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第三单元第3讲 导数与函数的极值、最值
讲
讲知识 讲方法
练
练题型 练真题
题型一：由图象判断函数的极值
题型二：求已知函数的极值
题型三：已知极值(点)求参数
题型四：利用导数求函数最值
题型五：生活中的优化问题
测
测基础 测能力
单选4题 单选4题
多选2题 多选2题
填空2题 填空2题
解答3题 解答3题
一、【讲】
【讲知识】
1．函数的极值
(1)函数的极小值
函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
(2)函数的极大值
函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．
(3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值．
2．函数的最大(小)值
(1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件：
如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．
(2)求y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤：
①求函数y＝f(x)在区间(a，b)上的极值；
②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
【讲方法】
1.根据函数的极值(点)求参数的两个要领
(1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；
(2)验证：求解后验证根的合理性．
2.求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f(a)，f(b)与f(x)的各极值进行比较得到函数的最值．
3.若所给的闭区间[a，b]含参数，则需对函数f(x)求导，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f(x)的最值．
二、【练】
【练题型】
【题型一】由图象判断函数的极值
【典例1】已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图，则下列叙述正确的是(　　)
A．函数f(x)在(－∞，－4)上单调递减
B．函数f(x)在x＝2处取得极大值
C．函数f(x)在x＝－4处取得极值
D．函数f(x)有两个极值点
【典例2】设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是(　　)
A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)
B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)
C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)
D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)
【典例3】如图是函数y＝f(x)的导函数的图象，下列结论中正确的是(　　)
A．f(x)在[－2，－1]上单调递增
B．当x＝3时，f(x)取得最小值
C．当x＝－1时，f(x)取得极大值
D．f(x)在[－1,2]上单调递增，在[2,4]上单调递减
【题型二】求已知函数的极值
【典例1】已知函数f(x)＝x－1＋(a∈R，e为自然对数的底数)．
(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求a的值；
(2)求函数f(x)的极值．
【典例2】已知函数f(x)＝ln x－ax(a∈R).
(1)当a＝时，求f(x)的极值；
(2)讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数.
【题型三】已知极值(点)求参数
【典例1】已知函数f(x)＝x(ln x－ax)在区间(0，＋∞)上有两个极值，则实数a的取值范围为(　　)
A．(0，e) B.
C. D.
【典例2】已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1处有极值0，则a＋b＝________.
【典例3】已知函数f(x)＝x(ln x－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是________．
【题型四】利用导数求函数最值
【典例1】已知函数g(x)＝aln x＋x2－(a＋2)x(a∈R)．
(1)若a＝1，求g(x)在区间[1，e]上的最大值；
(2)求g(x)在区间[1，e]上的最小值h(a)．
【典例2】已知函数f(x)＝.
(1)若a＝0，求y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程；
(2)若函数f(x)在x＝－1处取得极值，求f(x)的单调区间，以及最大值和最小值.
【典例3】已知函数f(x)＝ax＋ln x，其中a为常数．
(1)当a＝－1时，求f(x)的最大值；
(2)若f(x)在区间(0，e]上的最大值为－3，求a的值．
【题型五】生活中的优化问题
【典例1】某生产厂家每天生产一种精密仪器，已知该工厂每天生产的产品最多不超过30件，且在生产过程中产品的正品率p与每日生产产品件数x(x∈N*)间的关系为p(x)＝，每生产一件正品盈利2 000元，每出现一件次品亏损1 000元，已知若生产10件，则生产的正品只有7件．(注：正品率＝产品的正品件数÷产品总件数×100%)
(1)将日利润y(元)表示成日产量x(件)的函数；
(2)求该厂的日产量为多少件时，日利润最大？并求出日利润的最大值．
【典例2】某产品包装公司要生产一种容积为V的圆柱形饮料罐(上下都有底)，一个单位面积的罐底造价是一个单位面积罐身造价的3倍，若不考虑饮料罐的厚度，欲使这种饮料罐的造价最低，则这种饮料罐的底面半径是________．
【练真题】
【真题1】（2021·新高考Ⅰ卷）函数f(x)＝|2x－1|－2ln x的最小值为________.
【真题2】（2020·高考北京卷）已知函数f(x)＝12－x2.设曲线y＝f(x)在点(t，f(t))处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为S(t)，求S(t)的最小值．
【真题3】（2019·高考江苏卷）设函数f(x)＝(x－a)(x－b)·(x－c)，a，b，c∈R，f′(x)为f(x)的导函数．
(1)若a＝b＝c，f(4)＝8，求a的值；
(2)若a≠b，b＝c，且f(x)和f′(x)的零点均在集合{－3，1，3}中，求f(x)的极小值．
【真题4】（2022·珠海模拟）已知函数f(x)＝ln x－ax，x∈(0，e]，其中e为自然对数的底数．
(1)若x＝1为f(x)的极值点，求f(x)的单调区间和最大值；
(2)是否存在实数a，使得f(x)的最大值是－3？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
三、【测】
【测基础】
【单选题】
1. 已知函数f(x)的定义域为(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)上的图象如图所示，则函数f(x)在(a，b)上的极大值点的个数为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
2. 已知a为函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a等于(　　)
A.－4 B.－2 C.4 D.2
3. 函数f(x)＝在[2，＋∞)上的最小值为(　　)
A. B.e2 C. D.2e
4. 已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx的图象如图所示，则x＋x等于(　　)
A. B. C. D.
【多选题】
5. 函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则以下命题错误的是(　　)
A．－3是函数y＝f(x)的极值点
B．－1是函数y＝f(x)的最小值点
C．y＝f(x)在区间(－3,1)上单调递增
D．y＝f(x)在x＝0处切线的斜率小于零
6. 已知函数f(x)＝，则下列结论正确的是(　　)
A．函数f(x)存在两个不同的零点
B．函数f(x)既存在极大值又存在极小值
C．当－eD．若x∈[t，＋∞)时，f(x)max＝，则t的最小值为2
【填空题】
7. 若商品的年利润y(万元)与年产量x(百万件)的函数关系式为y＝－x3＋27x＋123(x>0)，则获得最大利润时的年产量为________百万件.
8. 已知x＝1是函数f(x)＝(x2＋ax)ex的一个极值点，则曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线斜率为________.
【解答题】
9. 已知函数f(x)＝－ln x，m∈R.
(1)若函数f(x)的图象在(2，f(2))处的切线与直线x－y＝0平行，求实数n的值；
(2)试讨论函数f(x)在区间[1，＋∞)上的最大值．
10. 设函数f(x)＝x2＋1－ln x.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)求函数g(x)＝f(x)－x在区间上的最小值．
【测能力】
【单选题】
1. 已知函数f(x)＝x＋2sin x，x∈[0,2π]，则f(x)的值域为(　　)
A. B.
C. D．[0,2π]
2. 若函数f(x)＝(1－x)(x2＋ax＋b)的图象关于点(－2，0)对称，x1，x2分别是f(x)的极大值点与极小值点，则x2－x1＝(　　)
A．－ B．2
C．－2 D．
3. 若函数y＝f(x)存在n－1(n∈N*)个极值点，则称y＝f(x)为n折函数，例如f(x)＝x2为2折函数．已知函数f(x)＝(x＋1)ex－x(x＋2)2，则f(x)为(　　)
A．2折函数 B．3折函数
C．4折函数 D．5折函数
4. 函数f(x)在x＝x0处的导数存在，若p：f′(x0)＝0，q：x＝x0是f(x)的极值点，则(　　)
A．p是q的充分必要条件
B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件
C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件
D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
【多选题】
5. 已知函数f(x)＝x＋sin x－xcos x的定义域为[－2π，2π)，则(　　)
A．f(x)为奇函数
B．f(x)在[0，π)上单调递增
C．f(x)恰有4个极大值点
D．f(x)有且仅有4个极值点
6. 已知函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则下列判断正确的是(　　)
A．函数y＝f(x)在区间内单调递增
B．当x＝－2时，函数y＝f(x)取得极小值
C．函数y＝f(x)在区间(－2，2)内单调递增
D．当x＝3时，函数y＝f(x)有极小值
【填空题】
7. 已知函数f(x)＝xln x＋mex(e为自然对数的底数)有两个极值点，则实数m的取值范围是________.
8. 若函数f(x)＝x2＋(a－1)x－aln x存在唯一的极值，且此极值不小于1，则实数a的取值范围为________．
【解答题】
9. 已知函数f(x)＝ln x－ax(a∈R)．
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)当a>0时，求函数f(x)在[1,2]上的最小值．
10. 已知函数f(x)＝
(1)求f(x)在区间(－∞，1)上的极小值和极大值点；
(2)求f(x)在[－1，e](e为自然对数的底数)上的最大值．
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第三单元第3讲 导数与函数的极值、最值
讲
讲知识 讲方法
练
练题型 练真题
题型一：由图象判断函数的极值
题型二：求已知函数的极值
题型三：已知极值(点)求参数
题型四：利用导数求函数最值
题型五：生活中的优化问题
测
测基础 测能力
单选4题 单选4题
多选2题 多选2题
填空2题 填空2题
解答3题 解答3题
一、【讲】
【讲知识】
1．函数的极值
(1)函数的极小值
函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
(2)函数的极大值
函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．
(3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值．
2．函数的最大(小)值
(1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件：
如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．
(2)求y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤：
①求函数y＝f(x)在区间(a，b)上的极值；
②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
【讲方法】
1.根据函数的极值(点)求参数的两个要领
(1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；
(2)验证：求解后验证根的合理性．
2.求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f(a)，f(b)与f(x)的各极值进行比较得到函数的最值．
3.若所给的闭区间[a，b]含参数，则需对函数f(x)求导，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f(x)的最值．
二、【练】
【练题型】
【题型一】由图象判断函数的极值
【典例1】已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图，则下列叙述正确的是(　　)
A．函数f(x)在(－∞，－4)上单调递减
B．函数f(x)在x＝2处取得极大值
C．函数f(x)在x＝－4处取得极值
D．函数f(x)有两个极值点
【解析】由导函数的图象可得，当x≤2时，f′(x)≥0，函数f(x)单调递增；当x>2时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，所以函数f(x)的单调递减区间为(2，＋∞)，故A错误．当x＝2时函数取得极大值，故B正确．当x＝－4时函数无极值，故C错误．只有当x＝2时函数取得极大值，故D错误．
故选B．
【典例2】设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是(　　)
A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)
B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)
C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)
D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)
【解析】由题图可知，当x<－2时，f′(x)>0；当－22时，f′(x)>0.由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值．
故选D.
【典例3】如图是函数y＝f(x)的导函数的图象，下列结论中正确的是(　　)
A．f(x)在[－2，－1]上单调递增
B．当x＝3时，f(x)取得最小值
C．当x＝－1时，f(x)取得极大值
D．f(x)在[－1,2]上单调递增，在[2,4]上单调递减
【解析】根据题图知，
当x∈(－2，－1)，x∈(2,4)时，
f′(x)<0，函数y＝f(x)单调递减；
当x∈(－1,2)，x∈(4，＋∞)时，
f′(x)>0，函数y＝f(x)单调递增．
所以y＝f(x)在[－2，－1]上单调递减，在(－1，2)上单调递增，在(2,4)上单调递减，在(4，＋∞)上单调递增，故选项A不正确，选项D正确；
故当x＝－1时，f(x)取得极小值，选项C不正确；当x＝3时，f(x)不是取得最小值，选项B不正确．
故选D.
【题型二】求已知函数的极值
【典例1】已知函数f(x)＝x－1＋(a∈R，e为自然对数的底数)．
(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求a的值；
(2)求函数f(x)的极值．
【解析】(1)因为f(x)＝x－1＋，
所以f′(x)＝1－，
又因为曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，所以f′(1)＝0，
即1－＝0，所以a＝e.
(2)由(1)知f′(x)＝1－，
当a≤0时，f′(x)>0，
所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，
因此f(x)无极大值与极小值；
当a>0时，令f′(x)>0，则x>ln a，
所以f(x)在(ln a，＋∞)上单调递增，
令f′(x)<0，则x所以f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，
故f(x)在x＝ln a处取得极小值，
且f(ln a)＝ln a，但是无极大值，
综上，当a≤0时，f(x)无极大值与极小值；
当a>0时，f(x)在x＝ln a处取得极小值ln a，但是无极大值．
【典例2】已知函数f(x)＝ln x－ax(a∈R).
(1)当a＝时，求f(x)的极值；
(2)讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数.
【解析】(1)当a＝时，f(x)＝ln x－x，函数的定义域为(0，＋∞)且f′(x)＝－＝，
令f′(x)＝0，得x＝2，
于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表.
x (0，2) 2 (2，＋∞)
f′(x) ＋ 0 －
f(x) ? ln 2－1 ?
故f(x)在定义域上的极大值为f(x)极大值＝f(2)＝ln 2－1，无极小值.
(2)由(1)知，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝－a＝.
当a≤0时，f′(x)>0在(0，＋∞)上恒成立，
则函数在(0，＋∞)上单调递增，此时函数在定义域上无极值点；
当a>0时，若x∈，则f′(x)>0，
若x∈，则f′(x)<0，
故函数在x＝处有极大值.
综上可知，当a≤0时，函数f(x)无极值点，
当a>0时，函数y＝f(x)有一个极大值点，且为x＝.
【题型三】已知极值(点)求参数
【典例1】已知函数f(x)＝x(ln x－ax)在区间(0，＋∞)上有两个极值，则实数a的取值范围为(　　)
A．(0，e) B.
C. D.
【解析】f′(x)＝ln x－ax＋x
＝ln x＋1－2ax，
由题意知ln x＋1－2ax＝0在(0，＋∞)上有两个不相等的实根，2a＝，
设g(x)＝，
则g′(x)＝＝－.
当00，g(x)单调递增；
当x>1时，g′(x)<0，g(x)单调递减，
所以g(x)的极大值为g(1)＝1，
又当x>1时，g(x)>0，
当x→＋∞时，g(x)→0，
当x→0时，g(x)→－∞，
所以0<2a<1，即0故选C.
【典例2】已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1处有极值0，则a＋b＝________.
【解析】f′(x)＝3x2＋6ax＋b，
由题意得
解得或
当a＝1，b＝3时，f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0，
∴f(x)在R上单调递增，
∴f(x)无极值，
所以a＝1，b＝3不符合题意，
当a＝2，b＝9时，经检验满足题意．
∴a＋b＝11.
【典例3】已知函数f(x)＝x(ln x－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是________．
【解析】f(x)＝x(ln x－ax)，定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝1＋ln x－2ax.
由题意知，当x>0时，1＋ln x－2ax＝0有两个不相等的实数根，
即2a＝有两个不相等的实数根，
令φ(x)＝(x>0)，∴φ′(x)＝.
当00；当x>1时，φ′(x)<0，
∴φ(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，
且φ(1)＝1，
当x→0时，φ(x)→－∞，
当x→＋∞时，φ(x)→0，
则0<2a<1，即0【题型四】利用导数求函数最值
【典例1】已知函数g(x)＝aln x＋x2－(a＋2)x(a∈R)．
(1)若a＝1，求g(x)在区间[1，e]上的最大值；
(2)求g(x)在区间[1，e]上的最小值h(a)．
【解析】(1)∵a＝1，
∴g(x)＝ln x＋x2－3x，
∴g′(x)＝＋2x－3＝，
∵x∈[1，e]，∴g′(x)≥0，
∴g(x)在[1，e]上单调递增，
∴g(x)max＝g(e)＝e2－3e＋1.
(2)g(x)的定义域为(0，＋∞)，
g′(x)＝＋2x－(a＋2)＝
＝.
①当≤1，即a≤2时，g(x)在[1，e]上单调递增，h(a)＝g(1)＝－a－1；
②当1<③当≥e，即a≥2e时，g(x)在[1，e]上单调递减，h(a)＝g(e)＝(1－e)a＋e2－2e.
综上，h(a)＝
【典例2】已知函数f(x)＝.
(1)若a＝0，求y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程；
(2)若函数f(x)在x＝－1处取得极值，求f(x)的单调区间，以及最大值和最小值.
【解析】(1)当a＝0时，f(x)＝，
则f′(x)＝
＝.
当x＝1时，f(1)＝1，f′(1)＝－4，
故y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为
y－1＝－4(x－1)，
整理得4x＋y－5＝0.
(2)已知函数f(x)＝，
则f′(x)＝
＝.
若函数f(x)在x＝－1处取得极值，
则f′(－1)＝0，即＝0，解得a＝4.
经检验，当a＝4时，x＝－1为函数f(x)的极大值，符合题意.
此时f(x)＝，其定义域为R，f′(x)＝，
令f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝4.
f(x)，f′(x)随x的变化趋势如下表：
x (－∞，－1) －1 (－1，4) 4 (4，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
故函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)，(4，＋∞)，单调递减区间为(－1，4).
极大值为f(－1)＝1，极小值为f(4)＝－.
又因为x<时，f(x)>0；x>时，f(x)<0，
所以函数f(x)的最大值为f(－1)＝1，
最小值为f(4)＝－.
【典例3】已知函数f(x)＝ax＋ln x，其中a为常数．
(1)当a＝－1时，求f(x)的最大值；
(2)若f(x)在区间(0，e]上的最大值为－3，求a的值．
【解析】(1)易知f(x)的定义域为(0，＋∞)，
当a＝－1时，f(x)＝－x＋ln x，
f′(x)＝－1＋＝，
令f′(x)＝0，得x＝1.
当00；当x>1时，f′(x)<0.
∴f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．
∴f(x)max＝f(1)＝－1.
∴当a＝－1时，函数f(x)在(0，＋∞)上的最大值为－1.
(2)f′(x)＝a＋，x∈(0，e]，∈.
①若a≥－，则f′(x)≥0，从而f(x)在(0，e]上单调递增，
∴f(x)max＝f(e)＝ae＋1≥0，不符合题意．
②若a<－，令f′(x)>0得a＋>0，结合x∈(0，e]，解得0令f′(x)<0得a＋<0，结合x∈(0，e]，解得－从而f(x)在上单调递增，在上单调递减，
∴f(x)max＝f ＝－1＋ln.
令－1＋ln＝－3，得ln＝－2，
即a＝－e2.
∵－e2<－，∴a＝－e2为所求．
故实数a的值为－e2.
【题型五】生活中的优化问题
【典例1】某生产厂家每天生产一种精密仪器，已知该工厂每天生产的产品最多不超过30件，且在生产过程中产品的正品率p与每日生产产品件数x(x∈N*)间的关系为p(x)＝，每生产一件正品盈利2 000元，每出现一件次品亏损1 000元，已知若生产10件，则生产的正品只有7件．(注：正品率＝产品的正品件数÷产品总件数×100%)
(1)将日利润y(元)表示成日产量x(件)的函数；
(2)求该厂的日产量为多少件时，日利润最大？并求出日利润的最大值．
【解析】(1)由题意，知当x＝10时，p(10)＝，即p(10)＝＝，解得m＝2 200.
所以p(x)＝.
故日利润y＝2 000x×p(x)－1 000x×[1－p(x)]＝3 000x×p(x)－1 000x＝3 000x×－1 000x＝－x3＋1 200x，
故所求的函数关系式是y＝－x3＋1 200x(x∈N*，1≤x≤30)．
(2)y′＝－3x2＋1 200，令y′＝0，解得x＝20.
当x∈[1，20)时，y′＞0，函数单调递增；
当x∈(20，30]时，y′＜0，函数单调递减．
所以当x＝20时，y取最大值，最大值为－203＋1 200×20＝16 000(元)．
所以该厂的日产量为20件时，日利润最大，最大值为16 000元．
【典例2】某产品包装公司要生产一种容积为V的圆柱形饮料罐(上下都有底)，一个单位面积的罐底造价是一个单位面积罐身造价的3倍，若不考虑饮料罐的厚度，欲使这种饮料罐的造价最低，则这种饮料罐的底面半径是________．
【解析】由V＝πr2h，得h＝，
设f(r)＝3×2×πr2＋2πrh＝6πr2＋，
所以f′(r)＝12πr－＝，
所以f(r)在上单调递减，
上单调递增，
所以当r＝时造价最低．
【练真题】
【真题1】（2021·新高考Ⅰ卷）函数f(x)＝|2x－1|－2ln x的最小值为________.
【解析】函数f(x)＝|2x－1|－2ln x的定义域为(0，＋∞).
①当x>时，f(x)＝2x－1－2ln x，
所以f′(x)＝2－＝.
当1时，f′(x)>0，所以f(x)在上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以f(x)min＝f(1)＝2－1－2ln 1＝1；
②当0ln e＝1.
综上，f(x)min＝1.
【真题2】（2020·高考北京卷）已知函数f(x)＝12－x2.设曲线y＝f(x)在点(t，f(t))处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为S(t)，求S(t)的最小值．
【解析】因为f′(x)＝－2x，则f′(t)＝－2t，又f(t)＝12－t2，所以曲线y＝f(x)在点(t，f(t))处的切线方程为y－(12－t2)＝－2t(x－t)，即y＝－2tx＋t2＋12.若t＝0，则围不成三角形，故t≠0.
令x＝0，得y＝t2＋12，记A(0，t2＋12)，O为坐标原点，则|OA|＝t2＋12，令y＝0，得x＝，记B，则|OB|＝，
所以S(t)＝|OA||OB|＝，
因为S(t)为偶函数，所以仅考虑t>0即可．
当t>0时，S(t)＝，
则S′(t)＝＝(t2－4)(t2＋12)，
令S′(t)＝0，得t＝2，
所以当t变化时，S′(t)与S(t)的变化情况如表：
t (0，2) 2 (2，＋∞)
S′(t) － 0 ＋
S(t) ? 极小值 ?
所以S(t)min＝S(2)＝32.
【真题3】（2019·高考江苏卷）设函数f(x)＝(x－a)(x－b)·(x－c)，a，b，c∈R，f′(x)为f(x)的导函数．
(1)若a＝b＝c，f(4)＝8，求a的值；
(2)若a≠b，b＝c，且f(x)和f′(x)的零点均在集合{－3，1，3}中，求f(x)的极小值．
【解析】(1)因为a＝b＝c，所以f(x)＝(x－a)(x－b)(x－c)＝(x－a)3.
因为f(4)＝8，所以(4－a)3＝8，解得a＝2.
(2)因为b＝c，所以f(x)＝(x－a)(x－b)2＝x3－(a＋2b)x2＋b(2a＋b)x－ab2，
从而f′(x)＝3(x－b).令f′(x)＝0，得x＝b或x＝.
因为a，b，都在集合{－3，1，3}中，且a≠b，
所以＝1，a＝3，b＝－3.
此时，f(x)＝(x－3)(x＋3)2，f′(x)＝3(x＋3)(x－1)．
令f′(x)＝0，得x＝－3或x＝1.列表如下：
x (－∞，－3) －3 (－3，1) 1 (1，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) ? 极大值 ? 极小值 ?
所以f(x)的极小值为f(1)＝(1－3)(1＋3)2＝－32.
【真题4】（2022·珠海模拟）已知函数f(x)＝ln x－ax，x∈(0，e]，其中e为自然对数的底数．
(1)若x＝1为f(x)的极值点，求f(x)的单调区间和最大值；
(2)是否存在实数a，使得f(x)的最大值是－3？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
【解析】(1)∵f(x)＝ln x－ax，x∈(0，e]，
∴f′(x)＝，
由f′(1)＝0，得a＝1.
∴f′(x)＝，
∴x∈(0,1)，f′(x)>0，x∈(1，＋∞)，f′(x)<0，
∴f(x)的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1，e]；
f(x)的极大值为f(1)＝－1，也即f(x)的最大值为f(1)＝－1.
(2)∵f(x)＝ln x－ax，
∴f′(x)＝－a＝，
①当a≤0时，f(x)在(0，e]上单调递增，
∴f(x)的最大值是f(e)＝1－ae＝－3，
解得a＝>0，舍去；
②当a>0时，由f′(x)＝－a＝＝0，
得x＝，
当0<时，
∴x∈时，f′(x)>0；
x∈时，f′(x)<0，
∴f(x)的单调递增区间是，单调递减区间是，
又f(x)在(0，e]上的最大值为－3，
∴f(x)max＝f ＝－1－ln a＝－3，
∴a＝e2；
当e≤，即0∴f(x)max＝f(e)＝1－ae＝－3，
解得a＝>，舍去．
综上，存在a符合题意，此时a＝e2
三、【测】
【测基础】
【单选题】
1. 已知函数f(x)的定义域为(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)上的图象如图所示，则函数f(x)在(a，b)上的极大值点的个数为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】由函数极值的定义和导函数的图象可知，f′(x)在(a，b)上与x轴的交点个数为4，但是在原点附近的导数值恒大于零，故x＝0不是函数f(x)的极值点.其余的3个交点都是极值点，其中有2个点满足其附近的导数值左正右负，故极大值点有2个.
故选B.
2. 已知a为函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a等于(　　)
A.－4 B.－2 C.4 D.2
【解析】由题意得f′(x)＝3x2－12，由f′(x)＝0得x＝±2，当x∈(－∞，－2)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，当x∈(－2，2)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，所以a＝2.
故选D.
3. 函数f(x)＝在[2，＋∞)上的最小值为(　　)
A. B.e2 C. D.2e
【解析】依题意f′(x)＝(x2－2x－3)
＝(x－3)(x＋1)，故函数在区间(2，3)上单调递减，在区间(3，＋∞)上单调递增，故函数在x＝3处取得极小值也即是最小值，且最小值为f(3)＝＝.
故选A.
4. 已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx的图象如图所示，则x＋x等于(　　)
A. B. C. D.
【解析】由题中图象可知f(x)的图象经过点(1，0)与(2，0)，x1，x2是函数f(x)的极值点，所以1＋b＋c＝0，8＋4b＋2c＝0，解得b＝－3，c＝2，所以f(x)＝x3－3x2＋2x，所以f′(x)＝3x2－6x＋2，x1，x2是方程3x2－6x＋2＝0的两根，所以x1＋x2＝2，x1·x2＝，∴x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝4－2×＝.
故选C.
【多选题】
5. 函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则以下命题错误的是(　　)
A．－3是函数y＝f(x)的极值点
B．－1是函数y＝f(x)的最小值点
C．y＝f(x)在区间(－3,1)上单调递增
D．y＝f(x)在x＝0处切线的斜率小于零
【解析】根据导函数的图象可知当x∈(－∞，－3)时，f′(x)<0，当x∈(－3，＋∞)时，f′(x)≥0，
∴函数y＝f(x)在(－∞，－3)上单调递减，在(－3，＋∞)上单调递增，则－3是函数y＝f(x)的极值点，
∵函数y＝f(x)在(－3，＋∞)上单调递增，∴－1不是函数y＝f(x)的最小值点，
∵函数y＝f(x)在x＝0处的导数大于0，∴y＝f(x)在x＝0处切线的斜率大于零．
故错误的命题为BD.
故选BD.
6. 已知函数f(x)＝，则下列结论正确的是(　　)
A．函数f(x)存在两个不同的零点
B．函数f(x)既存在极大值又存在极小值
C．当－eD．若x∈[t，＋∞)时，f(x)max＝，则t的最小值为2
【解析】由f(x)＝0，得x2＋x－1＝0，
∴x＝，故A正确．
f′(x)＝－＝－，
当x∈(－∞，－1)∪(2，＋∞)时，f′(x)<0，
当x∈(－1,2)时，f′(x)>0，
∴f(x)在(－∞，－1)，(2，＋∞)上单调递减，在(－1,2)上单调递增，
∴f(－1)是函数的极小值，f(2)是函数的极大值，故B正确．
又f(－1)＝－e，f(2)＝，
且当x→－∞时，f(x)→＋∞，x→＋∞时，f(x)→0，
∴f(x)的图象如图所示，
故选ABC.
【填空题】
7. 若商品的年利润y(万元)与年产量x(百万件)的函数关系式为y＝－x3＋27x＋123(x>0)，则获得最大利润时的年产量为________百万件.
【解析】y′＝－3x2＋27＝－3(x＋3)(x－3)，当00；当x>3时，y′<0.
故当x＝3时，该商品的年利润最大.
8. 已知x＝1是函数f(x)＝(x2＋ax)ex的一个极值点，则曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线斜率为________.
【解析】由f(x)＝(x2＋ax)ex，
得f′(x)＝(x2＋ax＋2x＋a)ex，
因为x＝1是函数f(x)＝(x2＋ax)ex的一个极值点，
所以f′(1)＝(3＋2a)e＝0，解得a＝－.
∴f′(x)＝ex，
所以f′(0)＝－.
所以曲线f(x)在点(0，f(0))处的切线斜率为－.
【解答题】
9. 已知函数f(x)＝－ln x，m∈R.
(1)若函数f(x)的图象在(2，f(2))处的切线与直线x－y＝0平行，求实数n的值；
(2)试讨论函数f(x)在区间[1，＋∞)上的最大值．
【解析】(1)由题意得f′(x)＝，所以f′(2)＝.由于函数f(x)的图象在(2，f(2))处的切线与直线x－y＝0平行，所以＝1，解得n＝6.
(2)f′(x)＝，令f′(x)<0，得x>n；令f′(x)>0，得x①当n≤1时，函数f(x)在[1，＋∞)上单调递减，
所以f(x)max＝f(1)＝m－n；
②当n>1时，函数f(x)在[1，n)上单调递增，在(n，＋∞)上单调递减，所以f(x)max＝f(n)＝m－1－ln n.
10. 设函数f(x)＝x2＋1－ln x.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)求函数g(x)＝f(x)－x在区间上的最小值．
【解析】(1)易知f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2x－，
由f′(x)>0，得x>，由f′(x)<0，得0所以f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为.
(2)由题意知g(x)＝x2＋1－ln x－x，g′(x)＝2x－－1＝，由g′(x)>0，得x>1，由g′(x)≤0，得0所以g(x)在上单调递减，在(1，2)上单调递增，
所以在区间上，g(x)的最小值为g(1)＝1.
【测能力】
【单选题】
1. 已知函数f(x)＝x＋2sin x，x∈[0,2π]，则f(x)的值域为(　　)
A. B.
C. D．[0,2π]
【解析】f′(x)＝1＋2cos x，x∈[0,2π]，
令f′(x)＝0，得cos x＝－，
∴x＝或x＝，
又f ＝＋，
f ＝－，
f(0)＝0，
f(2π)＝2π，
f －f ＝－2<0，
∴f(0)∴f(x)max＝f(2π)＝2π，f(x)min＝f(0)＝0，
∴f(x)的值域为[0,2π]．
故选D.
2. 若函数f(x)＝(1－x)(x2＋ax＋b)的图象关于点(－2，0)对称，x1，x2分别是f(x)的极大值点与极小值点，则x2－x1＝(　　)
A．－ B．2
C．－2 D．
【解析】由题意可得f(－2)＝3(4－2a＋b)＝0，
因为函数图象关于点(－2，0)对称，且f(1)＝0，
所以f(－5)＝0，
即f(－5)＝6(25－5a＋b)＝0，
联立解得
故f(x)＝(1－x)(x2＋7x＋10)＝－x3－6x2－3x＋10，
则f′(x)＝－3x2－12x－3＝－3(x2＋4x＋1)，
结合题意可知x1，x2是方程x2＋4x＋1＝0的两个实数根，且x1>x2，
故x2－x1＝－|x1－x2|＝－＝－＝－2.
故选C.
3. 若函数y＝f(x)存在n－1(n∈N*)个极值点，则称y＝f(x)为n折函数，例如f(x)＝x2为2折函数．已知函数f(x)＝(x＋1)ex－x(x＋2)2，则f(x)为(　　)
A．2折函数 B．3折函数
C．4折函数 D．5折函数
【解析】f′(x)＝(x＋2)ex－(x＋2)(3x＋2)＝(x＋2)·(ex－3x－2)，令f′(x)＝0，得x＝－2或ex＝3x＋2.
易知x＝－2是f(x)的一个极值点，
又ex＝3x＋2，结合函数图象，y＝ex与y＝3x＋2有两个交点．又e－2≠3×(－2)＋2＝－4.
所以函数y＝f(x)有3个极值点，则f(x)为4折函数．
故选C.
4. 函数f(x)在x＝x0处的导数存在，若p：f′(x0)＝0，q：x＝x0是f(x)的极值点，则(　　)
A．p是q的充分必要条件
B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件
C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件
D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
【解析】设f(x)＝x3，则f′(0)＝0，但是f(x)是单调递增函数，故在x＝0处不存在极值，故若p则q是一个假命题，由极值的定义可得若q则p是一个真命题.
故选C.
【多选题】
5. 已知函数f(x)＝x＋sin x－xcos x的定义域为[－2π，2π)，则(　　)
A．f(x)为奇函数
B．f(x)在[0，π)上单调递增
C．f(x)恰有4个极大值点
D．f(x)有且仅有4个极值点
【解析】因为f(x)的定义域为[－2π，2π)，
所以f(x)是非奇非偶函数，故A错误；
因为f(x)＝x＋sin x－xcos x，
所以f′(x)＝1＋cos x－(cos x－xsin x)＝1＋xsin x，
当x∈[0，π)时，f′(x)>0，则f(x)在[0，π)上单调递增，故B正确；
显然f′(0)≠0，令f′(x)＝0，得sin x＝－，
分别作出y＝sin x，y＝－在区间[－2π，2π)上的图象，
由图可知，这两个函数的图象在区间[－2π，2π)上共有4个公共点，且两图象在这些公共点上都不相切，故f(x)在区间[－2π，2π)上的极值点的个数为4，且f(x)只有2个极大值点，故C错误，D正确．
故选BD.
6. 已知函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则下列判断正确的是(　　)
A．函数y＝f(x)在区间内单调递增
B．当x＝－2时，函数y＝f(x)取得极小值
C．函数y＝f(x)在区间(－2，2)内单调递增
D．当x＝3时，函数y＝f(x)有极小值
【解析】对于A，函数y＝f(x)在区间内有增有减，故A不正确；对于B，当x＝－2时，函数y＝f(x)取得极小值，故B正确；对于C，当x∈(－2，2)时，恒有f′(x)＞0，则函数y＝f(x)在区间(－2，2)上单调递增，故C正确；对于D，当x＝3时，f′(x)≠0，故D不正确．
故选BC.
【填空题】
7. 已知函数f(x)＝xln x＋mex(e为自然对数的底数)有两个极值点，则实数m的取值范围是________.
【解析】f(x)＝xln x＋mex(x＞0)，
∴f′(x)＝ln x＋1＋mex(x＞0)，
令f′(x)＝0，得－m＝，
设g(x)＝，
则g′(x)＝(x＞0)，
令h(x)＝－ln x－1，
则h′(x)＝－－＜0(x＞0)，
∴h(x)在(0，＋∞)上单调递减且h(1)＝0，
∴当x∈(0，1]时，h(x)≥0，即g′(x)≥0，g(x)在(0，1]上单调递增；
当x∈(1，＋∞)时，h(x)＜0，即g′(x)＜0，g(x)在(1，＋∞)上单调递减，
故g(x)max＝g(1)＝，
而当x→0时，g(x)→－∞，当x→＋∞时，g(x)→0，
若f(x)有两极值点，只要y＝－m和g(x)的图象在(0，＋∞)上有两个交点，
只需0＜－m＜，故－＜m＜0.
8. 若函数f(x)＝x2＋(a－1)x－aln x存在唯一的极值，且此极值不小于1，则实数a的取值范围为________．
【解析】对函数求导得f′(x)＝x－1＋a＝，x>0，因为函数存在唯一的极值，所以导函数存在唯一的零点，且零点大于0，故x＝1是唯一的极值点，此时－a≤0，且f(1)＝－＋a≥1，所以a≥.
【解答题】
9. 已知函数f(x)＝ln x－ax(a∈R)．
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)当a>0时，求函数f(x)在[1,2]上的最小值．
【解析】(1)f′(x)＝－a(x>0)，
①当a≤0时，f′(x)＝－a>0，即函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)．
②当a>0时，令f′(x)＝－a＝0，可得x＝，
当00；
当x>时，f′(x)＝<0，
故函数f(x)的单调递增区间为，
单调递减区间为.
综上可知，当a≤0时，函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)；
当a>0时，函数f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为.
(2)①当≤1，即a≥1时，函数f(x)在[1,2]上是减函数，所以f(x)的最小值是f(2)＝ln 2－2a.
②当≥2，即0③当1<<2，即所以当当ln 2≤a<1时，最小值为f(2)＝ln 2－2a.
综上可知，当0当a≥ln 2时，函数f(x)的最小值是f(2)＝ln 2－2a.
10. 已知函数f(x)＝
(1)求f(x)在区间(－∞，1)上的极小值和极大值点；
(2)求f(x)在[－1，e](e为自然对数的底数)上的最大值．
【解析】(1)当x<1时，f′(x)＝－3x2＋2x＝－x(3x－2)，
令f′(x)＝0，解得x＝0或x＝.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，0) 0
f′(x) － 0 ＋ 0 －
f(x) ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘
故当x＝0时，函数f(x)取得极小值f(0)＝0，
函数f(x)的极大值点为x＝.
(2)①当－1≤x<1时，由(1)知，函数f(x)在[－1,0]和上单调递减，在上单调递增．
因为f(－1)＝2，f＝，f(0)＝0，
所以f(x)在[－1,1)上的最大值为2.
②当1≤x≤e时，f(x)＝aln x，
当a≤0时，f(x)≤0；
当a>0时，f(x)在[1，e]上单调递增，
则f(x)在[1，e]上的最大值为f(e)＝a.
故当a≥2时，f(x)在[－1，e]上的最大值为a；
当a<2时，f(x)在[－1，e]上的最大值为2.
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