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求函数值域的九种常用方法
一、函数值域的定义:
函数值的集合叫做函数的值域.
二、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法求函数的值域，都要考虑定义域，函数的问题必须遵循“定义域优先”的原则.
三、常见函数的值域
(1) 一次函数的值域为R.
(2)二次函数，当时的值域为，当时的值域为.，
(3)反比例函数的值域为.
(4)指数函数的值域为.
(5)对数函数的值域为R.
(6)正，余弦函数的值域为，正切函数的值域为R.
(7)对勾函数：对勾函数： 值域：
四、常用方法
方法一 观察法
根据函数图象、性质能较容易得出值域(最值)的简单函数；出现如下形式
利用这些特殊函数的有界性，结合不等式推导出函数的值域
【例1】函数，的值域为________
【例2】求函数的值域．
方法二 分离常数法
①形如的函数求值域,，将原函数化为
如果在其自然定义域（代数式自身对变量的要求）内，值域为；
如果是条件定义域（对自变量有附加条件），采用部分分式法将原函数化为，用复合函数法来求值域.
② 更进一步，如果我们把x的位置换成一个函数，即可以考虑用分离常数的方法进行求解
【例1】求函数的值域。
【例2】.求函数的值域
【例3】求函数的值域
方法三 配方法
对于二次函数或二次形函数
可以考虑用配方法求值域，充分利用二次函数的性质，在对称轴处函数取得最大（小）值如果一个函数是二次函数，或可以整理为二次形函数，可以考虑用配方的方法求其值域，配方的意义在于可以找到函数的对称轴，并在对称轴处取得最大（小）值。同时我们还要注意函数的定义域，是否能取到函数的最大（小）值
【例1】求函数的值域
【例2】求函数的值域
【例3】求函数的值域
方法四 换元法
利用代数或三角换元，将所给函数转换成易求值域的函数，换元形一定要注意新元的取值范围，它是新函数的定义域。形如的函数，令；形如 的函数，令转化为二次函数求解；形如含的结构的函数，可利用三角代换，令，或令.三角代换的常见形式
（1）若题目中含有，则可设
（2）若题目中含有则可设，其中
（3）若题目中含有，则可设，其中
（4）若题目中含有，则可设，其中
（5）若题目中含有，则可设其中
【例1】求函数的值域
【例2】求函数的值域
【例3】求函数 的值域
方法五 判别式法
形如不同时为0)的函数求值域,利用去分母的形式,把函数转化成关于的一元二次方程,通过方程有实根,判别式,求出范围,即函数的值域判别式法实际上体现了一种方程思想，将函数的值域问题转化为了方程有解的问题
【例1】求函数的值域
【例2】求函数的值域.
方法六 函数的有界性法
形如的一类复合函数时求值域,利用函数有界性:用的表达式表示,,再利用函数的有界性,解不等式,求出的范围函数的值域
【例1】求函数的值域.
【例2】求函数的值域
方法七 单调性法
求函数值域时，如果能够先判断函数的单调性，可以利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域
【例1】求函数的值域.
【例2】求函数的值域.
【例3】求函数的值域
方法八 数形结合法
求函数值域时，可以认真观察函数的解析式，是否含有几何意义（斜率 距离截距等），则可通过几何图形帮助我们解题
【例1】求函数的值域
【例2】函数的值域
【例3】求函数的值域.
方法九 基本不等式法
利用基本不等式，用此法求函数值域时，要注意条件“一正，二定，三相等”.如利用求某些函数值域（或最值）时应满足三个条件①;②为定值；③取等号成立的条件.三个条件缺一不可.
① ：换元→分离常数→模型
② ：同时除以分子：→①的模型
③ ：分离常数→②的模型
【例1】求函数的最小值.
【例2】求函数的值域
【例3】求函数的值域。求函数值域的九种常用方法
一、函数值域的定义:
函数值的集合叫做函数的值域.
二、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法求函数的值域，都要考虑定义域，函数的问题必须遵循“定义域优先”的原则.
三、常见函数的值域
(1) 一次函数的值域为R.
(2)二次函数，当时的值域为，当时的值域为.，
(3)反比例函数的值域为.
(4)指数函数的值域为.
(5)对数函数的值域为R.
(6)正，余弦函数的值域为，正切函数的值域为R.
(7)对勾函数：对勾函数： 值域：
四、常用方法
方法一 观察法
根据函数图象、性质能较容易得出值域(最值)的简单函数；出现如下形式
利用这些特殊函数的有界性，结合不等式推导出函数的值域
【例1】函数，的值域为________
【解析】因为，，，
所以f(x)的值域为．
【例2】求函数的值域．
【解析】由函数，则：
定义域为： 得：， 值域为：
方法二 分离常数法
①形如的函数求值域,，将原函数化为
如果在其自然定义域（代数式自身对变量的要求）内，值域为；
如果是条件定义域（对自变量有附加条件），采用部分分式法将原函数化为，用复合函数法来求值域.
② 更进一步，如果我们把x的位置换成一个函数，即可以考虑用分离常数的方法进行求解
【例1】求函数的值域。
【解析】∵，
∵，∴，
∴函数的值域为。
【例2】.求函数的值域
【解析】由已知得
所以，函数值域为
【例3】求函数的值域
【解析】
方法三 配方法
对于二次函数或二次形函数
可以考虑用配方法求值域，充分利用二次函数的性质，在对称轴处函数取得最大（小）值如果一个函数是二次函数，或可以整理为二次形函数，可以考虑用配方的方法求其值域，配方的意义在于可以找到函数的对称轴，并在对称轴处取得最大（小）值。同时我们还要注意函数的定义域，是否能取到函数的最大（小）值
【例1】求函数的值域
【解析】因为
所以，所以值域为
【例2】求函数的值域
【解析】令当时，，又，
所以，，即
所以。
【例3】求函数的值域
【解析】可以将其换元转化为二次函数令
则 即
所以函数可整理为：
此时，发现函数在 单调递增，而t的取值范围是（这里一定要看清，用的是t的取值范围，而不是x的取值范围）
所以当t=2时，函数取到最小值-2
所以函数值域为
方法四 换元法
利用代数或三角换元，将所给函数转换成易求值域的函数，换元形一定要注意新元的取值范围，它是新函数的定义域。形如的函数，令；形如 的函数，令转化为二次函数求解；形如含的结构的函数，可利用三角代换，令，或令.三角代换的常见形式
（1）若题目中含有，则可设
（2）若题目中含有则可设，其中
（3）若题目中含有，则可设，其中
（4）若题目中含有，则可设，其中
（5）若题目中含有，则可设其中
【例1】求函数的值域
【解析】令
通过换元，配方，将原函数转化为二次函数顶点式的形式，
容易看出，函数转化为一个开口向下的二次函数，在t=1时取到最大值
【例2】求函数的值域
【解析】
令
的值域为
【例3】求函数 的值域
【解析】可以设，注意取值范围
根据，
即函数值域为
方法五 判别式法
形如不同时为0)的函数求值域,利用去分母的形式,把函数转化成关于的一元二次方程,通过方程有实根,判别式,求出范围,即函数的值域判别式法实际上体现了一种方程思想，将函数的值域问题转化为了方程有解的问题
【例1】求函数的值域
【解析】函数 的定义域是
函数可以转化为
所求函数的值域需要使得方程有解，所以要求
得，解得
所以函数值域为
【例2】求函数的值域.
【解析】因为,所以这个函数定义域为.整理函数得,即
当时,方程无解;当时,所求函数的值域需要使得方程有解,即 解得所以函数的值域为.
方法六 函数的有界性法
形如的一类复合函数时求值域,利用函数有界性:用的表达式表示,,再利用函数的有界性,解不等式,求出的范围函数的值域
【例1】求函数的值域.
【解析】函数定义域为，
当时方程不成立,所以
当 . 因, 即 , 解得
所以函数的值域是.
【例2】求函数的值域
【解析】注意到，余弦函数是有界的，即，由此可知分母不会为0，
利用辅助角公式可得： ，易知根式不为0
所以有
两边平方
整理得：
解得函数值域为：
方法七 单调性法
求函数值域时，如果能够先判断函数的单调性，可以利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域
【例1】求函数的值域.
【解析】
【例2】求函数的值域.
【解析】令则在上都是增函数，所以在上是增函数
当时，
当时，故所求函数的值域为
【例3】求函数的值域
【解析】 函数的定义域为
可以将函数看成两个函数的和，即的组合
两个函数都是单调递增，所以原函数也是单调递增。
所以在时，原函数最大值为
所以函数的值域为
方法八 数形结合法
求函数值域时，可以认真观察函数的解析式，是否含有几何意义（斜率 距离截距等），则可通过几何图形帮助我们解题
【例1】求函数的值域
【解析】函数是分式形式，除了前面的有界性法外，还可考虑是否可以转化为斜率的形式，函数可看为两点连线的斜率，即
则，即所求函数，问题转化为求k的取值范围
借助图形：
我们可以看到，当直线与单位圆相切时，k分别取到最大值和最小值
所以，原函数值域
【例2】函数的值域
【解析】
为动点到点距离和，即
作点关于轴的对称点
（等号成立条件：共线）
函数的值域为
【例3】求函数的值域.
【解析】为避免混淆,把函数写成,根据平面点到直线的距离公式,所以是点到直线的距离,数形结合可知,距离的最大值
方法九 基本不等式法
利用基本不等式，用此法求函数值域时，要注意条件“一正，二定，三相等”.如利用求某些函数值域（或最值）时应满足三个条件①;②为定值；③取等号成立的条件.三个条件缺一不可.
① ：换元→分离常数→模型
② ：同时除以分子：→①的模型
③ ：分离常数→②的模型
【例1】求函数的最小值.
【解析】由题得
当且仅当.所以函数的值域为
【例2】求函数的值域
【解析】
，因为，所以
【例3】求函数的值域。
【解析】

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