业水平合格性考试
数 学 答案
本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共5页.时量90分钟.满分100分.
注意事项：
1. 答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号；
2. 必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效；
3. 答题时，请考生注意各题题号后面的答题提示；
4. 请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁.
一、选择题：本大题共18小题，每小题3分，共54分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A。
2. 命题“，”的否定是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】B。
3. 某中学高二年级从甲、乙两个红色教育基地和丙、丁两个劳动实践基地中选择一个进行研学，则选择红色教育基地的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D。因为从甲、乙两个红色教育基地和丙、丁两个劳动实践基地中选择一个进行研学，共有4种情况，其中选择红色教育基地的情况有甲、乙两种，因此(选择红色教育基地)，因此答案选择D选项。
4. 函数的定义域是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B。因为为被开方数，被开方数，用区间表达为B选项。
5. 已知i为虚数单位，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B。因为，答案选择B选项。
6. 空间中垂直于同一个平面的两条直线（ ）
A. 平行 B. 异面 C. 相交 D. 垂直
【答案】A。
7. 如图，在正方体中，异面直线AC与所成的角为（ ）
B. C. D.
【答案】D。因为AC与为异面直线，可以通过平移使之共面。可将直线AC平移到的位置，从而将直线AC与所成的角转化为直线与所成的角，因此答案为D选项。
8. 设角的终边与单位圆的交点坐标为，则（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】C。因为根据三角函数的定义，，因此答案为C选项。
9. 下列命题为真命题的是（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，，则 D. 若，，则
【答案】C。对于A选项，可取反例，当时不成立；对于B选项，当时不成立；对于C选项，考察不等式“同向可加性”，正确；对于D选项，考察“同向同正可乘性”，题中没有表明同正，因此错误。也可举反例，比如当时不成立。综上所述，答案选择C选项。
10. 下列函数中，最小正周期为的偶函数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D。对于A选项，周期为，且为奇函数，因此不正确；对于B选项，周期虽然为，但是奇函数，因此不正确；对于C选项，虽然是偶函数，但是周期为，因此不正确；对于D选项，周期为，且为偶函数，因此答案选择D选项。
11. 设p：四棱柱是正方体，q：四棱柱是长方体，则p是q的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A。因为正方体是一种特殊的长方体，因此，答案选择A选项。
12. 已知，则的最大值为（ ）
A. B. 1 C. D. 2
【答案】D。因为当时，，所以根据基本不等式，，当且仅当时等式成立，答案选择D选项。
13. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C。因为根据余弦定理，，因此答案选择C选项。
14. 在中，D为BC的中点，设，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B。因为如图所示，，因此答案选择B选项。
15. 函数在一个周期内的大致图象是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A。
16. 某中学有男生600人，女生400人。为了调查学生身高情况，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法抽取一个容量为10的样本，样本按比例分配，得到男生、女生的平均身高分别为170cm和160cm。用样本估计总体，则该校学生的平均身高是（ ）
A. 162cm B. 164cm C. 166cm D. 168cm
【答案】C。因为按性别进行分层，用分层随机抽样的方法抽取一个容量为10的样本，则样本中包含6名男生和4名女生。样本中男生、女生的平均身高分别为170cm和160cm，因此样本中这10人的身高平均数，因此答案选择C选项。
17. 设，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D。与可看成指数为的幂函数。因为在第一象限单调递增，因此。又因为，因此，答案选择D选项。
18. 为了预防流感，某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒。已知在药熏过程中，室内每立方米空气中的含药量y（单位：mg）与时间t（单位：h）的关系如图所示，函数关系式为（a为常数）.据测定，当室内每立方米空气中的含药量降到0.25mg以下时，学生方可进教室.从药熏开始，至少经过小时后，学生才能回到教室，则（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】C。由图可知，当时，，代入，得。令，所以。综上所述，答案选择C选项。
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.
19. 已知函数（，且）的图象过点，则______.
【答案】2。因为将点代入，解得。
已知向量，，则______.
【答案】5。因为，，所以，所以。
21. 为了解中学生的体育锻炼情况，现从某学校随机抽取了部分学生，对他们每天的体育锻炼时间进行统计分析，得到如图所示的频率分布直方图，估计该校学生每天的体育锻炼时间的众数是______分钟.
【答案】45。
22. 中国传统文化中很多内容体现了数学的对称美、和谐美，如图所示的太极图。定义：若函数的图象是一条连续不断的曲线，且该曲线同时平分圆的周长和面积，则称函数为该圆的“完美函数”。写出圆心在坐标原点的圆的一个“完美函数”______.
【答案】。本题属于开放式题型，答案并不唯一。是本题的一个答案之一。
三、解答题：本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
23.（本小题满分10分）
如图，P为圆锥的顶点，O为底面圆的圆心，AC为底面圆的直径，B是底面圆周上不同于A，C的任意一点，点D，E分别为母线PB，PC的中点.
（1）求证：平面ABC；
（2）若，，求圆锥PO的体积.
【答案】（1）
平面ABC
AC为底面圆的直径，B是底面圆周上不同于A，C的任意一点
24.（本小题满分10分）
自2018年国家实施乡村振兴战略以来，农村电商行业蓬勃发展，规模不断扩大。农村电商畅通了农产品进城渠道，加速推进了农业数字化。图6为我国2018年至2022年农村电商行业农产品网络零售额的变化情况，图7为A市2022年农产品网络零售量占比扇形图.
（1）请根据图6简要描述我国2018年至2022年农产品网络零售额的变化趋势；
（2）从A市2022年网络零售农产品中随机抽取一件，估计抽取的产品是粮油或茶叶的概率；
（3）已知某农产品带货主播每天零售额超过1万元的概率为0.6，假定每天的销售情况互不影响，求该主播任意两天中至少有一天零售额超过1万元的概率.
【答案】。（1）本题答案不唯一，言之成理即可。比如你可以这样回答：我国2018年至2022年农产品网络零售额逐年呈现递增趋势，增势良好。
（2）由图7可得：茶叶网络零售量占比，所以设抽取的产品是粮油或茶叶为事件A，所以。
（3）设该主播任意两天中至少有一天零售额超过1万元为事件A，设第一天零售额超过1万元为事件B，设第二天零售额超过1万元为事件C，则。
25.（本小题满分10分）
已知函数，.
（1）写出函数的单调区间；
（2）求函数的最大值；
（3）求证：方程有唯一实根，且.
【答案】（1）
在上单调递增
（2）
令
①当，，
当，，没有零点；
②当，即时，，没有零点；
③，
在上单调递增
，使得
上单调递增
综上所述：方程有唯一实根，且

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