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北师大版 九年级上册数学
第一章 特殊平行四边形
1.2 矩形的性质与判定
观察下面图形,长方形在生活中无处不在.
情景引入
1.2 .1 矩形的性质
思考 长方形跟我们前面学行四边形有什么关系？
你还能举出其他的例子吗？
合作学习
用6根火柴棒首尾相接摆成一个平行四边形（如图）.
（1）能摆成多少个不同的平行四边形？
它们有什么共同特点？说出你的理由.
（2）在这些平行四边形中，有没有面积最大的一个平 行四边形？说出你的理由.
（3）这个面积最大的平行四边形的内角有什么特点？
a
α
A D
A D
B C
A D
A D
A
B
C
D
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
A
B
C
D
（１）矩形的定义：
（３）实质上：矩形是特殊的平行四边形.
（２）矩形的表示：矩形ABCD.
一个角是直角
小学里学过的长方形、正方形都是矩形.
想一想：
你能举出在人们的日常生活和生产实践中，有哪些东西是矩形？
矩形的性质的研究
我们已经知道矩形是特殊的平行四边形，因此矩形除具有平行四边形的性质外，还有它的特殊性质.你能说出矩形有哪些性质吗
五、矩形的两条对角线互相平分
三、矩形的两组对角分别相等
二、矩形的两组对边分别相等
一、矩形的两组对边分别平行
四、矩形的邻角互补
六、矩形是一个中心对称图形
四个角都是直角.
对角线相等.
猜想1、矩形的四个角都是直角．
矩形的特殊性质：
性质1、矩形的四个角都是直角．
A
B
C
D
已知：如图，矩形ABCD.
A
D
B
C
∴ AC=BD.
∵四边形ABCD是矩形,
证明：
∴ ∠ABC= ∠DCB，AB=CD.
∴ △ ABC≌△DCB(SAS)
在△ABC和△DCB中,
AB=DC
∠ABC= ∠DCB
BC=CB
∵
求证：AC=BD.
2： 矩形的对角线相等．
性质
矩形的特殊性质
性质1、矩形的四个角都是直角．
性质2、矩形的两条对角线相等．
几何语言:
∵四边形ABCD是矩形
AC = BD
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°
思考：矩形ABCD是轴对称图形吗？
它的对称轴有几条？
矩形是中心对称图形吗？对称中心是？
A
B
C
D
E
F
G
H
.
探索矩形的对称性
直角三角形性质定理：
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
考考大家：如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，则OC=OB=OD成立吗？
△BCD中，∵∠BCD=90°，O是BD上的中点
∴CO = BD
例1：如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB=60°,AB=4,求矩形对角线的长？
解：∵四边形ABCD是矩形
∴ OA=OB
∵∠AOB=60°
∴△AOB是等边三角形
∴OA=AB=4
∴矩形的对角线长 AC=BD=2OA=8
D
C
B
A
O
例2:已知：如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOD=120°，AC=8cm，求矩形的边长.（精确到0.01㎝）
A
B
O
C
D
解：
在矩形ABCD中，
∵ ∠AOD=120°
∴ ∠AOB=60°
∵OA=OB
∴ △AOB为等边三角形
∴AB=OA= AC=4cm
在Rt△ABC中，
≈6.93（cm）
BC=
=
=
方法小结: 如果矩形两对角 线的夹角是60°或120°,
则其中必有等边三角形.
例3、已知：如图BE、CF是△ABC的两条高，M为BC的中点，分别连ME、MF
求证： (1)ME= BC (2)ME=MF
C
M
A
B
F
E
分析：FM为Rt△BFC的斜边上的中线，EM为Rt△BEC的斜边上的中线
边 角 对角线 对称性
平行四 边形
矩形
对边平行
且相等
对角相等，
邻角互补
对角线互
相平分
中心对称图形
对边平行
且相等
四个角
为直角
对角线互相平分且相等
中心对称图
形，轴对称
图形
这是矩形所特有的性质
O
D
C
B
A
相等的线段：
AB=CD，AD=BC，AC=BD， OA=OC=OB=OD= AC= BD.
相等的角：
∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°
∠AOB=∠DOC，∠AOD=∠BOC，
∠OAB=∠OBA=∠ODC=∠OCD ， ∠OAD=∠ODA=∠OBC=∠OCB.
已知四边形ABCD是矩形
O
D
C
B
A
等腰三角形有：
△OAB △ OBC △OCD △OAD
直角三角形有：
Rt△ABC Rt△BCD Rt△CDA Rt△DAB
全等三角形有：
Rt△ABC ≌ Rt△BCD ≌ Rt△CDA ≌ Rt△DAB △OAB≌△OCD △OAD≌△OCB
已知四边形ABCD是矩形
　　直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
　　矩形是轴对称图形，连接对边中点的直线是它的两条对
称轴，也是中心对称图形。
矩形　
矩形的对边平行且相等；
矩形的四个角都是直角；
矩形的对角线相等且互相平分．
矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．
矩形的性质小结
1.矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）
A.对角线相等 B.对边相等
C.对角相等 D.对角线互相平分
2.下面性质中，矩形不一定具有的是（ ）
A.对角线相等 B.四个角相等
C.是轴对称图形 D.对角线互相垂直
A
D
学以致用
3、如图，在矩形ABCD中，AC与BD相交于点O，AB=3cm，BC=4cm 则AC= cm，BO= cm，
矩形的周长为 cm,
矩形的面积为 cm2
5
2.5
14
12
矩形的两条边和对角线构成一个 三角形， 是斜边.
求矩形的边长和对角线的问题可转化为直角三角形，利用 解决.
直角
对角线
勾股定理
实验：工人师傅为了检验两组对边相等的四边形窗框是否成矩形，一种方法是量一量这个四边形的两条对角线长度，如果对角线长相等，则窗框一定是矩形，你知道为什么吗？
猜想：对角线相等的平行四边形是矩形。
1.2 .2 矩形的判定
命题1：对角线相等的平行四边形是矩形。
已知：平行四边形ABCD，AC=BD。
求证：四边形ABCD是矩形。
A
B
C
D
证明：
所以 AB=CD（平行四边形对边相等）,BC=BC，
所以△ABC≌ △DCB（SSS），
因为四边形ABCD是平行四边形（已知），
在 △ABC和△DCB中，
AB=CD （已证）
BC=CB （已证）
AC=DB （已知）
所以∠ABC=∠DCB（全等三角形对应角相等）.
又因为∠ABC+∠DCB=180°（平行四边形邻角互补），
所以∠ABC=90°（等式的性质），
又因为 四边形ABCD是平行四边形（已知），
所以四边形ABCD是矩形（矩形的定义）.
A
B
C
D
对角线相等的平行四边形是矩形
矩形的判定方法：
几何语言：
因为AC=BD，四边形ABCD是平行四边形（已知）
所以四边形ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）
A
B
C
D
O
探究：
命题2：
有三个角是直角的四边形是矩形。
证明：
四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°;
已知:
四边形ABCD是矩形.
求证:
∵∠A=∠B=90°
∴∠A+∠B=180°
∴AD∥BC,
同理：AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形
又∵∠A=90°
∴四边形ABCD是矩形。
D
A
C
B
矩形的判定方法：
有三个角是直角的四边形是矩形 .
A
B
C
D
∵ ∠A=∠B=∠C=90°
∴四边形ABCD是矩形
几何语言：
矩形有几种判定方法？
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（定义）
有三个角是直角的四边形是矩形（矩形的判定定理1）
对角线相等的平行四边形是矩形（矩形的判定定理2）
四边形
平行四边形
矩形
有一个角是直角
对角线相等
有三个角是直角
方法总结：
1、判断下列命题是否正确，并说明理由。
（1）对角互补的平行四边形是矩形。
（2）一组邻角相等的平行四边形是矩形。
（3）对角线相等的四边形是矩形。
（4）内角都相等的四边形是矩形。
练一练
［问题］一张四边形纸板ABCD的形状如图，
（１）若要从这张纸板中剪出一个平行四边形，并且使它的四个顶点分别落在四边形ABCD的四条边上，可怎样剪？
Ｅ
Ｆ
Ｇ
Ｈ
⑵四边形ABCD满足什么情况下中点四边形EFGH为矩形？并说明理由．
解：分别取AB，BC，CD，DA的中点E，F，G，H，可剪得中点四边形EFGH为平行四边形．
两条对角线互相垂直，AC⊥BD
例 一张四边形的纸板ABCD的形状如图（1），它的两条对角线互相垂直。如果要从这张纸板中剪出一个矩形，并且使它的四个顶点分别落在四边形ABCD的四条边上，可以怎么剪？
(
2
)
(
1
)
O
O
D
B
C
A
A
C
B
D
G
F
H
E
Ｅ
Ｆ
Ｇ
Ｈ
理由如下：
∵GH是△ACD的中位线
∴GH∥AC
１
２
３
∵AC⊥BD
∴∠１＝90°
（三角形的中位线平行于第三边
且等于第三边的一半）
∴∠2＝∠1＝90°
∵EH是△ABD的中位线
∴EH∥BD
∴∠3＝∠2＝90°.
４
５
（三角形的中位线平行于第三边）
同理可得：∠4＝90°， ∠5＝90°
∴四边形EFGH是矩形．
（有三个角是直角的四边形是矩形）
1.矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是 ( )
A.对角相等 B.对边相等
C.对角线相等 D.对角线互相平分
2.下列四边形中不是矩形的是（ ）
A.有三个角是直角的四边形
B.四个角都相等的四边形
C.一组对边平行且对角相等的四边形
D.对角线相等且互相平分的四边形
C
C
【跟踪训练】
3.已知:四边形ABCD是矩形
(1)若已知AB=8㎝，AD=6㎝，则AC＝_______ ㎝ OB=_______ ㎝
(2)若已知 ∠DOC=120°，AC＝8㎝，则AD= _____cm
AB= _____cm
O
D
C
B
A
5
10
4
1.如图，要使□ABCD成为矩形，需添
加的条件是( )
(A)AB=BC (B)AC⊥BD
(C)∠ABC=90° (D)∠1=∠2
【解析】选C.因为有一个角是直角的平行四边形是矩形.
2.如图，MN∥PQ，同旁内角的平分线AB，BC和AD，CD分别相
交于点B，D．
（1）猜想线段AC和BD间的关系是______；
（2）试用理由说明你的猜想．
【解析】（1）相等
(2)理由:因为MN∥PQ,AB,CB分别是∠MAC,∠PCA的平分线，
所以∠BAC+∠ACB=90°，
所以∠ABC=90°，
同理∠ADC=90°.
因为CB,CD分别是∠PCA,∠QCA的平分线，
所以∠BCA+∠DCA=90°，
所以∠BCD=90°，
所以四边形ABCD是矩形，
所以AC=BD.
3.如图，△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高，AE是△BAC的外角平分线，DE∥AB交AE于点E，求证：四边形ADCE是矩形．
证明：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠B＝∠ACB，BD＝DC.
∵AE是∠BAC的外角平分线，
∴∠FAE＝∠EAC.
∵∠B＋∠ACB＝∠FAE＋∠EAC，
∴∠B＝∠ACB＝∠FAE＝∠EAC，
∴AE∥CD.
又∵DE∥AB，
∴四边形AEDB是平行四边形，
∴AE平行且相等BD.
又∵BD＝DC，
∴AE平行且等于DC，
故四边形ADCE是平行四边形.
又∵∠ADC＝90°，
∴平行四边形ADCE是矩形．
有一个角是直角的平行四边形是矩形.
定理1：对角线相等的平行四边形是矩形.
定理2：有三个角是直角的四边形是矩形.
运用定理进行计算和证明.
矩形的判定
定义
定理
矩形的判定小结

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