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预习课01 空间向量及其线性运算
1空间向量的概念
在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，用字母……表示，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模.
解释
(1) 空间中点的位移、物体运动的速度、物体受到的力等都可以用空间向量表示；
(2) 向量的起点是，终点是则向量也可以记作其模记为或；
(3) 向量一般用有向线段表示 同向等长的有向线段表示同一或相等的向量；
(4) 向量具有平移不变性.
(5) 在空间，零向量、单位向量、相等向量、反向量与在平面的对应向量一样.
【例】下列说法中正确的是(　　)．
A．单位向量都相等
B．任一向量与它的相反向量不相等
C．若，则与的长度相等，方向相同或相反
D．若与是相反向量，则
【练】给出下列命题：
①若空间向量满足，则；
②若空间向量满足，，则；
③零向量没有方向；
④若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同．
其中假命题的个数是(　　)．
A．1 B．2 C．3 D．4
2 运算
(1) 定义:与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下(如图).
， ，
(2) 运算律
① 加法交换律:；
② 加法结合律:；
③ 数乘分配律:；
运算法则:三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则.
PS 平行六面体法则:在平行六面体中，.
【例】已知空间四边形中，，，，则等于(　　)．
A． B． C． D．
【练】化简．
3 共线向量
(1) 如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量平行于记作.
(2) 共线向量定理：空间任意两个向量，，存在实数使.
(3) 三点共线：三点共线；
(4) 与共线的单位向量为.
【例】如图，在平行六面体中，分别是的中点，判断以下向量是否共线向量，若是，则判断是同向向量还是反向向量：①与； ②与；
③与；④与；
【练】已知向量且，则一定共线的三点为(　　)．
A． B． C． D．
4 共面向量
(1) 定义
一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量.说明:空间任意的两向量都是共面的.
(2) 共面向量定理
如果两个向量不共线与向量共面的充要条件是存在唯一实数对，使.
(3) 四点共面
方法1 若要证明四点共面，只需要证明共面，即.
方法2 若要证明四点共面，只需要证明(其中)
证明 若，
则
，
，，
即共面，即四点共面.
【例】在下列条件中，使与，，一定共面的是(　　)
A． B．
C． D．
【练1】下列说法中正确的是(　　)．
A．平面内的任意两个向量都共线 B．空间的任意三个向量都不共面
C．空间的任意两个向量都共面 D．空间的任意三个向量都共面
【练2】为空间中任意一点，三点不共线，且，若四点共面，则实数　　．
【题型一】空间向量的线性运算
【典题1】 在四面体中，点在上，且，为中点，则等于(　　)
A． B．
C． D．
变式练习
1.如图，在平行六面体中，　（ ）
A． B． C． D．
2. 在空间四边形中，连结，．若是正三角形，且为其中心，则的化简结果为__________．
3.如图，平行六面体中，，，设，
，，试用表示．
【题型二】 空间向量共线问题
【典题1】 对于空间任意一点，以下条件可以判定点共线的是 　 　（填序号）．
①；②；
③；④．
变式练习
1.如图，在平行六面体中，分别是的中点，在上且
，在上且，判断与是否共线？
【题型三】空间向量共面问题
【典题1】 已知三点不共线，对于平面外的任意一点，判断在下列各条件下的点与点是否共面．
（1）；（2）．
变式练习
1.下列等式中，使点与点一定共面的是（ ）
A． B．
C． D．
2.已知分别是空间四边形的边的中点，用向量法证明：四点共面．
3.如图所示，在长方体中，为的中点，，且，求证：四点共面．
【A组---基础题】
1.当，且不共线时，与的关系是(　　)．
A．共面 B．不共面 C．共线 D．无法确定
2.下面关于空间向量的说法正确的是(　　)．
A．若向量a，b平行，则a，b所在的直线平行
B．若向量所在直线是异面直线，则a，b不共面
C．若四点不共面，则向量不共面
D．若四点不共面，则向量不共面
3.已知三棱锥中，是的中点，则(　　)
A． B． C． D．
4.在平行六面体中，为与的交点，若，则与相等的向量是（ ）
A． B． C． D．
5.在下列条件中，使与，，一定共面的是(　　)
A． B．
C． D．
6.如图所示，已知空间四边形中，为的中点，为的中点，若，则______．
7.已知三点不共线，对平面外一点，给出下列表达式：，其中是实数，若点与四点共面，则　　．
8.如图，在正方体中，在上，且，在对角线上，且．若．
（1）用表示；（2）求证：三点共线．
【B组---提高题】
1.在棱长为1的正方体中，，，分别在棱，，上，且满足，，，是平面，平面与平面的一个公共点，设，则(　　)
A． B． C． D．
2.如图所示，已知四边形是平行四边形，点是四边形所在平面外一点，连接
，设点分别为的重心．试用向量法证明四点共面．
预习课01 空间向量及其线性运算
1空间向量的概念
在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，用字母……表示，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模.
解释
(1) 空间中点的位移、物体运动的速度、物体受到的力等都可以用空间向量表示；
(2) 向量的起点是，终点是则向量也可以记作其模记为或；
(3) 向量一般用有向线段表示 同向等长的有向线段表示同一或相等的向量；
(4) 向量具有平移不变性.
(5) 在空间，零向量、单位向量、相等向量、反向量与在平面的对应向量一样.
【例】下列说法中正确的是(　　)．
A．单位向量都相等
B．任一向量与它的相反向量不相等
C．若，则与的长度相等，方向相同或相反
D．若与是相反向量，则
解析 对于，单位向量的模相等，但是方向不一定一样，故错；对于，零向量与其反向量相等；对于，只能说明两向量的模相等，方向可以是多样的，故错；对于，相反向量的模是相等的，故是正确的.故选.
【练】给出下列命题：
①若空间向量满足，则；
②若空间向量满足，，则；
③零向量没有方向；
④若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同．
其中假命题的个数是(　　)．
A．1 B．2 C．3 D．4
解析 对于①，向量方向不相同，则，故①错；对于②，空间向量也具有传递性，故②正确；对于③，零向量的方向是任意的，故③错；对于④，相等向量的起点与终点不一定相同，故④错.故选.
2 运算
(1) 定义:与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下(如图).
， ，
(2) 运算律
① 加法交换律:；
② 加法结合律:；
③ 数乘分配律:；
运算法则:三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则.
PS 平行六面体法则:在平行六面体中，.
【例】已知空间四边形中，，，，则等于(　　)．
A． B． C． D．
解析 ，故选.
【练】化简．
解析 .
3 共线向量
(1) 如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量平行于记作.
(2) 共线向量定理：空间任意两个向量，，存在实数使.
(3) 三点共线：三点共线；
(4) 与共线的单位向量为.
【例】如图，在平行六面体中，分别是的中点，判断以下向量是否共线向量，若是，则判断是同向向量还是反向向量：①与； ②与；
③与；④与；
解析 ，与是同向向量；②与是异面直线，与不是共线向量；③且，则，则与是反向向量；
④，与是反向向量.
【练】已知向量且，则一定共线的三点为(　　)．
A． B． C． D．
解析：因为，
所以与共线，即三点共线．
4 共面向量
(1) 定义
一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量.说明:空间任意的两向量都是共面的.
(2) 共面向量定理
如果两个向量不共线与向量共面的充要条件是存在唯一实数对，使.
(3) 四点共面
方法1 若要证明四点共面，只需要证明共面，即.
方法2 若要证明四点共面，只需要证明(其中)
证明 若，
则
，
，，
即共面，即四点共面.
【例】在下列条件中，使与，，一定共面的是(　　)
A． B．
C． D．
解：在中，由，得，则为共面向量，即四点共面；
对于，由，得，不能得出四点共面；
对于，由，得，所以四点不共面；
对于，由，得，其系数和不为，所以四点不共面．
故选：．
【练1】下列说法中正确的是(　　)．
A．平面内的任意两个向量都共线 B．空间的任意三个向量都不共面
C．空间的任意两个向量都共面 D．空间的任意三个向量都共面
答案
【练2】为空间中任意一点，三点不共线，且，若四点共面，则实数　　．
解：由题意得，，且四点共面，
，.
【题型一】空间向量的线性运算
【典题1】 在四面体中，点在上，且，为中点，则等于(　　)
A． B．
C． D．
解析 在四面体中，点在上，且，为中点，
所以．
故选：B．
变式练习
1.如图，在平行六面体中，　（ ）
A． B． C． D．
答案 B
解析 为平行四面体，
．
故选：．
2. 在空间四边形中，连结，．若是正三角形，且为其中心，则的化简结果为__________．
答案
解析 如图，延长交于点，根据题意知为的中点．
又因为为正三角形的中心，
所以，即，
所以
．
3.如图，平行六面体中，，，设，
，，试用表示．
答案
解析
．
【题型二】 空间向量共线问题
【典题1】 对于空间任意一点，以下条件可以判定点共线的是 　 　（填序号）．
①；②；
③；④．
解析 对于①，，
，，
点共线，故①正确；
对于②，，，共线，
共线，点不一定共线，故②错误；
对于③，，
，共线，共线，故③正确；
对于④，，，
，
，平行或重合，故平行时，点不共线，故④错误．
故选：①③．
变式练习
1.如图，在平行六面体中，分别是的中点，在上且
，在上且，判断与是否共线？
答案 共线
解析 由已知可得：
．
所以，故与共线．
【题型三】空间向量共面问题
【典题1】 已知三点不共线，对于平面外的任意一点，判断在下列各条件下的点与点是否共面．
（1）；（2）．
解析 （1）三点不共线，故三点共面，
又对于平面外的任意一点，
若，
则，
，故点与共面，
（2）三点不共线，故三点共面，
又对于平面外任意一点，
若，则，
故点与不共面．
变式练习
1.下列等式中，使点与点一定共面的是（ ）
A． B．
C． D．
答案 A
解析 对于，由向量共面定理的推论知，对；
对于，因为，所以错，
对于，因为所以错；
对于，因为，所以错
故选：．
2.已知分别是空间四边形的边的中点，用向量法证明：四点共面．
证明 连结，如图所示，
则，
由平面向量共面定理可知，共面且它们有公共点，
所以四点共面．
3.如图所示，在长方体中，为的中点，，且，求证：四点共面．
证明：设，则，
为的中点，，
又，，
，
为共面向量，
又三向量有相同的起点，四点共面．
【A组---基础题】
1.当，且不共线时，与的关系是(　　)．
A．共面 B．不共面 C．共线 D．无法确定
答案 A
解析 空间中任何两个向量都是共面向量，但不一定共线．
2.下面关于空间向量的说法正确的是(　　)．
A．若向量a，b平行，则a，b所在的直线平行
B．若向量所在直线是异面直线，则a，b不共面
C．若四点不共面，则向量不共面
D．若四点不共面，则向量不共面
答案 D
解析 可以通过平移将空间中任意两个向量平移到一个平面内，因此空间任意两个向量都是共面的，故都不正确．注意向量平行与直线平行的区别，可知不正确，可用反证法证明是正确的．
3.已知三棱锥中，是的中点，则(　　)
A． B． C． D．
答案 D
解析 如图，取中点，连结，，
三棱锥中，是的中点，
．
故选：．
4.在平行六面体中，为与的交点，若，则与相等的向量是（ ）
A． B． C． D．
答案 B
解析 在平行六面体中，为与的交点，
．
故选：．
5.在下列条件中，使与，，一定共面的是(　　)
A． B．
C． D．
答案 C
解析 在中，由，得，则为共面向量，即四点共面；
对于，由，得，不能得出四点共面；
对于，由，得，所以四点不共面；
对于，由，得，其系数和不为，所以四点不共面．
故选：．
6.如图所示，已知空间四边形中，为的中点，为的中点，若，则______．
答案
解析 如图所示，取的中点，连结，
则．
7.已知三点不共线，对平面外一点，给出下列表达式：，其中是实数，若点与四点共面，则　　．
答案
解析 ，，
点四点共面，．
8.如图，在正方体中，在上，且，在对角线上，且．若．
（1）用表示；（2）求证：三点共线．
答案 （1）（2）略
解析 （1），
证明：（2）设，
，，
，，
，
又由（1）知，
，且有公共点，
所以三点共线．
【B组---提高题】
1.在棱长为1的正方体中，，，分别在棱，，上，且满足，，，是平面，平面与平面的一个公共点，设，则(　　)
A． B． C． D．
答案
解析 如图所示，
正方体中，，
，
，，，四点共面，，，，四点共面，
，解得，；
．
故选：B．
2.如图所示，已知四边形是平行四边形，点是四边形所在平面外一点，连接
，设点分别为的重心．试用向量法证明四点共面．
证明：分别延长，交对边于点，
因为分别是所在三角形的重心，
所以为所在边的中点，
顺次连接得到的四边形为平行四边形，
且有；如图所示，
；
又，
，
由共面向量定理知：四点共面．

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