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闵行区2022学年第二学期高一年级数学期末区统考
2023.6
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第题每题4分,第题每题5分)考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.
1.函数的最小正周期是 .
2.若复数,则 .
3.已知角的终边经过点,则的值是 .
4.已知,则角 .
5.若函数的最大值为,则 .
6.已知,则的值为 .
7.已知向量的夹角为,则在方向上的数量投影为 .
8.已知是实系数一元二次方程的一个根,则 .
9.已知与平行,则实数的值为 .
10.在平面直角坐标系中,角的终边与角的终边关于轴对称.若,
则 .
11.已知函数的定义域为,且当时,,其中取一切正整数.函数的图像与直线恰有24个交点,则实数的取值范围是 .
12.已知平面向量两两互不相等,且.
若对任意的,均满足,则当且时,的值为 .
选择题(本大题共有4题,满分18分,第13、14题每题4分,第15、16题每题5分)每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应位置,将代表正确选项的小方格涂黑.
13.复数的虚部为（ ）
(A)1 (B)-1 (C)i (D)
14.下列命题中正确的是（ ）
(A) (B) (C)若,则 (D)若,则
15.某同学将两角和的正弦、余弦、余切公式错误地记成如下三个式子:
①;
②
③;
若存在恰巧能使上述某些式子成立,则能成立的式子最多有（ ）
(A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个
16.在复平面上,设点对应的复数分别为,当由连续变到时,向量所扫过的图形区域的面积是（ ）
(A) (B) (C) (D)
三、解答题（本大题共有5题,满分78分）考生应在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
17.(本题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分)
在矩形中,,点分别是边的中点,设向量.
(1)试用表示向量与;
(2)求的值.
(本题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分)
欧拉公式将自然对数的底数,虚数单位,三角函数联系在一起,充分体现了数学的和谐美,被誉为“数学的天桥”.已知复数满足.
(1)求;
(2)若复数是纯虚数,求的值.
(本题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分)
上海花博会的成功举办离不开对展览区域的精心规划.如图所示,将展区中扇形空地分隔成三部分建成花卉观赏区,分别种植玫瑰花、白玉兰和菊花.知扇形的半径为60米,,动点在扇形的弧上,点在半径上,且.
（1）当米时,求分隔栏的长;
（2）综合考虑到成本和美观等原因,希望使白玉兰种植区的面积尽可能的大,求该种植区三角形的面积的最大值.
(本题满分18分,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分)
已知函数,其中,分别求满足下列条件的函的解析式.
.
(2)是的两个相异零点,的最小值为,且的图像向右平移个单位长度后关于轴对称.
（3）,对任意的实数,记在区间上的最大值为,最小值为,函数的值域为.
21.(本题满分18分,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分)
通过平面直角坐标系,我们可以用有序实数对表示向量.类似的,我们可以把有序复数对看作一个向量,记,则称为复向量.类比平面向量的相关运算法则,对于,我们有如下运算法则:
①; ②;
③ ④.
(1)设,求和.
(2)由平面向量的数量积满足的运算律,我们类比得到复向量的相关结论:
①; ②; ③.
试判断这三个结论是否正确,并对正确的结论予以证明.
(3)若,集合.对于任意的,求出满足条件的,并将此时的记为,证明对任意的,不等式恒成立.
根据对上述问题的解答过程,试写出一个一般性的命题（不需要证明）.
参考答案
一、填空题
1.; 2.1; 3.; 4. 5.2; 6. 7.1; 8.5; 9.0; 10. 11.; 12.1
二、选择题
13.A 14.B 15.C 16.B
三．解答题
17.（1） （2）
18.（1）,; （2）
19.（1）
(2),当时取到最大值,最大面积为平方米.
20.(本题满分18分,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分)
已知函数,其中,分别求满足下列条件的函的解析式.
（1）.
(2)是的两个相异零点,的最小值为,且的图像向右平移个单位长度后关于轴对称.
（3）,对任意的实数,记在区间上的最大值为,最小值为,函数的值域为.
【答案】（1） （2） ；
（3）
【解析】（1）,
则,
因为,所以,即.
(2),
,
,则,
因为,所以,即.
(3)方法1:,
①不妨设当是上严格增函数,则因为,
那么,
则;
②不妨设当,
则,
因为,
那么,则.
综上所述,,即.
因为,
则或,
因为,所以,即.
方法,令,
①当时,,当时,,那么,则;
②当时,,当时,,
那么,则;即.
因为,
则或,
因为,所以,即.
21.(本题满分18分,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分)
通过平面直角坐标系,我们可以用有序实数对表示向量.类似的,我们可以把有序复数对看作一个向量,记,则称为复向量.类比平面向量的相关运算法则,对于,我们有如下运算法则:
①; ②;
③ ④.
(1)设,求和.
(2)由平面向量的数量积满足的运算律,我们类比得到复向量的相关结论:
①; ②; ③.
试判断这三个结论是否正确,并对正确的结论予以证明.
(3)若,集合.对于任意的,求出满足条件的,并将此时的记为,证明对任意的,不等式恒成立.
根据对上述问题的解答过程,试写出一个一般性的命题（不需要证明）.
【答案】（1）,.
（2）第一个结论错误 ,第二个结论正确, 第三个结论错误. 结论2证明见解析
（3）见解析
【解析】(1),.
(2)第一个结论错误,第二个结论正确,第三个结论错误.
结论2证明：
设,
设满足条件的,
则,
因为为任意的复数,不妨设,且,
由定义可得,,即,
则,此时.
下证对于任意的复向量恒成立,我们需要计算的最小值.
不妨令,此时,
则
当时取到最小值,此时与之前得到的相同,结论得证.
推广结论:对于任意复向量,若对于任意的,
当且仅当时,取到最小值.

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